Biến đổi mellin và ứng dụng

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Đào Thị Mai
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận
văn “Biến đổi Mellin và ứng dụng” được hoàn thành bởi nhận thức
của bản thân tác giả.
Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Đào Thị Mai
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1. Hàm biến phức . . . . . . . . 8
1.1.1. Hàm liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2. Hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Lý thuyết thặng dư. . . 15
1.2.1. Không điểm và cực điểm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2. Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . 19
1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. Hàm Beta . . . . . . . . 21
1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Hàm Zeta Riemann . . . . . . . 24
1.5.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.2. Phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Chương 2. BIẾN ĐỔI MELLIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . 26
2.2. Một số tính chất cơ bản . . . . . . 30
2.2.1. Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
2.2.2. Tính chất tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.3. Tính chất nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.4. Tính chất dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.5. Biến đổi Mellin của đạo hàm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.6. Biến đổi Mellin của toán tử vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.7. Biến đổi Mellin của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.8. Biến đổi Mellin của tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.9. Biến đổi Mellin của tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3. Mối quan hệ với biến đổi Laplace và biến đổi Fourier 38
2.4. Biến đổi Mellin ngược . . . . 39
2.5. Biến đổi Mellin trong tọa độ cực . . . . . 41
2.6. Biến đổi Mellin tổng quát. . . . . 44
Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI MELLIN . . . . 47
3.1. Tính tổng chuỗi vô hạn . . . . . 47
3.2. Tính tích phân phụ thuộc tham số . . . . 50

3.3. Nghiệm của bài toán thế vị trong cái chêm. . . . 52
3.4. Giải các bài toán về phương trình đạo hàm riêng và phương trình
tích phân tuyến tính . . . . 54
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Biến đổi tích phân là một phép tính toán tử được hình thành từ những
năm nửa cuối của thế kỷ XIX. Về mặt lịch sử, khái niệm biến đổi tích
phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý thuyết
khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier và sau
đó được phát triển tới tích phân Fourier hay biến đổi Fourier. Ý nghĩa
quan trọng của phép biến đổi tích phân là chúng ta được cung cấp những
phương pháp toán tử rất hiệu lực để giải quyết những bài toán với giá
trị đầu và các bài toán biên của các phương trình phương trình vi phân
tuyến tính và phương trình tích phân. Trong toán học, một biến đổi tích
phân là biến đổi T có dạng
(T f) (s) = F (s) =
t
2

t
1
K(t, s)f(t)dt.
Đầu vào của mỗi biến đổi tích phân là một hàm f, và đầu ra là một
hàm Tf khác. Trong đó hàm K(t, s) được gọi là nhân, hàm f được gọi
là hàm gốc và hàm F(s) được gọi là ảnh của biến đổi tích phân đó. Một
số nhân có nghịch đảo tương ứng K

−1
(s, t), có nghĩa là tồn tại phép biến
đổi ngược
f(t) =
u
2

u
1
K
−1
(s, t) (T f) (s)ds.
3
Một trong những lý do cốt yếu về sự xuất hiện của các biến đổi tích
phân phải kể đến là nhiều lớp bài toán mà có thể nói rất khó giải quyết
hoặc thậm chí nhiều khi không thể gải quyết được trên bản thân nội tại
của những lĩnh vực đó. Một biến đổi tích phân là một phép biến đổi mà
nó ánh xạ một hàm từ “miền gốc” (mà trong đó bài toán đặt ra rất khó
giải quyết) sang một miền khác “miền ảnh”. Việc giải bài toán trên miền
ảnh sẽ thuận lợi hơn rất nhiều so với việc thực hiện trên miền gốc. Sau
đó, kết quả sẽ được ánh xạ trở lại gốc ban dầu để ta nhận được yêu cầu
đặt ra (ta có thể hình dung vấn đề này dưới góc độ sơ cấp, như qua biến
đổi của hàm logarit các phép tính nhân được chuyển thành phép cộng).
Hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng không chỉ
trong Toán học mà phải nói đến sự ảnh hưởng lớn của nó đến các lĩnh
vực của Vật lý học và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đó là biến
đổi Fourier và biến đổi Laplace. Tuy nhiên, xét về mặt mang tính cốt
yếu các phép biến đổi đó được xuất hiện từ việc đặt ra để giải quyết các
vấn đề thuộc lĩnh vực nói trên đây, thì biến đổi Mellin được xuất hiện
ngay trong ngữ cảnh giải quyết các vấn đề có tính thuần túy thuộc riêng

về lý thuyết Toán học. Có nhiều loại biến đổi tích phân, mỗi biến đổi
khác nhau tương ứng với một sự lựa chọn của một hàm nhân K(t, s).
Trong biến đổi Mellin, nhân của phép biến đổi là hàm K(t, s) = t
s−1
và biến đổi Mellin của một hàm gốc f(t) xác định trên trục thực dương
0 < t < +∞ được xác định bởi
M[f; s] = F (s) =
+∞

0
f(t)t
s−t
dt.
4
Sự xuất hiện lần đầu tiên của biến đổi Mellin, ta có thể thấy được trong
một bản thảo của nhà Toán học B. Riemann năm 1876, ở đó ông đã sử
dụng phép biến đổi này trong việc nghiên cứu về hàm Zeta để giải quyết
bài toán về sự phân bố các số nguyên tố. Đến năm 1894, E. Cahen mới
đưa ra được một số nghiên cứu rộng hơn về phép biến đổi này (tham
khảo vấn đề này ta có thể xem trong [1]). Điểm mấu chốt của biến đổi,
được xuất hiện vào những năm 1896 - 1902 (vì lý do đó, sau này được
gắn với tên biến đổi Mellin), đó là nhà toán học người Phần Lan R. H.
Mellin đã đưa ra sự trình bày một cách rõ ràng có hệ thống khá chặt
chẽ về biến đổi tích phân này cùng phép biến đổi ngược của nó. Trong
các công trình nghiên cứu về các hàm đặc biệt “Special Functions”, ông
đã trình bày các ứng dụng của nó trong việc giải các phương trình vi
phân siêu bội và vấn đề đạo hàm của khai triển tiệm cận. Các đóng góp
của Mellin đã làm sáng tỏ ý nghĩa của lý thuyết hàm giải tích và xóa đi
sự nghi hoặc vẫn còn tồn tại trước đó trong Toán học về lý thuyết tích
phân Cauchy và lý thuyết thặng dư trong giải tích hàm biến phức.

Như đã đề cập trên đây, biến đổi Mellin là một trong những biến đổi
tích phân có ý nghĩa quan trọng trong Toán học cũng như sự áp dụng
phong phú của nó trong việc giải quyết các bài toán thường gặp trong
thực tiễn. Với lý do đó, được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi đã
chọn đề tài “Biến đổi Mellin và ứng dụng” để hoàn thành luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích.
5
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về khái niệm phép biến đổi Mellin; một số tính
chất cơ bản của phép biến đổi Mellin; mối quan hệ của biến đổi Mellin
với phép biến đổi Laplace và biến đổi Fourier; một số ứng dụng của phép
biến đổi này.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Mellin, mối quan hệ của biến đổi này với
một số biến đổi tích phân khác đồng thời nghiên cứu một số ứng dụng
của nó.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.
5. Dự kiến đóng góp của đề tài
- Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi Mellin cổ
điển và biến đổi Mellin tổng quát.
- Trình bày ứng dụng của phép biến đổi Mellin để giải quyết một số vấn
đề sau đây
+ Tính tổng chuỗi vô hạn.
+ Giải các bài toán về phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương
6
trình tích phân với điều kiện đầu và điều kiện biên.
+ Tính tích phân phụ thuộc tham số.
+ Giải bài toán thế vị trong cái chêm vô hạn.

7
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm biến phức
1.1.1. Hàm liên tục
Định nghĩa 1.1. Cho hàm f(z) xác định trên tập mở Ω ⊂ C. Ta nói
rằng f(z) liên tục tại điểm z
0
∈ Ω nếu thoả mãn một trong hai điều kiện
tương đương sau
(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω mà |z − z
0
| < δ
thì
|f(z) − f (z
0
)| < ε.
(ii) Với mọi dãy {z
n
} ⊂ Ω mà lim
n→∞
z
n
= z
0
thì lim
n→∞
f(z
n
) = f(z

0
).
Hàm f(z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của
Ω.
Ta dễ thấy tổng, hiệu, tích và thương của các hàm liên tục cũng là hàm
liên tục.
Định nghĩa 1.2. Hàm f(z) được gọi là liên tục đều trên Ω nếu với mọi
ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z, z

∈ Ω mà |z − z

| < δ ta có
|f(z) − f(z

)| < ε.
Nhận xét 1.1. Từ tính liên tục đều của hàm f suy ra hàm f liên tục.
Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng.
8
Ví dụ 1.1. Hàm f(z) =
1
z
liên tục trên Ω = {z ∈ C : 0 < |z − z
0
| < 1}
nhưng không liên tục đều trên đó.
Thật vậy, lấy ε = 1, với mọi δ > 0 tồn tại n ∈ N sao cho n >
1
δ
(hay
δ >

1
n
). Chọn z =
1
n
, z

=
1
2n
ta có
|z − z

| =




1
n
−
1
2n




<
1
n

< δ
nhưng
|f(z) − f(z

)| =




1
z
−
1
z





= |n − 2n| = n > 1 = ε.
Điều đó, chứng tỏ rằng f(z) không liên tục đều trên Ω.
1.1.2. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.3. Cho hàm phức f(z) xác định trên tập mở Ω. Hàm
f(z) được gọi là chỉnh hình tại điểm z
0
∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của
biểu thức
f(z
0
+ h) − f(z

0
)
h
; khi h → 0, (1.1)
ở đó 0 = h ∈ C sao cho z
0
+ h ∈ Ω.
Giới hạn trên được ký hiệu bởi f

(z
0
) và gọi là đạo hàm của hàm f(z)
tại điểm z
0
. Như vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
.
Hàm f(z) có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay
C - khả vi tại z.

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.
Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
9
Ví dụ 1.2. Hàm f(z) = z chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong
C và f

(z) = 1. Thật vậy, ta có
f

(z
0
) = lim
h→0
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
= lim
h→0
(z + h) −z
h
= 1.
Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a
0
+ a
1
z + ··· + a
n

z
n
chỉnh hình trên
toàn mặt phẳng phức C và
P

(z) = a
1
+ 2a
2
z + ···+ na
n
z
n−1
.
Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.1 được trình bày sau phần này.
Ví dụ 1.3. Hàm f(z) = ¯z là không chỉnh hình. Thật vậy, ta tính thương
vi phân của hàm này như sau
f(z
0
+ h) − f(z
0
)
h
=
z + h − ¯z
h
=
¯z +
¯

h − ¯z
h
=
¯
h
h
.
Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấy
ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z
0
∈ Ω nếu và chỉ
nếu tồn tại hằng số a sao cho
f(z
0
+ h) − f(z
0
) − a.h = h.ψ(h) (1.2)
với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim
h→0
ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,
ta có a = f

(z
0
).
Nhận xét 1.2. Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàm f chỉnh hình
trên Ω thì f là liên tục trên đó.
Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng
tương tự như hàm biến thực. Ta có mệnh đề sau

10
Mệnh đề 1.1. Nếu các hàm f, g chỉnh hình trên Ω, thì
(i) f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g)

= f

+ g

,
(ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g)

= f

g + f.g

,
(iii) Nếu g(z
0
) = 0, thì
f
g
chỉnh hình tại z
0
∈ Ω và

f
g


=

f

.g − f.g

g
2
.
Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì hàm
hợp gof : Ω → C cũng là hàm chỉnh hình.
Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường của
hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f(z) = ¯z tương ứng như ánh xạ của
một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y). Hàm này khả vi theo nghĩa
hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính
được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạo
hàm riêng của các hàm tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các
đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm f khả vi phức,
ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điều
kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải được
điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f(z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong đó
hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R
2
- khả vi
tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi
tại điểm (x, y).
Định lý 1.1. (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f(z) là C - khả vi
tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f(z) là R
2
- khả
vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂u

∂x
(x, y) =
∂v
∂y
(x, y);
∂u
∂y
(x, y) = −
∂v
∂x
(x, y).
11
1.1.3. Tích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z

(t) liên tục trên đoạn
[a, b] và z

(t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
lượng z

(a) và z

(b) được hiểu như các giới hạn một phía
z

(a) = lim

h→0
+
z(a + h) − z(a)
h
và z

(b) = lim
h→0
−
z(b + h) − z(b)
h
.
Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
tồn tại các điểm a
0
= a < a
1
< < a
n
= b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi
đoạn [a
k
, a
k+1
]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm a
k
có thể
khác nhau với mọi k = 1, 2, , n −1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → C được gọi là
tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến

[a, b] sao cho t

(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)). Điều kiện t

(s) > 0 đảm bảo
hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ
của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ
−
là đường cong thu được từ γ
bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ
−
được xác định như
sau
z
−
: [a, b] → R
2
z
−
(t) = z(b + a − t).
12
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s) (trừ ra khi s = a và t = b). Ta thường gọi đường
cong đơn và kín là một chu tuyến. Một chu tuyến γ giới hạn một miền
trong mặt phẳng phức C được gọi là miền đơn liên và thường được ký
hiệu bởi D
γ

.
Ví dụ 1.4. Xét đường tròn C
r
(z
0
) tâm tại z
0
, bán kính r
C
r
(z
0
) = {z ∈ C : |z − z
0
| = r}.
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z
0
+ re
it
, t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z
0
+ re
−it
, t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương.
Định nghĩa 1.4. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f

dọc theo γ được xác định bởi

γ
f(z)dz =
b

a
f(z(t)).z

(t)dt.
Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Thật vậy, giả sử ¯z là một tham số hóa tương
13
đương xác định như trên thì
b

a
f(z(t)).z

(t)dt =
d

c
f(z(t(s))).z

(t(s)).t

(s)ds
=
d


c
f(¯z(s)).¯z

(s)ds.
Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì

γ
f(z)dz =
n−1

k=0
a
k+1

a
k
f(z(t)).z

(t)dt.
Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ được tính bởi công
thức
length(γ) =
b

a
|z

(t)|dt.
Định lý 1.2. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có các

tính chất sau
(i)

γ
(αf + βg)dz = α

γ
f(z)dz + β

γ
g(z)dz; α, β ∈ C.
(ii) Nếu γ
−
là đường cong ngược hướng với γ thì

γ
−
f(z)dz = −

γ
f(z)dz.
(iii) Ta có







γ

f(z)dz






≤ sup
z∈γ
|f(z)|length(γ).
Định lý 1.3. Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và
γ là một đường cong trơn từng khúc nằm trong Ω có điểm đầu là ω
1
và
14
điểm cuối ω
2
, thì

γ
f(z)dz = F (ω
2
) − F (ω
1
).
Hệ quả 1.1. Giả sử γ là đường cong đóng nằm trong tập mở Ω. Nếu
hàm liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì

γ
f(z)dz = 0.

Hệ quả 1.2. Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f

= 0, thì f là hàm
hằng.
1.2. Lý thuyết thặng dư
1.2.1. Không điểm và cực điểm
Định nghĩa 1.5. Điểm z
0
được gọi là không điểm của hàm f(z) nếu
f (z
0
) = 0.
Định lý 1.4. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D, có
một không điểm tại z
0
∈ D và không đồng nhất bằng không trong D.
Thế thì, tồn tại một lân cận U của z
0
trong D và một hàm chỉnh hình
g không đồng nhất triệt tiêu trên U với một số nguyên dương lớn nhất
k sao cho
f(z) = (z − z
0
)
k
g(z); với mọi z ∈ U.
Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc k (hoặc
bội k) tại điểm z
0
. Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng z

0
là
không điểm đơn.
15
Định nghĩa 1.6. Điểm z
0
∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của
hàm f(z) nếu tồn tại một lân cận thủng {z ∈ C : 0 < |z − z
0
| < R} của
điểm z
0
sao cho tại lân cận này hàm f chỉnh hình nhưng không chỉnh
hình tại z
0
.
Ví dụ 1.5. Hàm f(z) =
1
z − 1
nhận điểm z = 1 là điểm bất thường cô
lập.
Định nghĩa 1.7. Điểm bất thường cô lập z
0
được gọi là
(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim
z→z
0
f(z) = ∞;
(ii) cực điểm nếu lim
z→z

0
f(z) = ∞;
(iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f(z) không có giới hạn khi
z → z
0
.
Ví dụ 1.6. Hàm số f(z) =
sin z
z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường
bỏ được bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
sin z
z
= 1.
Hàm số f(z) =
1
z
nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
1
z
= ∞.
Hàm số f(z) = e

1
z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
y=0,x>0
e
1
z
= lim
x→0
+
e
1
x
= ∞,
lim
z→0
f(z) = lim
z→0
y=0,x<0
e
1
z
= lim
x→0
−
e

1
x
= 0.
16
Định lý 1.5. Nếu f(z) có một cực điểm tại z
0
∈ D, thì trong một lân
cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số
nguyên dương k lớn nhất sao cho
f(z) =
h(z)
(z − z
0
)
k
.
Số nguyên dương k trong Định lý 1.5 được gọi là bậc (hoặc bội) của cực
điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z
0
. Nếu cực
điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
Định lý 1.6. Nếu f có cực điểm bậc k tại z
0
, thì
f(z) =
a
−k
(z − z
0
)

k
+
a
−k+1
(z − z
0
)
k−1
+ ··· +
a
−1
(z − z
0
)
+ G(z),
ở đó G (z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z
0
.
1.2.2. Thặng dư và cách tính
Định nghĩa 1.8. Hệ số a
−1
trong khai triển
f(z) =
a
−k
(z − z
0
)
k
+

a
−k+1
(z − z
0
)
k−1
+ ··· +
a
−1
(z − z
0
)
+ G(z)
của hàm f tại cực điểm z
0
của nó được gọi là thặng dư của f tại cực
điểm đó, ký hiệu là Res
z=z
0
f. Như vậy Res
z=z
0
f = a
−1
.
Trong trường hợp hàm f có cực điểm đơn tại z
0
, rõ ràng chúng ta có
Res
z=z

0
f = lim
z→z
0
(z − z
0
) f(z).
Nếu cực điểm có bậc lớn hơn một, chúng ta có công thức tính thặng dư
dưới đây
17
Định lý 1.7. Nếu f có cực điểm bậc k tại z
0
, thì
Res
z=z
0
f = lim
z→z
0

1
(k − 1)!

d
dz

k−1
(z − z
0
)

k
f(z)

.
Nếu hàm f(z) có cực điểm bậc k tại z
0
thì theo Định lý 1.5, ta có biểu
diễn f(z) =
g(z)
(z − z
0
)
k
, với g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của
điểm z
0
. Trong trường hợp này ta cũng có thể tính thặng dư của f nhờ
định lý sau
Định lý 1.8. Nếu f(z) =
g(z)
(z − z
0
)
k
, ở đó g là hàm chỉnh hình trong lân
cận của điểm z
0
, thì
Res
z=z

0
f =
g
(k−1)
(z
0
)
(k − 1)!
.
Trong trường hợp z
0
là cực điểm đơn hoặc bậc hai, chúng ta có thể tính
thặng dư của hàm f tại các điểm đó khá đơn giản nhờ kết quả sau đây
Hệ quả 1.3. Giả sử hàm f chỉnh hình trong lân cận của điểm z
0
. Khi
đó
(i) nếu f(z) =
g(z)
z − z
0
, thì Res
z=z
0
f = g(z
0
);
(ii) nếu f(z) =
g(z)
(z − z

0
)
2
, thì Res
z=z
0
f = g

(z
0
).
Trong trường hợp hàm f được cho dưới dạng một thương, chúng ta tính
thặng dư nhờ định lý dưới đây
Định lý 1.9. Giả sử f(z) =
p(z)
h(z)
, ở đó p(z) và h(z) là các hàm chỉnh
hình trong một lân cận của điểm z
0
và h(z) có không điểm bậc k tại z
0
.
Nếu h(z) = (z −z
0
)
k
q(z), ở đó q(z) là chỉnh hình trong một lân cận của
z
0
và q(z

0
) = 0 thì
Res
z=z
0
f = c
k−1
,
18
ở đó c
k−1
là hệ số của số hạng bậc k − 1 trong khai triển luỹ thừa của
g =
p
q
trong lân cận của điểm z
0
.
Hệ quả 1.4. Giả sử p và h là các hàm chỉnh hình trong một lân cận
của điểm z
0
và h có không điểm đơn tại z
0
. Khi đó
Res
z=z
0

p
h


=
p(z
0
)
h

(z
0
)
.
Định lý 1.10. (Công thức thặng dư Cauchy) Giả sử f là hàm chỉnh
hình trong một miền D, trừ ra một số hữu hạn các cực điểm z
1
, z
2
, , z
N
nằm trong miền đó. Khi đó, chúng ta có công thức

γ
f(z)dz = 2πi
N

k=1
Res
z=z
k
f,
ở đó γ là chu tuyến nằm trong miền D sao cho {z

1
, z
2
, , z
N
} ⊂ D
γ
⊂ D.
1.3. Hàm Gamma
1.3.1. Định nghĩa
Hàm Gamma Γ(s) xác định trên nửa mặt phẳng phức Re(s) > 0 bởi tích
phân
Γ(s) =
∞

0
e
−t
t
s−1
dt. (1.3)
Hàm Gamma chỉnh hình trong toàn bộ mặt phẳng phức C trừ ra tại các
cực điểm đơn s = −n; n = 0, 1, 2, với thặng dư tại đó là
Res
s=−n
Γ(s) =
(−1)
n
n!
.

19
1.3.2. Một số tính chất
Lấy tích phân từng phần (1.3) ta thu được một số tích chất cơ bản dưới
đây của hàm Gamma
Γ(s) =

−e
−t
t
s−1



+∞
0
+ (s − 1)
+∞

0
e
−t
t
s−2
dt
= (s − 1)Γ(s − 1); Re(s − 1) > 0.
Thay s bởi s + 1 ta nhận được công thức
Γ(s + 1) = sΓ(s). (1.4)
Đặc biệt, khi s = n là một số nguyên dương, ta có
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) =
= n(n − 1)(n − 2) 2.1.Γ(1) = n!, (1.5)

ở đó Γ(1) = 1.
Đặt t = u
2
trong (1.3) ta được
Γ(s) = 2
+∞

0
e
−u
2
u
2s−1
du. (1.6)
Cho s =
1
2
ta có
Γ

1
2

= 2
+∞

0
e
−u
2

du = 2
√
π
2
=
√
π. (1.7)
20
Lấy vi phân (1.3) theo s ta nhận được
d
ds
Γ(s) = Γ

(s) =
+∞

0
d
ds
(t
s
)
e
−t
t
dt
=
+∞

0

d
ds
e
s ln t
e
−t
t
dt
=
+∞

0
t
s−1
(ln t) e
−t
dt. (1.8)
Chúng ta có được một số tính chất hữu ích nữa của hàm Gamma dưới
đây
2
2s−1
Γ(s)Γ

s +
1
2

=
√
πΓ(2s). (1.9)

Đặc biệt, khi s = n; n = 0, 1, 2, ta có
Γ

n +
1
2

=
√
π(2n)!
2
2n
n!
. (1.10)
Ta cũng có
Γ(s)Γ(1 − s) =
π
sin(πs)
. (1.11)
1.4. Hàm Beta
1.4.1. Định nghĩa
Hàm Beta B(a, b) được định nghĩa bởi công thức
B(x, y) =
1

0
t
x−1
(1 − t)
y−1

dt; x > 0, y > 0. (1.12)
21
1.4.2. Một số tính chất
Hàm Beta B(x, y) có tính chất đối xứng, nghĩa là
B(x, y) = B(y, x). (1.13)
Thật vậy, theo định nghĩa ta có
B(y, x) =
1

0
t
y−1
(1 − t)
x−1
dt = −
0

1
(1 − s)
y−1
s
x−1
ds
=
1

0
s
x−1
(1 − s)

y−1
ds = B(x, y),
ở đó s = 1 − t.
Đổi biến t =
u
1 + u
trong (1.12) ta nhận được biểu diễn tích phân khác
của hàm Beta
B(x, y) =
+∞

0
u
x−1
(1 + u)
x+y
du =
+∞

0
u
y−1
(1 + u)
x+y
du. (1.14)
Đặt t = cos
2
θ trong (1.12) ta được
B(x, y) = 2
π/2


0
cos
2x−1
θ sin
2y−1
θdθ, (1.15)
hay thay t = sin
2
θ ta có
B(x, y) = 2
π/2

0
sin
2x−1
θ cos
2y−1
θdθ. (1.16)
Từ đó ta có kết quả
B(1, 1) = 1; B

1
2
,
1
2

= π. (1.17)
22

Tương tự chúng ta dễ dàng chứng minh được
B(x, y) =
x − 1
x + y − 1
B(x − 1, y). (1.18)
Hàm Beta có quan hệ với hàm Gamma bởi hệ thức
B(x, y) =
Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
. (1.19)
Thật vậy, thay t bởi pt vào (1.3) ta thu được
+∞

0
e
−pt
t
s−1
dt =
Γ(s)
p
s
; Re(p) > 0.
Đặt p = 1 + u và s = x + y vào phương trình trên ta có
1
(1 + u)
x+y
=
1
Γ(x + y)

+∞

0
e
−(1+u)t
t
x+y−1
dt. (1.20)
Thay (1.20) vào (1.14) ta được
B(x, y) =
1
Γ(x + y)
+∞

0
e
−t
t
x+y−1
dt
+∞

0
e
−ut
u
x−1
du
=
Γ(x)

Γ(x + y)
+∞

0
e
−t
t
y−1
dt =
Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)
.
Từ đó ta cũng có
B(p, 1 − p) =
π
sin pπ
; 0 < p < 1. (1.21)
23