Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Metric mờ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (287.68 KB, 65 trang )

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
TS. Hà Đức Vượng, người thầy đã luôn quan tâm, động viên và tận
tình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô
giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành
Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học
tập và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động
viên và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Huyền
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của riêng
tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Hà Đức Vượng.
Quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng và kế thừa thành quả
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Huyền
Mục lục
Mở đầu 1
Nội dung 4
1 Kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Không gian metric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Ánh xạ tương thích yếu

trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Không gian metric mờ 32
2.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Sự hội tụ trong không gian metric mờ . . . . . . . . 44
2.3 Mối quan hệ giữa không gian metric và
không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Điểm bất động
cho các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian metric mờ 49
3.1 Ánh xạ tương thích yếu
trong không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian metric mờ . . . . . . . . . . . . . 50
Kết luận 58
Tài liệu tham khảo 59
1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cho G là một tập hợp khác rỗng và ánh xạ T : G → G.
Điểm x ∈ G thỏa mãn phương trình Tx = x được gọi là điểm bất
động của ánh xạ T trên tập G.
Việc nghiên cứu về điểm bất động có ý nghĩa rất lớn cả về lý
thuyết và ứng dụng trong toán học nói riêng và khoa học kỹ thuật
nói chung, do đó đã thu hút nhiều nhà toán học quan tâm. Các kết
quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên “ Lý thuyết điểm
bất động”.
Năm 1965, Zadeh là người đầu tiên đưa ra khái niệm “tập mờ”,
đó là các ánh xạ đi từ tập X vào đoạn [0 ; 1]. Sau đó có rất nhiều

nhà toán học nghiên cứu vấn đề này như: Erceg, Kaleva, Derg, và
“không gian metric mờ” đã được xây dựng.
Năm 1986, Jungck đưa ra khái niệm các ánh xạ tương thích.
Nhiều nhà toán học đã có kết quả về điểm bất động chung cho các
ánh xạ loại này.
Năm 2010, các tác giả người Ấn Độ : V. S. Chouhan, V. H.
Badshah và M. S. Chauhan đã công bố kết quả về điểm bất động
cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ qua
bài báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly
2
compatible maps ”.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình của TS. Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn
đề tài nghiên cứu:
“Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong
không gian metric mờ”
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại các kết quả về điểm bất động cho các ánh xạ
tương thích yếu trong không gian metric mờ. Công trình nghiên cứu
dựa trên kết quả của các nhà toán học V. S. Chouhan, V. H. Badshah
và M. S. Chauhan trong bài báo “Fixed points in fuzzy metric
spaces for weakly compatible maps ”
(xem [6]).
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về không gian metric mờ, các ánh xạ tương thích
yếu và điểm bất động của chúng trong lớp không gian này.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu
trong không gian metric mờ.
3

5. Phương pháp nghiên cứu
Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu và tổng hợp, phân tích, vận
dụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu.
6. Dự kiến đóng góp
Đây là bài tổng quan về điểm bất động cho các ánh xạ tương
thích yếu trong không gian metric mờ. Đề tài này giúp người đọc
hiểu được những khái niệm cơ bản về không gian metric mờ, các ánh
xạ tương thích yếu và kết quả về điểm bất động của chúng trong lớp
không gian này.
4
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về
không gian metric, không gian metric đầy đủ, các ánh xạ tương thích,
tương thích yếu trong không gian metric và mối quan hệ giữa hai loại
ánh xạ này. Đồng thời chúng tôi cũng trình bày kết quả về điểm bất
động của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric và các
ví dụ minh họa.
1.1 Không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. [1]. Không gian metric là một cặp (X, d) trong
đó X là một tập hợp khác rỗng, d là một ánh xạ từ tích Descartes
X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các điều kiện sau:
1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y.
2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X.
5
3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.
Ánh xạ d được gọi là metric trên X. Các phần tử của X gọi
là các điểm. Khi đó, ta có không gian metric (X, d).
Ví dụ 1.1.1. Cho C [a, b] là không gian các hàm số nhận giá trị
thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞).

Với hai hàm số bất kỳ x = x (t) , y = y (t) thuộc C [a, b] ta đặt :
d (x, y) = max
a≤t≤b
|x (t) − y (t)|.
Khi đó (C [a, b] , d) là một không gian metric.
Chứng minh. Ta có d (x, y) xác định trên C[a, b].
Thật vậy, vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm
số |x (t) − y (t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b].
Do đó, hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b]. Suy ra hệ thức
của d (x, y) xác định một ánh xạ từ tích Descartes C [a, b]×C [a, b]
vào tập hợp số thực R.
Ta có
|x (t) − y (t)| ≥ 0 với ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b] .
Suy ra
max
t∈[a,b]
|x (t) − y (t)| ≥ 0 với ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b] .
Vậy d (x, y) ≥ 0 với ∀x, y ∈ C [a, b].
Nếu max
a≤t≤b
|x (t) − y (t)| = 0 thì ta có
|x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [a, b] .
6
Suy ra
x (t) = y (t) với ∀t ∈ [a, b] .
Do đó
x = y.
Vậy d (x, y) = 0 ⇔ x = y với ∀x, y ∈ C [a, b].
Tiếp theo, ta có
d (x, y) = max

t∈[a,b]
|x (t) − y (t)|
= max
t∈[a,b]
|y (t) − x (t)|
= d (y, x) .
Vậy d (x, y) = d (y, x) với ∀x, y ∈ C [a, b].
Cuối cùng ∀t ∈ [a, b] ta có
|x (t) − y (t)| = |x (t) − z (t) + z (t) − y (t)|
≤ |x (t) − z (t)| + |z (t) − y (t)|
≤ max
t∈[a,b]
|x
(t) − z (t)| + max
t∈[a,b]
|z
(t) − y (t)|.
Suy ra
max
t∈[a,b]
|x (t) − y (t)| ≤ max
t∈[a,b]
|x (t) − z (t)| + max
t∈[a,b]
|z (t) −y (t)|.
Do đó
d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với ∀x, y, z ∈ C [a, b] .
Vậy (C [a, b] , d) là một không gian metric.
7
Ví dụ 1.1.2. Cho P là tập hợp tất cả các dãy số thực x = {x

n
}.
Đối với hai dãy số bất kỳ x = {x
n
}, y = {y
n
} ta đặt :
d (x, y) =
∞

n=1
1
2
n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n
− y
n
|
.
Khi đó (P, d) là một không gian metric.
Chứng minh. Ta có d xác định trên P.
Thật vậy, với ∀x, y ∈ P thì:
0 ≤
1

2
n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n
− y
n
|
≤
1
2
n
.
Do chuỗi
∞

n=1
1
2
n
hội tụ nên chuỗi
∞

n=1
1
2

|
=
∞

n=1
1
2
n
|y
n
− x
n
|
1 + |y
n
− x
n
|
.
Vậy d (x, y) = d (y, x) với ∀x, y ∈ P.
Cuối cùng từ bất đẳng thức
|x
n
− y
n
| ≤ |x
n
− z
n
| + |z

n
− y
n
| với ∀n = 1, 2,
và do hàm
f (t) =
t
1 + t
đồng biến trên [0; +∞) suy ra:
với ∀x, y, z ∈ P, ∀n ∈ N
∗
ta có
1
2
n
|x
n
− y
n
|
1 + |x
n
− y
n
|
≤
1
2
n
|x

n
− z
n
| + |z
n
− y
n
|
1 + |x
n
− z
n
| + |z
n
− y
n
|
≤
1
2
n
|x
n
− z
n
|
1 + |x
n
− z
n

|
+
1
2
n
|z
n
− y
n
|
1 + |z
n
− y
n
|
.
9
Vậy
∞

n=1
1
2
n
|x
n
− y
n
|
1 + |x

n
− y
n
|
≤
≤
∞

n=1
1
2
n
|x
n
− z
n
| + |z
n
− y
n
|
1 + |x
n
− z
n
| + |z
n
− y
n
|

≤
∞

n=1
1
2
n
|x
n
− z
n
|
1 + |x
n
− z
n
|
+
∞

n=1
1
2
n
|z
n
− y
n
|
1 + |z

n
− y
n
|
.
Hay
d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với ∀x, y, z ∈ P.
Vậy (P, d) lập thành một không gian metric.
Định nghĩa 1.1.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), điểm x
0
thuộc X và r > 0.
Tập S (x
0
, r) = {x ∈ X : d (x, x
0
) < r} được gọi là hình cầu mở
tâm x
0
, bán kính r.
Tập S [x
0
, r] = {x ∈ X : d (x, x
0
) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng
tâm x
0
, bán kính r.
Định nghĩa 1.1.3. [1]. Cho không gian metric (X, d), lân cận của
điểm x
0

∈ X là mọi hình cầu mở tâm x
0
bán kính r > 0.
Định nghĩa 1.1.4. [1]. Cho không gian metric (X, d), một tập hợp
G ⊂ X điểm x
0
∈ X.
Điểm x
0
được gọi là một điểm trong của tập G nếu tồn tại một lân
cận của nó nằm trọn trong tập G, tức là lân cận đó chỉ chứa toàn
10
những điểm của G.
Điểm x
0
được gọi là điểm ngoài của tập G nếu tồn tại một lân cận
của nó nằm trọn ngoài tập G, tức là lân cận đó hoàn toàn không
chứa điểm nào của tập G.
Định nghĩa 1.1.5. [1]. Cho không gian metric (X, d), một tập hợp
G ⊂ X.
Tập G được gọi là tập mở trong không gian X nếu mọi điểm thuộc
G đều là điểm trong của G.
Tập G được gọi là tập đóng trong không gian X nếu mọi điểm không
thuộc G đều là điểm ngoài của G.
Định lí 1.1.1. [1]. Cho không gian metric (X, d),  là họ tất cả
các tập mở trong X thì  sinh ra một tôpô trên X.
Chứng minh. Ta có X và φ là các tập mở nên X ∈ , φ ∈ .
Giả sử họ (G
α
)

α∈I
⊂  với I là tập chỉ số.
Ta đặt
E =

α∈I
G
α
.
Lấy phần tử bất kỳ x ∈ E thì ta có
x ∈ G
α
0
, α
0
∈ I.
Vì G
α
0
là tập mở nên tồn tại lân cận
S (x, r) ⊂ G
α
0
.
11
Suy ra
S (x, r) ⊂ E.
Do đó E là tập mở.
Giả sử G
1

, G
2
, , G
m
là họ hữu hạn các phần tử thuộc .
Ta đặt
F =
m

j=1
G
j
.
Lấy một phần tử bất kỳ y ∈ F thì ta có
y ∈ G
j
với ∀j = 1, 2, , m.
Do G
j
là tập mở nên với mỗi j tồn tại lân cận
S
j
= S (y, r
j
) .
Đặt r = min {r
1
, r
2
, , r

m
} > 0 ta có lân cận S (y, r) thỏa mãn
S (y, r) ⊂
m

j=1
S
j
⊂
m

j=1
G
j
= F.
Do đó F là tập mở.
Vậy  là một tôpô trên X.
Định nghĩa 1.1.6. [1]. Họ  tất cả các tập mở trong không gian
metric (X, d) được gọi là tôpô sinh bởi metric d.
Ví dụ 1.1.3. Cho X = R với metric thông thường d. Khi đó, họ các
khoảng trên R là một tôpô trên R và được gọi là tôpô tự nhiên trên R.
12
1.2 Không gian metric đầy đủ
Định nghĩa 1.2.1. [1]. Dãy {x
n
} trong không gian metric (X, d)
được gọi là hội tụ tới điểm x
0
∈ X nếu
lim

n→∞
d (x
n
, x
0
) = 0.
Khi đó ta viết
lim
n→∞
x
n
= x
0
.
Hay
x
n
→ x
0
khi n → ∞.
Điểm x
0
được gọi là giới hạn của dãy {x
n
}.
Ví dụ 1.2.1. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C
[a, b]
tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a, b].
Chứng minh. Thật vậy, giả sử dãy hàm {x
n

(t)} ⊂ C [a, b] hội tụ
tới hàm x (t) trong không gian C [a, b]. Theo định nghĩa sự hội tụ
của dãy hàm ta có:
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n ≥ n
0
thì
d (x
n
, x) = max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x (t)| < ε.
Suy ra :
|x
n
(t) − x (t)| < ε với ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b] .
Do đó, dãy hàm {x
n
(t)} ⊂ C [a, b] hội tụ đều tới hàm x (t) trên
đoạn [a, b].
13
Ngược lại, giả sử dãy hàm {x
n

(t)} ⊂ C [a, b] hội tụ đều tới hàm
x (t) trên đoạn [a, b]. Khi đó hàm x (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên
x
(t) ∈ C [a, b] .
Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm ta có:
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b] thì
|x
n
(t) − x (t)| < ε.
Suy ra :
max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x (t)| < ε với ∀n ≥ n
0
.
Hay
d
(x
n
, x
) < ε với ∀n ≥ n
0

.
Vậy dãy hàm số {x
n
(t)} hội tụ tới hàm số x (t) theo metric của
không gian C
[a, b].
Định nghĩa 1.2.2. [1]. Cho không gian metric (X, d), dãy {x
n
}
trong X được gọi là dãy Cauchy nếu
lim
n,m→∞
d (x
n
, x
m
) = 0.
Hay
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m ≥ n
0
: d (x
n
, x
m
) < ε.
Định nghĩa 1.2.3. [1]. Không gian metric

(X, d) được gọi là không
gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một
14
điểm thuộc X.
Ví dụ 1.2.2. C [a, b] là một không gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Thật vậy, giả sử {x
n
(t)} là dãy Cauchy tùy ý trong
không gian C [a, b]. Theo định nghĩa dãy Cauchy:
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
sao cho ∀n, m ≥ n
0
thì
d (x
n
, x
m
) = max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x
m
(t)| < ε.
Suy ra :
|x
n

(t) − x
m
(t)| < ε với ∀n, m ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b] .
Do đó, dãy hàm {x
n
(t)} ⊂ C [a, b] hội tụ đều tới hàm x (t) trên
đoạn [a, b].
Ngược lại, giả sử dãy hàm {x
n
(
t)} ⊂ C [a, b] hội tụ đều tới hàm
x (t) trên đoạn [a, b]. Khi đó ta có x (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên
x (t) ∈ C [a, b]. Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm thì
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n ≥ n
0
, ∀t ∈ [a, b] : |x
n
(t) − x (t)| < ε.
Suy ra
max
a≤t≤b
|x
n
(t) − x (t)| < ε với ∀n ≥ n

0
.
Hay
d (x
n
, x) < ε với ∀n ≥ n
0
.
Vậy dãy hàm {x
n
(t)} hội tụ tới hàm x (t) theo metric của không
gian C [a, b].
15
Ví dụ 1.2.3. Cho không gian X gồm tất cả các hàm số x (t) liên tục
trên toàn không gian metric R
1
sao cho x (t) = 0 ngoài một đoạn
nào đó (đoạn này phụ thuộc từng hàm số x (t)) cùng với metric
d (x, y) = max
t∈R
1
|x (t) − y (t)|,
trong đó x (t) , y (t) ∈ X là hai hàm số bất kỳ . Khi đó (X, d) là
không gian metric không đầy đủ.
Chứng minh. Xét dãy hàm {x
n
(t)} ⊂ X xác định như sau :
x
n
(t) =






1
t
2
+ 1
−
1
n
2
+ 1
khi t ≤ n,
0 khi t > n.
Dễ thấy {x
n
(
t)} là dãy các hàm liên tục và bằng 0 ngoài đoạn
[−n, n].
Với mọi n, p ∈ N ta có:
d (x
n+p
, x
n
) = max
t∈R
|x
n+p

(t) − x
n
(t)| = max
|t|≤n+p
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|.
Mặt khác:
|x
n+p
(t) − x
n
(t)| =
=
















1
n
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
khi |t| ≤ n,
1
t
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
khi n < |t| ≤ n + p,
0 khi |t| > n + p.
16
Do đó
d (x
n+p
, x
n
) = max
t∈R

|x
n+p
(t) − x
n
(t)|
= max
|t|≤n+p
|x
n+p
(t) − x
n
(t)|
≤
1
n
2
+ 1
−
1
(n + p)
2
+ 1
<
1
n
2
+ 1
.
Vậy {x
n

} là một dãy Cauchy trong X.
Giả sử X là không gian metric đầy đủ. Khi đó tồn tại x ∈ X sao
cho
lim
n→∞
d (x
n
, x) = 0.
Xét hàm :
˜
x (t) =
1
t
2
+ 1
, t ∈ R.
Dễ thấy
˜
x (t) liên tục trên R và
0 < ˜x (t) ≤ 1 với ∀t ∈ R,
nên
˜
x (t) /∈ X.
Mặt khác, với ∀t ∈ R ta có:
0 ≤ |
˜x (t) − x (t)|
≤ |
˜
x (t) − x
n

n
, x) .
Cho n → ∞ ta được :
|˜x (t) − x (t)| = 0 với ∀t ∈ R.
Suy ra
x (t) = ˜x (t) /∈ X.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết, do đó tồn tại một dãy Cauchy
nhưng không hội tụ trong X.
Vậy X là không gian metric không đầy đủ.
1.3 Ánh xạ tương thích yếu
trong không gian metric
Định nghĩa 1.3.1. [12]. Cho A và S là các ánh xạ đi từ không gian
metric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ A và S được gọi là tương
thích (compatible) nếu với mỗi dãy {x
n
} trong X thỏa mãn
lim
n→∞
Sx
n
= lim
n→∞
Ax
n
= z với z ∈ X
thì
lim
n→∞
d (ASx
n

, SAx
n
) = 0.
Ví dụ 1.3.1. Cho tập số thực R với metric thông thường
d (x, y) = |x − y|.
18
Ta xét các ánh xạ A, S : X → X xác định như sau:
Ax = 5x
3
, x ∈ R.
Sx = 2x
3
, x ∈ R.
Khi đó, A và S là các ánh xạ tương thích.
Chứng minh. Thật vậy, ta xét dãy
x
n
=
1
n
, n ≥ 1.
Ta có:
lim
n→∞
Ax
n
= lim
n→∞
Sx
n

= 0.
Mặt khác:
lim
n→∞
d (ASx
n
, SAx
n
) = lim
n→∞




210
n
9




= 0.
Vậy A và S là các ánh xạ tương thích trên R.
Định nghĩa 1.3.2. [9]. Cho A và S là các ánh xạ đi từ không gian
metric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ A và S được gọi là không
tương thích (noncompatible) nếu tồn tại ít nhất một dãy {x
n
} trong
X thỏa mãn
lim

n→∞
Sx
n
= lim
n→∞
Ax
n
= z với z ∈ X,
nhưng
lim
n→∞
d (ASx
n
, SAx
n
)
hoặc khác 0 hoặc không tồn tại.
19
Ví dụ 1.3.2. Cho tập số thực R với metric thông thường
d (x, y) = |x − y|.
Xét các ánh xạ A, S : R → R xác định bởi:
Ax = x
2
, ∀x ∈ R.
Sx = 2x, ∀x ∈ R.
Khi đó, A và S là các ánh xạ không tương thích trên R.
Chứng minh. Thật vậy, ta xét dãy {x
n
} với:
x

n
= 2 +
1
n
, n ≥ 1.
Khi đó, ta có
lim
n→∞
Sx
n
= lim
n→∞
Ax
n
= 4,
nhưng
lim
n→∞
d (ASx
n
, SAx
n
)
=
= lim
n→∞






16 +
16
n
+
4
n
2

−

8 +
8
n
+
2
n
2





= lim
n→∞




8 +

8
n
+
2
n
2




= 8.
Hay
lim
n→∞
d (ASx
n
, SAx
n
) = 0.
Vậy A và S là các ánh xạ không tương thích trên R.
20
Định nghĩa 1.3.3. [14]. Các ánh xạ A, S : X → X được gọi là
giao hoán (commuting) khi và chỉ khi
ASx = SAx, ∀x ∈ X.
Ví dụ 1.3.3. Cho tập số thực R với metric d (x, y) = |x − y|.
Ta xét các ánh xạ A, S : R → R xác định bởi :
Ax = x.
Sx = x + 2012.
Khi đó, A và S là các ánh xạ giao hoán.
Chứng minh. Thật vậy, với ∀x ∈ R ta có:

ASx = SAx = x + 2012.
Do đó A và S là các ánh xạ giao hoán trên R.
Định nghĩa 1.3.4. [3]. Cho X là một tập hợp bất kỳ và xét các
ánh xạ A, S : X → X. Một điểm x trong X được gọi là điểm
trùng (coincidence point) của cặp ánh xạ A, S nếu Ax = Sx.
Ví dụ 1.3.4. Cho tập số thực R với metric d (x, y) = |x − y|.
Ta xét các ánh xạ A, S : R → R xác định bởi :
Ax = sinx, ∀x ∈ R.
21
Sx = cosx, ∀x ∈ R.
Khi đó
π
4
là một điểm trùng của cặp ánh xạ này.
Chứng minh. Thật vậy, ta có:
A
π
4
= sin
π
4
=
√
2
2
.
S
π
4
= cos

π
4
=
√
2
2
.
Suy ra
A
π
4
= S
π
4
.
Vậy
π
4
là một điểm trùng của cặp ánh xạ A, S.
Định nghĩa 1.3.5. [20]. Cho A và S là các ánh xạ đi từ không
gian metric (X, d) vào chính nó. Các ánh xạ A và S được gọi là
tương thích yếu (weakly compatible) nếu chúng giao hoán tại mọi
điểm trùng tức là nếu
Ax = Sx với mọi x ∈ X
thì
ASx = SAx.
Ví dụ 1.3.5. Cho tập X = [0; 3] với metric thông thường
d (x, y) = |x − y|.

Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Metric mờ

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về