Hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo - tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Tác giả xin
bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với thầy. Thầy đã
dành nhiều thời gian hướng dẫn, chỉ bảo cho tác giả những kiến thức và
kinh nghiệm quí báu, luôn động viên để tác giả vươn lên trong học tập
và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà
Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, Tổ Giải tích, quý thầy cô, đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao
học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng nghề Cơ khí
Nông nghiệp và Khoa Khoa học cơ bản đã tạo điều kiện giúp đỡ để tác
giả học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm sự gúp đỡ động viên của gia đình, bạn
bè, các thành viên lớp cao học Toán Giải tích khóa 2010 -2012 để tác
giả hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Tiến Hiền
i
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Tiến Hiền
ii
Mục lục

Mở đầu 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4
1.1. Chuỗi Fourier, không gian các hàm giảm nhanh và hàm
suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2. Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
) . . . . . 5
1.1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
) . 6
1.2. Biến đổi Fourier, công thức tổng Poisson, hàm Gauss và
định lí Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Biến đổi Fourier và biến đổi cơ bản . . . . . . . . 8
1.2.2. Công thức tổng Poisson . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3. Hàm Gauss và định lí Plancherel . . . . . . . . . 13
1.3. Giải tích thời gian - tần số và biến đổi Fourier thời gian
ngắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Giải tích thời gian - tần số . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . 18
iii
1.4. Hàm nhập nhằng và phân bố Wigner . . . . . . . . . . . 21
1.4.1. Hàm nhập nhằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2. Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6. Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 MỘT SỐ LỚP HÀM TRỌNG 32
2.1. Hàm trọng nhân tính dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2. Hàm trọng ôn hòa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3. Hàm trọng GRS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4. Hàm trọng xoắn dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5. Hàm trọng Beurling – Domar . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM TRỌNG 60
3.1. Hàm trọng trong lý thuyết giả vi phân . . . . . . . . . . 60
3.2. Hàm trọng trong lý thuyết khung Gabor . . . . . . . . . 63
Kết luận 79
Tài liệu tham khảo 79
iv
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trọng số được sử dụng để lượng hoá sự tăng trưởng và điều kiện
phân rã của các hàm. Chẳng hạn, nếu m(t) = (1 + |t|)
s
và ||f||
L
∞
m
=
sup
t∈R
n
|f(t)|m(t) < ∞ thì |f| ≤ C(1 + |t|)
−s
. Vì thế, nếu s > 0 thì điều
kiện này mô tả sự phân rã kiểu đa thức bậc s của hàm f, còn nếu
s < 0 thì f tăng trưởng không quá một đa thức bậc s. Kết hợp với
không gian L
p

, ta được không gian L
p
có trọng được xác định bởi chuẩn
||f||
L
∞
m
= ||fm||
p
=


R
n
|f(t)|
p
m(t)
p

1
p
.
Hàm có trọng trong giải tích thời gian - tần số xuất hiện trong
nhiều vấn đề và phạm vi như:
Dùng trong định nghĩa không gian biến điệu. Các không gian này
xác định theo chuẩn có trọng đối với phép biến đổi Fourier thời gian
ngắn V
g
f . Ở đó trọng số giúp cho việc đo và mô tả sự tập trung thời
gian - tần số của một hàm hoặc sự phân bố của một hàm.

Dùng trong định nghĩa lớp biểu trưng của toán tử giả vi phân ở
đó trọng số mô tả dạng đặc biệt tính trơn trong lớp hàm Sj¨ostrand.
Dùng trong lí thuyết khung Garbor và khai triển thời gian - tần
số ở đó trọng số đo sự tập trung của thời gian - tần số.
Ở bài báo [10] của Karlheinz Gr¨ochenig, tác giả đã trình bày một
cách lý thú về hàm trọng trong giải tích thời gian - tần số. Với mong
muốn hiểu biết sâu hơn về lớp hàm có trọng trong giải tích thời gian -
2
tần số, đặc biệt là tìm hiểu về tại sao và ở đâu cần sự xuất hiện của các
hàm trọng trong giải tích thời gian – tần số, cùng với sự hướng dẫn của
thầy giáo – tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi đã lựa chọn đề tài sau để thực
hiện luận văn tốt nghiệp: “ Hàm trọng trong giải tích thời gian -
tần số ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu tổng quan về các lớp hàm trọng và những ứng dụng
của hàm trọng trong giải tích điều hòa và đặc biệt là giải tích thời gian
– tần số.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Làm rõ các lớp hàm trọng;
Những ứng dụng của một số lớp hàm trọng trong lý thuyết giả vi
phân;
Những ứng dụng của một số lớp hàm trọng trong giải tích thời
gian – tần số.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Hàm trọng trong giải tích thời gian - tần
số.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, tài liệu trong và ngoài nước liên
3
quan đến hàm có trọng trong giải tích thời gian - tần số.
Do sự hạn chế của tài liệu tham khảo, chúng tôi giới hạn chỉ trình

bày kĩ về lớp hàm trọng ôn hòa.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp
cận vấn đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các
bài báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Đóng góp mới
Luận văn là một tài liệu tổng quan về lý thuyết hàm trọng trong
giải tích thời gian - tần số và một số ứng dụng trong lý thuyết giả vi
phân và lý thuyết khung Garbor.
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Chuỗi Fourier, không gian các hàm giảm nhanh
và hàm suy rộng
1.1.1. Chuỗi Fourier
Các hàm tuần hoàn được phân tích thuận tiện bởi chuỗi Fourier.
Giả sử rằng với f một hàm trên R
n
là Z
n
- tuần hoàn; có nghĩa là
f (x) = f (x + k) , ∀k ∈ Z
n
. Một hàm Z
n
- tuần hoàn được xác định duy
nhất bởi sự hạn chế của nó tới một hình lập phương [0, 1]
n
, vì vậy có
thể đồng nhất với một hàm trên [0, 1]

n
. Một hàm tuần hoàn cũng có thể
được xem xét như là một hàm trên tập thương R
n
/Z
n
, đặt T
n
= R
n
/Z
n
.
Mặc dù đây là những đối tượng khác nhau, nhưng chúng ta sẽ đồng nhất
những hàm Z
n
- tuần hoàn trên R
n
với sự hạn chế của chúng trên [0, 1]
n
hoặc T
n
.
Xét các hàm số mũ e
2πimx
,m ∈ Z
n
trên [0, 1]
n
hoặc T

n
. Chúng là
cơ sở trực chuẩn của L
2
(T
n
). Cụ thể là
4
5
Định lí 1.1 (Plancherel). Giả sử f ∈ L
2
(T
n
) và giả sử

f (m) =

[0,1]
n
f (x) e
−2πimx
dx, m ∈ Z
+
là hệ số Fourier thứ m. Khi đó f có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier
f (x) =

m∈Z
n

f (m) e

2πimx
(1.1)
với sự hội tụ như là một sự khai triển trực chuẩn, và chúng ta có

[0,1]
n
|f (x)|
2
dx = f
2
L
2
(T
n
)
=

m∈Z
n




f (m)



2
.
Chú ý 1.1.

1. Từ quan điểm trừu tượng, những hệ số Fourier chính xác là biến
đổi Fourier trên nhóm compact T
n
.
2. Nếu

m∈Z
n




f (m)



< ∞ thì chuỗi (1.1) hội tụ tuyệt đối tới hàm
f (x) , ∀x ∈ R
n
và f (x) là hàm liên tục đều. Nếu chúng ta ký hiệu
tập hợp các chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối là A (T
n
). Trang bị chuẩn
f
A
=

m∈Z
n





f (m)



thì A (T
n
) là một đại số Banach với phép nhân điểm.
1.1.2. Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
)
Định nghĩa 1.1. Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
) là tập hợp
S (R
n
) =

ϕ ∈ C
∞
(R
n
)| sup
x∈R
n


x

α
D
β
ϕ (x)


< +∞, ∀α, β ∈ Z
n
+

6
cùng với khái niệm hội tụ như sau: dãy {ϕ
k
}
∞
k=1
⊂ S (R
n
) được gọi là
hội tụ tới ϕ ∈ S (R
n
) trong S (R
n
) nếu
lim
k→∞
sup
x∈R
n



x
α
D
β
ϕ
k
(x) −x
α
D
β
ϕ (x)


= 0, ∀α, β ∈ Z
n
+
.
Ký hiệu S − lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ.
Nhận xét 1.1.
1. Hàm ϕ ∈ C
∞
(R
n
) là hàm giảm nhanh khi và chỉ khi
a.Với mỗi m ∈ Z

+
, β ∈ Z
n
+
tồn tại C
m,β
> 0 sao cho

1 + |x|
2

m


D
β
ϕ (x)


≤ C
m,β
, ∀x ∈ R
n
,
hay
b. với mỗi m ∈ Z
+
tồn tại C
m
> 0 sao cho


1 + |x|
2

m

|β|≤m


D
β
ϕ (x)


≤ C
m
, ∀x ∈ R
n
.
2. Với mỗi λ, µ ∈ C; ϕ
k
, ψ
k
, ϕ, ψ ∈ S (R
n
) , k = 1, 2, Nếu S −
lim
k→∞
ϕ
k

= ϕ, S − lim
k→∞
ψ
k
= ψ thì S − lim
k→∞
(λϕ
k
+ µψ
k
) = λϕ + µψ.
3. Tập C
∞
0
(R
n
) trù mật trong không gian S (R
n
).
4. Nếu a (·) ∈ C
∞
(R
n
) sao cho với mỗi α ∈ Z
+
có một số thực m =
m (α) và một số dương C = C (α) có |D
α
a (x)| ≤ C


1 + |x|
2

m
, thì
ánh xạ biến mỗi ϕ thành aϕ là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S (R
n
)
vào S (R
n
).
Định lí 1.2. Không gian các hàm giảm nhanh S (R
n
) là đầy đủ.
1.1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
)
Định nghĩa 1.2. Không gian D (R
n
) là không gian vectơ các hàm ϕ ∈
C
∞
0
(R
n
) với sự hội tụ như sau: dãy (ϕ
k
)

∞
k=1
⊂ C
∞
0
(R
n
) được gọi là hội
7
tụ tới ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
) nếu
1. Tồn tại tập compact K ⊂ R
n
sao cho suppϕ
k
⊂ K, ∀k = 0, 1, 2,
2. lim
k→∞
sup
x∈R
n
|D
α
ϕ
k
(x) −D

α
ϕ (x)| = 0, ∀α ∈ Z
+
.
Ký hiệu D − lim
k→∞
ϕ
k
= ϕ.
Định nghĩa 1.3. Không gian hàm suy rộng D

(R
n
) là tập hợp các phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên D (R
n
). Hàm suy rộng f ∈ D

(R
n
) tác động
lên mỗi ϕ ∈ D

(R
n
) được viết f, ϕ.
Sự hội tụ trên D

(R
n

) được hiểu như sau: cho f
k
, f ∈ D

(R
n
) , k =
1, 2, Ta nói rằng, dãy (f
k
)
∞
k=1
hội tụ tới f trong D

(R
n
) khi k tiến ra
vô cùng nếu
lim
k→∞
f
k
, ϕ = f, ϕ, ∀ϕ ∈ D (R
n
) .
Ký hiệu D

− lim
k→∞
f

k
= f.
Định nghĩa 1.4. Cho hàm suy rộng f ∈ D

(R
n
). Hàm suy rộng f được
gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại m ∈ N và số dương C sao
cho
|f, ϕ| ≤ C sup
x→R
n

1 + |x|
2

m

|α|≤m
|D
α
ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ D (R
n
) .
Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm f ta gọi là không gian các hàm
suy rộng tăng chậm, ký hiệu là S

(R
n
).

Một cách khác để định nghĩa S

(R
n
) là không gian tất cả các
phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (R
n
) .
Định nghĩa 1.5. Cho f
k
, f ∈ S

(R
n
) , k = 1, 2, Dãy (f
k
)
∞
k=1
được gọi
là hội tụ trong S

(R
n
) tới hàm f ∈ S

(R
n
), nếu
8

1. Có một số tự nhiên m và số dương C sao cho
|f
k
, ϕ| ≤ C sup
x→R
n

1 + |x|
2

m

|α|≤m
|D
α
ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ C
∞
0
(R
n
) , k ∈ N
∗
.
2. Dãy (f
k
)
∞
k=1
hội tụ trong D


(R
n
) tới f.
Ký hiệu S

− lim
k→∞
f
k
= f.
Định lí 1.3. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S

(R
n
) là đầy đủ.
Định nghĩa 1.6. Cho Ω ⊂ R
n
. Hàm v (x) ∈ L
1
(Ω) được gọi là đạo hàm
suy rộng cấp α của hàm u (x) ∈ L
1
(Ω), nếu

Ω
u (x) D
α
ψ (x) dx = (−1)
|α|


Ω
v (x) ψ (x) dx
với mọi ψ ∈ C
∞
0
(Ω) , α ∈ Z
n
+
, |α| = α
1
+ α
2
+ + α
n
.
Định nghĩa 1.7. Cho f ∈ D

(R
n
) , α = (α
1
, α
2
, , α
n
) ∈ Z
n
+
. Đạo hàm
suy rộng cấp α của hàm suy rộng f trong R

n
, ký hiệu là D
α
f, là ánh xạ
từ D (R
n
) vào C
n
được xác định bởi
D
α
: ϕ → (−1)
|α|
f, D
α
ϕ, ϕ ∈ D (R
n
) .
1.2. Biến đổi Fourier, công thức tổng Poisson, hàm
Gauss và định lí Plancherel
1.2.1. Biến đổi Fourier và biến đổi cơ bản
Chúng ta viết xw =
n

i=1
x
i
w
i
là tích vô hướng trên R

n
và viết tắt
x
2
= xx. Chuẩn Euclid là |x| =
√
xx. Khi đó chúng ta định nghĩa:
9
Định nghĩa 1.8. Nếu f ∈ L
1
(R
n
) thì phép biến đổi Fourier của f, ký
hiệu

f hay F (f) được xác định bởi

f (w) =

R
n
f (x) e
−2πixw
dx, w ∈ R
n
. (1.2)
Nhận xét 1.2.
1. Ta dễ thấy biến đổi Fourier là toán tử tuyến tính tác động trên
không gian hàm L
1

(R
n
), lúc đó chúng ta thường viết F (f) thay
cho

f.
2. Ngoài cách định nghĩa như (1.2), chúng ta có thể định nghĩa biến
đổi Fourier theo các cách như sau:

f (w) = (2π)
−
n
2

R
n
f (x) e
−ixw
dx
hay

f (w) =

R
n
f (x) e
−ixw
dx. (1.3)
3. Lấy giá trị tuyệt đối hai vế của (1.2) thì chúng ta có:





f



L
∞
≤ f
L
1
.
Bổ đề 1.1 (Riemann - Lebesgue). Nếu f ∈ L
1
(R
n
) thì

f liên tục đều
và lim
|w|→∞




f (w)




= 0.
Giả sử ký hiệu C
0
(R
n
) là không gian Banach của các hàm liên tục
triệt tiêu tại vô cực. Khi đó Bổ đề 1.1 biểu diễn tính chất của ánh xạ F :
F : L
1
(R
n
) → C
0
(R
n
) .
Nếu chúng ta bỏ đi điều kiện biến đổi Fourier được định nghĩa theo
từng điểm bởi (1.2), thì chúng ta có thể mở rộng nó tới các không gian
L
2
(R
n
).
10
Định nghĩa 1.9. Với x, w, y, t ∈ R
n
và f ∈ S (R
n
) ta định nghĩa các
phép biến đổi cơ bản sau

1.Phép tịnh tiến theo x của f, ký hiệu T
x
f là một sự dịch chuyển
thời gian được định nghĩa bởi T
x
f (t) = f (t −x).
2. Sự điều biến theo w của f, ký hiệu M
w
f được định nghĩa bởi
M
w
f (t) = e
2πiwt
f (t).
3. Phép đối hợp của f, ký hiệu f
∗
được định nghĩa bởi f
∗
(x) =
f (−x).
4. Toán tử đối xứng của f, ký hiệu

f được định nghĩa bởi

f (x) =
f (−x).
5. Tích chập của hai hàm f, g ∈ L
1
(R
n

), ký hiệu f ∗g và được định
nghĩa bởi (f ∗g) (x) =

R
n
f (y) g (x − y) dy, x ∈ R
n
.
Tính chất 1.1. Với x, w ∈ R
n
và f ∈ S (R
n
) chúng ta có các tính chất
sau
1) T
x
M
w
= e
−2πixw
M
w
T
x
.
2) T
x
M
w
f

L
p
= f
L
P
.
3) (T
x
f)= M
−x

f, (M
w
f)= T
w

f. (1.4)
4) (T
x
M
w
f)= M
−x
T
w

f = e
−2πixw
T
w

M
−x

f. (1.5)
5)f ∗ g
L
1
≤ f
L
1
g
L
1
, (f ∗ g)=

f.g.
6)

f
∗
=

f,


f =


f.
7) (f ∗ g) (x) = f, T

x
g
∗
.
Định nghĩa 1.10. Cho f ∈ L
1
(R
n
). Biến đổi Fourier ngược của hàm
11
f, ký hiệu F
−1
f được định nghĩa bởi
F
−1
f (x) =

R
n
f (w) e
ixw
dw, ∀x ∈ R
n
. (1.6)
Định lí 1.4. Nếu f ∈ L
1
(R
n
) và


f ∈ L
1
(R
n
) thì chúng ta có
f (x) =

R
n

f (w) e
−2πixw
dw, ∀x ∈ R
n
.
Nghĩa là, F và F
−1
là các toán tử ngược của nhau.
1.2.2. Công thức tổng Poisson
Công thức tổng Poisson liên quan đến chuỗi Fourier với biến đổi
Fourier trên R
n
.
Bổ đề 1.2. Nếu f ∈ L
1
(R
n
) thì với mọi α > 0, chúng ta có:

R

n
f (x) dx =

[0,α]
n


k∈Z
n
f (x + αk)

dx.
Chứng minh: Vì các hình lập phương αk +[0, α]
n
được tịnh tiến rời
nhau, có thể trừ ra một tập hợp có độ đo 0 trên biên, chúng tạo thành
một phép phân hoạch trên R
n
.
Do đó

R
n
f (x) dx =

k∈Z
n

αk+[0,α]
n

f (x) dx =

[0,α]
n


k∈Z
n
f (x + αk)

dx.
Vì f ∈ L
1
(R
n
) nên phép lấy tổng và phép lấy tích phân có thể
hoán vị cho nhau (Định lí Fubini).
Bổ đề được chứng minh. 
Mệnh đề sau là phiên bản chuẩn tắc của công thức tổng Poisson.
12
Mệnh đề 1.1 (Công thức tổng Poisson). Giả sử tồn tại ε > 0 và C > 0
sao cho |f (x)| ≤ C(1 + |x|)
−n−ε
và




f (w)




≤ C(1 + |w|)
−n−ε
. Khi đó

k∈Z
n
f (x + k) =

k∈Z
n

f (k) e
2πikx
. (1.7)
Đẳng thức xảy ra theo từng điểm với mọi x ∈ R
n
và cả hai tổng đều hội
tụ tuyệt đối với mọi x ∈ R
n
.
Chứng minh: Chú ý rằng vế trái ϕ (x) =

k∈Z
n
f (x + k) là Z
n
- tuần
hoàn. Hơn nữa, từ giả thiết suy ra f ∈ L

1
(R
n
) và do đó ϕ ∈ L
1
(T
n
).
Chúng ta có thể tính các hệ số Fourier của hàm ϕ
ϕ (k) =

[0;1]
n
ϕ (x) e
−2πikx
dx
=

[0;1]
n



j∈R
n
f (x + j) e
−2πik(x−j)


dx

=

R
n
f (x) e
−2πikx
dx =

f (k) , k ∈ Z
n
.
(Ở đây chúng ta áp dụng Bổ đề 1.2). Vì

k∈R
n




f (k)



< ∞ nên ϕ có
chuỗi Fourier hội tụ tuyệt đối ϕ (x) =

k∈R
n

f (k) e

2πikx
, cho nên chúng ta
có (1.7).
Mệnh đề được chứng minh. 
Chú ý 1.2.
1. Điều kiện triệt tiêu của f và

f chỉ cần có sự hội tụ tuyệt đối của
cả hai tổng và sự đúng đắn của (1.7) theo từng điểm. Thực ra công
thức (1.7) thỏa mãn theo từng điểm dưới điều kiện yếu hơn trên f
và

f.
13
2. Nếu chúng ta thay thế sự hội tụ tuyệt đối của ϕ trong chứng
minh (1.7) bởi tính hội tụ trong L
2
(R
n
) và sự bằng nhau theo từng
điểm thay bởi sự bằng nhau hầu khắp nơi, thì chúng ta thu được
một kết quả yếu hơn, nhưng hữu ích hơn (1.7) :
Nếu

k∈Z
n
f (x + k) ∈ L
2
(T
n

) và

k∈Z
n




f (k)



2
< ∞ thì (1.7) xảy ra
hầu khắp nơi.
1.2.3. Hàm Gauss và định lí Plancherel
Các hàm Gauss đóng một vai trò rất đặc biệt trong giải tích thời
gian - tần số. Trước tiên, chúng ta thực hiện một số phép tính cơ bản
với các hàm Gauss. Sau đó, chúng ta đi chứng minh Định lí Plancherel.
Định nghĩa 1.11. Ta gọi hàm ϕ
a
(x) = e
−πx
2
a
, x ∈ R
n
là các hàm Gauss
chưa được chuẩn hóa với độ rộng a > 0 trên R
n

.
Bổ đề 1.3 (Biến đổi Fourier của hàm Gauss). Với mọi a > 0, ta luôn
có
ϕ
a
(w) = a
n
2
ϕ
1
a
(w) .
Đặc biệt, nếu a = 1 thì

e
−πx
2


= e
−πw
2
.
Chúng ta có thể định nghĩa ϕ
c
, với tham số phức c ∈ C. Ta viết
c
−1
= a
0

+ib
0
, chúng ta thu được ϕ
c
(x) = e
−πib
0
x
2
e
−πia
0
x
2
. Trong kĩ thuật
ϕ
c
là một phép nhân một hàm Gauss ϕ
1
a
0
(x) với một hàm tạo tiếng chít
e
−πib
0
x
2
.
Bổ đề 1.4 (Sự dịch chuyển thời gian - tần số của hàm Gauss). Với mọi
a > 0 và mọi (x, u, w, η ∈ R

n
), chúng ta có:
T
x
M
w
ϕ
a
, T
u
M
η
ϕ
a
 =

a
2

n
2
e
πi(u−x)(η+w)
ϕ
2a
(u −x) ϕ
2
a
(η −w) .
14

Chứng minh: Đầu tiên chúng ta tính
ϕ
a
, M
w
T
x
ϕ
a
 =

R
n
e
−πt
2
a
e
−π( t−x)
2
a
e
−2πiwt
dt
= e
−πx
2
a

R

n
e
−2π
(
t−
x
2
)
2
a
e
−2πiwt
dt
= ϕ
2a
(x)

T
x
2
ϕ
a
2


(w)
= e
−2πiwx

a

2

n
2
ϕ
2a
(x) ϕ
2
a
(w) .
(Đẳng thức cuối cùng chúng ta áp dụng (1.4) và Bổ đề 1.3).
Trường hợp tổng quát thì từ đẳng thức
M
−w
T
u−x
M
η
= e
−2πiη(u−x)
M
η−w
T
u−x
.
Chúng ta có
T
x
M
w

ϕ
a
, T
u
M
η
ϕ
a
 = ϕ
a
, M
−w
T
u−x
M
η
ϕ
a

= e
2πiη(u−x)
ϕ
a
, M
η−w
T
u−x
ϕ
a


=

a
2

n
2
e
2πiη(u−x)
e
−πi(u−x)(η−w)
ϕ
2a
(u −x) ϕ
2
a
(η −w)
=

a
2

n
2
e
πi(u−x)(η+w)
ϕ
2a
(u −x) ϕ
2

a
(η −w) .
Bổ đề được chứng minh. 
Bổ đề 1.5. Với mọi a > 0, bao tuyến tính của tập {T
x
M
w
ϕ
a
: x, w ∈ R
n
}
sinh ra trong một không gian con trù mật trong L
2
(R
n
), nói cách khác
span {T
x
M
w
ϕ
a
: x, w ∈ R
n
} = L
2
(R
n
) .

Định lí 1.5 (Plancherel). Nếu f ∈ L
1
(R
n
)∩L
2
(R
n
) thì f
L
2
=




f



L
2
.
Do đó F có thể mở rộng tới một toán tử unita trên L
2
(R
n
) và thỏa mãn
công thức Parseval f, g =



f, g

, ∀f, g ∈ L
2
(R
n
).
15
Chứng minh: Định lí này có thể được chứng minh bằng cách trực
tiếp, tuy nhiên chúng ta sẽ chứng minh nó dựa vào Bổ đề 1.5.
Giả sử span {T
x
M
w
ϕ
1
: x, w ∈ R
n
}. Từ Bổ đề 1.3 và (1.5) chúng ta
có
(T
x
M
w
ϕ
1
)= M
−x
T

w
ϕ
1
= e
−2πixw
T
w
M
−x
ϕ
1
.
Đẳng thức trên là ánh xạ X vào chính nó. Do đó theo Bổ đề 1.5,
chúng ta có
span {T
x
M
w
ϕ
1
: x, w ∈ R
n
} = L
2
(R
n
) .
Cuối cùng theo Bổ đề 1.4, chúng ta có
T
x

M
w
ϕ
1
, T
u
M
η
ϕ
1
 = F (T
x
M
w
ϕ
1
) , F (T
u
M
η
ϕ
1
);
và hệ thức này đã mở rộng tính tuyến tính tới miền X. Do đó F là một
phép đẳng cự trên X với miền giá trù mật trong X, và vì thế nó được
mở rộng tới một toán tử unita trên L
2
(R
n
).

Cho f =
m

k=1
c
k
T
x
k
M
w
k
ϕ
1
là một phần tử bất kì trong X. Khi đó
f
2
L
2
=
m

k,l=1
c
k
c
l
T
x
k

M
w
k
ϕ
1
, T
x
l
M
w
l
ϕ
1

=
m

k,l=1
c
k
c
l
F (T
x
k
M
w
k
ϕ
1

) , F (T
x
l
M
w
l
ϕ
1
)
=


f,

f

=




f



2
L
2
.
Định lí được chứng minh. 

Định nghĩa 1.12. Cho f ∈ S

(R
n
). Biến đổi Fourier của hàm suy rộng
f, ký hiệu F f, là hàm suy rộng tăng chậm được xác định bởi
F f, ϕ = f, Fϕ, ϕ ∈ S (R
n
)
16
và biến đổi Fourier ngược, ký hiệu F
−1
f, là hàm suy rộng tăng chậm
được xác định bởi

F
−1
f, ϕ

=

f, F
−1
ϕ

, ϕ ∈ S (R
n
) .
1.3. Giải tích thời gian - tần số và biến đổi Fourier
thời gian ngắn

1.3.1. Giải tích thời gian - tần số
Trong công nghệ và vật lí, f (x) được coi như là biên độ của sự
dao động của dấu hiệu f tại x, còn

f (x) được coi như là biên độ của
tần số w. Cho nên trong giải tích thời gian - tần số, chúng ta tìm những
biểu diễn mà kết hợp những đặc trưng của f và

f, được gọi là biểu diễn
thời gian - tần số.
Từ định nghĩa biến đổi Fourier (1.3), không làm mất tính tổng
quát ta coi số chiều n = 1, chúng ta thấy rằng phép lấp tích phân không
thể thực hiện được trừ khi chúng ta biết f (x) trên toàn bộ trục thực
(−∞; +∞). Điều này là do các hàm e
ixw
hay là cos (xw) và sin (xw) là
các hàm toàn cục. Nghĩa là, một sự nhiễu nhỏ của hàm tại bất kì điểm
nào dọc theo trục x đều ảnh hưởng đến mọi điểm trên trục w, và ngược
lại. Nếu chúng ta tưởng tượng dấu hiệu f (x) như là hàm điều biến cho
e
ixw
, một sự nhiễu tại bất kì điểm nào trên trục x nó sẽ lan truyền qua
toàn bộ trục w. Mặt khác, chúng ta thực hiện trên biến đổi Fourier, ở
một thời điểm tích phân chỉ có thể được đánh giá tại một tần số. Điều
này khá bất tiện cho một xử lý dấu hiệu với quan điểm trên. Mặc dù có
những thuật toán để tính toán nhanh biến đổi Fourier bằng kỹ thuật số,
17
nhưng nó không thể được thực hiện theo thời gian thực. Tất cả dữ liệu
cần thiết phải được lưu trữ trong bộ nhớ trước khi rời rạc hoặc biến đổi
Fourier nhanh có thể được tính.

Như vậy, dù có sử dụng phương pháp linh hoạt nhất, giải tích
Fourier cũng không đáp ứng đủ yêu cầu thực tiễn. Nói cách khác, quang
phổ Fourier không cung cấp bất cứ miền thời gian thông tin về dấu hiệu.
Để khắc phục điều này chúng ta đưa ra một dạng biến đổi, đó là
biến đổi Fourier thời gian ngắn, một loại biểu diễn phụ thuộc vào một
cửa sổ. Trước khi nghiên cứu nó chúng ta nghiên cứu về hàm cửa sổ.
Định nghĩa 1.13. Ta gọi hàm ϕ ∈ L
2
(R
n
) triệt tiêu bên ngoài một
khoảng hữu hạn là hàm cửa sổ.
Giả sử ϕ là một hàm cửa sổ nhận giá trị thực, và f là một dấu
hiệu. Khi đó tích f
b
(x) := f (x) ϕ (x −b) chứa đựng những thông tin
về f (x) gần x = b. Đặc biệt, nếu ϕ (x) là hàm đặc trưng χ
[−τ;τ)
(x) thì
chúng ta có:
f
b
(x) =



f (x) , x ∈ [b −τ; b + τ)
0 , x /∈ [b − τ; b + τ)
Bằng cách thay đổi tham số b ta có thể trượt hàm cửa sổ dọc theo
trục Ox để phân tích dáng điệu địa phương của hàm f (x) trong khoảng

thời gian khác nhau.
Hai tham số quan trọng nhất của hàm cửa sổ là tâm và độ rộng
của nó, độ rộng thông thường gấp đôi bán kính.
Với một hàm cửa sổ tổng quát ϕ (x) chúng ta định nghĩa tâm x
∗
18
như sau:
x
∗
:=
1
ϕ
2
+∞

−∞
x|ϕ (x)|
2
dx
và căn bậc hai của bán kính ∆
ϕ
∆
ϕ
:=
1
ϕ


+∞


−∞
(x −x
∗
)
2
|ϕ (x)|
2
dx


1
2
.
Hàm ϕ (x) được mô tả như trên với ∆
ϕ
hữu hạn được gọi là hàm
cửa sổ thời gian. Tương tự, chúng ta có được cửa sổ tần số ϕ (w) với tâm
w
∗
và căn bậc hai của bán kính ∆
ϕ
được định nghĩa tương tự như trên:
w
∗
:=
1
ϕ
2
+∞


−∞
w|ϕ (w)|
2
dw;
∆
ϕ
:=
1
ϕ


+∞

−∞
(w − w
∗
)
2
|ϕ (w)|
2
dw


1
2
.
1.3.2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn
Định nghĩa 1.14. Cố định một hàm cửa sổ g = 0. Khi đó, biến đổi
Fourier thời gian ngắn của một hàm f đối với g, ký hiệu V
g

f được định
nghĩa như sau
V
g
f (x; w) =

R
n
f (t) g (t − x)e
−2πitw
dt, ∀x, w ∈ R
n
. (1.8)
Nhận xét 1.3.
1. Nếu g có giá compact với tâm của giá đặt tại gốc, thì V
g
f (x; ·)
là biến đổi Fourier của f trên một đoạn với tâm là x. Khi x biến
thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x đến những vị trí khác nhau. Do
19
đó, biến đổi Fourier thời gian ngắn được gọi là “biến đổi Fourier
cửa sổ trượt”. Với một vài hạn chế, V
g
f (x; w) có thể coi như là một
công cụ đo biên độ của dải tần số gần w tại thời điểm x. Theo ý
nghĩa này V
g
f (x; w) là một phép đo phổ tần số tức thời tại x mà
biến đổi Fourier không thể có được.
2. Trong giải tích dấu hiệu, ít nhất với số chiều n = 2, R

2
được gọi
là mặt phẳng thời gian - tần số, và trong vật lí R
2
được gọi là không
gian pha.
3. Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính theo f và tuyến
tính liên hợp theo g. Thông thường, hàm cửa sổ g được giữ cố định,
và V
g
f được xem như là một ánh xạ tuyến tính từ các hàm trên R
n
tới các hàm trên R
2n
. Rõ ràng hàm V
g
f và các tính chất của ánh
xạ f → V
g
f phụ thuộc chủ yếu vào việc chọn cửa sổ g. Sau đây, ta
đi xét các dạng tương đương của biến đổi Fourier thời gian ngắn.
Định nghĩa 1.15. Cho F ∈ L
2

R
2n

. Hàm F được gọi là nửa song
tuyến tính phức, nếu với mọi x, y, z ∈ R
n

và với mọi c
1
, c
1
∈ C
n
thì
F (c
1
x + c
2
y, z) = c
1
F (x, z) + c
2
F (y, z)
và
F (x, c
1
y + c
2
z) = c
1
F (x, y) + c
2
F (x, z) .
Định lí 1.6. Nếu f, g ∈ L
2
(R
n

) thì V
g
f là liên tục đều trên R
2n
và
V
g
f (x; w) = (f.T
x
g)(w)
= f, M
w
T
x
g (1.9)
=


f, T
w
M
−x
g

20
= e
−2πixw


f.T

w
g


(−x)
= e
−2πixw
V
g

f (w, −x) (1.10)
= e
−2πixw
(f ∗ M
w
g
∗
) (x) (1.11)
=


f ∗ M
−x
g
∗

(w)
= e
−πixw


R
n
f

t +
x
2

g

t −
x
2

e
−2πitw
dt. (1.12)
Định lí trên nhấn mạnh tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier
thời gian ngắn trong trường hợp hàm cửa sổ g cố định. Thay vì trường
hợp cố định hàm cửa sổ g, biến đổi Fourier thời gian ngắn có thể được
xem như là dạng nửa song tuyến tính phức f ⊗ g. Giả sử (f ⊗ g) là
tích tensor, f ⊗ g (x, t) = f (x) g (t) , τ
a
là phép biến đổi tọa độ không
đối xứng τ
a
F (x, t) = F (t, t − a) và giả sử F
2
là biến đổi Fourier riêng
theo biến thứ hai F

2
F (x, w) =

R
n
F (x, t) e
−2πitw
dt của hàm F trên R
2n
,
chúng ta có
Mệnh đề 1.2. Nếu f, g ∈ L
2
(R
n
) thì
V
g
f = F
2
τ
a
(f ⊗
g) . (1.13)
Mệnh đề 1.3. Nếu V
g
f xác định thì chúng ta có:
V
g
(T

u
M
η
f) (x; w) = e
−2πiuw
V
g
f (x − u; w − η) ;
với x, u, w, η ∈ R
n
. Đặc biệt:
|V
g
(T
u
M
η
f) (x; w)| = |V
g
f (x − u; w −η)|.
21
Định lí 1.7. Giả sử f
1
, f
2
, g
1
, g
2
∈ L

2
(R
n
). Khi đó V
g
j
(f
j
) ∈ L
2

R
2n

,
j = 1, 2 và
V
g
1
f
1
, V
g
2
f
2

L
2
(R

2n
)
= f
1
, f
2
g
1
, g
2
. (1.14)
Chứng minh: Theo Mệnh đề 1.2 và tính chất unita của các toán
tử F
2
và τ
a
, chúng ta có
V
g
1
f
1
, V
g
2
f
2

L
2

(R
2n
)
= F
2
τ
a
(f
1
⊗ g
1
) , F
2
τ
a
(f
2
⊗ g
2
)
L
2
(R
2n
)
= f
1
⊗ g
1
, f

2
⊗ g
2

L
2
(R
2n
)
= f
1
, f
2

L
2
(R
2n
)
g
1
, g
2

L
2
(R
2n
)
.

Định lí được chứng minh. 
Hệ quả 1.1. Nếu f, g ∈ L
2
(R
n
) thì
V
g
f
L
2
= f
L
2
g
L
2
.
Đặc biệt, nếu g
L
2
= 1 thì V
g
f
L
2
= f
L
2
, ∀f ∈ L

2
(
n
).
1.4. Hàm nhập nhằng và phân bố Wigner
1.4.1. Hàm nhập nhằng
Định nghĩa 1.16. Hàm nhập nhằng của f ∈ L
2
(R
n
), ký hiệu Af, được
xác định bởi:
Af (x, w) =

R
n
f

t +
x
2

f

t −
x
2

e
−2πitw

dt.
Hàm nhập nhằng chéo của f và g ∈ L
2
(R
n
), ký hiệu A (f, g), được xác
định bởi
A (f, g) (x, w) =

R
n
f

t +
x
2

g

t −
x
2

e
−2πitw
dt.