Luận văn Điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian tuyến tính định chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN TRUNG KIÊN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
COMPACT TRONG KHÔNG GIAN
TUYẾN TÍNH ĐỊNH CHUẨN
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HỆ CỬ NHÂN SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG

Năm 2011


Mục lục
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1

3
5
5

1.1.1

Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.4

Không gian lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Ánh xạ liên tục giữa các không gian định chuẩn . . . . . . . . .

10

1.2.4

Phép đồng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.5

1.2

Các không gian cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Toán tử compact - Toán tử hoàn toàn liên tục . . . . . . . . . .

10

2 BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1

12

12

2.1.1

Tốn tử tích phân Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.2

Toán tử Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.3
2.2

Một số tốn tử tích phân và bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . .

Ứng dụng vào bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.1

15

Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


2
2.2.2

Định lý xấp xỉ và phép chiếu Schauder . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.3

Các định lý điểm bất động của Brouwer và Borsuk . . . . . . .

19

2.2.4

Định lý điểm bất động Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.5

Mở rộng của định lý Borsuk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3 TÍNH CHẤT CẮT NGANG TƠPƠ VÀ ỨNG DỤNG

3.1

22
22

3.1.1

Tính chất cắt ngang tơpơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.1.2
3.2

Tính chất cắt ngang tôpô và sự tồn tại ánh xạ cốt yếu . . . . . . . . .

Ánh xạ cốt yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Ứng dụng cho bài toán điểm bất động

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.1

Nguyên lý Leray - Schauder. Định lý Birkhoff-Kellogg . . . . . .

27

3.2.2

Trường compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.2.3

Phương trình y = x − F (x) và tính bất biến của miền . . . . . .

32

KẾT LUẬN

36

TÀI LIỆU THAM KHẢO

37


MỞ ĐẦU
Luận văn này nhằm tìm hiểu các vấn đề liên quan đến điểm bất động của các ánh
xạ giữa các khơng gian tơpơ, đặc biệt là của tốn tử compact. Thơng qua các định lý
điểm bất động, có thể ứng dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm của phương trình hay
phương bất biến của miền.
Nội dung chính của luận văn là trình bày chi tiết và làm rõ một số kết quả trong
[1]. Trong luận văn, tác giả đã làm tường minh các chứng minh của Dugundji J. và

Granas A..
Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì luận văn gồm có 3
chương.
Chương 1 giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị về các không gian cơ bản và ánh
xạ liên tục giữa các khơng gian, tốn tử compact, tốn tử hồn tồn liên tục và phép
đồng luân.
Chương 2 đề cập đến một số tốn tử tích phân, phép chiếu và định lý xấp xỉ
Schauder, một số định lý điểm bất động.
Chương 3 trình bày tính chất cắt ngang tơpơ và một số ứng dụng trong các bài
toán điểm bất động.
Tác giả đã nhận được sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo, nghiêm khắc và đầy khoa
học của PGS.TS Thái Thuần Quang trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn
thành đề tài. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và kính trọng sâu sắc đối với
Thầy.
Nhân dịp này tác giả cũng xin chân thành gởi lời cảm ơn đến q thầy, cơ trong
và ngồi Khoa Tốn, Đại học Quy Nhơn đã dày cơng giảng dạy trong suốt khóa học


4
và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp Sư phạm Tốn A khóa 30 đã đùm
bọc giúp đỡ nhau trong học tập và sinh hoạt.
Mặc dù luận văn đã được thực hiện với sự nổ lực cố gắng hết sức của bản thân
song do hạn chế về trình độ và sự hiểu biết nên khó tránh khỏi những sai lầm thiếu
sót. Đồng thời, tác giả cũng nhận thức được rằng còn rất nhiều vấn đề mở đặt ra chưa
giải quyết được. Tác giả rất mong nhận được những góp ý, phê bình q báu của quý
thầy cô và các bạn đọc quan tâm.
Quy Nhơn, tháng 03 năm 2011
Tác giả

Nguyễn Trung Kiên


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1
1.1.1

Các không gian cơ bản
Không gian mêtric

Định nghĩa 1.1.1.1. [2] Cho X là tập hợp khác rỗng. Một mêtric trên X là một ánh
xạ d từ tập tích X × X vào tập R các số thực, thoả mãn các điều kiện sau:
(i) d(x, y) ≥ 0, với mọi x, y ∈ X;
(ii) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
(iii) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X;
(iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), với mọi x, y, z ∈ X.
Một tập hợp X cùng một mêtric d xác định trên X được gọi là một không gian mêtric,
ký hiệu là (X, d).
Định nghĩa 1.1.1.2. [2] Cho không gian mêtric (X, d) và số thực r. Ký hiệu
B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}
gọi là hình cầu mở tâm x, bán kính r.
Tập con A của X gọi là tập mở trong X nếu với mỗi x ∈ A đều tồn tại hình cầu mở
B(x; ε) nào đó của X chứa trong A. Tập A ⊂ X gọi là tập đóng nếu X \ A là tập mở.


6
Chú ý. Ký hiệu
diam(A) = sup d(x, y)
x,y∈A

gọi là đường kính của tập A.
Định nghĩa 1.1.1.3. [2] Dãy {xn } ⊂ (X, d) gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N :
∀m, n ∈ N và m, n > n0 thì
d(xm , xn ) < ε.
Định nghĩa 1.1.1.4. [2] Không gian mêtric X được gọi là không gian mêtric đầy đủ
nếu mỗi dãy Cauchy trong X đều hội tụ đến một điểm nào đó thuộc X.
Định nghĩa 1.1.1.5. [2] Một tập hợp con A của một không gian mêtric X được gọi
là hoàn toàn bị chặn nếu mỗi r > 0 tồn tại hữu hạn hình cầu mở B1 , B2 , ..., Bn bán
kính r trong X sao cho
n

A⊂

Bi .
i=1

Chú ý. Khi đó B = {B1 , B2 , ..., Bn } được gọi là một r-phủ của A.
Định nghĩa 1.1.1.6. [2] Giả sử K là một tập hợp con của không gian mêtric X. Tập
hợp K được gọi là tập hợp compact nếu mỗi dãy trong K đều tồn tại một dãy con
hội tụ đến một điểm nào đó thuộc K. Đặc biệt, nếu K = X và K compact thì ta nói
khơng gian mêtric X là không gian compact.
Định lý 1.1.1.7. (Banach) [2] Giả sử K là một tập hợp con của không gian mêtric
X. Điều kiện cần và đủ để K compact là K đầy đủ và hồn tồn bị chặn.

1.1.2

Khơng gian tơpơ

Định nghĩa 1.1.2.1. [2] Giả sử X là một tập hợp. Một họ τ gồm các tập hợp con

nào đó của X được gọi là một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau đây:
(i) ∅, X ∈ τ ;
(ii) Hợp tuỳ ý các tập hợp của họ τ là một tập hợp của họ τ ;
(iii) Giao hữu hạn các tập hợp của họ τ là một tập hợp của họ τ .


7
Một tập hợp X cùng với một tôpô τ xác định trên nó được gọi là một khơng gian tơpơ,
ký hiệu là (X, τ ). Khi đó mỗi phần tử thuộc τ gọi là một tập mở.
Định nghĩa 1.1.2.2. [2] Không gian tôpô X được gọi là không gian Hausdorff nếu
x, y là hai điểm khác nhau bất kỳ của X thì tồn tại U, V lần lượt là lân cận của x và
y sao cho U ∩ V = ∅.
Định nghĩa 1.1.2.3. [2] Giả sử K là một tập hợp con của không gian tôpô X. K
được gọi là tập hợp compact nếu mọi phủ mở của K có một phủ con hữu hạn, tức là
nếu {Gα }α∈I là các tập mở tuỳ ý trong X sao cho
K⊂

Gα =⇒ ∃α1 , ..., αn ∈ I : K ⊂
α∈I

Gαi .
1≤i≤n

Định lý 1.1.2.4. [2] (Tychonoff) Tích của một họ tùy ý các không gian tôpô compact
là không gian tôpô compact.
Định nghĩa 1.1.2.5. (Khối lập phương Hilbert I ∞ ) [1]
Ký hiệu
I

= [0, 1];

In

= {x ∈ Rn : 0 ≤ xi ≤ 1, ∀i = 1, n};

I ∞ = {x = (x1 , x2 , ...) : 0 ≤ xn ≤ 1, n = 1, 2, ...}.
I ∞ được gọi là khối lập phương Hilbert, chính là tích đếm được của các khoảng đóng
đơn vị I.
Mệnh đề 1.1.2.6. [1]
(i) Khối lập phương Hilbert là không gian Hausdorff compact.
(ii) Bất kỳ một không gian mêtric compact nào cũng có thể nhúng vào hình lập phương
Hilbert (Định lý Urysohn).
Dễ thấy rằng (i) suy ra từ định lý Tychonoff.


8

1.1.3

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.3.1. [3] Cho E là một K-không gian vectơ (với K = R hoặc C). Một
chuẩn trên E là một hàm x → ||x|| từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi
x, y ∈ E, mọi λ ∈ K:
(i) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 nếu và chỉ nếu x = 0;
(ii) ||λx|| = |λ|||x||;
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó.
Định lý 1.1.3.2. [3] Nếu x → ||x|| là một chuẩn trên E thì d(x, y) = ||x − y|| là một
mêtric trên E, mêtric này được gọi là mêtric sinh bởi chuẩn.

Định nghĩa 1.1.3.3. [3] Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ (với
mêtric sinh bởi chuẩn).
Định lý 1.1.3.4. [1] Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn . Không gian các hàm số
thực liên lục trên Ω, ký hiệu C(Ω), là không gian Banach với chuẩn
||u||0 = sup |u(x)|.
x∈Ω

Định nghĩa 1.1.3.5. [1] Tập con K ⊂ C(Ω) được gọi là đồng liên tục nếu với mỗi
ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ||x1 −x2 || < δ ⇒ |u(x1 )−u(x2 )| < ε với mọi x1 , x2 ∈ Ω và u ∈ K.
Tập K được gọi là compact tương đối nếu K compact.
Định lý 1.1.3.6. [1] (Arzelà-Ascoli) Tập con của C(Ω) là compact tương đối khi
và chỉ khi nó bị chặn và đồng liên tục.

1.1.4

Khơng gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.4.1. [3] Cho E là không gian vectơ trên trường K. Hàm thực p : E →
R được gọi là nửa chuẩn nếu
(i) p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ E;


9
(ii) p(λx) = |λ|p(x) với mọi λ ∈ K, x ∈ E;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ E.
Định nghĩa 1.1.4.2. [1] Không gian tơpơ tuyến tính E được gọi là lồi địa phương
nếu mỗi lân cận của 0 trong E đều chứa một lân cận lồi của 0.
Mỗi tôpô lồi địa phương trên không gian vectơ được xác định bởi họ các nửa
chuẩn {pα |α ∈ A} thỏa tính chất pα = 0, ∀α ∈ A khi và chỉ khi x = 0, V là tập
mở khi và chỉ khi với mỗi v ∈ V tồn tại ε > 0 và hữu hạn α1 , α2 , ..., αn ∈ A sao cho

n

{x|pαi (x − v) < ε} ⊂ V .
i=1

Định nghĩa 1.1.4.3. [1] Cho A là tập con của không gian lồi địa phương E, convA
là tập lồi đóng nhỏ nhất của E chứa A.

1.2
1.2.1

Ánh xạ liên tục
Ánh xạ liên tục giữa các không gian mêtric

Định nghĩa 1.2.1.1. [2] Ánh xạ f : (X, d) → (Y, ρ) giữa hai không gian mêtric được
gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mỗi dãy {xn } trong X sao cho xn → x thì f (xn ) → f (x).
Nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm x thuộc một tập hợp con A của khơng gian mêtric
X thì ta nói f liên tục trên tập hợp A. Đặc biệt, nếu A = X và f liên tục trên A thì
ta nói f liên tục trên khơng gian mêtric X.

1.2.2

Ánh xạ liên tục giữa các không gian tôpô

Khái niệm ánh xạ liên tục trong không gian tôpô là sự mở rộng một cách tự nhiên
của ánh xạ liên tục trong không gian mêtric.
Định nghĩa 1.2.2.1. [2] Giả sử f là một ánh xạ từ không gian tôpô (X, τ ) vào không
gian tôpô (Y, σ).
+ Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x của X nếu mỗi dãy (xα ) trong X hội tụ
đến x thì dãy f (xα ) hội tụ đến f (x).

+ Ánh xạ f được gọi là liên tục trên tập hợp con A của X nếu nó liên tục tại mọi


10
điểm x thuộc A. Đặc biệt, nếu A = X và f liên tục trên A thì ánh xạ f được gọi là
liên tục trên không gian tôpô X.

1.2.3

Ánh xạ liên tục giữa các không gian định chuẩn

Do không gian định chuẩn cũng là không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn nên
khái niệm ánh xạ liên tục giữa các không gian định chuẩn được xây dựng dựa trên
định nghĩa 1.2.1.1.
Định lý 1.2.3.1. (Tietze - Urysohn) [1] Cho X là khơng gian định chuẩn, A ⊂ X
đóng, f : A → R là hàm liên tục. Khi đó tồn tại mở rộng liên tục f ∗ : X → R của f
lên X.

1.2.4

Phép đồng luân

Định nghĩa 1.2.4.1. [1] Hai ánh xạ liên tục f, g : X → Y giữa hai không gian
tôpô gọi là đồng luân với nhau nếu tồn tại ánh xạ liên tục H : X × [0, 1] → Y thỏa
H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x), ∀x ∈ X.
Ánh xạ H được gọi là phép đồng luân giữa X và Y . Ánh xạ f được gọi là đồng ln
khơng nếu nó đồng luân với một ánh xạ hằng.

1.2.5

Toán tử compact - Toán tử hoàn toàn liên tục

Định nghĩa 1.2.5.1. [1] Cho X, Y là hai không gian tôpô và F : X → Y là ánh xạ
liên tục.
(i) Ánh xạ F được gọi là compact nếu F (X) chứa trong một tập con compact của Y .
(ii) X là không gian mêtric, F được gọi là hoàn toàn liên tục nếu ảnh của mỗi tập
con bị chặn của X đều chứa trong một tập con compact của Y .
(iii) Y là không gian vectơ, ánh xạ compact F được gọi là hữu hạn chiều nếu F (X)
chứa trong một không gian con hữu hạn chiều của Y .
(iv) Y là không gian mêtric, F được gọi là bị chặn nếu F (X) là tập con bị chặn của
Y.


11
Tập hợp các ánh xạ compact từ X vào Y kí hiệu là K(X, Y ). Nếu (Y, ) là khơng
gian mêtric thì K(X, Y ) chứa trong khơng gian mêtric (B(X, Y ), d) - không gian các
ánh xạ bị chặn từ X vào Y với mêtric
d(F, G) = sup (F (x), G(x)).
x∈X

Nếu (E, || ||) là không gian định chuẩn thì K(X, E) là khơng gian con của không gian
định chuẩn (B(X, E), || ||) với chuẩn
||F || = sup ||F (x)||.
x∈X

Nếu Y đầy đủ thì (B(X, Y ), d) cũng đầy đủ, E đầy đủ thì B(X, E) Banach.
Mệnh đề 1.2.5.2. [1] Y đầy đủ suy ra không gian K(X, Y ) đầy đủ. Đặc biệt, nếu E
Banach thì K(X, E) là khơng gian Banach.
Chứng minh. Vì Y đầy đủ nên (B(X, Y ), d) đầy đủ. Ta cần chứng minh K(X, Y )
đóng trong B(X, Y ). Thật vậy, xét {Fn } là một dãy bất kỳ trong K(X, Y ) sao cho

d(Fn , F ) → 0 với F ∈ B(X, Y ). Khi đó ∀ε > 0, ∃k > 0 sao cho
sup (F (x), Fk (x)) ≤ ε/2.
x∈X

Do Fk (X) hoàn toàn bị chặn nên tồn tại N = {y1 , y2 , ..., yn } là ε/2-phủ của Fk (X). Do
đó với mỗi x ∈ X, ta có
(F (x), yi ) ≤ (F (x), Fk (x)) + (Fk (x), yi ) ≤ ε,

i = 1, . . . , n.

Vậy N là ε-phủ của F (X) hay F (X) hoàn toàn bị chặn. Hơn nữa, F (X) ⊂ Y nên đầy
đủ. Sử dụng định lý 1.1.1.7, ta có F (X) compact hay F ∈ K(X, Y ).
Vậy K(X, Y ) đóng trong khơng gian đầy đủ (B(X, Y ), d) nên K(X, Y ) đầy đủ.


Chương 2
BÀI TOÁN VÀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ
VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
2.1

Một số tốn tử tích phân và bài tốn điểm bất
động

2.1.1

Tốn tử tích phân Urysohn

Định nghĩa 2.1.1.1. (Tốn tử tích phân Urysohn) [1] Cho Ω là một miền bị chặn
trong Rn , K : Ω × Ω × R → R liên tục. Bằng cách đặt
[F u](x) =

K(x, y, u(y))dy

(x ∈ Ω)

Ω

với mỗi u ∈ C(Ω), ta nhận được ánh xạ phi tuyến F : C(Ω) → C(Ω) và gọi là tốn tử
tích phân Urysohn.
Mệnh đề 2.1.1.2. [1] Tốn tử tích phân Urysohn F hồn tồn liên tục.
Chứng minh. Theo định lý Arzelà 1.1.3.6, ta chỉ cần chứng minh với dãy {un } cho
trước thỏa mãn ||un || ≤ r suy ra dãy vn = F (un ) bị chặn và đồng liên tục thì F hồn
tồn liên tục .
Bước 1: chứng minh {vn } bị chặn
Với M = sup{|K(x, y, u)| : x, y ∈ Ω, u ∈ [−r, r]} < +∞, ta có
||vn || = sup |vn (x)| ≤ sup
x∈Ω

x∈Ω

|K(x, y, un (y))|dy ≤ M µ(Ω).
Ω


13
Bước 2: chứng minh {vn } đồng liên tục
Xét ε > 0 cho trước. Vì
K : Ω × Ω × [−r, r] → R
liên tục đều nên ∃δ > 0 sao cho
[||x1 − x2 || < δ] ⇒ |K(x1 , y, u) − K(x2 , y, u)| < ε, ∀y ∈ Ω, u ∈ [−r, r].

Khi đó
|K(x1 , y, un (y)) − K(x2 , y, un (y))|dy < εµ(Ω), ∀n

|vn (x1 ) − vn (x2 )| ≤
Ω

khi ||x1 − x2 || < δ. Vì vậy, {vn } đồng liên tục.
Trường hợp đặc biệt của toán tử này là toán tử Hammerstein
[F u](x) =

K(x, y)f (y, u(y))dy
Ω

trong đó f : Ω × R → R. Ta có sơ đồ giao hốn sau
/ C(Ω)
O
FF
FF
K
F
ˆ FF#
f

C(Ω)F

F

C(Ω)
Ánh xạ f : C(Ω) → C(Ω) (gọi là toán tử Niemytzki) xác định bởi

[f u](y) = f (y, u(y)),

y∈Ω

và K là tốn tử tích phân tuyến tính
[Ku](x) =

K(x, y)u(y)dy.
Ω

2.1.2

Toán tử Carathéodory

Ký hiệu (C k [a, b], ||.||k ) là không gian Banach gồm các hàm khả vi liên tục cấp k
trên [a, b] dạng v : [a, b] → R với chuẩn
||v||k = max{||v||0 , ||v ||0 , ..., ||v (k) ||0 }
(||.||0 là chuẩn sup thông thường trên C[a, b]).


14
Định nghĩa 2.1.2.1. (Toán tử Carathéodory) [1] Cho p ≥ 1, ta gọi f : [a, b]×Rk →
R là hàm Lp -Carathéodory nếu:
(i) y → f (s, y) liên tục hầu khắp nơi đối với s trên [a, b];
(ii) s → f (s, y) đo được với mọi y ∈ Rk ;
(iii) Với mỗi r > 0, tồn tại hàm không âm ϕr ∈ Lp [a, b] sao cho nếu ||y|| ≤ r thì
|f (s, y)| ≤ ϕr (s) với hầu hết s ∈ [a, b].
Bằng cách đặt
t

f (s, v(s), ..., v (k−1) (s))ds

[F v](t) =
a

với mỗi v ∈ C k−1 [a, b], ta nhận được ánh xạ phi tuyến F : C k−1 [a, b] → C[a, b] và gọi
là toán tử Lp -Carathéodory tương ứng với hàm Lp -Carathéodory f .
Rõ ràng F xác định và liên tục.
Mệnh đề 2.1.2.2. [1] Tốn tử Carathéodory F hồn tồn liên tục.
Chứng minh. Sử dụng định lý Arzelà 1.1.3.6, ta chỉ cần chứng minh nếu dãy {un } ⊂
C k−1 [a, b] thỏa mãn ||un ||k−1 ≤ r thì suy ra dãy vn = F (un ) bị chặn và đồng liên tục
trong C[a, b]. Thật vậy,
Bước 1: chứng minh {vn } bị chặn
(k−1)

Theo giả thiết, max{||un ||0 , ...., ||un

||0 } ≤ r nên theo (iii), tồn tại hàm ϕr ∈ Lp [a, b]

sao cho
|f (s, un (s), ..., u(k−1) (s))| ≤ ϕr (s)
n
đối với hầu hết s ∈ [a, b], và do đó
b

||vn ||0 = ||F un ||0 ≤

ϕr (s)ds.
a

Bước 2: chứng minh {vn } đồng liên tục
Cho ε > 0. Do tính liên tục của tích phân Lebesgue, ∃δ > 0 sao cho nếu |t − t | < δ


15
t

ϕr (s)ds ≤ ε. Do đó

thì
t

t

|vn (t) − vn (t )| = |F un (t) − F un (t )| ≤

ϕr (s)ds ≤ ε, ∀n, ∀|t − t | < δ.
t

Vậy {vn } đồng liên tục.

2.1.3

Ứng dụng vào bài toán biên

Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn, f : Ω × R → R là ỏnh x Hălder
o
n

liờn tc vi toỏn t Laplace =

2 f /∂x2 . Xét bài toán biên phi tuyến elliptic
i

i=1


−∆u = f (x, u),

(2.1)

u|∂Ω = 0.
Ta tìm nghiệm u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω) thỏa (2.1). Một trong những phương pháp để giải
(2.1) là sử dụng hàm Green G cho toán tử - ∆ trong điều kiện biên Dirichlet, để đơn
giản hơn, ta đưa về phương trình dạng Hammerstein
u(x) =

G(x, y)f (y, u(y))dy,

x ∈ Ω.

(2.2)

Ω

Phương trình (2.2) có thể xét ở nhiều không gian khác nhau như Lp (Ω) (1 < p <
+∞), C(Ω) hoặc C 1 (Ω). Ở mỗi trường hợp còn tùy thuộc vào dạng của hàm Green
tương ứng với bài toán (2.1). Hơn nữa, trong mỗi trường hợp ở trên toán tử phi tuyến
Hammerstein
[F u](x) =

G(x, y)f (y, u(y))dy
Ω

là tốn tử hồn tồn liên tục trong khơng gian hàm tương ứng, và vì thế, bài tốn biên
(2.1) có thể chuyển về bài tốn điểm bất động của ánh xạ F .

2.2
2.2.1

Một số định lý điểm bất động
Điểm bất động

Định nghĩa 2.2.1.1. Cho X là một không gian bất kỳ và F là ánh xạ từ X (hoặc
tập con của X) vào X. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của F nếu x = F (x).


16

2.2.2

Định lý xấp xỉ và phép chiếu Schauder

Định nghĩa 2.2.2.1. [1] Cho N = {c1 , c2 , ..., cn } là tập hữu hạn trong không gian
định chuẩn. Với mỗi ε > 0, đặt
{B(ci , ε)|i ∈ [n]}.

(N, ε) =
([n] = {1, . . . , n})

Với mỗi i ∈ [n], đặt µi : (N, ε) → R là ánh xạ x → max[0, ε − ||x − ci ||]. Phép chiếu
Schauder pε : (N, ε) → convN được cho bởi
pε (x) =

n

1

µi (x)ci .

n

µi (x)

i=1

i=1

Chú ý. Dễ kiểm tra pε là ánh xạ vì với mỗi x ∈ (N, ε), tồn tại i ∈ [n] sao cho x ∈ B(ci , ε)
n

µi (x) = 0, hơn nữa, pε (x) là tổ hợp lồi của c1 , c2 , ..., cn nên pε [(N, ε)] ⊂ convN.

nên
i=1

Mệnh đề 2.2.2.2. [1] Cho c1 , c2 , ..., cn thuộc tập lồi C ⊂ E và pε là phép chiếu
Schauder. Khi đó
(a) pε là ánh xạ compact từ (N, ε) vào convN ⊂ C;
(b) ||x − pε (x)|| < ε, ∀x ∈ (N, ε);

(c) Nếu N ⊂ C đối xứng qua tâm 0, chẳng hạn N = {c1 , ..., ck , −c1 , ..., −ck } thì
(N, ε) = (−N, ε) và pε (−x) = −pε (x), ∀x ∈ (N, ε).
Chứng minh.
(a) Dễ kiểm tra µi là các hàm liên tục trên (N, ε) nên pε liên tục trên (N, ε). Hơn nữa,
pε (N, ε) ⊂ convN nên pε là ánh xạ compact.
(b) Ta có
n

n

µi (x)
||x − pε (x)|| =

i=1
n

µi (x)ci
x−

i=1
n

=

µi (x)
i=1
n

µi (x)||x − ci ||
≤

< ε.

n

µi (x)
i=1

n

µi (x)[x − ci ]

n

µi (x)
i=1

i=1

1
µi (x)
i=1

i=1


17
(Theo cách xác định µi , ta có hoặc µi (x) = 0 hoặc ||x − ci || < ε)
(c) Viết −ci = c−i , theo cách xác định µi , ta có µi (x) = µ−i (−x), từ đó
1

µi (−x)
1
=
µ−i (x)
1
= −
µ−i (x)
= −pε (x).

pε (−x) =

µi (−x)ci
µ−i (x)ci
µ−i (x)c−i

Định lý 2.2.2.3. (Định lý xấp xỉ Schauder) [1] Cho X là không gian tôpô, C là
tập con lồi của không gian định chuẩn E và F : X → C là ánh xạ compact. Khi đó với
mỗi ε > 0, tồn tại tập hữu hạn N = {c1 , c2 , ..., cn } ⊂ F (X) ⊂ C và ánh xạ hữu hạn
chiều Fε : X → C sao cho
(a) ||Fε (x) − F (x)|| < ε, ∀x ∈ X;
(b) Fε (X) ⊂ convN ⊂ C.
Chứng minh. Do F (X) chứa trong một tập con compact của C ⊂ E nên F (X) hoàn
toàn bị chặn, với mỗi ε > 0, tồn tại tập hữu hạn N = {c1 , c2 , ..., cn } ⊂ F (X) sao cho
F (X) ⊂ (N, ε).
Xét Fε : X → C xác định bởi x → pε F (x), trong đó pε : (N, ε) → convN là phép chiếu
Schauder, theo mệnh đề 2.2.2.2, ta có Fε là ánh xạ cần tìm. Thật vậy,
(a) Với mỗi x ∈ X, ||Fε (x) − F (x)|| = ||pε F (x) − F (x)|| < ε;
(b) Fε (X) = pε F (X) ⊂ pε (C) ⊂ convN ⊂ C.
Bổ đề 2.2.2.4. [1] Cho X là khơng gian mêtric compact, A ⊂ X đóng và E là khơng
gian định chuẩn. Khi đó mỗi ánh xạ liên tục f : A → E đều có thể mở rộng thành ánh

xạ liên tục F : X → E.


18
Chứng minh. Với mỗi ε = 1/n2 , n = 1, 2, ..., đặt fn : A → E là xấp xỉ Schauder của f
với ||fn (a) − f (a)|| ≤ 1/n2 , ∀a ∈ A.
Vì fn là ánh xạ liên tục từ A vào không gian hữu hạn chiều E kn (đẳng cấu với Rkn ),
∗
theo định lý Tietze-Urysohn 1.2.3.1, tồn tại mở rộng fn : X → E kn ⊂ E với mỗi

n = 1, 2, ....
∗
∗
Đặt gn (x) = fn+1 (x) − fn (x), ta có

||gn (a)|| ≤ ||fn+1 (a) − f (a)|| + ||f (a) − fn (a)|| ≤

2
, ∀a ∈ A.
n2

−1
Với mỗi n, đặt Un = gn B(0, 3/n2 )∩{x|d(x, A) < 1/n} là tập mở trong X chứa A. Bằng
∞

cách thay thế mỗi tập Un bởi U1 ∩ U2 ... ∩ Un , ta có thể giả sử U1 ⊃ U2 ... và

Un = A.
n=1

Với mỗi n = 1, 2..., chọn hàm Urysohn λn thỏa

1, x ∈ A
λn (x) =
0, x ∈ Un
/
và
hn (x) = λn (x)gn (x).
Rõ ràng ||hn (x)|| ≤ 3/n2 .
∞

hn (x) hội tụ với mỗi x. Thật vậy, nếu x ∈ A thì x thuộc hữu
/

Dễ kiểm tra chuỗi
n=1

hạn các tập Un . Khi đó chuỗi trên là một tổng hữu hạn. Nếu x ∈ A thì tổng riêng thứ
n của chuỗi là fn+1 (a) − f1 (a) hội tụ về f (a) − f1 (a).
∞

Do tính duy nhất của điểm hội tụ trên X và hàm h(x) =

hn (x) liên tục nên
n=1

∗
f1 (x) + h(x) là mở rộng của F .

Định lý 2.2.2.5. [1] Cho X, E là các khơng gian định chuẩn, A ⊂ X đóng và F0 : A →

E là ánh xạ compact. Khi đó F0 mở rộng được thành ánh xạ compact F : X → E.
Chứng minh. Vì F0 (A) là tập con compact của E, cũng là khơng gian mêtric compact
nên có thể nhúng vào tập con đóng Q của hình lập phương Hilbert I ∞ (theo mệnh đề
1.1.2.6). Xét h : Q → E là ánh xạ ngược của phép nhúng này, ta có sơ đồ giao hốn
A HH

F0

HH
HH
g HHH
#

/

E
O
h

Q ⊂ I∞


19
trong đó g là ánh xạ a → h−1 F0 (a).
Vì X định chuẩn, g mở rộng được thành ánh xạ G : X → I ∞ và theo bổ đề 2.2.2.4, h
mở rộng được thành ánh xạ H : I ∞ → E. Ánh xạ H ◦ G : X → E hiển nhiên compact
và là mở rộng của F0 .

2.2.3

Các định lý điểm bất động của Brouwer và Borsuk

Cho E là không gian định chuẩn gồm các phần tử là các dãy số thực {x1 , x2 , ...},
trong đó xn = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn với chuẩn ||x|| =

|xi |. Ký hiệu

E n = {x ∈ E : xi = 0, ∀i > n};
K n = {x ∈ E n : ||x|| ≤ 1};
S n = {x ∈ E n+1 : ||x|| = 1}.
Do khuôn khổ tiểu luận, ta thừa nhận mà không chứng minh 2 định lý sau (Phần
chứng minh, độc giả có thể xem ở [1], trang 85-96).
Định lý 2.2.3.1. (Brouwer) [1] Mỗi ánh xạ liên tục F : K n → K n đều có ít nhất
một điểm bất động.
Định lý 2.2.3.2. (Borsuk 1) [1] Cho U là lân cận mở, lồi, đối xứng, bị chặn của 0
trong E n , F : U → E n là ánh xạ bảo tồn tính xun tâm trên ∂U , tức là −F (a) =
F (−a), ∀a ∈ ∂U . Khi đó F có điểm bất động.

2.2.4

Định lý điểm bất động Schauder

Cho A là tập con của không gian mêtric (X, d) và F : A → X. Với mỗi ε > 0, điểm
a ∈ A thỏa d(a, F (a)) < ε được gọi là điểm ε-bất động của F .
Mệnh đề 2.2.4.1. [1] Cho A là tập con đóng của khơng gian mêtric (X, d) và F :
A → X là ánh xạ compact. Khi đó F có điểm bất động khi và chỉ khi nó có điểm ε-bất
động với mỗi ε > 0.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Ta chứng minh điều kiện đủ. Với mỗi n =
1, 2, ..., xét an là 1/n-bất động của F . Do F compact nên khơng mất tính tổng qt, ta

20
có thể giả sử F (an ) → x ∈ F (A). Điều này dẫn đến an → x (do d(an , F (an )) < 1/n, ∀n),
và vì A đóng nên x ∈ A. Do tính liên tục của F ta có F (an ) → F (x) nên x = F (x).
Vậy F có điểm bất động.
Định lý 2.2.4.2. (Định lý điểm bất động Schauder) [1] Cho C là tập con lồi
(khơng nhất thiết phải đóng) của khơng gian định chuẩn E. Khi đó mỗi ánh xạ compact
F : C → C có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Với mỗi ε > 0, theo định lý xấp xỉ Schauder 2.2.2.3, có ít nhất một ánh
xạ Fε : C → C sao cho ||Fε (x) − F (x)|| < ε, ∀x ∈ C và Fε (C) ⊂ convN ⊂ C với N là
tập con hữu hạn của C.
Vì Fε [convN ] ⊂ convN và convN đẳng cấu với một hình cầu hữu hạn chiều, theo định
lý điểm bất động Brouwer 2.2.3.1, Fε có điểm bất động xo ; và vì
||xo − F (xo )|| = ||Fε (xo ) − F (xo )|| ≤ ε
nên x0 là điểm ε-bất động của F .
Do đó, theo mệnh đề 2.2.4.1, F có ít nhất một điểm bất động.

2.2.5

Mở rộng của định lý Borsuk 1

Định lý 2.2.5.1. (Borsuk 2) [1] Cho U là lân cận mở, lồi, đối xứng và bị chặn của 0
trong khơng gian định chuẩn E. Khi đó mỗi ánh xạ compact F : U → E bảo tồn tính
xun tâm trên biên, tức là −F (a) = F (−a) trên ∂U , có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.2.4.1, cho ε > 0 bất kỳ, ta cần chứng minh F có một
điểm ε-bất động.
Chọn N ⊂ E là tập con hữu hạn đối xứng qua 0 sao cho F (U ) ⊂ (N, ε). Theo mệnh
đề 2.2.2.2, xấp xỉ ε hữu hạn chiều pε ◦ F của F vẫn bảo tồn tính đối xứng xuyên tâm
trên ∂U.
Xét E k là không gian tuyến tính hữu hạn chiều con của E sao cho pε ◦ F (U ) ⊂

E k và F ∗ = pε ◦ F|U ∩E k .
Do U k = U ∩ E k và F ∗ : U k → E k bảo tồn tính xun tâm trên ∂(U k ), theo định lý


21
điểm bất động Borsuk 1, F ∗ có điểm bất động xo .
Vì
||x − F (xo )|| = ||F ∗ (xo ) − F (xo )|| = ||pε F (xo ) − F (xo )|| < ε
nên xo là điểm ε-bất động của F.


Chương 3
TÍNH CHẤT CẮT NGANG TƠPƠ
VÀ ỨNG DỤNG
3.1

Tính chất cắt ngang tơpơ và sự tồn tại ánh xạ
cốt yếu

3.1.1

Tính chất cắt ngang tôpô

Cho E là không gian định chuẩn, F : X → E là toán tử compact xác định trên
X ⊂ E và thỏa mãn điều kiện biên trên tập đóng A ⊂ X. Một kỹ thuật để xác định
phương trình x = F (x) có nghiệm hay khơng là làm biến dạng F , có thể là chỉ xét các
giá trị trên biên F|A , đưa về toán tử đơn giản hơn, chẳng hạn là G, ta đi giải bài tốn
x = G(x).
Trong hình học, có thể làm biến dạng đồ thị của F thành G và đi đến kết luận. Từ
bản chất của sự biến dạng, nếu đồ thị của G cắt mặt chéo ∆ ⊂ X × E ⊂ E × E thì

đồ thị của F cũng vậy. Định lý tính cắt ngang tơpơ cung cấp các điều kiện để kết luận
trên hợp lệ.
Để xây dựng định lý một cách tổng quát, ta làm việc trên tập lồi C ⊂ E. Ký hiệu cặp
(X, A) trong C được hiểu là tập X ⊂ C tùy ý và A ⊂ X đóng. Ta gọi phép đồng luân
H : X × I → Y compact nếu nó là ánh xạ compact. Nếu X ⊂ Y , phép đồng luân H
được gọi là phi bất động trên A ⊂ X nếu mỗi t ∈ I, ánh xạ H|A×{t} : A → Y khơng có
điểm bất động.


23
Ta ký hiệu KA (X, C) là tập hợp tất cả các ánh xạ compact F : X → C sao cho ánh
xạ hạn chế F|A : A → C phi bất động.
Định nghĩa 3.1.1.1. [1] Hai ánh xạ F, G ∈ KA (X, C) được gọi là đồng luân chấp
nhận được, ký hiệu F

G trong KA (X, C) nếu có phép đồng luân compact Ht : X →

C (0 ≤ t ≤ 1) phi bất động trên A sao cho H0 = F và H1 = G.
Rõ ràng,

là quan hệ tương đương trên KA (X, C).

Mệnh đề 3.1.1.2. [1] Cho F, G ∈ KA (X, C). Giả sử một trong hai điều kiện sau thỏa
mãn:
(i) tG(a) + (1 − t)F (a) = a, ∀(a, t) ∈ A × [0, 1];
(ii) sup||F (a) − G(a)|| ≤ inf ||a − F (a)||.
a∈A

Khi đó F

a∈A

G trong KA (X, C).

Chứng minh. Điều kiện (ii) suy ra rằng với mỗi a ∈ A, đoạn [F (a), G(a)] nối F (a) đến
G(a) không chứa điểm a. Đây chính là điều kiện (i). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (i)
suy ra F

G trong KA (X, C).

Ta viết
Ht (x) = tG(x) + (1 − t)F (x), (x, t) ∈ X × [0, 1].
Rõ ràng {Ht }0≤t≤1 là đồng luân compact phi bất động trên A và Ho = F, H1 = G nên
ta có ngay điều phải chứng minh.

3.1.2

Ánh xạ cốt yếu

Định nghĩa 3.1.2.1. [1] Cho cặp (X, A) trong tập lồi C ⊂ E. Ánh xạ F ∈ KA (X, C)
được gọi là cốt yếu nếu với mỗi G ∈ KA (X, C) thỏa F|A = G|A , đều có điểm bất động.
Ánh xạ khơng thỏa điều kiện trên được gọi là phi cốt yếu.
Trong hình học, ánh xạ compact F : X → C là cốt yếu nếu đồ thị F|A không cắt
mặt chéo ∆ ⊂ X × C nhưng đồ thị của mỗi ánh xạ compact G : X → C trùng với F
trên A phải cắt mặt chéo ∆.


24
Nhận xét: F cốt yếu trên KA (X, C) thì F|A phi bất động (theo định nghĩa KA (X, C))
nhưng F có điểm bất động.

Mệnh đề 3.1.2.2. [1] Cho cặp (X, A) trong không gian định chuẩn E, L là khơng
gian con đóng của E giao với A ⊂ X. Ký hiệu AL = A ∩ L và XL = X ∩ L. Giả sử
F ∈ KA (X, E) là ánh xạ cốt yếu sao cho F (X) ⊂ L. Khi đó F|XL ∈ KAL (XL , L) cũng
cốt yếu.
Chứng minh. Ta cần chứng minh mở rộng compact F0 : XL → L của F|AL có điểm bất
động.
Xét G : A ∪ XL → L cho bởi

F (x), x ∈ X
0
L
G(x) =
F (x), x ∈ A.
Ánh xạ này liên tục (dễ kiểm tra), hơn nữa, A ∪ XL đóng trong X (do A đóng trong
X, XL = X ∩ L mà L là khơng gian con đóng của E). Theo định lý 2.2.2.5, G có
˜
˜
thể mở rộng thành ánh xạ compact G : X → L, và G hiển nhiên cũng là mở rộng
˜
˜
của F|A , nên phải có điểm bất động x (lưu ý G ∈ KA (X, E)). Vì x = G(x) nên
˜
x ∈ X ∩ L = XL ,và G|XL = F0 nên F0 (x) = x.
Mệnh đề 3.1.2.3. [1] Cho Br = {x ∈ E : ||x − x0 || < r} và F ∈ K∂Br (B r , E) là ánh
xạ cốt yếu. Khi đó với mỗi 0 < r0 < r, phép hạn chế F|B r0 là ánh xạ cốt yếu trên
K∂Br0 (B r0 , E).
Chứng minh. Giả sử F|∂Br0 có một mở rộng phi bất động F0 trên B r0 . Khi đó

F (x), x ∈ B
0

r0
F (x) =
F (x), x ∈ B r − Br
0
là một mở rộng phi bất động của F|∂Br . Điều này mâu thuẫn với giả thiết F là ánh xạ
cốt yếu trên K∂Br (B r , E). Vậy F|B r0 là ánh xạ cốt yếu trên K∂Br0 (B r0 , E).
Bổ đề 3.1.2.4. [1] Cho cặp (X, A) trong tập lồi C ⊂ E. Các điều kiện sau đây là
tương đương đối với F ∈ KA (X, C):