Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới T.S Hà Đức Vượng,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả
hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè,
người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Ma Quốc Hương
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của T.S Hà Đức Vượng, luận
văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Điểm bất động
của ánh xạ co trong không gian metric nón” do tôi tự làm. Các kết
quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2013
Tác giả
Ma Quốc Hương
Mục lục
Bảng kí hiệu 1
Mở đầu 2
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . 21
2 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian
metric nón 25
2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Sự hội tụ trong không gian metric nón . . . . . . . 28
2.3 Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric
nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận 49
Tài liệu tham khảo 50
1
Bảng kí hiệu
N Tập số tự nhiên
R Tập số thực
C Tập số phức
∅ Tập rỗng
int(P ) Phần trong của P

p
Quan hệ thứ tự theo nón P
 Kết thúc chứng minh
2
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán học
được nhiều nhà Toán học quan tâm và nghiên cứu. Người ta đã tìm
thấy sự ứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động cả trong toán
học lý thuyết và toán học ứng dụng, vật lý, tin học và các ngành
khoa học khác. Sự phát triển của lý thuyết điểm bất động gắn liền

với tên tuổi của các nhà Toán học lớn như Brouwer, Banach, Shauder,
Kakutani, Tikhonov, Ky Fan,. . .
Những Định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế
kỷ XX trong đó phải nói đến kết quả kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co
Banach” (1922): Mọi ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ đều
có điểm bất động duy nhất. Sau đó rất nhiều nhà Toán học đã mở
rộng kết quả này sang các lớp không gian khác.
Năm 2007, các nhà toán học Trung Quốc: Huang Long - Guang
và Zhang Xian đã mở rộng kết quả này sang lớp không gian metric
nón được đăng trong bài báo: “Cone metric space and fixed point
theorems of contractive mappings” (xem [6]). Năm 2008 các nhà toán
học Venezuela: José R. Morales and Edixón Rojas đã giới thiệu một
kết quả mới về điểm bất động của ánh xạ T- Co trong không gian
metric nón. Đây là một lĩnh vực còn khá mới, đang thu hút sự quan
tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Do đó trong các năm gần
đây đều có các bài báo công bố kết quả về điểm bất động trong lớp
3
không gian này [5], [9], [4].
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, điểm bất động
của ánh xạ co trong không gian metric nón, được sự giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu:
“Điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric
nón”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng hợp các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong không
gian metric nón.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống các kết quả về điểm bất động của ánh xạ co trong không
gian metric nón.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về “Điểm bất động của ánh xạ co trong không
gian metric nón”.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu.
• Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiên
cứu.
4
6. Dự kiến đóng góp
Đây là bài tổng quan về điểm bất động của ánh xạ co trong không
gian metric nón. Giúp người đọc hiểu sâu hơn về không gian metric
nón và điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric nón.
Luận văn được trình bày gồm hai chương nội dung và một danh
mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric,
không gian metric đầy đủ, không gian Banach, Nguyên lý ánh xạ co
Banach.
Chương 2 trình bày khái niệm về nón, metric nón, không gian
metric nón, và sự hội tụ trong không gian metric nón. Phần cuối là
kết quả về điểm bất động của ánh xạ co cho lớp không gian này.
5
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản về
không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian Banach và
cuối cùng là nguyên lý ánh xạ co Banach.
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một tập hợp X = ∅
cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau:
1. d(x, y)  0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, ∀x, y ∈ X;

2. d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
3. d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Ánh xạ d gọi là metric trên X.
Số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y.
Các phần tử của X gọi là các điểm.
Không gian metric được kí hiệu là (X, d).
6
Ví dụ 1.1.1.
Cho C
[a,b]
là tập các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b], ta đặt
d(x, y) = max
atb
|x(t) − y(t)|
với mọi x = x(t), y = y(t) ∈ C
[a,b]
.
Khi đó (C
[a,b]
, d) là một không gian metric.
Chứng minh.
Vì ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀y = y(t) ∈ C
[a,b]
nên x(t) − y(t) là hàm
liên tục ∀t ∈ [a, b], do đó tồn tại max
atb
|x(t) − y(t)| hay d(x, y) xác
định trên C

[a,b]
.
Ta kiểm tra các điều kiện về metric.
1. Với ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀y = y(t) ∈ C
[a,b]
, ta có
|x(t) − y(t)|  0, ∀t ∈ [a, b].
Ta suy ra
max
atb
|x(t) − y(t)|  0, ∀t ∈ [a, b].
Vậy
d(x, y)  0, ∀x, y ∈ C
[a,b]
.
Hiển nhiên d(x, y) = 0 hay max
atb
|x(t) − y(t)| = 0.
Ta có
|x(t) − y(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].
Vậy x(t) = y(t), ∀t ∈ [a, b], hay x = y.
2. Với ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀y = y(t) ∈ C
[a,b]
:
d(x, y) = max
atb

|x(t) − y(t)|
= max
atb
|y(t) − x(t)|
7
= d(y, x).
Vậy d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ C
[a,b]
.
3. Với ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀y = y(t) ∈ C
[a,b]
, ∀z = z(t) ∈ C
[a,b]
,
ta có:
d(x, y) = max
atb
|x(t) − y(t)|
= max
atb
|x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|
 max
atb
|x(t) − z(t)| + max
atb
|z(t) − y(t)|
= d(x, z) + d(z, y).
Vậy d(x, y)  d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ C

[a,b]
.
Vậy (C
[a,b]
, d) là một không gian metric.

Định nghĩa 1.1.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy {x
n
} ⊂
X, điểm x
0
∈ X. Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ đến điểm x
0
khi
n → ∞ nếu với ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, với ∀n  n
0
thì d(x
n
, x
0
) < ε.
Hay lim
n→∞
d(x

n
, x
0
) = 0.
Ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x
0
hay x
n
→ x
0
, n → ∞.
Điểm x
0
được gọi là giới hạn của dãy {x
n
} trong X.
Định nghĩa 1.1.3. [1]. Cho không gian metric (X, d). Dãy {x
n
} ⊂
X được gọi là dãy Cauchy, nếu với ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m  n
0
thì

d(x
n
, x
m
) < ε
hay
lim
n,m→∞
d(x
n
, x
m
) = 0.
8
Ví dụ 1.1.2.
Cho không gian metric (C
[0,1]
, d) với metric d được định nghĩa như
sau:
d(x, y) =

1
0
|x(t) − y(t)|dt.
Xét dãy {x
n
} ⊂ C
[0,1]
như sau:
x

n
(t) =











0 khi 0  t <
1
2
nt −
n
2
khi
1
2
 t 
1
2
+
1
n
1 khi
1

2
+
1
n
< t  1
Khi đó {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian (C
[0,1]
, d).
Thật vậy:
Với mọi m > n ta có:
d(x
n
, x
m
) =

1
0
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
=

1
2
0

|x
n
(t) − x
m
(t)|dt +

1
2
+
1
n
1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
+

1
1
2
+
1
n
|x
n
(t) − x
m

(t)|dt
=

1
2
0
|0 − 0|dt +

1
2
+
1
n
1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt
+

1
1
2
+
1
n
|1 − 1|dt
=


1
2
+
1
n
1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt.
Vì
|x
n
(t) − x
m
(t)|  1, ∀n, m ∈ N
∗
, ∀t ∈ [0, 1].
9
Nên ta có

1
2
+
1
n
1

2
|x
n
(t) − x
m
(t)|dt 

1
2
+
1
n
1
2
1dt =
1
n
.
Suy ra
0  d(x
n
, x
m
) 
1
n
.
Cho n → ∞ ta được d(x
n
, x

m
) = 0.
Vậy {x
n
} là một dãy Cauchy trong (C
[0,1]
, d).
1.2 Không gian metric đầy đủ
Định nghĩa 1.2.1. [1]. Không gian metric (X, d) được gọi là không
gian metric đầy đủ, nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X.
Ví dụ 1.2.1.
Không gian C
[a,b]
các hàm số liên tục trên [a, b] với metric d(x, y) =
max
atb
|x(t) − y(t)| là không gian metric đầy đủ.
Chứng minh.
Giả sử {x
n
(t)} là dãy Cauchy tùy ý trong không gian C
[a,b]
. Theo
định nghĩa dãy Cauchy với ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m  n
0
:

d(x
(n)
, x
(m)
) = max
atb
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε.
Vậy ta có
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε, ∀n, m  n
0
, ∀t ∈ [a, b].
Các bất đẳng thức trên chứng tỏ với mỗi t cố định thuộc đoạn [a, b]
thì dãy {x
n
(t)} là dãy số thực Cauchy, nên phải tồn tại giới hạn, ta
có
lim
n→∞
x
n
(t) = x(t), t ∈ [a, b].
10

Mặt khác, với ε > 0 cho trước, tồn tại N
ε
sao cho ∀n, m  N
ε
, ∀t ∈
[a, b] ta có
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε.
Cho m → ∞ ta được với ∀n, m  N
ε
, ∀t ∈ [a, b] :
|x
n
(t) − x(t)| < ε.
Tức là dãy {x
n
(t)} hội tụ đều tới x(t), ∀t ∈ [a, b].
Vậy x(t) là liên tục nên x(t) ∈ C
[a,b]
.
Vậy C
[a,b]
là không gian metric đầy đủ.

Ví dụ 1.2.2.
Cho X là tập hợp tất cả các hàm số x (t) liên tục trên không gian
metric R sao cho x (t) = 0 ngoài một đoạn nào đó (đoạn này phụ

thuộc từng hàm số x (t)). Với hai hàm số bất kỳ x (t) , y (t) ∈ X ta
đặt
d (x, y) = max
t∈R
|x (t) − y (t)| .
Khi đó (X, d) là một không gian metric không đầy đủ.
Thật vậy, ta xét dãy hàm {x
n
(t)} ⊂ X xác định như sau:
x
n
(t) =



1
t
2
+ 1
−
1
n
2
+ 1
nếu |t|  n
0 nếu |t| > n.
Ta thấy {x
n
} là dãy các hàm liên tục và bằng không ngoài đoạn
[−n, n].

Với mọi n, p ∈ N, ta có:
d (x
n+p
, x
n
) = max
t∈R
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|
11
= max
|t|<n+p
|x
n+p
(t) − x
n
(t)| .
Mặt khác
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|
=














1
n
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
với |t|  n
1
t
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
với n < |t|  n + p

0 với |t| > n + p.
Do đó,
d (x
n+p
, x
n
) = max
t∈R
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|
= max
|t|<n+p
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|

1
n
2
+ 1
−
1
(
n + p)
2

+ 1
<
1
n
2
+ 1
.
Suy ra
lim
n→∞
d (x
n+p
, x
n
) = 0.
Vậy {x
n
} là một dãy Cauchy trong X.
Bây giờ ta chứng minh X là không gian metric không đầy đủ bằng
phản chứng.
Giả sử X là không gian metric đầy đủ. Dãy {x
n
} hội tụ đến x ∈ X
hay tồn tại x ∈ X sao cho lim
n→∞
d (x
n
, x) = 0.
12
Xét hàm


x
(t) =
1
t
2
+ 1
, t ∈ R.
Ta có

x (t) liên tục trên R và 0 <

x (t)  1, ∀t ∈ R.
Do

x (t) = 0, ∀t ∈ R nên

x (t) /∈ X. Mặt khác, ta có: với ∀t ∈ R,
0  |

x (t) − x (t)|
 |

x (t) − x
n
(t)| + |x
n
(t) − x (t)|

1

n
2
+ 1
+ max
t∈R
|x
n
(t) − x (t)|
=
1
n
2
+ 1
+ d (x
n
, x) .
Suy ra,
0  |

x (t) − x (t)| 
1
n
2
+ 1
+ d (x
n
, x) . (1.1)
Từ (1.1) cho n → ∞ ta được: |

x (t) − x (t)| = 0, ∀t ∈ R, suy ra

x (t) =

x (t) /∈ X, mâu thuẫn với giả thiết x (t) ∈ X.
Mâu thuẫn trên chứng tỏ tồn tại một dãy Cauchy trong không gian
(X, d) nhưng không hội tụ đến phần tử trong (X, d). Do đó (X, d)
là không gian metric không đầy đủ.
1.3 Không gian Banach
Định nghĩa 1.3.1. [1]. Cho X là không gian tuyến tính trên trường
K (thực hoặc phức). Một ánh xạ  ·  : X → R được gọi là một
chuẩn nếu
1. x  0, ∀x ∈ X.
13
x = 0 ⇔ x = θ.
2. λx = |λ| · x, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K.
3. x + y  x + y, ∀x, y ∈ X.
Số x được gọi là chuẩn của vectơ x.
Định nghĩa 1.3.2. [1]. Cho X là không gian tuyến tính trên trường
K (thực hoặc phức). Không gian X cùng với chuẩn  ·  xác định
trên X được gọi là không gian định chuẩn.
Kí hiệu: Không gian định chuẩn (X,  · ).
Ví dụ 1.3.1.
Cho không gian tuyến tính phức E
n
= {x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) : x

i
∈
C} và ánh xạ
 ·  : E
n
→ R,
xác định bởi: x =


n
k=1
x
k

2
.
Khi đó (E
n
,  · ) là một không gian định chuẩn.
Chứng minh.
Ta kiểm tra các điều kiện của Định nghĩa 1.3.1.
1. Hiển nhiên




n

k=1
x

k

2
 0, ∀x ∈ E
n
.
Ta có
x = 0 ⇔




n

k=1
x
k

2
= 0.
14
Suy ra
n

k=1
x
k

2
= 0.

Do đó
x
k
 = 0, ∀k = 1, 2, . . . , n.
Vậy x = θ.
2. Với mọi x ∈ E
n
, ∀λ ∈ K, ta có
λx =




n

k=1
λx
k

2
= |λ|




n

k=1
x
k


2
= |λ|.x.
3. ∀x, y ∈ E
n
ta có
x + y =




n

k=1
x
k
+ y
k

2





n

k=1

x

k

2
+ y
k

2

=




n

k=1
x
k

2
+
n

k=1
y
k

2






n

k=1
x
k

2
+




n

k=1
y
k

2
= x + y.
Suy ra  ·  là một chuẩn trên E
n
.
15
Vậy (E
n
,  · ) là một không gian định chuẩn.


Định nghĩa 1.3.3. [1]. Cho không gian định chuẩn X và dãy điểm
{x
n
} ⊂ X. Dãy {x
n
} gọi là hội tụ tới x nếu
lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Kí hiệu lim
n→∞
x
n
= x, hay x
n
→ x, n → ∞.
Định nghĩa 1.3.4. [1]. Cho không gian định chuẩn X, dãy {x
n
} ⊂
X được gọi là dãy Cauchy nếu
lim
n,m→∞
x
n
− x
m
 = 0.

Hay với ∀ε > 0, ∃ n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n  n
0
, ∀m  n
0
, ta có
x
n
− x
m
 < ε.
Định nghĩa 1.3.5. [1]. Không gian định chuẩn X được gọi là không
gian Banach, nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X.
Ví dụ 1.3.2.
Cho không gian C
[a,b]
là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn
[a, b] cùng với ánh xạ
 ·  : C
[a,b]
→ R,
xác định bởi: x = max
atb
|x(t)| là không gian Banach.
16
Chứng minh.
1. Hiển nhiên ∀x = x(t) ∈ C

[a,b]
, ∀t ∈ [a, b] ta có |x(t)| > 0.
Suy ra
max
atb
|x(t)|  0.
Vậy x  0.
Ta lại có
x = 0,
hay
max
atb
|x(t)| = 0.
Suy ra
|x(t)| = 0, ∀t ∈ [a, b].
Vậy x = 0.
2. Với mọi x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀λ ∈ K, ta có
λx = max
atb
|λx(t)|
= |λ| max
atb
|x(t)||
= |λ|x.
3. ∀x = x(t) ∈ C
[a,b]
, ∀y = y(t) ∈ C
[a,b]

, ta có
x + y = max
atb
|x(t) + y(t)|
 max
atb
|x(t)| + max
atb
|y(t)|
= x + y.
Vậy x + y  x + y, ∀x, y ∈ C
[a,b]
.
Do đó C
[a,b]
là không gian định chuẩn.
Giả sử {x
n
(t)} là dãy Cauchy tùy ý trong C
[a,b]
, tức là với mọi
ε > 0, ∃ n
0
∈ N
∗
, ∀n, m  n
0
:
x
m

− x
n
 = max
atb
|x
m
(t) − x
n
(t)| < ε.
17
Suy ra
|x
m
(t) − x
n
(t)| < ε, ∀t ∈ [a, b]. (1.2)
Bất đẳng thức (1.2) chứng tỏ với mỗi t cố định thuộc đoạn [a, b], dãy
{x
n
(t)} là dãy số Cauchy nên phải tồn tại giới hạn, ta có
lim
n→∞
x
n
(t) = x(t), ∀t ∈ [a, b].
Cho m → ∞ từ (1.2) ta có:
|x
n
(t) − x(t)| < ε, n  n
0

, ∀t ∈ [a, b] (1.3)
Bất đẳng thức (1.3) chứng tỏ dãy số {x
n
(t)} hội tụ đều tới x(t) trên
C
[a,b]
nên x(t) ∈ C
[a,b]
. Vậy C
[a,b]
là không gian đầy đủ.
Do đó nó là không gian Banach.

Ví dụ 1.3.3.
Không gian C
[a,b]
những hàm liên tục (có giá trị thực hoặc phức) trên
một đoạn [a, b] là không gian Banach. Với chuẩn trên C
[a,b]
được xác
định: f = max
axb
|f (x)|.
Chứng minh.
Lấy {f
n
} là một dãy Cauchy trong C
[a,b]
. Với ε > 0 tùy ý, tồn tại
N

0
∈ N sao cho
f
n
− f
m
 < ε, ∀m, n  N
0
.
Vậy ta có
f
n
(x) − f
m
(x) < ε, ∀m, n  N
0
, ∀x ∈ [a, b] . (1.4)
Suy ra {f
n
(x)} là một dãy Cauchy với mỗi x ∈ [a, b].
18
Tính đầy đủ của R (hoặc C) cho phép ta xác định:
f (x) = lim
n→∞
f
n
(x) , x ∈ [a, b] .
Cho m → ∞ trong (1.4) ta được
|f
n

(x) − f (x)| < ε, ∀n  N
0
, ∀x ∈ [a, b] . (1.5)
Lấy x
0
∈ [a, b]. Khi đó f
N
0
là liên tục trên [a, b], tồn tại một số
δ > 0 sao cho, với mỗi y ∈ [a, b] thỏa mãn |x
0
− y| < δ, ta có
|f
N
0
(x
0
) − f
N
0
(y)| < ε.
Suy ra
|f
(x
0
) − f (y)| < |f (x
0
) − f
N
0

(x
0
)| + |f
N
0
(x
0
) − f
N
0
(y)|
+ |f
N
0
(y) − f (y)| < ε + ε + ε = 3ε.
Do x
0
, ε tùy ý, vậy f là hàm liên tục.
Cuối cùng, từ (1.5) ta suy ra:
|f
n
(x) − f (x)| < ε, ∀n  N
0
, ∀x ∈ [a, b]
nên dãy {f
n
} hội tụ đều tới f.
Vậy không gian C
[a,b]
là không gian Banach.


Ví dụ 1.3.4.
Không gian C
L
[0,1]
các hàm số liên tục trên đoạn [0, 1], với chuẩn
19
trên C
L
[0,1]
được định nghĩa x =
1

0
|x (t)| dt không là không gian
Banach.
Thật vậy, ta xét dãy:
x
n
(t) =



1 với 0  t <
1
2
n + 1 − 2nt với
1
2
 t 

1
2
+
1
2n
0 với
1
2
+
1
2n
< t  1.
Ta có với mọi m > n
x
n
− x
m
 =
1

0
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt
=
1
2


0
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt +
1
2
+
1
2n

1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt
+
1

1
2
+
1
2n
|x
n
(

t) − x
m
(
t)| dt
=
1
2
+
1
2n

1
2
|x
n
(t) − x
m
(t)| dt.
Vì
|x
n
(
t) − x
m
(t)
| ≤ 1
nên
x
n
− x

m
 
1
2n
→ 0 khi n → ∞,
do đó {x
n
(t)} là một dãy Cauchy. Dễ dàng thấy rằng dãy Cauchy
này không hội tụ tới một điểm thuộc C
L
[0,1]
.
20
Thật vậy, giả sử dãy {x
n
(t)} hội tụ tới một x(t) nào đó trong C
L
[0,1]
,
tức là:
lim
n→∞
1

0
|x
n
(t) − x (t)| dt = 0.
Ta có:
1


0
|x
n
(t) − x (t)| dt =
1
2

0
|x
n
(t) − x (t)| dt+
1

1
2
|x
n
(t) − x (t)| dt,
cho nên ta phải có
lim
n→∞
1
2

0
|x
n
(t) − x (t)| dt = 0,
lim

n→∞
1

1
2
|x
n
(t) − x (t)| dt = 0.
Nhưng ta lại có:
lim
n→∞
1
2

0
|x
n
(t) − 1| dt = 0,
lim
n→∞
1

1
2
|x
n
(t) − 0| dt = 0.
Vậy hai hàm x(t) và 1 cùng là giới hạn của x
n
(t) trong C

L
[
0,
1
2
]
.
Ta cũng có x(t) và 0 cùng là giới hạn của x
n
(t) trong C
L
[
1
2
,1
]
.
21
Do tính duy nhất của giới hạn ta suy ra:
x(t) =





1 nếu 0  t 
1
2
0 nếu
1

2
< t  1
Vậy x(t) không liên tục tại t =
1
2
nên x(t) /∈ C
L
[0,1]
.
Do đó, dãy x
n
(t) không có giới hạn nào trong không gian C
L
[0,1]
, hay
dãy {x
n
(t)} không hội tụ tới một x(t) trong C
L
[0,1]
.
Vậy C
L
[0,1]
không là không gian Banach.
1.4 Nguyên lý ánh xạ co Banach
Định nghĩa 1.4.1. [1]. Cho không gian metric (X, d). Ánh xạ
T : X → X được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho
d(T x, T y)  kd(x, y), ∀x, y ∈ X.
Định lý 1.4.1. [1]. Nguyên lý ánh xạ co Banach

Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó
đều có điểm bất động duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử T : X → X là ánh xạ co, ta lấy điểm x
0
bất kỳ, x
0
∈ X và
lập dãy lặp
x
1
= T x
0
, x
2
= T x
1
, . . . , x
n
= T x
n−1
, . . .
Vì T là ánh xạ co nên tồn tại hằng số k ∈ [0, 1) thỏa mãn:
d(T x
1
, T x
0
)  kd(x
1
, x

0
).
22
d(x
2
, x
1
) = d(T x
1
, T x
0
)  kd(x
1
, x
0
) = kd(T x
0
, x
0
).
d(x
3
, x
2
) = d(T x
2
, T x
1
)  kd(x
2

, x
1
)  k
2
d(T x
0
, x
0
).
. . . . . .
d(x
n+1
, x
n
) = d(T x
n
, T x
n−1
)  kd(x
n
, x
n−1
)
= kd(T x
n−1
, T x
n−2
)  k
2
d(x

n−1
, x
n−2
)
= k
2
d(T x
n−2
, T x
n−3
)  k
3
d(x
n−2
, x
n−3
)
. . . . . . . . .
= k
n−1
d(T x
1
, T x
0
)  k
n
d(x
1
, x
0

) = k
n
d(T x
0
, x
0
),
∀n = 1, 2, . . .
Từ đó suy ra với ∀m, n ∈ N
∗
ta có
d(x
n+m
, x
n
) 
m

k=1
d(x
n+k
, x
n+k−1
)
 d(T x
0
, x
0
)
m


k=1
k
n+k−1
=
k
n
− k
n+m
1 − k
d(T x
0
, x
0
)

k
n
1 − k
d(T x
0
, x
0
).
Vì k ∈ [0, 1) nên lim
n→∞
k
n
= 0, do đó
lim

n→∞
d(x
n+m
, x
n
) = 0, ∀m ∈ N
∗
nghĩa là dãy {x
n
} là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ
(X, d).
Do đó {x
n
} hội tụ tới x
∗
∈ X.
Ta chứng minh x
∗
là điểm bất động của ánh xạ T trong X.
Ta có:
d(T x
∗
, x
∗
)  d(T x
∗
, x
n
) + d(x
n

, x
∗
)
= d(T x
∗
, T x
n−1
) + d(x
n
, x
∗
)