Điểm bất động của toán tử (K,Uo)_Lõm chính quy trong không gian banach thực với hai nón

1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Phó giáo sư-Tiến sĩ-
Giảng viên cao cấp Nguyễn Phụ Hy, người thầy đã hướng dẫn và truyền
cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu
khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học
tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin châ n thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các
quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tốt
đẹp chương trình Cao học và luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin tr ân trọng cảm ơn ban giám hiệu, Tổ Toán - Tin và các
đồng nghiệp của trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn-tỉnh Điện Biên đã
tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt
luận văn.
Hà Nội, tháng 12 năm 201 2
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Thủy
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của P GS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Thủy
3
Mục lục

Mở đầu 2
4
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8
1.1 Không gian định chuẩn thực . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với mộ t nón . . . 10
1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực . . . . . . . 10
1.2.2 Quan hệ thứ tự tr ong không gian E . . . . . . . . . 11
1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự . . . . . . 17
1.3 Không gian E
u
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Một số không gian Banach t hực nửa sắ p thứ tự . . . . . . 22
1.4.1 Không gian C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Không gian l
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.3 Không gian c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2 TOÁN TỬ (K, u
0
)
−
LÕM CHÍNH QUY TRONG KHÔNG GIAN BANA
2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy 44
2.3 Toán tử (K, u

0
)
−
lõm chính quy trong một số không gian Banach thực nửa
2.3.1 Toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy trong không gian C 48
2.3.2 Toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy trong không gian l
2
52
4
3 SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ (K, u
0
)
−
LÕM CHÍNH
3.1 Một số định lí về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính
3.2 Ví dụ áp dụng định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 Điểm bất động trong không gian C . . . . . . . . . 64
3.2.2 Điểm bất động trong l

2
. . . . . . . . . . . . . . . . 64
5
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều vấn đề của toán học, vật lí, kỹ thuật dẫn đến việc xét
bài toán: Tìm điểm bất động của toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy trong
không gian Banach thực với hai nón. Nên bài toán này đã được nhiều
nhà toán học lớn trên thế giới quan tâm nghiên cứu.
Nhà toán học Nga nổi tiếng M.A.Kraxnôxelxk i đã nghiên cứu lớp
toán tử phi tuyến - Toán tử lõm ( 1956). Sau đó giáo sư tiến sĩ khoa học
I.A.Bakhtin mở rộng các kết quả cho lớp toán tử phi tuyến (K, u
0
)
−
lõm
(1984 ). Các lớp toán t ử trên có chung tính chất u
0−
đo được khiến cho
việc ứng dụng các kết quả gặp khó khăn. Hơn nữa, các toán tử trên được
xét trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với một nón. Nhà toá n
học M. A Kranoxelxki mở rộng các kết quả đạt được đối với các lớp toán
tử tr ên tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón, trong đó
một nó n là con của nón còn lại.
Năm 1987, PGS - TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng các kết quả
đối với lớ p toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới tác dụng trong

không gian Banach thực với một nón: Toán tử lõm chí nh quy, trong đó
không yêu cầu có tính chất u
0−
đo được.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử phi tuyến này, nhờ sự
giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS - TS - GVCC Nguyễn Phụ Hy t ôi
đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài:
6
“Điểm bất động của toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy
trong không gian Banach thực với hai nón”.
2. Mục đích n ghiên cứu
Luận văn “Điểm bất động của toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy
trong kh ô ng gian Banach t hực với hai nón ” nhằm nghiên cứu, trình bày
về điểm bất động của toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy tác dụng trong
không gian Banach thực với hai nón, trong đó hai nón cố định khác
nhau và giao nhau khác rỗng, không yêu cầu toán tử có tính chất u
0−
đo

được.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích đã nêu ở trên, những nhiệm vụ ng hiên cứu của
luận văn là:
+ Tìm hiểu về khô ng gian Banach thực nửa sắ p thứ tự.
+ Tìm hiểu về toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy.
+ Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử (K, u
0
)
−
lõm
chính quy trong không gian Banach t hực với hai nón.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+) Đối tượng ng hiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả
về toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy, sự tồn tại điểm bất động của toán tử
(K, u
0
)
−
lõm chính quy trong không gian Banach thực với hai nón.
+) Phạm vi nghiên cứu:
Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến điểm

bất động của toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy trong không gian Banach
thực với hai nón.
7
5. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu và áp dụng các kết
quả nghiên cứu vào một số không gian hàm cụ thể.
- Tổng hợp, phân tí ch, hệ thống các khái ni ệm, tính chất.
- Tham khảo ý kiến của giảng viên hướng dẫn.
6. Dự kiến đóng góp mới
Nghiên cứu “Điểm bất động của toán tử (K, u
0
)
−
lõm chính quy
trong không gian Banach thực vớ i hai nón ” sẽ cho ta hiểu biết sâu sắc
hơn về vấn đề này. Hơn nữa, kết quả thu được có thể mở rộng cho mộ t
số l ớp toán tử khác.
Luận văn này có thể sử dụng làm tài liệu cho những vấn đề toán
học liên quan.
8
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không g i an đ ị nh chuẩn thực
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian tuyến tính thực E. Một chuẩn
trên E là m ột ánh xạ từ không gian E vào tập số thực R, kí hiệu .
( đọc là chuẩ n), thỏa mãn các điều k iện sau:

i,∀x ∈ E, x ≥ 0, x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là phần tử không
trong không gian E);
ii,∀x ∈ E, ∀α ∈ R, αx = |α|x;
iii,∀x , y ∈ E, x + y ≤ x+ y (bất đẳng thức tam giác).
Định nghĩa 1.1.2. Không gian tuyến tính thực E cùng với một chuẩn
trên nó gọi là một không gian định chuẩn thực, kí hiệu (E, .) hay E.
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian định chuẩn E. Dãy {x
n
}
∞
n=1
⊂ E
gọi là hội t ụ đến x ∈ E nếu lim
n→∞
x
n
− x = 0, hay ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao
cho ∀n ≥ n
0
, x
n
− x < ε.
Dựa vào các định nghĩa trên ta có một số tính chất sau:
Định lí 1.1.1. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy đi ể m
{x
n

}
∞
n=1
hội tụ đến x thì dãy chuẩn {x
n
} hội tụ tới x, nói khác đi
x là m ộ t hàm liên tục của biến x.
9
Chứng minh. Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
x = x −y + y ≤ x − y + y, ∀x, y ∈ E,
hay
x − y ≤ x −y.
Đổi vai t rò của x, y ta lại có: y −x ≤ x −y.
Do đó ta có |x −y| ≤ x −y, ∀x, y ∈ E.
Suy ra
|x
n
 −x| ≤ x
n
− x (n = 1, 2, . . .)
Vì vậy, nếu {x
n
} hội tụ tới x thì lim
n→∞
x
n
− x = 0, dẫn đến
|x
n
 −x| → 0 khi n → ∞ hay x

n
 → x khi n → ∞. Mệnh
đề được chứng minh.
Định lí 1.1.2. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
{x
n
}
∞
n=1
hội tụ thì dãy chuẩn {x
n
} bị chặn.
Chứng minh. Giả sử x
n
→ x, n → ∞ trong không gian E, theo định lí
1.1.1 ta có x
n
 → x khi n → ∞ , do đó tồn tại n
0
sao cho ∀n ≥ n
0
,
x
n
 ≤ x + 1
Đặt K là số lớn nhất trong các số x
1
, x
2
, , x

n
, x + 1.
Khi đó ∀n, x
n
 ≤ K hay {x
n
} bị chặn.
Định lí 1.1.3. Trong không gian định chuẩn thực E, nếu dãy điểm
{x
n
}
∞
n=1
hội tụ tới x, dãy điểm {y
n
}
∞
n=1
hội tụ tới y và trong R d ãy số
{α
n
} hội tụ tới α t hì:
x
n
+ y
n
→ x + y, n → ∞, α
n
.x
n

→ αx, n → ∞.
Nói khác đi hai phép toá n x + y và αx là liên tục (x, y ∈ E, α ∈ R).
10
Chứng minh. Do x
n
→ x, n → ∞; y
n
→ y, n → ∞ trong không gian E,
nên ta có x
n
− x → 0, n → ∞ và y
n
− y → 0, n → ∞.
Ta lại có
(x
n
+ y
n
) −(x + y) ≤ x
n
− x+ y
n
− y
do đó (x
n
+ y
n
) −(x + y) → 0, n → ∞ hay x
n
+ y

n
→ x + y, n → ∞
trong không gian E, đồng thời:
α
n
.x
n
− α.x = α
n
x
n
− α
n
x + α
n
x −αx ≤ α
n
(x
n
− x)+(α
n
− α) x
≤ |α
n
|. x
n
− x+ |α
n
− α|. x.
Vì α

n
→ α, n → ∞ nên |α
n
− α| → 0, n → ∞ và dãy {|α
n
|} bị chặn,
còn x
n
→ x, n → ∞ trong không gian E nên x
n
− x → 0, n → ∞.
Do đó |α
n
|. x
n
− x+ |α
n
− α|. x → 0 khi n → ∞
hay α
n
.x
n
− α.x → 0, n → ∞ hay α
n
x
n
→ αx, n → ∞ trong không
gian E.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian định chuẩn E. Dãy điểm
{x

n
}
∞
n=1
⊂ E gọi là dãy cơ bản trong E nếu lim
n,m→∞
x
n
− x
m
 = 0
hay ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n, m ≥ n
0
ta có x
n
− x
m
 < ε.
Định nghĩa 1.1.5. Không gian định chuẩn E gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong E đều hội tụ.
1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự vớ i
một nón
1.2.1 Nón trong không gian định chuẩn thực
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian đị nh chuẩn t hực E, tập K ⊂ E, K
khác tập rỗng, được gọi là một nón trong E nếu K thỏa mãn các điều
kiện sau:

11
a, K là một tập đóng trong không gian E,
b, ∀x, y ∈ K t a có x + y ∈ K,
c, ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K,
d, ∀x ∈ K, x = θ ta có −x /∈ K.
Nhận xét 1.2.1. Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực
E thì θ ∈ K và K là tập lồi .
Thật vậy:
+) ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 t a có tx ∈ K, do đó với t = 0 ta có
θ = 0.x ∈ K.
+) ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0; 1] ta có tx ∈ K, (1 − t) y ∈ K
nên tx + (1 −t) y ∈ K.
1.2.2 Quan hệ thứ tự trong không gian E
Giả sử E là một không gia n định chuẩn thực, K là một nón
trong không gian E. ta xây dựng một quan hệ
′′
≤
′′
trong E như sau:
∀x, y ∈ E, x ≤ y nếu y −x ∈ K.
Định lí 1.2.2. Quan hệ
′′
≤
′′
là một quan hệ thứ tự trong E và ta gọi
là quan hệ thứ tự theo nón K.
Chứng minh. +) ∀x ∈ E, x −x = θ ∈ K nên x ≤ x.
+) ∀x, y ∈ E, x ≤ y và y ≤ x thì y − x ∈ K và x −y ∈ K.
Do y −x = −(x − y) nên nếu x −y = θ thì mâu thuẫn với điều kiện d)
của định nghĩ a 1.2.1. Do đó x − y = θ ⇔ x = y.

+) ∀x, y, z ∈ E, x ≤ y và y ≤ z thì y − x ∈ K và z − y ∈ K.
Do z − x = (z −y) + (y − x) ∈ K nên x ≤ z.
Không gian định chuẩn thực E cùng với quan hệ sắp thứ tự
′′
≤
′′
gọi là khô ng gian nửa sắp thứ tự theo nón K.
12
Định nghĩa 1.2.2. Trong không gian định chuẩn thực E, một nón K
được gọi là nón chuẩn nếu t ồn tại một số dương N sao cho
∀x, y ∈ K , x ≤ y ta có x ≤ N y.
Định nghĩa 1.2.3. Cho K là một nón trong không gian định chuẩn
thực E. Với y ∈ K ta nói x ∈ E t hông ước với y nếu tồn tại số α, β > 0
sao cho αy ≤ x ≤ βy.
Định lí 1.2.3. Cho x, y ∈ K, nếu x thông ước với y thì y thông ước với
x.
Chứng minh. Vì x thông ước với y nên tồn tại số α, β > 0 sao cho:
αy ≤ x ≤ βy do đó
1
β
x ≤ y ≤
1
α
x hay y thông ước với x.
Định lí 1.2.4. Nếu hai phần tử thuộc K\{θ} cùng thông ước với phần
tử thứ ba thuộc K\{θ} thì thông ước với nhau.
Chứng minh. Giả sử hai phần tử x, y ∈ K\{θ} cùng thông ước với phần
tử z ∈ K\{θ}. Khi đó, tồn tại các số dương α, β sao cho:
αz ≤ x ≤ β, αz ≤ y ≤ βz
Ta có

x ≥ αz =
α
β
βz ≥
α
β
y, x ≤ βz =
β
α
αz ≤
β
α
y.
Vì vậy tồn tạ i các số dương α
1
=
α
β
, β
1
=
β
α
sao cho α
1
y ≤ x ≤ β
1
y hay
x thông ước với y.
Cho K là một nón trong không gian định chuẩn thực E. Kí hiệu

K
∗
= K\{θ}. Mỗi x ∈ K
∗
gọi là một phần tử dương, ta cũng viết x < y
nếu y − x ∈ K
∗
. Giả sử u
0
∈ K
∗
, tập hợp tấ t cả các phần tử x ∈ K
∗
thông ước với u
0
được kí hiệu là K (u
0
).
Định lí 1.2.5. Cho E là không gian định c huẩn t hực, A ⊂ E là một tập
lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng và không chứa phần tử không.
13
Đặt K (A) = {x ∈ E : x = ty, t ≥ 0, y ∈ A}. Khi đó K (A) là một nó n
trong khô ng gian E.
Chứng minh. Dễ thấy tập A ⊂ K (A), mà A = ∅, nên K (A) = ∅. Khi
đó tồn tại m, M là các số thực dương sao cho ∀y ∈ A,
m ≤ y ≤ M. (1.1)
Thật vậy, do tập A bị chặn nên tồn tại M > 0 : y ≤ M, ∀y ∈ A .
Đặt m = inf
y∈A
y. Giả sử m = 0 thì tồn tại dãy {y

n
}
∞
n=1
⊂ A sao cho:
lim
n→∞
y
n
 = 0 hay lim
n→∞
y
n
= θ trong không gian E. Do A là tập đóng
nên θ ∈ A. Điều này trái với gi ả thiết A không chứa phần tử không.
Vậy m > 0 và y ≥ inf
y∈A
y = m > 0, ∀y ∈ A.
+) Ta chứng minh K (A) là tập đóng.
Lấy dãy bất kì {u
n
}
∞
n=1
⊂ K (A) sao cho lim
n→∞
u
n
= u trong không gian
E.

Nếu u = θ thì u = 0.y, y ∈ A ⇒ u ∈ K (A)
Nếu u = θ thì với ε =
1
2
u > 0, ∃n
0
∈ N
∗
: ∀n ≥ n
0
ta có:
u
n
− u < ε =
1
2
u.
Khi đó, |u
n
 −u| ≤ u
n
− u <
1
2
u
⇒
1
2
u < u
n

 <
3
2
u, ∀n ≥ n
0
. (1.2)
Mặt khác, vì u
n
∈ K (A) nên u
n
= t
n
y
n
, t
n
≥ 0, y
n
∈ A, n ∈ N
∗
.
Theo (1.2) ta có
1
2
u < t
n
y
n
 = t
n

y
n
 <
3
2
u.
Do m ≥ |y
n
≥ M, và
1
2y
n

u < t
n
<
3
2y
n

u
⇒
1
2M
u < t
n
<
3
2m
u, ∀n ≥ n

0
.
14
nghĩa l à {t
n
} là dãy số thực dương bị chặn.
Vì vậy, tồn t ại dãy con {t
n
i
} ⊂ {t
n
} sao cho lim
i→∞
t
n
i
= t
0
.
Suy ra
1
2M
u ≤ t
0
≤
3
2m
u nên t
0
> 0.

Xét dãy con {y
n
i
} ta có:




y
n
i
−
1
t
0
u




=




y
n
i
−
t

n
i
t
0
y
n
i
+
t
n
i
t
0
y
n
i
−
1
t
0
u




≤
1
t
0
|t

n
i
− t
0
|y
n
i
 +
1
t
0
t
n
i
y
n
i
− u
≤
M
t
0
|t
n
i
− t
0
| +
1
t

0
t
n
i
y
n
i
− u → 0 khi i → ∞.
Suy ra lim
i→∞



y
n
i
−
1
t
0
u



= 0.
Nhưng { y
n
i
} ⊂ A, và tập A đóng nên
1

t
0
u ∈ A
hay
u = t
0

1
t
0
u

∈ K (A) .
Do vậy K (A) là tập đóng.
+) ∀x, y ∈ K (A) ta có :
x = t
1
z
1
, t
1
≥ 0, z
1
∈ A,
y = t
2
z
2
, t
2

≥ 0, z
2
∈ A.
Suy ra x + y = t
1
z
1
+ t
2
z
2
.
Nếu t
1
= t
2
= 0 hiển nhiên x + y ∈ K (A).
Nếu t
1
= 0 hoặc t
2
= 0 thì hiển nhiên x + y ∈ K (A).
Nếu t
1
> 0 và t
2
> 0 thì ta có t
1
+t
2

> 0 và x+y = (t
1
+ t
2
)

t
1
t
1
+t
2
z
1
+
t
2
t
1
+t
2
z
2

.
Vì tập A lồi nên
t
1
t
1

+t
2
z
1
+
t
2
t
1
+t
2
z
2
∈ A, mà t
1
+ t
2
> 0 suy ra
x + y ∈ K (A).
+) ∀x ∈ K (A) , ∀α ∈ R, α ≥ 0 ta có x = ty, t ≥ 0, y ∈ A nên
αx = αty ∈ K (A) do αt ≥ 0, y ∈ A.
+) Giả sử u
0
∈ K (A) , u
0
= θ mà −u
0
∈ K (A).
15
Khi đó:

u
0
= t
1
y
1
, t
1
> 0, y
1
∈ A
−u
0
= t
2
y
2
, t
2
> 0, y
2
∈ A.
Ta có:
θ = u
0
+ (−u
0
) = t
1
y

1
+ t
2
y
2
= (t
1
+ t
2
)

t
1
t
1
+ t
2
y
1
+
t
2
t
1
+ t
2
y
2

∈ K (A)

Vì t
1
> 0 và t
2
> 0 nên
t
1
t
1
+ t
2
y
1
+
t
2
t
1
+ t
2
y
2
= θ ∈ A. Điều này trái với
giả t hiết θ không thuộc A.
Vậy K (A) thỏa mãn các điều kiện về nón nên, K (A) là mộ t nón trong
không gian E.
Định lí 1.2.6. Nếu K là một nón chuẩn tron g k hông gian định chuẩn
thực E, u
0
∈ K

∗
thì K
u
0
= K (u
0
) ∪{θ} là một nón trong không gian E.
Chứng minh. Ta có K
u
0
= ∅ vì θ ∈ K
u
0
. Ta sẽ chứng minh K
u
0
thỏa mãn
bốn điều kiện về nó n.
+) K
u
0
là tập đóng. Thật vậy, giả sử {x
n
} ⊂ K
u
0
, x
n
→ x ∈ E khi
n → ∞ t rong không gian E.

Nếu x = θ thì K
u
0
là tập đóng vì θ ∈ K
u
0
.
Nếu x = θ thì với số dương tùy ý ε ≤ x tồn tại số n
0
∈ N
∗
sao cho
với mọi n ≥ n
0
ta có:
|x
n
 −x| ≤ x
n
− x < ε
⇒ x −ε < x
n
 < ε + x.
Vì x
n
∈ K (u
0
) nên tồn tại các số dương a
n
, b

n
sao cho :
a
n
u
0
≤ x
n
≤ b
n
u
0
, n = 1, 2, . . . (1.3)
16
Mặt khác, K là nón chuẩn nên tồn tại N sao cho ∀x
n
∈ K (∀n ∈ N
∗
) ,
u
0
∈ K
u
0
 ≤
N
a
n
x
n

, x
n
 ≤ Nb
n
u
0
 ⇒ a
n
≤ N
x
n

u
0

, b
n
≥
x
n

N u
0

⇒ a
n
≤
N
u
0


(x + ε) , ∀n ≥ n
0
, b
n
≥
1
Nu
0

(x −ε) , ∀n ≥ n
0
⇒ sup
n≥n
0
a
n
≤
N
u
0

(x + ε) , inf
n≥n
0
b
n
≥
1
Nu

0

(x −ε) .
Suy ra tồn tại các dãy con đơn điệu {a
n
k
} ⊂ {a
n
}, a
n
k
→ a khi
k → ∞, {b
n
k
} ⊂ {b
n
}, b
n
k
→ b khi k → ∞.
Từ (1.3) ta có a
n
k
u
0
≤ x
n
k
≤ b

n
k
u
0
.
Cho k → ∞ ta có au
0
≤ x ≤ b u
0
. Do { x
n
k
} ⊂ {x
n
} ⊂ K
u
0
⊂ K và tập
K đóng, nên x ∈ K.
Do đó x ∈ K (u
0
) ⊂ K
u
0
hay K
u
0
là tập đóng.
+) ∀x, y ∈ K
u

0
ta chứng minh x + y ∈ K
u
0
.
Nếu x = y = θ thì hiển nhiên x + y ∈ K
u
0
.
Nếu x = θ hoặc y = θ thì hiển nhiên x + y ∈ K
u
0
.
Nếu x = θ, y = θ thì do x ∈ K (u
0
) , y ∈ K (u
0
) nên tồn tại cá c số dương
a, b, c, d sao cho:
au
0
≤ x ≤ bu
0
, cu
0
≤ y ≤ du
0
. (1.4)
Suy ra (a + c) u
0

≤ x + y ≤ (b + d) u
0
⇒ x + y ∈ K (u
0
) ⇒ x + y ∈ K
u
0
.
+) ∀x ∈ K
u
0
, ∀t ≥ 0 ta có tx ∈ K
u
0
. Thật vậy,
Nếu t = 0 thì tx = θ ∈ K
u
0
.
Nếu t > 0 và x = θ thì tx = θ ∈ K
u
0
.
Nếu t > 0 và x = θ thì vì x ∈ K (u
0
) nên tồn tại các số dương a, b sao
cho:
au
0
≤ x ≤ bu

0
.
Do đó tau
0
≤ tx ≤ tbu
0
, suy ra tx ∈ K (u
0
) hay tx ∈ K
u
0
.
+) ∀x ∈ K
u
0
, x = θ thì −x /∈ K
u
0
.
17
Thật vậy, vì x ∈ K
u
0
, x = θ nên x ∈ K (u
0
) ⊂ K hay x ∈ K.
Do K là một nón nên −x /∈ K ⇒ −x /∈ K
u
0
.

Vậy K
u
0
là một nón trong khô ng gian định chuẩn thực E.
Định lí 1.2.7. Cho K là một nón trong k hông gi an định chuẩn thực E,
u
0
∈ K\{θ}.Khi đó
K (u
0
) là một nón trong E.
Chứng minh. Trước hết ta thấy
K (u
0
) là tập đó ng khác rỗng. Thật vậy:
+) Vì u
0
∈ K (u
0
) ⊂ K (u
0
) ⇒ K (u
0
) = ∅.
+) ∀x, y ∈
K (u
0
) ta có x + y ∈ K (u
0
). Thật vậy,

∃(x
n
) ⊂ K (u
0
) , x
n
→ x (n → ∞), ∃(y
n
) ⊂ K (u
0
) , y
n
→ y (n → ∞) .
Suy ra x
n
+ y
n
→ x + y (n → ∞) trong đó x
n
+ y
n
∈ K (u
0
)vậy
x + y ∈
K (u
0
).
Tương tự, nếu x /∈ K (u
0

) , y ∈ K (u
0
) thì x + y ∈
K (u
0
).
+) ∀x ∈
K (u
0
), ∀t ≥ 0 ta có tx ∈ K (u
0
). Thật vậy,
Nếu x = θ hoặc t = 0 thì hiển nhiên tx ∈ K (u
0
).
Nếu x = θ và t > 0 thì tồn tại dãy {x
n
} ⊂ K (u
0
) sao cho x
n
→ x khi
n → ∞. Do đó {tx
n
} ⊂ K (u
0
) , tx
n
→ x khi n → ∞ hay tx ∈
K (u

0
).
+) ∀x ∈
K (u
0
), x = θ thì −x /∈ K (u
0
). Thật vậy, vì x ∈ K (u
0
) nên
x ∈ K. Mà x = θ và K là một nón nên − x /∈ K. Do đó −x /∈ K (u
0
).
Vậy
K (u
0
) là một nón trong không gian E.
1.2.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự
Định nghĩa 1.2.4. Không g ian định chuẩn thực E cùng với quan hệ
thứ tự theo nón K trong E gọi là không gian định chuẩn thực nửa sắp
thứ tự. Một không gian định chuẩ n thực nửa sắp thứ tự đồng thờ i là
không gian Banach t hì được gọ i là k hông gian Banach thực nửa sắp thứ
tự.
Định lí 1.2.8. Cho E là không gian Banach thực n ửa sắp thứ tự theo
nón K. Khi đó:
18
i, Nếu các dãy {x
n
} ⊂ E, {y
n

} ⊂ E, x
n
≤ y
n
, ∀n ∈ N
∗
và lim
n→∞
x
n
= x,
lim
n→∞
y
n
= y thì x ≤ y.
ii, Nếu x, y ∈ E, x ≤ y thì ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ≤ ty.
iii, Nếu x ∈ K, α, β ∈ R, α ≤ β thì α x ≤ βx.
Chứng minh. Ta chứng m inh từng kết luận trên.
i) Ta có x
n
≤ y
n
, ∀n ∈ N
∗
nên y
n
− x
n
∈ K, ∀n ∈ N

∗
.
Do lim
n→∞
(y
n
− x
n
) = y − x và K là tập đóng nên y −x ∈ K hay x ≤ y.
ii) Ta có x ≤ y nên y − x ∈ K. Do K là một nón nên ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta
có t (y − x) ∈ K. Suy ra ty −tx ∈ K hay tx ≤ ty .
iii) Ta có βx −αx = (β −α) x, và β −α ≥ 0, x ∈ K nên (β − α) x ∈ K.
Suy ra βx −αx ∈ K hay αx ≤ βx.
1.3 Không gian E
u
0
Định nghĩa 1.3.1. G iả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp
thứ tự theo nón K, u
0
∈ K\{θ}. Phần t ử x ∈ E gọi là u
0
- đo được nếu
tồn tại số dương t sao cho −tu
0
≤ x ≤ tu
0
. Tập hợp tất cả các phần tử
u
0
- đo được trong E kí hiệu là E

u
0
.
Định lí 1.3.1. Cho E là một không gian Bana ch th ực n ửa sắ p thứ tự
theo nón K, u
0
∈ K\{θ}. Khi đó E
u
0
là mộ t không gian tuyến tính.
Chứng minh. Ta có E là không gian tuyến tính thực và E
u
0
⊂ E, do vậy
để chứng minh định lí ta chỉ cần chứng minh E
u
0
là không g ian con của
E.
+) Ta thấy, θ ∈ E
u
0
vì với mọi t > 0 ta có −tu
0
< θ < tu
0
. Suy ra E
u
0
khác rỗng.

+) Với mọi x, y ∈ E
u
0
ta có x + y ∈ E
u
0
. Thật vậy, vì x, y ∈ E
u
0
nên tồn
19
tại cá c số dương t, t
′
sao cho



−tu
0
≤ x ≤ tu
0
,
−t
′
u
0
≤ y ≤ t
′
u
0

.
Suy ra −(t + t
′
) u
0
≤ x + y ≤ (t + t
′
) u
0
hay x + y ∈ E
u
0
.
+) Với mọi x ∈ E
u
0
, mọi α ∈ R ta có αx ∈ E
u
0
. Thật vậy, vì x ∈ E
u
0
nên tồn tại t > 0 sao cho −tu
0
≤ x ≤ tu
0
.
Nếu α ≥ 0 thì −tαu
0
≤ αx ≤ tαu

0
. Do đó αx ∈ E
u
0
.
Nếu α < 0 thì −α > 0 nên −t (−α) u
0
≤ (−α) x ≤ t (−α) u
0
hay
−[t (−α)] u
0
≤ αx ≤ t (−α) u
0
. Do đó αx ∈ E
u
0
.
Vì vậy E
u
0
là không gian con của E hay E
u
0
là không gian tuyến tính
thực.
Định lí 1.3.2. Cho E là một không gian Bana ch th ực n ửa sắ p thứ tự
theo nón K , u
0
∈ K\{θ}. Khi đó E

u
0
là không gian định chuẩn thực với
chuẩn xác định bởi:
x
u
0
= inf {t > 0 : −tu
0
≤ x ≤ tu
0
}. (1.5)
Chứng minh. Dễ thấy θ ∈ E
u
0
và nó đóng kín đối với phép cộng ha i
phần tử của E
u
0
và phép nhân một số thực với một phần tử của E
u
0
như
trong E, nên E
u
0
là một k hông g ian tuyến tính thực.
Ta chứng minh công thức (1.5) thỏa m ãn các điều kiện của chuẩn:
+) Hiển nhiên với mọi x ∈ E
u

0
ta có x
u
0
≥ 0.
Nếu x
u
0
= 0 thì tồn tại một dãy số dương {t
n
} hội tụ tới 0 khi n → ∞
sao cho :
−t
n
u
0
≤ x ≤ t
n
u
0
, ∀n. (1.6)
Từ (1.6) cho n → ∞ ta có θ ≤ x ≤ θ. Vì vậy x = θ.
Ngược lại, nếu x = θ thì x
u
0
= inf {t > 0 : −tu
0
≤ θ ≤ tu
0
} = 0.

Vậy x
u
0
= 0 ⇔ x = θ.
20
+) Với mọ i x ∈ E
u
0
, mọi α ∈ R t a có αx
u
0
= |α|x
u
0
. Thật vậy,
Nếu α = 0 thì 0.x
u
0
= θ
u
0
= 0 = 0. x
u
0
;
Nếu α > 0 thì:
αx
u
0
= inf {t > 0 : −tu

0
≤ αx ≤ tu
0
}
= inf

α
t
α
> 0 : −
t
α
u
0
≤ x ≤
t
α
u
0

= α inf

t
α
> 0 : −
t
α
u
0
≤ x ≤

t
α
u
0

= α x
u
0
= |α|x
u
0
;
Nếu α < 0 thì −α > 0 và ta có:
αx
u
0
= −(−α) x
u
0
= −αx
u
0
= −α x
u
0
= |α|x
u
0
.
Do đó với mọi x ∈ E

u
0
, mọi α ∈ R ta có αx 
u
0
= |α|x
u
0
.
+) Với mọi x, y ∈ E
u
0
thì x + y
u
0
≤ x
u
0
+ y
u
0
. Thật vậy, với
x ∈ E
u
0
, nên với mỗi n ∈ N
∗
tồn tại số dương t
n
sao cho:

−t
n
u
0
≤ x ≤ t
n
u
0
và t
n
< x
u
0
+
1
n
,
với y ∈ E
u
0
, nên với mỗi n ∈ N
∗
tồn tại số dương t
′
n
sao cho :
−t
′
n
u

0
≤ y ≤ t
′
n
u
0
và t
′
n
< y
u
0
+
1
n
.
Do đó,
−(t
n
+ t
′
n
) u
0
≤ x + y ≤ (t
n
+ t
′
n
) u

0
và t
n
+ t
′
n
< x
u
0
+ y
u
0
+
2
n
.
Suy ra x + y
u
0
≤ t
n
+ t
′
n
≤ x
u
0
+ y
u
0

+
2
n
, ∀n ∈ N
∗
.
Cho n → ∞ ta có x + y
u
0
≤ x
u
0
+ y
u
0
.
Như vậy công thức (1.5) xác định một chuẩn trên E
u
0
và E
u
0
trở thành
không gian định chuẩn với chuẩn (1.5). Chuẩn (1.5) thường được gọi là
u
0
- chuẩn.
21
Định lí 1.3.3. Nếu K là nón chuẩn trong khô ng gian Banach E thì
không gian E

u
0
là không gi an Banach theo u
0
- chuẩn.
Chứng minh. Giả sử {x
n
} là một dãy cơ bản bất kì trong không gian
E
u
0
theo u
0
- chuẩn, nghĩa là:
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao cho ∀m, n ≥ n
0
ta có x
n
− x
m

u
0
< ε.
Suy ra
inf {t > 0 : −tu

0
≤ x
n
− x
m
≤ tu
0
} < ε
⇒ −εu
0
≤ x
n
− x
m
≤ εu
0
. (1.7)
Vì −εu
0
≤ x
n
− x
m
nên x
n
− x
m
+ εu
0
∈ K.

Nhưng x
n
−x
m
+ εu
0
≤ 2εu
0
và K là nón chuẩn nên tồn tại số N dương
sao cho x
n
− x
m
+ εu
0
 ≤ 2Nε u
0
.
Mặt khác:
x
n
− x
m
 = x
n
− x
m
+ εu
0
− εu

0
 ≤ x
n
− x
m
+ εu
0
 + εu
0

hay x
n
− x
m
 ≤ (2N + 1) ε u
0
, ∀m, n ≥ n
0
.
Do đó dãy {x
n
} là dãy cơ bản trong khô ng gian Banach E nên tồn tại x
sao cho lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Từ (1.7) cho m → ∞ ta được − εu
0
≤ x

n
− x ≤ εu
0
, ∀n ≥ n
0
. Suy ra
x
n
− x ∈ E
u
0
hay x ∈ E
u
0
.
Mà x
n
− x
u
0
= inf {t > 0 : −tu
0
≤ x ≤ tu
0
} nên x
n
− x
u
0
≤ ε,

∀n ≥ n
0
hay {x
n
} hội tụ đến x trong E
u
0
theo u
0
- chuẩn.
Vậy E
u
0
là không gian Banach t heo u
0
- chuẩn.
22
1.4 Một số không gian B anach thực n ửa sắp thứ tự
1.4.1 Không gian C
1.4.1.1 Không gian tuyến tính thực C
Kí hi ệu C = {z = (x + i y) : x, y ∈ R, i là đơn vi ảo }. Ta đưa vào C
với hai phép toán:
∀z
1
= x
1
+ iy
1
∈ C, ∀z
2

= x
2
+ iy
2
∈ C, ∀α ∈ R ta đặt
z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i (y
1
+ y
2
) ,
αz
1
= (αx
1
+ iαy
1
) ,
Dễ dàng kiểm tra C cùng hai phép toán trên là một không gian tuyến
tính thực với phần tử k hông là 0 = 0 + i0.
1.4.1.2 Không gian định chuẩn thực C
* Với mỗi z = x + iy ∈ C ta đặt:
z =


x
2
+ y
2
. (1.8)
Công t hức (1.8) xác định một chuẩn trên C. Thật vậy,
+) ∀z = x + iy ∈ C thì

x
2
+ y
2
hoàn toàn xác định và

x
2
+ y
2
≥ 0
nên z ≥ 0, z = 0 ⇔ x
2
+ y
2
= 0 ⇔ x = y = 0 ⇔ z = 0.
+) ∀z = x + iy ∈ C,∀α ∈ R,
αz =

(αx)
2

+ (αy)
2
=

α
2
(x
2
+ y
2
) = |α|z.
+) ∀z
1
= x
1
+ iy
1
∈ C , ∀z
2
= x
2
+ iy
2
∈ C,
z
1
+ z
2

2

= (x
1
+ x
2
)
2
+ (y
1
+ y
2
)
2
=

x
1
2
+ y
1
2

+ 2 (x
1
x
2
+ y
1
y
2
) +


x
2
2
+ y
2
2

≤

x
1
2
+ y
1
2

+ 2

(x
2
1
+ y
1
2
)

(x
2
2

+ y
2
2
) +

x
2
2
+ y
2
2

≤


x
1
2
+ y
1
2
+

x
2
2
+ y
2
2


2
= (z
1
 + z
2
)
2
Do đó z
1
+ z
2
 ≤ z
1
 + z
2
.
Vậy công thức (1.8) xác định một chuẩn trên C. Không gia n định chuẩn
23
tương ứng kí hiệu là C .
* Sự hội tụ tro ng không gian C.
Định lí 1.4.1. Cho dãy điểm {z
n
}
∞
n=1
= {x
n
+ iy
n
}

∞
n=1
và z = x+iy ∈ C.
Khi đó
lim
n→∞
 z
n
− z = 0 ⇔ lim
n→∞
x
n
= x và lim
n→∞
y
n
= y.
Chứng minh. Giả sử dãy điểm {z
n
}
∞
n=1
∈ C hội tụ tớ i z trong C.
Theo định nghĩa ta có:
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n ≥ n
0

,  z
n
− z < ε.
Suy ra (∀n ≥ n
0
)

(x
n
− x)
2
+ (y
n
− y)
2
< ε,
⇒ ∀n ≥ n
0
ta có |x
n
− x| < ε và |y
n
− y| < ε. (1.9)
Các bất đẳng thức (1.9) chứng tỏ lim
n→∞
x
n
= x và lim
n→∞
y

n
= y.
Ngược lại, giả sử dãy điểm: lim
n→∞
x
n
= x và lim
n→∞
y
n
= y
⇔ ∀ε > 0, ∃n
1
∈ N
∗
: ∀n ≥ n
1
ta có |x
n
− x| <
ε
√
2
và |y
n
− y| <
ε
√
2
.

Suy ra ∀n ≥ n
1
ta có (x
n
− x)
2
<
ε
2
2
và (y
n
− y)
2
<
ε
2
2
⇒

(x
n
− x)
2
+ (y
n
− y)
2
< ε, ∀n ≥ n
1

.
Hay ∀ε > 0, ∃n
1
∈ N
∗
: ∀n ≥ n
0
ta có  z
n
− z < ε. Do đó dãy điểm
{z
n
} hội tụ tới z tro ng C.
1.4.1.3 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự C
* C là không gi an Banach thực với chuẩn (1.8)
Thật vậy, giả sử dãy {z
m
}
∞
m=1
⊂ C là một dãy cơ bản tùy ý trong C,
trong đó {z
m
} = {x
m
+ iy
m
}, m =
1, ∞ .
Theo định nghĩa dãy cơ bản ta có:

∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
: ∀m, p ≥ n
0
,  z
m
−z
p
=

(x
m
− x
p
)
2
+ (y
m
− y
p
)
2
< ε,
suy ra
|x
m
− x
p

| < ε và |y
m
− y
p
| < ε, ∀m, p ≥ n
0
. (1.10 )
24
Các bất đẳng thức (1 .10) chứng tỏ với mỗi dãy {x
m
}
∞
m=1
và {y
m
}
∞
m=1
là
dãy số thực cơ bản nên tồ n tại giới hạn lim
m→∞
x
m
= x, lim
m→∞
y
m
= y.
Đặt z = x + iy, theo định lí 1.4. 1, dãy {z
m

} hội t ụ tới z khi m → ∞
trong C.
Vậy C là không gian Banach.
* Nón trong không gian Bana ch thực C.
Xét K = {z = x + iy ∈ C : x ≥ 0, y ≥ 0}
Ta có tập K là một nón trong C. Thật vậy, tập K thỏa mãn các
điều kiện về nón:
+) K = ∅ vì θ = 0 + i0 ∈ K.
+) Giả sử {z
n
}
∞
n=1
⊂ K, z
n
= x
n
+ iy
n
và lim
n→∞
z
n
= z tro ng không gian
C, trong đó z = x + iy ∈ C.
Theo định lí 1.4.1: lim
n→∞
x
n
= x và lim

n→∞
y
n
= y
Vì x
n
≥ 0 và y
n
≥ 0, ∀n ∈ N
∗
nên x ≥ 0, y ≥ 0. Suy ra z ∈ K.
Vậy K là tậ p đóng.
+) Với mọ i z
1
, z
2
∈ K : z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
, x
i

≥ 0,
y
i
≥ 0 (i = 1, 2) ,
ta có z
1
+ z
2
= (x
1
+ x
2
) + i (y
1
+ y
2
) , x
1
+ x
2
≥ 0 và y
1
+ y
2
≥ 0 nên
z
1
+ z
2
∈ K.

+) Với mọ i z ∈ K, mọi t ∈ R, t ≥ 0 ta có tz ∈ K,
z = x + iy, x ≥ 0, y ≥ 0 nên tz = (tx) + i (ty) , tx ≥ 0, ty ≥ 0.
Suy ra tz ∈ K.
+) Với mọi z = x + iy ∈ K, z = θ ta có x > 0, y ≥ 0 hoặc x ≥ 0, y > 0
nên −x < 0, −y ≤ 0 hoặc −x ≤ 0, −y < 0 do đó,
−z = (−x) + i (−y) /∈ K.
Vậy K là nón trong k hông gian Banach C.
* Theo định lí 1.2.2 ta đưa vào C một quan hệ
′′
≤
′′
sắp thứ tự
theo nón K.
Ta có nhận xét:
25
+)Với z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
∈ C thì z
1
≤ z

2
⇔ x
1
≤ x
2
và
y
1
≤ y
2
. Thật vậy,
z
1
≤ z
2
⇔ z
2
− z
1
= (x
2
− x
1
) + i (y
2
− y
1
) ∈ K
⇔ x
2

− x
1
≥ 0, y
2
− y
1
≥ 0, tức là x
1
≤ x
2
, y
1
≤ y
2
.
+)Quan hệ
′′
≤
′′
xác định như trên là một qua n hệ sắp thứ tự bộ
phận.
Thật vậy, với hai phần tử z
1
, z
2
bất kỳ thuộc C có t hể không có quan hệ
′′
≤
′′
như trên.

Ví dụ: với z
1
= 1 + i0, z
2
= 0 + i1 ∈ C,
ta có z
1
−z
2
= 1 + i (−1) ∈ K, z
2
−z
1
= −1 + i1 ∈ K nên không có quan
hệ z
1
≤ z
2
và z
2
≤ z
1
.
Do đó C là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự (hay sắp thứ tự bộ
phận) theo nón K.
+) K là nón chuẩn trong C.
Thật vậy, giả sử ∀z
1
, z
2

∈ K, z
1
= x
1
+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
theo nhận xét
trên, nếu z
1
≤ z
2
thì 0 ≤ x
1
≤ x
2
, 0 ≤ y
1
≤ y
2
do đó :
z
1
 =


x
2
1
+ y
2
1
≤

x
2
2
+ y
2
2
= z
2

Do đó K là nón chuẩn (với N = 1).
1.4.1.4 Không gian C
u
0
Giả sử u
0
= (u
1
, u
2
) ∈ K\{θ}, u
2
1

+ u
2
2
> 0.
Đặt: I
1
= {j ∈ {1, 2} : u
j
> 0}, I
2
= {j ∈ {1, 2} : u
j
= 0} t a có
I
2
= {1, 2}\ I
1
, I
1
= ∅
*) Giả sử I
2
= ∅
Kí hiệu G = {z = x
1
+ ix
2
∈ C|x
j
= 0, j ∈ I

2
}.
Ta đi chứng minh: C
u
0
= G. Thậ t vậy:
+) Giả sử z = x
1
+ ix
2
∈ C
u
0
, ∃t > 0 sao cho:
−tu
0
≤ z ≤ tu
0
hay −tu
j
≤ x
j
≤ tu
j
(j = 1, 2) .