về định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ THU HƯƠNG
VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ HỢP THÀNH GIỮA CÁC
KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN THỊ THU HƯƠNG
VỀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA
ÁNH XẠ HỢP THÀNH GIỮA CÁC
KHÔNG GIAN METRIC ĐẦY ĐỦ
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG
Thái Nguyên - Năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
i
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Hà
Trần Phương, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, động viên tôi
trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Giải tích
trường ĐHSPTN đã truyền thụ cho tôi những kiến thức quan trọng, tạo
điều kiện thuận lợi, cho tôi những ý kiến đóng góp quý báu và giúp đỡ
tôi nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn trường ĐHSPTN và khoa Toán là nơi mà
tôi đã được đào tạo và hoàn thành luận văn thạc sỹ khoa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn trường THPT ATK Tân Trào - Sơn Dương,
Tuyên Quang nơi tôi đang công tác đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè là nguồn động viên lớn
lao trong quá trình tôi làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
Tác giả
Trần Thị Thu Hương
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
Mục lục
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức cơ bản 3
1.1 Không gian metric và không gian định chuẩn . . . . . . . 3
1.1.1 Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Không gian metric đầy đủ, không gian Banach . . 7
1.2 Ánh xạ Lipschitz và Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . 7
1.2.1 Ánh xạ Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian
metric 15
2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các
không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Trường hợp bốn không gian metric đầy đủ . . . . . 17
2.2.2 Trường hợp p không gian metric đầy đủ . . . . . . 29
Kết luận 40
Tài liệu tham khảo 41

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
Mở đầu
Vấn đề nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và cấu trúc điểm bất động
của ánh xạ đơn trị hay đa trị là một vấn đề thời sự, có lịch sử lâu dài, thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà Toán học trên thế giới: Brouwer,
Banach, Schauder, Tikhonov, và đạt được nhiều kết quả quan trọng.
Cho X là một không gian, T : X −→ X là một ánh xạ (đơn trị). Vấn đề
đặt ra là: với những điều kiện nào của X và T để có thể khẳng định sự
tồn tại điểm x
0
∈ X sao cho T x
0
= x
0
? Điểm x
0
như vậy gọi là điểm bất
động của ánh xạ T . Khái niệm này được mở rộng tự nhiên cho ánh xạ đa
trị.
Những định lí điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX,
trong đó phải kể đến Nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và Nguyên
lí ánh xạ co Banach (1922), trong đó Nguyên lí ánh xạ co Banach được
đánh giá là định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng
rãi nhất. Về sau, các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra nhiều lớp
ánh xạ và các không gian khác nhau, thu được nhiều kết quả quan trọng
và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học.
Các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ tập chung vào các
hướng: nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất (cấu trúc) của điểm bất động,
các phương pháp tìm điểm bất động và nghiên cứu ứng dụng của định lý

điểm bất động trong các lĩnh vực khác khau của toán học, đặc biệt trong
toán học ứng dụng và các bài toán kinh tế Các công trình theo hướng
nghiên cứu này được tập hợp lại dưới một tên chung: "Lý thuyết điểm
bất động" và ngày càng được phát triển mạnh mẽ.
Thời gian gần đây, các định lí điểm bất động còn được mở rộng cho một
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
họ ánh xạ giữa các không gian metric. Cho X
1
, , X
p
là một họ các không
gian metric, f
1
: X
1
→ X
2
, , f
p−1
: X
p−1
→ X
p
và f
p
: X
p
→ X
1

là một
họ các ánh xạ. Vấn đề đặt ra là với những điều kiện nào của các không
gian X
j
và ánh xạ f
j
thì các ánh xạ hợp thành f
j−1
f
j+1
f
j
: X
j
→ X
j
có điểm bất động. Những nghiên cứu đầu tiên theo hướng này phải kể
đến công trình của N. P. Nung (xem [3]), Ông nghiên cứu vấn đề trên với
p = 3 và có xem xét đến tính chất liên tục của các ánh xạ. Trong [8],
các tác giả xem xét với p = 3 và tính chất liên tục của các ánh xạ được
bỏ qua. L. Kikina và K. Kikina khảo sát với p = 4 trong [5] Trong
luận văn này, chúng tôi trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu và
chứng minh chi tiết kết quả L. Kikina và K. Kikina trong [5]. Ngoài ra
chúng tôi chứng minh một kết quả nghiên cứu mới của chúng tôi về định
lý điểm bất động trong trường hợp tổng quát p không gian metric đầy
đủ. Khi đặc biệt hóa p = 4, kết quả của chúng tôi mạnh hơn kết quả của
L. Kikina và K. Kikina trong [6].
Luận văn gồm hai chương: Chương 1 dành cho việc trình bày một số
vấn đề cơ sở của không gian metric, không gian Banach, Nguyên lý ánh
xạ co Banach và một số cải tiến của nó. Trong Chương 2, chúng tôi trình

bày về các dạng định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các
không gian metric đầy đủ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
Chương 1
Một số kiến thức cơ bản
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về
không gian metric, không gian Banach, ánh xạ Lipschitz và Nguyên lý
ánh xạ co Banach về điểm bất động.
1.1 Không gian metric và không gian định chuẩn
1.1.1 Một số khái niệm
Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị hàm
số
ρ : X × X → R
(x, y) → ρ(x, y)
thỏa mãn các điều kiện sau
(1) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y,
(2) ρ(x, y) = ρ(x, y), ∀x, y ∈ X,
(3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó ρ được gọi là một metric hay khoảng cách trên X và cặp (X, ρ) gọi
là một không gian metric. Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm,
ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x, y trên X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên trường
K(C, R), chuẩn trên X là hàm số
. : X −→ R
+
x −→ x

thỏa mãn các điều kiện
1) x  0, x = 0 ⇔ x = 0,
2) λx = |λ|x,
3) x + y  x + y,
với mọi x, y ∈ X và λ ∈ K.
Cặp (X, .), trong đó X là một không gian tuyến tính, . là một
chuẩn trên X, gọi là một không gian định chuẩn (hay còn gọi là không
gian tuyến tính định chuẩn).
Với một không gian định chuẩn (X, .), ta dễ dàng chứng minh được
hàm
ρ : X × X −→ R
+
,
xác định bởi ρ(x, y) = x − y, với x, y ∈ X, là một metric trên X, gọi
là metric sinh bởi chuẩn. Như vậy, không gian định chuẩn là một không
gian metric.
Ví dụ 1. Lấy X = R hoặc X = C, đặt
x = |x|, với x ∈ X.
Khi đó (X, .) là một không gian định chuẩn. Do đó (X, ρ) sẽ là một
không gian metric với ρ(x, y) = |x − y| (x, y ∈ X).
Ví dụ 2. Lấy X = R
n
với x = (x
1
, , x
n
), y = (y
1
, , y
n

) ∈ R
n
, đặt
ρ(x, y) =




n

k=1
|x
k
− y
k
|
2
.
Khi đó ρ thỏa mãn điều kiện (1) và (2). Ta chứng minh điều kiện (3):
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
Giả sử x = (x
1
, , x
n
), y = (y
1
, , y
n
), z = (z

1
, , z
n
) là ba phần tử
tùy ý trong R
n
. Khi đó:
ρ
2
(x, y) =
n

k=1
|x
k
− z
k
|
2

n

k=1
(|x
k
− y
k
| + |y
k
− z

k
|)
2
=
n

k=1
|x
k
− y
k
|
2
+ 2
n

k=1
|x
k
− y
k
|.|y
k
− z
k
| +
n

k=1
|y

k
− z
k
|
2

n

k=1
|x
k
− y
k
|
2
+ 2




n

k=1
|x
k
− y
k
|
2
.

n

k=1
|y
k
− z
k
|
2
+
n

k=1
|y
k
− z
k
|
2
=







n

k=1

|x
k
− y
k
|
2
+




n

k=1
|y
k
− z
k
|
2



2
= (ρ(x, y) + ρ(y, z))
2
.
Điều đó suy ra ρ(x, z)  ρ(x, y) + ρ(y, z). Như vậy ρ là một metric trên
R
n

và R
n
với metric xác định như trên là một không gian metric.
Ta cũng dễ chứng minh được (R
n
, .), trong đó
x =

x
2
1
+ x
2
2
+ · · · + x
2
n
, với x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
,
là một không gian định chuẩn.
Sự hội tụ trong không gian metric
Định nghĩa 1.3. Cho (X, ρ) là một không gian metric, {x
n

} là một dãy
các phần tử của X, ta nói {x
n
} hội tụ đến x
0
∈ X nếu:
lim
n→∞
ρ(x
n
, x
0
) = 0.
Khi đó ta viết lim
n→∞
x
n
= x
0
hoặc x
n
→ x
0
, x
0
gọi là giới hạn của dãy
{x
n
}.
Ví dụ 3. Trong không gian R và C,

lim
n→∞
x
n
= x
0
⇔ lim
n→∞
|x
n
− x
0
| = 0,
đây là sự hội tụ mà ta đã biết trong giải tích cổ điển.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Ví dụ 4. Trong không gian R
n
, giả sử {x
k
= (x
k
1
, , x
k
n
)}
∞
k=1
, x

0
=
(x
0
1
, , x
0
n
). Khi đó
lim
n→∞
x
k
= x
0
⇔ lim
n→∞

n

k=1
|x
k
i
− x
0
i
|
2


1
2
= 0
⇔ lim
n→∞
x
k
i
= x
0
i
, ∀i = 1, 2, , n.
Vì vậy ta thường gọi sự hội tụ trong không gian R
n
là sự hội tụ theo tọa
độ.
Tập hợp đóng và tập hợp mở trong không gian metric
Định nghĩa 1.4. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric, x
0
∈ X và
r > 0.Tập
B(x
0
, r) = {x ∈ X : ρ(x
0
, x) < r}
gọi là hình cầu mở tâm x
0
bán kính r.Tập
B(x

0
, r) = {x ∈ X : ρ(x
0
, x) ≤ r}
gọi là hình cầu đóng tâm x
0
bán kính r.
Định nghĩa 1.5. Giả sử A là một tập con của không gian metric (X, ρ),
điểm x
0
∈ A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại r > 0 sao cho
B(x
0
, r) ⊂ A. Tập tất cả các điểm trong của A được gọi là phần trong
của A và kí hiệu intA hoặc A
o
.
Nhận xét 1.1. Trong không gian metric (X, ρ), X, ∅ là các tập mở.
Hình cầu B(x
0
, r) là một tập mở vì với mọi x ∈ B(x
0
, r) luôn tồn tại
r
1
= r − ρ(x
0
, x) > 0 sao cho B(x, r
1
) ⊂ B(x

0
, r), tức là mọi điểm của
B(x
0
, r) đều là điểm trong
Định nghĩa 1.6. Một tập con A trong không gian metric (X, ρ) được
gọi là đóng nếu phần bù của nó C
X
A là tập mở.
Hiển nhiên X và ∅ là những tập đóng trong không gian metric (X, ρ).
Dễ dàng chứng minh được mọi hình cầu đóng là một tập đóng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
1.1.2 Không gian metric đầy đủ, không gian Banach
Định nghĩa 1.7. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric. Dãy {x
n
} các
phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu
lim
m,n→∞
ρ(x
m
, x
n
) = 0.
Nghĩa là ∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀m, n ≥ n

0
, ta có ρ(x
m
, x
n
) < ε.
Ta biết rằng mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là những
dãy Cauchy, tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng, ví dụ Q với metric
ρ(x, y) = |x−y|, x, y ∈ Q là một không gian metric, dãy

x
n
=

1 +
1
n

n

∞
n=1
là một dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q.
Định nghĩa 1.8. Không gian metric X được gọi là không gian metric
đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.9. Không gian định chuẩn đầy đủ với metric sinh bởi
chuẩn được gọi là không gian Banach.
Ví dụ 5. R, C với metric tự nhiên, là các không gian metric đầy đủ (theo
tiêu chuẩn Cauchy trong các không gian này). Đồng thời chúng cũng là
các không gian Banach.

Ví dụ 6. R
n
là một không gian Banach.
1.2 Ánh xạ Lipschitz và Nguyên lý ánh xạ co
1.2.1 Ánh xạ Lipschitz
Định nghĩa 1.10. Cho (X, ρ
X
), (Y, ρ
Y
) là hai không gian metric, ánh xạ
f : X → Y gọi là liên tục tại x
0
∈ X nếu với mỗi số ε > 0, tồn tại một
số δ > 0, sao cho với mọi x ∈ X : ρ
X
(x, x
0
) < δ, ta có
ρ
Y
(f(x), f(x
0
)) < ε.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
Ta nói ánh xạ f là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X.
Ánh xạ f : X → Y gọi là liên tục đều trên X nếu với mỗi số ε > 0, tồn
tại một số δ > 0, sao cho với mọi x, y ∈ X : ρ
X
(x, y) < δ, ta có

ρ
Y
(f(x), f(y)) < ε.
Nhận xét 1.2. Nếu f liên tục đều trên X thì liên tục trên X. Điều ngược
lại chưa chắc đúng.
Định nghĩa 1.11. Cho X là một không gian, f : X → X là một ánh
xạ. Điểm x ∈ X thỏa mãn
f(x) = x
được gọi là điểm bất động của ánh xạ f.
Việc tìm điểm bất động của một ánh xạ là vấn đề có nhiều ứng dụng
trong giải tích, nhất là trong lý thuyết các phương trình (vi phân, đạo
hàm riêng, tích phân), vì một điểm x bất động trong ánh xạ f chính là
lời giải của phương trình f(x) = x.
Định nghĩa 1.12. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ, ánh
xạ F : X → X được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số α ≥ 0 sao
cho:
ρ(F (x), F (y)) ≤ αρ(x, y), ∀x, y ∈ X. (1.1)
Chú ý rằng, một ánh xạ Lipschitz là liên tục. Số α nhỏ nhất thỏa mãn
(1.1) được gọi là hằng số Lipschitz và kí hiệu là L. Nếu L < 1 ta nói rằng
F là một phép co, hay còn gọi là ánh xạ co. Nếu L = 1 ta nói rằng F là
một ánh xạ không giãn.
1.2.2 Nguyên lý ánh xạ co
Với mỗi x ∈ X, ta xác định dãy {F
n
(x)} như sau: F
0
(x) = x và
F
n+1
(x) = F(F

n
(x)), với mỗi n = 0, 1, . . . .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
Định lý 1.3. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ, ánh xạ
F : X → X là một phép co với hằng số Lipschitz L < 1. Khi đó F có
duy nhất điểm bất động u ∈ X. Ngoài ra, với mọi x ∈ X, ta có
lim
n→∞
F
n
(x) = u,
với
ρ(F
n
(x), u) ≤
L
n
1 − L
ρ(x, F (x)).
Chứng minh Trước hết ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử tồn tại
x, y ∈ X với x = F(x) và y = F (y). Khi đó
ρ(x, y) = ρ(F(x), F (y)) ≤ Lρ(x, y).
Điều này kéo theo ρ(x, y) = 0, suy ra x = y.
Để chỉ ra sự tồn tại của x ∈ X. Trước tiên ta chứng minh {F
n
(x)} là
một dãy Cauchy. Chú ý rằng với n ∈ {0, 1, }, thì
ρ(F
n

(x), F
n+1
(x)) ≤ Lρ(F
n−1
(x), F
n
(x)) ≤ ≤ L
n
ρ(x, F (x)).
Như vậy với mọi các số nguyên dương m > n, ta có
ρ(F
n
(x), F
m
(x)) ≤ ρ(F
n
(x), F
n+1
(x)) + ρ(F
n+1
(x), F
n+2
(x))
+ + ρ(F
m−1
(x), F
m
(x))
≤ L
n

ρ(x, F (x)) + + L
m−1
ρ(x, F (x))
≤ L
n
ρ(x, F (x))[1 + L + L
2
+ ]
=
L
n
1 − L
ρ(x, F (x)).
Như vậy
ρ(F
n
(x), F
m
(x)) ≤
L
n
1 − L
ρ(x, F (x)), (1.2)
với mọi m > n. Điều đó suy ra
lim
m,n−→∞
ρ(F
n
(x), F
m

(x)) ≤ lim
m,n−→∞
L
n
1 − L
ρ(x, F (x)) = 0,
kéo theo {F
n
(x)} là một dãy Cauchy. Do X là đầy đủ nên tồn tại u ∈ X
sao cho lim
n→∞
F
n
(x) = u. Hơn nữa do tính liên tục của F ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
u = lim
n→∞
F
n+1
(x) = lim
n→∞
F (F
n
(x)) = F(u),
vì vậy u là một điểm bất động của F . Trong (1.2) cho m → ∞ ta được
ρ(F
n
(x), u) ≤
L

n
1 − L
ρ(x, F (x)).
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.3 còn được biết đến với tên Nguyên lý ánh xạ co Banach.
Trong Định lí 1.3, điều kiện L < 1 rất quan trọng. Nếu L = 1 thì có thể
F không có điểm bất động. Chẳng hạn như F (x) = x + 1, với x ∈ R,
hoặc F (x) = ln(1 + e
x
) thì
ρ(F (x), F (y)) ≤ ρ(x, y),
với mọi x, y ∈ X, x = y, nhưng F cũng không có điểm bất động. Tuy
nhiên, có một kết quả được khẳng định trong định lí sau của Edelstein.
Định lý 1.4. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric compact và ánh xạ
F : X → X thỏa mãn
ρ(F (x), F (y)) < ρ(x, y), với x, y ∈ X và x = y.
Khi đó F có một điểm bất động duy nhất trong X.
Chứng minh Trước hết, ta chứng minh sự tồn tại của điểm bất động.
Ta thấy rằng ánh xạ x → ρ(x, F (x)) đạt giá trị nhỏ nhất trên X, vì hàm
số này liên tục trên tập compact X, ta giả sử nó đạt giá trị nhỏ nhất tại
x
0
∈ X. Khi đó x
0
= F(x
0
) vì nếu ngược lại
ρ(F (F (x
0
)), F (x

0
)) < ρ(F (x
0
), x
0
),
mâu thuẫn. Việc chứng minh tính duy nhất là đơn giản.
Tiếp theo ta sẽ trình bày một kết quả về điểm bất động của ánh xạ
giữa các không gian.
Định lý 1.5. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ, với x
0
∈ X
và r > 0, kí hiệu
B(x
0
, r) = {x ∈ X : ρ(x, x
0
) < r}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
Giả sử F : B(x
0
, r) → X là một phép co với hằng số Lipschitz L ∈ [0; 1)
thỏa mãn ρ(F(x
0
), x
0
) < (1 − L)r. Khi đó F có một điểm bất động duy
nhất trong B(x
0

, r).
Chứng minh. Gọi r
0
thỏa mãn 0 ≤ r
0
< r và
ρ(F (x
0
), x
0
) ≤ (1 − L)r
0
.
Ta sẽ chỉ ra rằng
F : B(x
0
, r
0
) → B(x
0
, r
0
).
Để chỉ ra điều đó nếu x ∈ B(x
0
, r
0
) thì
ρ(F (x), x
0

) ≤ ρ(F (x), F (x
0
)) + ρ(F (x
0
), x
0
)
≤ Lρ(x, x
0
) + (1 − L)r
0
≤ r
0
.
Điều này kéo theo F (x) ∈ B(x
0
, r
0
). Từ Định lí 1.3 suy ra, F có một
điểm bất động duy nhất trong B(x
0
, r
0
) ⊂ B(x
0
, r). Dễ thấy điểm bất
động này của F cũng là duy nhất trong B(x
0
, r).
Định lý 1.6. Cho B

r
là hình cầu đóng với bán kính r > 0, tâm là gốc
tọa độ, trong không gian Banach E. Và F : B
r
→ E là một phép co với
hằng số Lipschitz L ∈ [0; 1) thỏa mãn
F (∂B
r
) ⊆ B
r
.
Khi đó F có một điểm bất động duy nhất trong B
r
(ở đây ∂B
r
là kí hiệu
biên của B
r
).
Chứng minh Xét hàm số
G(x) =
x + F (x)
2
.
Trước tiên ta chỉ ra rằng G : B
r
→ B
r
. Thật vậy, với x ∈ B
r

và x = 0,
đặt
x
∗
= r
x
||x||
.
Khi đó
||F (x) − F (x
∗
)|| ≤ L||x − x
∗
|| = L(r − ||x||),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
vì x − x
∗
=
x
||x||
(||x|| − r), suy ra
||F (x)|| ≤ ||F (x
∗
)|| + ||F (x) − F (x
∗
)||
≤ r + L(r − ||x||) ≤ 2r − ||x||.
Khi đó, với x ∈ B
r

và x = 0, ta có
||G(x)|| =








x + F (x)
2








≤
||x|| + ||F (x)||
2
≤ r.
Điều này kéo theo G(x) ∈ B
r
, với mọi x ∈ B
r
và x = 0. Với x = 0, từ
cách đặt hàm G ta có

||G(0)|| ≤ r.
Như vậy G : B
r
→ B
r
. Hơn nữa G : B
r
→ B
r
là một phép co vì
||G(x) − G(y)|| ≤
||x − y|| + L||x − y||
2
=
(1 + L)
2
||x − y||.
Từ Định lí 1.3, suy ra G có một điểm bất động duy nhất u ∈ B
r
. Hiển
nhiên nếu u = G(u) thì u = F (u). Do đó u chính là điểm bất động duy
nhất của ánh xạ F .
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh một kết quả cải tiến của Nguyên lý
ánh xạ co Banach. Trước hết ta chứng minh mệnh đề
Mệnh đề 1.7. Cho (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ và F : X →
X là một ánh xạ (không cần liên tục). Giả sử mệnh đề sau thỏa mãn










∀ > 0, ∃δ() > 0 sao cho nếu
ρ(x, F (x)) < δ(), thì F (B(x, )) ⊆ B(x, ),
trong đó B(x, ) = {y ∈ X : ρ(x, y) < }.
(1.3)
Khi đó, nếu với mỗi u ∈ X ta có
lim
n→∞
ρ(F
n
(u), F
n+1
(u)) = 0,
thì dãy {F
n
(u)} hội tụ tới một điểm bất động của F .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Chứng minh Giả sử u được xác định như trên và u
n
= F
n
(u). Ta chứng
minh rằng {u
n
} là một dãy Cauchy. Giả sử  > 0 chọn δ() như trong

(1.3) ta có thể chọn N đủ lớn sao cho
ρ(u
n
, u
n+1
) < δ(), với mọi n ≥ N.
Vì ρ(u
N
, F (u
N
)) < δ(), nên từ (1.3) suy ra
F (B(u
N
, )) ⊆ B(u
N
, ),
từ đó suy ra F (u
N
) = u
N+1
∈ B(u
N
, ). Bằng quy nạp ta chứng minh
được
F
k
(u
N
) = u
N+k

∈ B(u
N
, ), với mọi k ∈ {0, 1, 2, }.
Do đó
ρ(u
k
, u
l
) ≤ ρ(u
k
, u
N
) + ρ(u
N
, u
l
) < 2, với mọi k, l ≥ N,
kéo theo {u
n
} là một dãy Cauchy. Do X đầy đủ nên dãy {u
n
} hội tụ
trong X, tức là, tồn tại y ∈ X sao cho
lim
n→∞
u
n
= y.
Bây giờ, ta chứng minh y là một điểm bất động của F . Giả sử ngược
lại thì

ρ(y, F (y)) = γ > 0.
Ta có thể chọn (và cố định) u
n
∈ B(y, γ/3) với
ρ(u
n
, u
n+1
) < δ(γ/3).
Từ (1.3) ta có
F (B(u
n
, γ/3)) ⊆ B(u
n
, γ/3),
do đó F (y) ∈ B(u
n
, γ/3). Điều này mẫu thuẫn vì
ρ(F (y), u
n
) ≥ ρ(F (y), y) − ρ(u
n
, y) > γ −
γ
3
=
2γ
3
.
Do vậy ρ(y, F (y)) = 0. Tức là y = F (y), hay y là một điểm bất động của

F . Từ chứng minh trên suy ra lim
n−→∞
F
n
(u) = y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Định lý 1.8. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric đầy đủ và
ρ(F (x), F (y)) ≤ ϕ(ρ(x, y)), với mọi x, y ∈ X,
trong đó ϕ : [0; ∞) → [0; ∞) là hàm đơn điệu, không giảm thỏa mãn
lim
n→∞
ϕ
n
(t) = 0, (1.4)
với mọi t > 0. Khi đó F có một điểm bất động duy nhất u ∈ X và với
mọi x ∈ X,
lim
n→∞
F
n
(x) = u, với mỗi x ∈ X.
Chứng minh Ta thấy, nếu tồn tại t > 0 thỏa mãn t ≤ ϕ(t). Khi đó
ϕ(t) ≤ ϕ(ϕ(t)) và t ≤ ϕ
2
(t).
Bằng quy nạp ta chứng minh được t ≤ ϕ
n
(t), với n ∈ {1, 2, }, mâu
thuẫn với (1.4). Vì vậy ϕ(t) < t, với mọi t > 0. Hơn nữa

ρ(F
n
(x), F
n+1
(x)) ≤ ϕ
n
(ρ(x, F (x))), với x ∈ X.
Điều đó kéo theo
lim
n→∞
ρ(F
n
(x), F
n+1
(x)) = 0, với mỗi x ∈ X.
Với  > 0, chọn δ() =  − ϕ(). Khi đó nếu ρ(x, F (x)) < δ(), thì với
z ∈ B(x, ) = {y ∈ X : ρ(x, y) < }, ta có
ρ(F (z), x) ≤ ρ(F (z), F (x)) + ρ(F (x), x) ≤ ϕ(ρ(z, x)) + ρ(F (x), x)
< ϕ(ρ(z, x)) + δ() ≤ ϕ() + ( − ϕ()) = ,
do đó F (z) ∈ B(x, ). Từ Mệnh đề 1.7 suy ra F có một điểm bất động u
với lim
n→∞
F
n
(x) = u, với mỗi x ∈ X. Cuối cùng ta dễ dàng thấy F chỉ có
một điểm bất động trong X.
Nhận xét 1.9. Chú ý rằng Định lí 1.3 là một trường hợp đặc biệt của
Định lí 1.8 nếu ta chọn ϕ(t) = Lt với 0 ≤ L < 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15

Chương 2
Điểm bất động của ánh xạ hợp
thành giữa các không gian metric
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số nghiên cứu về điểm
bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric đầy đủ.
2.1 Mở đầu
Cho X
1
, , X
p
là một họ gồm p không gian metric và
f
1
: X
1
→ X
2
, , f
p−1
: X
p−1
→ X
p
, f
p
: X
p
→ X
1
là các ánh xạ giữa các không gian đó. Khi đó, ta có p ánh xạ hợp thành

từ mỗi không gian X
j
, j = 1, . . . , p, vào chính nó như sau:
H
1
= f
1
f
2
. . . f
p
: X
1
−→ X
1
,
H
j
= f
j
. . . f
p
f
1
. . . f
j−1
: X
j
−→ X
j

, j = 2, 3 . . . , p.
Với mỗi j ∈ {1, . . . , p}, một điểm x
∗
j
∈ X
j
được gọi là điểm bất động của
ánh xạ hợp thành H
j
nếu
H
j
(x
∗
j
) = x
∗
j
.
Một vấn đề đặt ra là: với những điều kiện nào của các không gian X
j
và các ánh xạ f
j
thì mỗi ánh xạ hợp thành H
j
: X
j
→ X
j
đều có điểm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
bất động. Năm 1983, trong [8], N. P. Nung nghiên cứu trong trường hợp
p = 3, và Ông đã thu được kết quả:
Định lí 2.1.Cho (X, d
1
), (Y, d
2
), (Z, d
3
) là 3 không gian metric đầy đủ và
T : X → Y, S : Y → Z, R : Z → X là các ánh xạ liên tục thỏa mãn các
điều kiện
d
1
(RSy, RST x) ≤
cf
1
(x, y)
g
1
(x, y)
,
d
2
(T Rz, T RSy) ≤
cf
2
(y, z)
g

2
(y, z)
,
d
3
(STx, ST Rz) ≤
cf
3
(z, x)
g
3
(z, x)
,
với mọi x ∈ X, y ∈ Y và z ∈ Z sao cho g
1
(x, y) = 0 , g
2
(y, z) = 0,
g
3
(z, x) = 0, trong đó 0 ≤ c < 1 và
f
1
(x, y) = max{d
1
(x, RST x)d
3
(Sy, ST x), d
1
(x, RST x)d

2
(y, T RSy),
d
1
(x, RSy)d
2
(y, T x)},
f
2
(y, z) = max{d
2
(y, T RSy)d
1
(Rz, RSy), d
2
(y, T RSy)d
3
(z, ST Rz),
d
2
(y, T Rz)d
3
(z, Sy)},
f
3
(z, x) = max{d
3
(z, ST Rz)d
2
(T x, T Rz), d

3
(z, ST Rz)d
1
(x, RST x),
d
3
(z, ST x)d
1
(x, Rz)},
g
1
(x, y) = max{d
1
(x, RSy),d
1
(x, RST x), d
2
(T x, T RSy)},
g
2
(y, z) = max{d
2
(y, T Rz),d
2
(y, T RSy), d
3
(Sy, ST Rz)},
g
3
(z, x) = max{d

3
(z, ST x),d
3
(z, ST Rz), d
1
(Rz, RST x)}.
Khi đó RST có một điểm bất động duy nhất α ∈ X, T RS có một điểm
bất động duy nhất β ∈ Y, ST R có một điểm bất động duy nhất γ ∈ Z.
Hơn nữa, T α = β, Sβ = γ và Rγ = α.
Công trình của Nung được xem là một trong những nghiên cứu đầu
tiên về điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa các không gian metric,
trong đó các không gian metric là đầy đủ và các ánh xạ giữa các không
gian là liên tục. Về sau, nhiều tác giả đã nghiên cứu các trường hợp mở
rộng khác nhau của kết quả trên theo các hướng:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
- Xem xét vấn đề tương tự với số không gian lớn hơn;
- Xem xét sự cần thiết về tính liên tục của các ánh xạ giữa các không
gian;
- Xem xét tính cần thiết về tính đầy đủ không gian metric;
- Thay đổi các điều kiện của hằng số c trong định lí trên.
Năm 1996, R. K. Jain, H. K. Sahu và B. Fiher ([3]) đã chứng minh
một định lí điểm bất động giữa các không gian metric trong trường hợp
p = 3, trong đó tính liên tục của các ánh xạ giữa các không gian đã được
bỏ qua. Về sau, việc phát triển các mở rộng của vấn đề theo các hướng
trên thu hút được nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả quan
trọng. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số kết quả nghiên
cứu của một số tác giả và của chúng tôi theo hướng nghiên cứu này. Cụ
thể, chúng tôi trình bày kết quả của L. Kikina và K. Kikina ([5]) về định
lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành giữa bốn không gian metric đầy

đủ. Và chứng minh một mở rộng kết quả của đó trong trường hợp tổng
quát p không gian metric đầy đủ.
2.2 Định lý điểm bất động của ánh xạ hợp thành
giữa các không gian metric đầy đủ
2.2.1 Trường hợp bốn không gian metric đầy đủ
Định lí 2.2.(xem [5])Cho (X, d
1
), (Y, d
2
), (Z, d
3
) và (U, d
4
) là 4 không
gian metric đầy đủ và T : X → Y, S : Y → Z, R : Z → U và
Q : U → X là các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau:
d
1
(QRSy, QRST x) ≤ cF
1
(x, y)/G
1
(x, y), (2.1)
d
2
(T QRz, T QRSy) ≤ cF
2
(y, z)/G
2
(y, z), (2.2)

d
3
(STQu, ST QRz) ≤ cF
3
(z, u)/G
3
(z, u), (2.3)
d
4
(RST x, RSTQu) ≤ cF
4
(u, x)/G
4
(u, x), (2.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
với mọi x ∈ X, y ∈ Y, x ∈ Z và u ∈ U thỏa mãn
G
1
(x, y) = 0, G
2
(y, z) = 0, G
3
(z, u) = 0, G
4
(u, x) = 0,
trong đó 0 ≤ c < 1 và
F
1
(x, y) = max{d

1
(x, QRST x)d
4
(RSy, RST x), d
1
(x, QRSy)d
2
(y, T x)}
d
1
(x.QRST x)d
3
(Sy, ST x), d
1
(x, QRST x)d
2
(y, T QRSy),
F
2
(y, z) = max{d
2
(y, T QRSy)d
1
(QRz, QRSy), d
2
(y, T QRz)d
3
(z, Sy)}
d
2

(y.T QRSy)d
4
(Rz, RSy), d
2
(y, T QRSy)d
3
(z, ST QRz),
F
3
(z, u) = max{d
3
(z, ST QRz)d
2
(T Qu, T QRz), d
3
(z, ST Qu)d
4
(u, Rz)}
d
3
(z.ST QRz)d
1
(Qu, QRz), d
3
(z, ST QRz)d
4
(u, RST Qu),
F
4
(u, x) = max{d

4
(u, RST Qu)d
3
(STx, ST Qu), d
4
(u, RST x)d
1
(x, Qu)}
d
4
(u.RST Qu)d
2
(T x, T Qu), d
4
(u, RST Qu)d
1
(x, QRST x),
G
1
(x, y) = max{d
1
(x, QRSy), d
1
(x, QRST x), d
2
(T x, T QRSy)},
G
2
(y, z) = max{d
2

(y, T QRz), d
2
(y, T QRSy), d
3
(Sy, ST QRz)},
G
3
(z, u) = max{d
3
(z, ST Qu), d
3
(z, ST QRz), d
4
(Rz, RST Qu)},
G
4
(u, x) = max{d
4
(u, RST x), d
4
(u, RST Qu), d
1
(Qu, QRST x)}.
Khi đó QRST có một điểm bất động duy nhất α ∈ X, TQRS có một
điểm bất động duy nhất β ∈ Y , STQR có một điểm bất động duy nhất
γ ∈ Z và RST Q có một điểm bất động duy nhất δ ∈ U. Hơn nữa,
T α = β, Sβ = γ, Rγ = δ và Qδ = α.
Chứng minh Lấy x
0
∈ X là một điểm tùy ý. Ta xây dựng bốn dãy

(x
n
), (y
n
), (z
n
) và (u
n
) trong các không gian X, Y, Z và U tương ứng như
sau:
x
n
= (QRST)
n
x
0
, y
n
= Tx
n−1
, z
n
= Sy
n
, u
n
= Rz
n
,
với n ∈ N.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Trước hết, ta khẳng định rằng, chỉ cần xem xét trong trường hợp
x
n
= x
n+1
, y
n
= y
n+1
, z
n
= z
n+1
, u
n
= u
n+1
,
với mọi n ∈ N. Vì nếu tồn tại n
0
∈ N
∗
sao cho x
n
0
= x
n
0

+1
thì
y
n
0
+1
= y
n
0
+2
, z
n
0
+1
= z
n
0
+2
, u
n
0
+1
= u
n
0
+2
.
Điều đó kéo theo
y
n

0
+p
= y
n
0
+1
, z
n
0
+p
= z
n
0
+1
, u
n
0
+p
= u
n
0
+1
, và x
n
0
+p
= x
n
0
.

Với mọi p ∈ N
∗
. Khi đó các điểm
α = x
n
0
, β = y
n
0
+1
, γ = z
n
0
+1
và δ = u
n
0
+1
là những điểm thỏa mãn Định lý 2.2. Nếu tồn tại n
0
∈ N
∗
sao cho y
n
0
=
y
n
0
+1

thì z
n
0
= z
n
0
+1
, u
n
0
= u
n
0
+1
, kéo theo x
n
0
= x
n
0
+1
. Tương tự, nếu
tồn tại n
0
∈ N
∗
sao cho z
n
0
= z

n
0
+1
hoặc u
n
0
= u
n
0
+1
thì ta cũng có
x
n
0
= x
n
0
+1
. Khi đó các điểm
α = x
n
0
+1
, β = y
n
0
+2
, γ = z
n
0

+2
và δ = u
n
0
+2
,
thỏa mãn Định lý 2.2. Do đó, ta chỉ cần xem xét trong trường hợp
x
n
= x
n+1
, y
n
= y
n+1
, z
n
= z
n+1
, u
n
= u
n+1
,
với mọi n ∈ N.
Lấy z = z
n−1
và y = y
n
trong (2.2), ta có:

d
2
(y
n
, y
n+1
) =d
2
(T QRz
n−1
, T QRSy
n
) ≤
cF
2
(y
n
, z
n−1
)
G
2
(y
n
, z
n−1
)
.
Ta có
F

2
(y
n
, z
n−1
) = max{d
2
(y
n
, y
n+1
)d
1
(x
n−1
, x
n
), d
2
(y
n
, y
n+1
)d
4
(u
n−1
, u
n
),

d
2
(y
n
, y
n+1
)d
3
(z
n−1
, z
n
), d
2
(y
n
, y
n
)d
3
(z
n−1
, z
n
)}
= d
2
(y
n
, y

n+1
) max{d
1
(x
n−1
, x
n
), d
4
(u
n−1
, u
n
), d
3
(z
n−1
, z
n
)},
G
2
(y
n
, z
n−1
) = max{d
2
(y
n

, y
n
), d
2
(y
n
, y
n+1
), d
3
(z
n
, z
n
)}
= d
2
(y
n
, y
n+1
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
Nên
d
2
(y
n
, y

n+1
)  c max{d
1
(x
n−1
, x
n
), d
3
(z
n−1
, z
n
), d
4
(u
n−1
, u
n
)}. (2.5)
Lấy u = u
n−1
và z = z
n
trong (2.3) ta có:
d
3
(z
n
, z

n+1
) = d
3
(STQu
n−1
, ST QRz
n
) ≤
cF
3
(z
n
, u
n−1
)
G
3
(z
n
, u
n−1
)
.
Ta có
F
3
(z
n
, u
n−1

) = max{d
3
(z
n
, z
n+1
)d
2
(y
n−1
, y
n
), d
3
(z
n
, z
n+1
)d
1
(x
n−1
, x
n
),
d
3
(z
n
, z

n+1
)d
4
(u
n−1
, u
n
), d
3
(z
n
, z
n
)d
4
(u
n−1
, u
n
)}
= d
3
(z
n
, z
n+1
) max{d
2
(y
n−1

, y
n
), d
1
(x
n−1
, x
n
), d
4
(u
n−1
, u
n
)},
G
3
(z
n
, u
n−1
) = max{d
3
(z
n
, z
n
), d
3
(z

n
, z
n+1
), d
3
(u
n
, u
n
)}
= d
3
(z
n
, z
n+1
).
Nên
d
3
(z
n
, z
n+1
)  c max{d
2
(y
n
, y
n+1

), d
1
(x
n−1
, x
n
), d
4
(u
n−1
, u
n
)}. (2.6)
Kết hợp với (2.5) ta có:
d
3
(z
n
, z
n+1
) ≤ c max{cd
1
(x
n−1
, x
n
), cd
3
(z
n−1

, z
n
), cd
4
(u
n−1
, u
n
),
d
1
(x
n−1
, x
n
), d
4
(u
n−1
, u
n
)}
= c max{d
1
(x
n−1
, x
n
), d
3

(z
n−1
, z
n
), d
4
(u
n−1
, u
n
)}. (2.7)
Lấy u = u
n
và x = x
n−1
trong (2.4) ta có:
d
4
(u
n
, u
n+1
) = d
4
(RST x
n−1
, RST Qu
n
) ≤
cF

4
(u
n
, x
n−1
)
G
4
(u
n
, x
n−1
)
.
Trong đó
F
4
(u
n
, x
n−1
) = max{d
4
(u
n
, u
n+1
)d
3
(z

n
, z
n+1
), d
4
(u
n
, u
n+1
)d
2
(y
n
, y
n+1
),
d
4
(u
n
, u
n+1
)d
1
(x
n−1
, x
n
), d
4

(u
n
, u
n
)d
1
(x
n−1
, x
n
)}
= d
4
(u
n
, u
n+1
) max{d
3
(z
n
, z
n+1
), d
2
(y
n
, y
n+1
), d

1
(x
n−1
, x
n
)},
G
3
(z
n
, u
n−1
) = max{d
4
(u
n
, u
n
), d
4
(u
n
, u
n+1
), d
1
(x
n
, x
n

)}
= d
4
(u
n
, u
n+1
).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
21
Nên
d
4
(u
n
, u
n+1
)  c max{d
3
(z
n
, z
n+1
), d
2
(y
n
, y
n+1
), d

1
(x
n−1
, x
n
)}. (2.8)
Thay thế (2.5) và (2.7) vào (2.8) ta có:
d
4
(u
n
, u
n+1
) ≤ c max{d
1
(x
n−1
, x
n
), d
3
(z
n−1
, z
n
), d
4
(u
n−1
, u

n
)}. (2.9)
Lấy x = x
n
và y = y
n
trong (2.1) ta có:
d
1
(x
n
, x
n+1
) = d
1
(QRSy
n
, QRST x
n
) ≤
cF
1
(x
n
, y
n
)
G
1
(x

n
, y
n
)
.
Trong đó
F
1
(x
n
, y
n
) = max{d
1
(x
n
, x
n+1
)d
4
(u
n
, u
n+1
), d
1
(x
n
, x
n+1

)d
3
(z
n
, z
n+1
),
d
1
(x
n
, x
n+1
)d
2
(y
n
, y
n+1
), d
1
(x
n
, x
n
)d
2
(y
n
, y

n+1
)}
= d
1
(x
n
, x
n+1
) max{d
4
(u
n
, u
n+1
), d
3
(z
n
, z
n+1
), d
2
(y
n
, y
n+1
)},
G
1
(x

n
, y
n
) = max{d
1
(x
n
, x
n
), d
1
(x
n
, x
n+1
), d
2
(y
n+1
, y
n+1
)}
= d
1
(x
n
, x
n+1
).
Nên

d
1
(x
n
, x
n+1
)  c max{d
4
(u
n
, u
n+1
), d
3
(z
n
, z
n+1
), d
2
(y
n
, y
n+1
)}.
Kết hợp bất đẳng thức trên với (2.5), (2.7) và (2.9), ta có
d
1
(x
n

, x
n+1
) ≤ c max{d
1
(x
n−1
, x
n
), d
3
(z
n−1
, z
n
), d
4
(u
n−1
, u
n
)}. (2.10)
Từ các bất đẳng thức (2.5), (2.7), (2.9) và (2.10), bằng quy nạp chứng
minh quy nạp, ta suy ra
d
1
(x
n
, x
n+1
) ≤ c

n−1
max{d
1
(x
1
, x
2
), d
3
(z
1
, z
2
), d
4
(u
1
, u
2
)},
d
2
(y
n
, y
n+1
) ≤ c
n−1
max{d
1

(x
1
, x
2
), d
3
(z
1
, z
2
), d
4
(u
1
, u
2
)},
d
3
(z
n
, z
n+1
) ≤ c
n−1
max{d
1
(x
1
, x

2
), d
3
(z
1
, z
2
), d
4
(u
1
, u
2
)},
d
4
(u
n
, u
n+1
) ≤ c
n−1
max{d
1
(x
1
, x
2
), d
3

(z
1
, z
2
), d
4
(u
1
, u
2
)}.
Do 0 ≤ c < 1, nên các dãy (x
n
), (y
n
), (z
n
) và (u
n
) là dãy Cauchy, tương
ứng trong các không metric đầy đủ (X, d
1
), (Y, d
2
), (Z, d
3
) và (U, d
4
), do
đó chúng hội tụ. Đặt

lim
n→∞
x
n
= α ∈ X, lim
n→∞
y
n
= β ∈ Y, lim
n→∞
z
n
= γ ∈ Z, lim
n→∞
u
n
= δ ∈ U.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên