Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
ĐINH THỊ HỒNG GẤM
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
CHO BÀI TOÁN BIẾN PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Hà Nội-2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————  ——————
ĐINH THỊ HỒNG GẤM
ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU
CHO BÀI TOÁN BIẾN PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội-2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn
Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn
tác giả trong quá trình thực hiện luận văn.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành Ban giám hiệu trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong
nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích
đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên
và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng năm 2012
Tác giả
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng năm 2012
Tác giả
v
Mục lục
Mở đầu vii
Nội dung 1
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach . . . . . . . . 5
1.2.1 Biến phân bậc nhất và đạo hàm . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Biến phân và đạo hàm bậc cao . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.4 Định lí Lyusternik . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Hàm Lipschitz và dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Hàm Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2 Dưới vi phân Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Bài toán tối ưu và hàm Lagrange . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Khái niệm bài toán biến phân . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Điều kiện cần cho bài toán biến phân 30
2.1 Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Điều kiện Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

vi
2.3 Điều kiện Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4 Điều kiện Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.5 Bài toán đẳng chu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Điều kiện đủ cho bài toán biến phân 46
3.1 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm địa phương yếu . . . . . 49
3.2 Điều kiện đủ để tồn tại nghiệm địa phương mạnh . . . . 50
3.3 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong một số không gian
(Banach phản xạ, Sobolev) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.1 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong không gian
Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm tối ưu trong không gian
Sobolve

W
n
1,1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kết luận 56
Tài liệu tham khảo 57
vii
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Sự hình thành của Giải tích hữu hạn chiều xuất phát từ việc
nghiên cứu điều kiện cần cho những bài toán cực trị đơn giản, còn các
bài toán biến phân là một yếu tố quan trọng tác động đến sự hình thành
của Giải tích vô hạn chiều. Không gian vô hạn chiều của các hàm liên
tục và hàm khả vi liên tục, việc phân loại tôpô, những duyên cớ đầu
tiên cho Phép tính vi phân vô hạn chiều, tất cả những cái đó đều chào

đời trong chiếc nôi của Phép tính biến phân. Việc nghiên cứu những bài
toán biến phân thực sự đóng vai trò quan trọng trong thực tế cũng như
trong lý thuyết (xem[2] và những tài liệu dẫn trong đó).
Bài toán tìm đường lăn nhanh nhất có dạng:

x
1
x
0

1 + y
12
(x)

−2gy(x)
dx → inf; (1)
y(x
0
) = 0, y(x
1
) = y
1
.
là bài toán đầu tiên của Giải tích vô hạn chiều (không gian của tất cả
những quỹ đạo nối hai điểm cho trước có số chiều vô hạn) và cũng là
một trong những bài toán có ràng buộc đầu tiên. Hai lời giải đầu tiên
được công bố năm 1697, trong đó phương pháp do Johann Bernoulli đưa
ra chỉ thích ứng với bài toán cụ thể này. Ngược lại, anh trai ông là Jacob
Bernoulli đã đề xuất một phương pháp có thể tổng quát hóa được, mở
ra kỷ nguyên của Lý thuyết biến phân (cổ điển).

viii
Sau khi bài toán này được công bố, đã xuất hiện một số bài
toán tối ưu khác có ràng buộc như bài toán đẳng chu cổ điển : tìm đường
cong khép kín có chu vi cho trước sao cho diện tích tạo thành là lớn nhất.
Kết quả được Euler trình bày trong tài liệu [3] (1744) là cách xử lý tổng
quát đầu tiên cho các bài toán tối ưu có ràng buộc.
Nhiều tác giả trong và ngoài nước đã quan tâm nghiên cứu
những khía cạnh khác nhau của các bài toán biến phân (xem [3], [4] và
[5] và những tài liệu dẫn trong đó).
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của
chúng với những kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, tôi đã chọn
đề tài nghiên cứu:
"Điều kiện tối ưu cho bài toán biến phân"
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về những điều kiện cần, đủ tối ưu cho bài toán biến
phân thông qua một số bài toán như: phương trình Euler, điều kiện
Werierstrass, bài toán đẳng chu. . .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng hợp một cách hệ thống một số kết quả về những điều kiện
tối ưu cho bài toán biến phân.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng: Những bài toán biến phân.
+ Phạm vi: Những điều kiện tối ưu trong một số không gian
hàm.
ix
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan
đến đề tài, sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý
thuyết tối ưu.

6. Dự kiến đóng góp mới
+ Nghiên cứu và làm rõ được những điều kiện tối ưu cho bài
toán biến phân.
+ Tổng hợp, hệ thống một số kết quả đã được các nhà khoa
học nghiên cứu và công bố về những điều kiện tối ưu cho bài toán biến
phân.
1
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tôi đưa ra những kiến thức cơ bản nhằm bổ trợ
kiến thức cho các chương sau nên các kết quả không chứng minh.
1.1 Không gian Banach
Dưới đây là các định nghĩa và tính chất về không gian Banach và các
kiến thức có liên quan như không gian định chuẩn, dãy hội tụ, hội tụ
tuyệt đối. . .
Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn). Cho X là không gian
tuyến tính trên trường K. X được gọi là một không gian định chuẩn
trên trường K nếu tồn tại một chuẩn . trên X, ∀u, v ∈ X và α ∈ K,
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) u  0 (với u là một số thực không âm)
(ii) u = 0 nếu u = 0
(iii) αu = |α|. u
(iv) u + v  u + v (bất đẳng thức tam giác)
Một không gian định chuẩn trên trường K = R hoặc K = C được gọi
là không gian định chuẩn thực hoặc phức, tương ứng.
2
Định nghĩa 1.1.2 (Sự hội tụ). Cho (u
n
) là dãy trong không gian định
chuẩn X, u

n
∈ X, ∀n.
Ta viết lim
n→+∞
u
n
= u.
Nếu lim
n→+∞
u
n
− u = 0 và khi đó ta nói dãy (u
n
)hội tụ tới u.
Thay vì viết lim
n→+∞
u
n
= u ta có thể viết u
n
→ u khi n → +∞.
Dãy (u
n
) trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy Cauchy nếu
∀ε > 0, ∃n
0
(ε) sao cho u
n
− u
m

 < ε ∀n, m  n
0
(ε).
Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Banach). Không gian định chuẩn X
được gọi là không gian Banach nếu mỗi dãy Cauchy đều hội tụ.
Nhận xét 1.1.1. Không gian Banach cũng được gọi là không gian định
chuẩn đầy.
Rõ ràng mỗi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy.
Thật vậy, nếu x
n
− x → 0 thì x
p
n
− x
q
n
  x
p
n
− x+x
q
n
− x → 0
với mỗi cặp dãy tăng của chỉ số (p
n
) và (q
n
).
Điều ngược lại trong trường hợp tổng quát không đúng.
Ví dụ 1.1.2. Cho P ([0, 1]) là không gian các đa thức trên [0, 1] với

chuẩn P  = max
[0,1]
|P (x)|. Định nghĩa:
P
n
(x) = 1 + x +
x
2
2!
+ +
x
n
n!
, n = 1, 2,
thì (P
n
) là một dãy Cauchy, nhưng nó không hội tụ trong P ([0, 1]).
Một số ví dụ minh họa về không gian Banach.
Ví dụ 1.1.3. Không gian X := K là không gian Banach trên trường K
với chuẩn u = |u|, ∀u ∈ K.
Ví dụ 1.1.4. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng không gian l
2
bao gồm tất cả
những dãy số phức x = (x
n
) sao cho chuỗi
∞

n=1
|x

n
|
2
hội tụ với chuẩn
x =

∞

n=1
|x
n
|
2
là không gian Banach.
3
Lấy (a
n
) là một dãy Cauchy trong l
2
. Giả sử (a
n
) = (α
n,1
, α
n,2
, ).
Với ε > 0 tùy ý, tồn tại một số N
0
thỏa mãn
∞


k=1
|α
m,k
− α
n,k
|
2
< ε
2
, ∀m, n  N
0
(1.1)
Điều này kéo theo rằng với mỗi k ∈ N cố định và với mỗi ε > 0 tồn tại
một số N
0
thỏa mãn
|α
m,k
− α
n,k
| < ε, ∀m, n  N
0
Nhưng điều này cũng có nghĩa là, với mỗi k dãy (α
n,k
) là một dãy Cauchy
trong C và vì vậy nó hội tụ.
Kí hiệu: α
k
= lim

n→∞
α
n,k
, k = 1, 2, và a = (a
k
).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng a là một phần tử của l
2
và rằng dãy
(a
n
) hội tụ tới a. Thật vậy, từ (1.1) cho m → ∞ ta được
∞

k=1
|α
k
− α
n,k
|
2
 ε
2
, (1.2)
với mỗi n  N
0
. Khi đó
∞

k=1

|α
N
0
,k
|
2
< ∞, theo bất đẳng thức Minkowski,
ta có




∞

k=1
|α
k
|
2
=




∞

k=1
(|α
k
| −|α

N
0
,k
| + |α
N
0
,k
|)
2





∞

k=1
(|α
k
| −|α
N
0
,k
|)
2
+





∞

k=1
|α
N
0
,k
|
2





∞

k=1
|α
k
− α
N
0
,k
|
2
+





∞

k=1
|α
N
0
,k
|
2
< ∞.
Điều này chứng minh rằng dãy a = (a
n
) là một phần tử của l
2
. Hơn nữa,
khi ε là nhỏ tùy ý (1.2) kéo theo
lim
n→∞
a −a
n
 = lim
n→∞




∞

k=1
(|α

k
− α
n,k
|)
2
= 0,
4
tức là dãy (a
n
) hội tụ tới a trong l
2
.
Ví dụ 1.1.5. Một ví dụ quan trọng khác của không gian Banach là không
gian C
([a,b])
những hàm liên tục (giá trị thực hoặc phức) trên một đoạn
[a, b]. Nhắc lại rằng chuẩn trên C
([a,b])
được đinh nghĩa f = max
[a,b]
|f (x)|.
Lấy (f
n
) là một dãy Cauchy trong C
([a,b])
. Với ε > 0 tùy ý tồn tại N
0
∈ N
sao cho
f

n
− f
m
 < ε, ∀m, n  N
0
và vì vậy cũng có
|f
n
(x) −f
m
(x)| < ε, ∀m, n  N
0
, ∀x ∈ [a, b] (1.3)
Điều này kéo theo rằng (f
n
(x)) là một dãy Cauchy với mỗi x ∈ [a, b].
Tính đủ của R (hoặc C) cho phép ta xác định
f (x) = lim
n→∞
f
n
(x) , x ∈ [a, b]
Bây giờ, cho m → ∞ trong 1.3 ta được
|f
n
(x) −f (x)|  ε, ∀n  N
0
, ∀x ∈ [a, b] (1.4)
Lấy x
0

∈ [a, b]. Khi đó f
N
0
là liên tục trên [a, b], tồn tại một số δ > 0
thỏa mãn
|f
N
0
(x
0
) −f
N
0
(y)| < ε,
với mỗi y ∈ [a, b] thỏa mãn |x
0
− y| < δ. Suy ra
|f (x
0
) −f (y)|  |f (x
0
) −f
N
0
(x
0
)| + |f
N
0
(x

0
) −f
N
0
(y)| + |f
N
0
(y) − f (y)|
< ε + ε + ε = 3ε
ở đó |x
0
− y| < δ. Do đó ta có tính liên tục của f. Rõ ràng, 1.4 kéo theo
f
n
− f  ε, ∀n  N
0
,
nên dãy (f
n
) hội tụ đều tới f.
5
Định nghĩa 1.1.4 (Chuỗi hội tụ và hội tụ tuyệt đối). Một chuỗi
∞

n=1
x
n
trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ nếu dãy những tổng
riêng hội tụ trong X, tức là tồn tại x ∈ X thỏa mãn
x

1
+ x
2
+ + x
n
− x → 0 khi n → ∞.
Trong trường hợp đó ta viết
∞

n=1
x
n
= x. Nếu
∞

n=1
x
n
 < ∞ thì chuỗi gọi
là hội tụ tuyệt đối.
Trong trường hợp tổng quát, một chuỗi hội tụ tuyệt đối không nhất
thiết hội tụ.
Định lí 1.1.6. Một không gian định chuẩn là không gian Banach nếu
và chỉ nếu chuỗi hội tụ tuyệt đối là hội tụ.
Định lí 1.1.7. Một không gian vectơ con đóng của một không gian Ba-
nach là một không gian Banach.
1.2 Phép tính vi phân trên không gian Banach
Mục này trình bày biến phân bậc nhất và đạo hàm, biến phân và đạo
hàm cấp cao, một số tính chất cơ bản như định lí về đạo hàm riêng của
Schwartz, qui tắc dây chuyền, định lí hàm ẩn, và định lí Lyusternik và

một số ví dụ minh họa.
1.2.1 Biến phân bậc nhất và đạo hàm
Định nghĩa 1.2.1. Cho X và Y là hai không gian tôpô tuyến tính, V
là một lân cận của x ∈ X và F : X → Y . Nếu
δF (x, h) := lim
t→0
t
−1
(F (x + th) −F (x)) (1.5)
6
tồn tại với mọi h ∈ X thì ánh xạ h → δF (x, h) được gọi là biến phân
bậc nhất của F tại x.
Nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục Λ : X → Y sao cho
Λh = δF (x, h), ∀h ∈ X thì Λ là đạo hàm Gâteaux, ký hiệu là F

G
(x)
hay F

(x). Ta nói: F khả vi Gâteaux tại x. Điều này xảy ra khi và chỉ
khi tồn tại toán tử tuyến tính liên tục Λ : X → Y sao cho
F (x + th) = F (x) + tΛh + r (t) ∀h ∈ X
Ví dụ 1.2.1. Cho r và ϕ là tọa độ cực của x ∈ R
2
và f (x) = r cos 3ϕ.
Ta có δf (0, h) = f (h). Vì δf (0, h) không tuyến tính nên f không khả
vi Gâteaux tại 0 ∈ R
2
.
Định nghĩa 1.2.2 (Đạo hàm Fréchet). Nếu X và Y là không gian

Banach, F : X → Y khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại toán tử tuyến tính
liên tục Λ : X → Y sao cho
F (x + h) = F (x) + Λh + r (h) với lim
h
X
→0
r (h)
Y
h
X
= 0.
Khi đó Λ là đạo hàm Fréchet, kí hiêụ là F

F
(x) hay F

(x). Ánh xạ F
được gọi là chính qui tại x nếu nó khả vi Fréchet tại x và Im F

(x) = Y .
Kí hiệu L(X, Y ) không gian của các toán tử tuyến tính liên tục từ X
vào Y , trang bị chuẩn
Λ = sup
x
X
=1
Λx
Y
Nếu F : X → Y khả vi Fréchet tại mọi điểm trong tập mở V và ánh xạ
x → F


(x) liên tục trên V (hay tại x
0
∈ V ) theo tôpô L(X, Y ) thì ta nói
F khả vi liên tục trên V (hay tại x
0
) hay F thuộc vào lớp C
1
.
Nếu f là một phiếm hàm và thì x là một điểm dừng.
7
Ví dụ 1.2.2 (Đạo hàm Fréchet của ánh xạ afin). Một ánh xạ A : X → Y
từ không gian tuyến tính X vào không gian tuyến tính Y có dạng
A (x) = Λx + a,
với a ∈ X và Λ là một ánh xạ tuyến tính từ X vào Y , được gọi là ánh
xạ afin. Nếu X và Y là không gian Banach và Λ liên tục thì A khả vi
Fréchet khắp nơi và A

F
(x) = Λ.
Mệnh đề 1.2.3.
(i) Nếu F khả vi Fréchet tại x thì F liên tục và khả vi Gâteaux tại đây:
F

G
(x) = F

F
(x) .
(ii) Nếu F khả vi Gâteaux tại x thì F biến phân bậc nhất tồn tại ở đó

và
δF (x, h) = F

G
(x) h.
Ví dụ 1.2.4. Hàm
f (x
1
, x
2
) =



1 nếu x
1
= (x
2
)
2
và x
2
= 0
0 trường hợp còn lại
khả vi Gâteaux tại (0, 0) ∈ R
2
nhưng không liên tục tại đó nên theo
Mệnh đề 1.2.3 thì nó không thể khả vi Fréchet được.
Định lí 1.2.5 (Định lí giá trị trung bình). Cho X và Y là các không
gian topo tuyến tính, U là một tập mở của X, ánh xạ F : U → Y khả vi

Gâteaux tại mọi điểm trên đoạn nối [x, x + h] ⊂ U. Khi đó ta có:
(i) Nếu ánh xạ z → F

G
(z) h là một ánh xạ liên tục của [x, x + h] vào Y
thì
F (x + h) −F (x) =
1

0
F

G
(x + th) hdt.
8
(ii) Nếu X và Y là không gian Banach thì
F (x + h) −F (x)  sup
0t1
F

G
(x + th) · h
và với mỗi Λ ∈ L (X, Y )
F (x + h) −F (x) − Λh  sup
0t1
F

G
(x + th) − Λ ·h.
Đặc biệt với mọi z ∈ [x, x + h] thì

F (x + h) −F (x) − F

G
(z) h  sup
0t1
F

G
(x + th) − F

G
(z) · h.
Mệnh đề sau đây là một hệ quả của định lí giá trị trung bình.
Mệnh đề 1.2.6. Cho X là một không gian Banach và F là một ánh xạ
liên tục từ một lân cận U của x
0
∈ X vào không gian Banach Y . Giả
thiết rằng F khả vi Gâteaux tại mọi điểm của U và ánh xạ x → F

G
(x)
từ U vào L (X; Y ) liên tục. Khi đó F khả vi Fréchet trên U và
F

G
(x) = F

F
(x) , ∀x ∈ U.
Ví dụ 1.2.7 (Đạo hàm Fréchet của hàm vector). Cho g

1
(t, x) , , g
m
(t, x)
là các hàm thực, liên tục trên U ⊂ R ×R
n
và khả vi liên tục theo x. Đặt
g (t, x) = (g
1
(t, x) , , g
m
(t, x))
[G (x (·))] (t) = g (t, x (t)) , t
0
 t  t
1
Như vậy G : C
n
([t
0
, t
1
]) → C
m
([t
0
, t
1
]) là một hàm liên tục [t
0

, t
1
] → R
n
có ảnh nằm trong U. Ta sẽ chỉ ra rằng G khả vi Fréchet tại x (·).
Vì U là tập mở nên tồn tại ε > 0 sao cho |x
0
(t) −x| < ε kéo theo
(t, x) ∈ U. Nếu x (·) − x
0
(·)
C
< ε ta có
lim
λ→0

G (x (·) + λz (·))
λ

(t) = g
x
(t, x (t)) z (t) ,
9
nghĩa là
[G

G
(x (·)) z (·)] (t) = g
x
(t, x (t)) z (t) .

Vì (t, x) → g
x
(t, x) liên tục nên x (·) → G

G
(x (·)) cũng liên tục. Áp
dụng mệnh đề 1.2.6 ta nhận được tính khả vi Fréchet tại x (·) và
[G

F
(x
0
(·)) z (·)] (t) = g
x
(t, x
0
(t)) z (t) .
1.2.2 Biến phân và đạo hàm bậc cao
Nếu với mọi h ∈ X, hàm ϕ
h
(t) := F (x + th) khả vi n lần tại t = 0
thì
∂
n
F (x, h) :=
d
n
dt
n
ϕ

h
(t)




t=0
(1.6)
được gọi là biến phân bậc n của F tại x.
Đạo hàm Fréchet bậc n có thể định nghĩa qui nạp: Nếu đạo hàm
Fréchet (bậc nhất) F

của F tồn tại trong một lân cận của x. Nếu ánh
xạ x → F

(x) tồn tại và liên tục trong lân cận của một điểm thì ta nói
F khả vi liên tục hai lần tại điểm đó.
1.2.3 Một số tính chất cơ bản
Định lí 1.2.8 (Định lí về đạo hàm riêng của Schwarts). Cho X, Y và Z
là các không gian Banach, U là tập hợp mở của X ×Y và F : U → Z có
đạo hàm (Fréchet) riêng F
x
(x, y) và F
y
(x, y) tại mọi điểm (x, y) ∈ U.
Nếu các ánh xạ (x, y) → F
x
(x, y) và (x, y) → F
y
(x, y) liên tục (theo

tôpô đều) tại (¯x, ¯y) ∈ U thì F khả vi Fréchet tại đó và
F

(¯x, ¯y) [(ξ, η)] = F
x
(¯x, ¯y) [ξ] + F
y
(¯x, ¯y) [η] .
Định lí 1.2.9 (Quy tắc dây chuyền). Cho X,Y và Z là các không gian
Banach, U là một tập mở của X, V là một tập mở của Y, F : U → Y
và G : V → Z. Cho x ∈ Uvới F (x) ∈ V . Nếu F khả vi Fréchet tại x và
10
G khả vi Fréchet tại F (x) thì ánh xạ H = G ◦ F cũng khả vi Frétchet
tại x và H

(x) = G

(F (x)) ◦ F

(x) .
Ví dụ 1.2.10 (Đạo hàm Frétchet của hàm Lagrange). Cho L (t, x, y) là
một ánh xạ từ w ⊂ R ×R
n
×R
n
vào R
m
, liên tục và khả vi liên tục theo
x và y,x
0

(·) là một hàm liên tục trên [t
0
, t
1
] sao cho
(t, x
0
(t) , ˙x
0
(t)) ∈ H

với mọi t ∈ [t
0
, t
1
].
Xét ánh xạ
M : C
n
1
([t
0
, t
1
]) → C
m
([t
0
, t
1

])
[M (x (·))] (t) = L (t, x (t) , ˙x (t)) , t ∈ [t
0
, t
1
] .
Ta có
M = M
2
◦ M
1
,
trong đó
[M
1
(x (·))] (t) = (x (t) , ˙x (t)) , t
0
 t  t
1
và
[M
2
(x (·) , y (·))] (t) = L (t, x (t) , y (t)) , t
0
 t  t
1
.
Ví dụ 1.2.10 cho ta
[M


2
(x (·) , y (·)) (r (·) , s (·))] (t) =L
x
(t, x (t) , y (t)) r (t) +
+ L
y
(t, x (t) , y (t)) s (t) .
Mặt khác nhận thấy
[M

1
(x (·)) z (·)] (t) = (z (t) , ˙z (t)) .
Áp dụng Định lí 1.2.5 ta có
[M

(x
0
(·)) z (·)] (t) = L
x
(t, x
0
(t) , ˙x
0
(t)) z (t) + L
y
(t, x
0
(t) , ˙x
0
(t)) ˙z (t) .

11
Ví dụ 1.2.11 (Đạo hàm Fréchet của tích phân hàm Lagrange). Với giả
thiết như trong ví dụ 1.2.10, ta xét phiếm hàm sau
F (x (·)) =
t
1

t
0
L (t, x (t) , ˙x (t)) dt.
Có thể tách F thành F = F
2
◦ F
1
, trong đó
[F
1
(x (·))] (t) = L (t, x (t) , ˙x (t)) , t
0
 t  t
1
và F
2
(α (·)) =
t
1

t
0
α (t) dt

F
2
là một ánh xạ tuyến tính, nên sử dụng kết quả của ví dụ 1.2.4 và
1.2.11 cùng với định lí 1.2.9 ta thu được
F

(x (·)) z (·) =
t
1

t
0
[L
x
(t, x (t) , ˙x (t)) z (t) + L
y
(t, x (t) , ˙x (t)) ˙z (t)] dt.
(1.7)
Định lí 1.2.12 (Định lí hàm ẩn). Cho X, Y và Z là các không gian
Banach, U là một lân cận của (x
0
, y
0
) ∈ X × Y và F : U → Z khả vi
Fréchet liên tục. Giả thiết rằng F (x
0
, y
0
) = 0 và đạo hàm riêng F
y

(x
0
, y
0
)
là một phép đồng phôi tuyến tính. Khi đó tồn tại ε > 0, δ > 0 và một
ánh xạ x → y (x) từ quả cầu B (x
0
, δ) ⊂ X vào quả cầu B (y
0
, ε) ⊂ Y
sao cho:
(i) Hai quan hệ F (x, y) = 0 và y = y (x) là tương đương trên tập
B (x
0
, δ) ×B (y
0
, ε);
(ii) y (·) khả vi liên tục và y

(x) = −[F
y
(x, y (x))]
−1
◦ F
x
(x, y (x)).
1.2.4 Định lí Lyusternik
Giả sử M là một tập con của không gian Banach X. x ∈ X được
gọi là vector tiếp tuyến tập M tại x

0
∈ M nếu tồn tại ε > 0 và ánh xạ
12
r : [0, ε] → X, thỏa mãn lim
t→0
r(t)
t
= 0, sao cho
x
0
+ tx + r (t) ∈ M ∀t ∈ [0, ε] .
Dễ thấy, tập hợp các vector tiếp tuyến M tại một điểm bất kỳ là một
nón đóng và khác rỗng (vì chứa điểm 0), được gọi là nón tiếp tuyến tập
M tại x
0
. Nếu nón này là một không gian con thì ta gọi là không gian
tiếp tuyến tập M tại x
0
và kí hiệu là T
x
0
M. Định lí sau sẽ nói về không
gian này.
Định lí 1.2.13 (Định lí Lyusternik). Cho X và Y là không gian Banach,
V là một lân cận của x
0
∈ X, và F : V → Y khả vi Fréchet. Giả thiết
rằng F chính qui tại x
0
(tức ImF


(x
0
) = Y ) và khả vi liên tục tại x
0
.
Khi đó tập M = {x ∈ U : F (x) = F (x
0
)} có một không gian tiếp tuyến
tại x
0
và
T
x
0
M = KerF

(x
0
) .
1.3 Hàm lồi và dưới vi phân
Phần này trình bày định nghĩa của tập lồi, hàm lồi và một số tính
chất liên quan.
Định nghĩa 1.3.1 (Tập lồi). Tập A trong không gian tuyến tính Xđược
gọi là lồi nếu đoạn nối
[x
1
, x
2
] := {x ∈ X/x = λx

1
+ (1 − λ) x
2
, 0  λ  1}
giữa hai điểm x
1
và x
2
bất kỳ thuộc A cũng nằm trong A.
Định nghĩa 1.3.2 (Hàm lồi). Cho hàm f : X → R ∪ {−∞, ∞} thì
domf := {x ∈ X/f (x) < ∞}
13
là miền xác định hữu hiệu và
epif := {(α, x) ∈ R ×X/f (x)  α}
là epigraph của f. Hàm f được gọi là thật nếu domf = ∅ và f (x) > −∞
với mọi x ∈ X.
Hàm f là một hàm lồi nếu epif là một tập lồi trong R × X.
Mệnh đề 1.3.1. Cho f : X → R lồi khi và chỉ khi
f (λx
1
+ (1 − λ) x
2
)  λf (x
1
) + (1 − λ) f (x
2
) , ∀x
1
, x
2

∈ X, λ ∈ [0, 1] .
(1.8)
1.8 được gọi là bất đẳng thức Jensen.
Một số ví dụ quan trọng của hàm lồi:
1. f (x) = x;
2. Hàm afin
f (x) = x
∗
, x + α (x
∗
∈ X
∗
, α ∈ R) ;
3. Hàm chỉ định của một tập lồi A ⊂ X
δ (x/A) :=

0 cho x∈A.
+∞ cho x/∈A.
4. Hàm tựa
s (x |A
∗
) := sup
x
∗
∈A
∗
x
∗
, x, s (x
∗

|A) := sup
x∈A
x
∗
, x.
Tổng hai hàm lồi và thật là một hàm lồi (không nhất thiết là thật).Supremum
của một họ tùy ý các hàm lồi cũng lồi.
Định lí sau đây đưa ra một số tính chất quan trọng của hàm lồi đối
với bài toán cực trị.
Định lí 1.3.2. Chof là một hàm lồi thật.
14
(i) Mọi tập mức dưới
ς
α
f := {x ∈ X/f (x)  α} (1.9)
là lồi (∀α ∈ R).
(ii) Mỗi điểm cực tiểu địa phương của f là một điểm cực tiểu toàn cục.
(iii) Mỗi điểm dừng của f là một điểm cực tiểu toàn cục.
Định lí tiếp theo nói về tính liên tục của hàm lồi.
Định lí 1.3.3. Cho f là một hàm lồi thật trên X. Khi đó bốn mệnh đề
sau đây là tương đương:
1. f bị chặn trên tại một lân cận của điểm nào đó;
2. f liên tục tại một điểm nào đó;
3. int (epif) = ∅;
4. int (domf) = ∅ và f liên tục trên int (domf) .
Và ta có
int (epif) = {(α, x) ∈ R × X/x ∈ int (domf) , f (x) < α}.
Định nghĩa 1.3.3 (Dưới vi phân). Cho f là một hàm lồi thật trên X.
Tập
∂f (x) := {x

∗
∈ X
∗
/f (z) −f (x)  x
∗
, z − x∀z ∈ X}. (1.10)
được gọi là dưới vi phân của f tại x. Trong Giải tích lồi, dưới vi phân
đóng vai trò của đạo hàm. Nếu một hàm lồi khả vi Gâteaux tại một
điểm thì dưới vi phân tại điểm đó có một phần tử duy nhất là đạo hàm
Gâteaux.
15
Ví dụ 1.3.4 (Dưới vi phân của chuẩn). Từ định nghĩa ta có
x
∗
∈ ∂ 0 ⇔ z  |x
∗
, z|∀z ∈ X ⇔ x
∗
  1.
Suy ra ∂ 0 = {x
∗
∈ X
∗
/ x
∗
  1}. (1.11)
Bây giờ ta chứng minh rằng
∂ x = {x
∗
∈ X

∗
/ x
∗
 = 1, x
∗
, x = x} nếu x = 0. (1.12)
Nếu x
∗
 = 1 thì z  x
∗
, z. Do đó x
∗
, x = x suy ra z−x 
x
∗
, z − x. Vậy x
∗
∈ ∂ x. Ngược lại, nếu x
∗
∈ ∂ x thì
− x = 0 − x  x
∗
, 0 − x = −x
∗
, x
⇔x = 2x − x  x
∗
, 2x − x = x
∗
, x

hay x = x
∗
, x. Thêm vào đó, với mọi z ∈ Xvà λ > 0 ta có
λz + x− x = x
∗
, λz
⇔



z +
x
λ



−
1
λ
x = x
∗
, z,
suy ra
z  x
∗
, z ∀z ∈ X
(khi cho λ → ∞). Kết hợp với x = x
∗
, x, ta nhận được x∗ = 1.
Như vậy 1.12 đã được chứng minh. Hệ quả của định lí Hahn-Banach và

kết quả trên chỉ ra rằng ∂ x = ∅ với mọi x ∈ X.
Ví dụ 1.3.5 (Dưới vi phân của hàm chỉ định). Với mọi x ∈ A thì
∂δ (x |A) khác rỗng vì nó đều chứa 0. Từ định nghĩa ta có
∂δ (x |A) = N (x |A) , (1.13)
trong đó
N (x |A) := {x
∗
∈ X
∗
|x
∗
, z − x  0 ∀z ∈ A} (1.14)
là nón pháp tuyến của tập A tại điểm x.
16
Định lí 1.3.6 (Định lí Moreau- Rockafellar). Nếu f
1
và f
2
là hàm lồi
thật trên X thì
∂ (f
1
+ f
2
) (x) ⊃ ∂f
1
(x) + ∂f
2
(x) ∀x ∈ X.
Nếu một trong hai hàm liên tục tại một điểm thuộc vào miền xác định

hữu hiệu của hàm kia thì
∂ (f
1
+ f
2
) (x) = ∂f
1
(x) + ∂f
2
(x) ∀x ∈ X.
1.4 Một số không gian hàm
Dưới đây là một số không gian hàm và xét trong không gian Banach.
Không gian C
n
(Ω)
Cho Ω là một không gian Hausdorff compact. Với C
n
(Ω) là không gian
Banach của các ánh xạ liên tục từ Ω vàoR
n
trang bị bởi chuẩn
x (·) = x (·)
C
= x (·)
C
n
= max
t∈Ω
|x (t)|.
trong đó

|x| =

n

i=1
(x
i
)
2

1/2
là chuẩn Euclid của x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
.
Tôpô được cảm sinh qua chuẩn này được gọi là Tôpô hội tụ đều.
Không gian C
n
m
([t
0
, t
1
])
C
n
m

([t
0
, t
1
]) là không gian của các ánh xạ khả vi liên tục m-lần từ
[t
0
, t
1
] vào R
n
, với chuẩn
x (·) = x (·)
C
n
m
= max
0im



x
(i)
(·)



C
n
.

Không gian L
n
p
([t
0
, t
1
])R
n
Khi l  p < ∞thì L
n
p
([t
0
, t
1
]) kí hiệu không gian Banach của các ánh
xạ đo được Lebesgue từ [t
0
, t
1
] vào R
n
với

t
1
t
0
[x (t)]dt < ∞.