Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ VÂN
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIAO
KHÁC RỖNG CỦA HỌ TẬP
LỒNG NHAU VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH
Hà Nội, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
HOÀNG THỊ VÂN
MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ GIAO
KHÁC RỖNG CỦA HỌ TẬP
LỒNG NHAU VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội, 2012
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Năng Tâm người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa
luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm
luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè, đồng nghiệp đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi
hoàn thành bản luận văn này.

Hà Nội, tháng 07 năm 2012
Hoàng Thị Vân
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, luận văn
Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Một số định lý về
giao khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng” được hoàn
thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận
văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 07 năm 2012
Hoàng Thị Vân
Mục lục
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Mở đầu 7
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần . . . . . . . 9
1.1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần . . . 9
1.2 Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Bài toán tối ưu, Định lý Frank-Wolfe . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Các loại bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.3 Sự tồn tại lời giải tối ưu . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4 Định lý Frank- Wolfe cổ điển . . . . . . . . . . . 27
1.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chương 2. Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng
nhau 29
2.1 Giao khác rỗng của một số họ tập lồng nhau . . . . . . . 29

2.1.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 Bài toán 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Phương tiệm cận và phương co lại được . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Phương tiệm cận của các tập đóng . . . . . . . . 36
4
2.3 Phương ngang và định lý tập giao liên quan . . . . . . . 41
2.3.1 Phương tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Chương 3. Ứng dụng 59
3.1 Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu . . . . 59
3.2 Tổng quát hóa định lý Frank-Wolfe . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
BẢNG KÍ HIỆU
R đường thẳng thực
R đường thẳng thực mở rộng
R
n
không gian Euclid n - chiều
x, y tích vô hướng của x và y
x chuẩn của x
conv C bao lồi của tập C
aff C bao affine của tập C
pos C bao dương của tập C
intC phần trong của tập C
C bao đóng của tập C
ri C phần trong tương đối của tập C
ext C tập các điểm biên của tập C

extray C tập các tia cực biên của tập C
σ
C
hàm giá của tập C
δ
C
hàm chỉ của tập C
γ
C
hàm cỡ của tập C
K
∗
nón cực của K
M
⊥
phần bù trực giao của M
6
f
∗
, f
∗∗
liên hợp, liên hợp bậc hai của f
lev(f, λ) tập mức của hàm f
inf f cận dưới đúng của hàm f
sup f cận trên đúng của hàm f
min f giá trị nhỏ nhất của hàm f
max f giá trị lớn nhất của hàm f
Ker f hạt nhân, hạch của hàm f
rge f ảnh của hàm f
dom f miền hữu hiệu của hàm f

epi f trên đồ thị của hàm f
∂f
∂x
i
đạo hàm riêng của hàm f theo biến x
i
∇f(x) gradient của f
C
∞
nón tiệm cận của tập C
f
∞
hàm tiệm cận của hàm f
C
f
không gian hằng của f
K
f
nón tiệm cận của f
L
f
không gian tuyến tính của f
adc hằng số theo phương tiệm cận
als hàm ổn định mức tiệm cận.
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vấn đề về giao khác rỗng của một họ tập đóng lồng nhau là một
chủ đề cơ bản trong những chủ đề quan trọng trong lý thuyết tối ưu, bao
gồm sự tồn tại nghiệm tối ưu, sự thỏa mãn của bất đẳng thức minimax
trong lý thuyết trò chơi tổng zero và sự triệt tiêu khoảng cách đối ngẫu

trong tối ưu có ràng buộc. Do đó, sau khi học xong chương trình cao học
giải tích, được sự gợi ý của các thầy giảng dạy chuyên ngành Toán giải
tích cùng với sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm, với mong muốn
hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học và ứng dụng của nó, tôi chọn
đề tài “Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau
và ứng dụng” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nắm được các khái niệm, định lý và ứng dụng về giao khác rỗng
của họ tập lồng nhau nhằm củng cố, hiểu biết sâu hơn về Toán giải tích
và ứng dụng của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu "Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau
và ứng dụng".
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Một số định lý về giao khác rỗng của họ tập lồng nhau trong không
gian Euclid và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan.
Sử dụng các phương pháp của giải tích, đại số tuyến tính và tối ưu
hóa.
8
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp mới của đề tài
Nghiên cứu, tổng hợp, hệ thống và làm rõ một số định lý về giao
khác rỗng của họ tập lồng nhau và ứng dụng.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Giải tích lồi xuất hiện như một công cụ có sự ảnh hưởng mạnh mẽ
tới sự phát triển của tối ưu hóa và giải tích biến phân. Các kết quả được
đưa ra một cách tổng quát trong chương này nhằm mục đích giới thiệu

các kiến thức cần thiết của giải tích lồi sẽ được sử dụng trong luận văn.
Phần chi tiết và chứng minh cho các kết quả tham khảo trong tài liệu
số [1], [2], [3] và [4].
1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần
1.1.1 Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần
Định nghĩa 1.1.1. Cho không gian metric M = (X, d), dãy hình cầu
S
n
= S(a
n
, r
n
), n = 1, 2, tâm a
n
, bán kính r
n
trong không gian M gọi
là thắt dần nếu S
n
⊃ S
n+1
, n = 1, 2, và lim
n→∞
r
n
= 0.
Định lý 1.1.1. (Nguyên lý Cantor về dãy hình cầu thắt dần)
Không gian metric M = (X, d) là không gian đầy khi và chỉ khi
mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất.
Chứng minh.

Điều kiện cần
Giả sử M = (X, d) là không gian đầy và S

n
= S

(a
n
, r
n
), n = 1, 2,
là một dãy hình cầu đóng thắt dần tùy ý trong M. Với mọi m, n; m ≥ n
ta có S

n
⊃ S

m
, d(a
m
, a
n
) ≤ r
n
, n = 1, 2,
Vì lim
n→∞
r
n
= 0 nên dãy tâm {a

n
} là dãy cơ bản trong không gian
10
metric đầy M, do đó phải tồn tại giới hạn
lim
n→∞
a
n
= a ∈ X.
Do đó với mỗi n = 1, 2, và k = 1, 2, ta có lim
k→∞
a
n+k
= a. Vì
a
n+k
∈ S

n
, ∀k = 1, 2, và S

n
là tập đóng nên a ∈ S

n
, ∀n = 1, 2, nghĩa
là a ∈

∞
n=1

S

n
.
Giả sử tồn tại phần tử b ∈

∞
n=1
S

n
suy ra a, b ∈ S

n
, ∀n = 1, 2,
suy ra d(a, b) ≤ 2r
n
, ∀n = 1, 2, Nhưng lim
n→∞
r
n
= 0 nên
d(a, b) = 0 ⇔ a = b.
Vì vậy dãy hình cầu đóng (S

n
) đã cho có điểm chung duy nhất.
Điều kiện đủ
Giả sử M = (X, d) là không gian metric thỏa mãn điều kiện: mọi
dãy hình cầu đóng thắt dần đều có điểm chung duy nhất. Lấy một dãy

cơ bản tùy ý (x
n
) ⊂ X. Theo định nghĩa dãy cơ bản
∀ε > 0, ∃n
0
∈ N
∗
, ∀n, m ≥ n
0
, d(x
n
, x
m
) < ε
=⇒ d(x
n
, x
m
) < ε, ∀n ≥ n
0
Do đó
∃n
1
∈ N
∗
, ∀n ≥ n
1
, d(x
n
, x

n
1
) <
1
2
∃n
2
∈ N
∗
, n
2
> n
1
, ∀n ≥ n
2
, d(x
n
, x
n
2
) <
1
2
2
=⇒ d(x
n
2
, x
n
1

) <
1
2
.
Xét các hình cầu đóng S

1
= S

(x
n
1
, 1), có tâm x
n
1
và có bán kính
1, S

2
= S

(x
n
2
,
1
2
) tâm x
n
2

, bán kính
1
2
.
Ta có
∀x ∈ S

2
, d(x, x
n
1
) ≤ d(x, x
n
2
) + d(x
n
2
, x
n
1
) ≤
1
2
+
1
2
= 1
=⇒ x ∈ S

1

=⇒ S

2
⊂ S

1
.
Quá trình trên tiếp tục mãi, nhận được một dãy hình cầu đóng
thắt dần S

k
= S

(x
n
k
,
1
2
k−1
) tâm x
n
k
bán kính
1
2
k−1
, S

k+1

⊂ S

k
, k = 1, 2,
11
Theo giả thiết tồn tại duy nhất phần tử a ∈

∞
k=1
S

k
. Như trong chứng
minh điều kiện cần, a = lim
k→∞
x
n
k
. Ta lại có
d(x
n
, a) ≤ d(x
n
, x
n
k
) + d(x
n
k
, a) −→ 0 khi k, n → ∞

suy ra lim
n→∞
x
n
= a. Vì vậy không gian metric M = (X, d) là không gian
metric đầy.
Định lý được chứng minh.
1.2 Tập lồi, hàm lồi
1.2.1 Tập lồi
Định nghĩa 1.2.1. Tập C ⊂ R
n
gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀t ∈ [0, 1] ta
có
tx + (1 − t)y ∈ C.
Định nghĩa 1.2.2. Giao của tất cả các tập lồi chứa tập C ⊂ R
n
được
gọi là bao lồi của C, kí hiệu conv C.
Định nghĩa 1.2.3. Tập C ⊂ R
n
được gọi là đa tạp affine nếu
∀x, y ∈ C, ∀t ∈ R ⇒ tx + (1 − t)y ∈ C.
Từ định nghĩa ta có R
n
, các điểm, các đường thẳng và các siêu phẳng
trong R
n
là các đa tạp affine. Đa tạp affine đóng và lồi.
Mệnh đề 1.2.1. (Xem [2])
Cho C là tập con khác rỗng trong R

n
. Các mệnh đề sau tương đương
(a) C là đa tạp affine.
(b) C = x + M = {y |y −x ∈ M}, M là không gian con.
(c) C = {x |Ax = b}, A ∈ R
m×n
, b ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.2.4. Giao của tất cả các tập affine chứa tập C ⊂ R
n
được gọi là bao affine của C, kí hiệu aff A.
12
Nhận xét 1.2.1. aff A là tập affine nhỏ nhất chứa A.
Mệnh đề 1.2.2. (Xem [2]) Giả sử C ⊂ R
n
khi đó,
(a) conv C là tổ hợp lồi của các phần tử thuộc C, tức là,
conv C = {
m

i=1
t
i
x
i
|x
i
∈ C, t
i

≥ 0,
m

i=1
t
i
= 1}.
(b) aff C là một đa tạp affine và conv C ⊂ aff C.
(c) aff C = aff(conv C).
Mệnh đề 1.2.3. (Xem [2])
Cho {C
i
|i ∈ I} là họ các tập lồi C
i
⊂ R
n
i
ta có:
(a) C
1
× ···× C
m
lồi trong R
n
1
× ···× R
n
m
.
(b)


i∈I
C
i
lồi với n
i
= n, ∀i.
(c)
m

i=1
C
i
lồi với n
i
= n, ∀i.
(d) Ảnh của tập lồi qua ánh xạ tuyến tính là một tập lồi.
Định lý 1.2.1. (Định lý Caratheodory) (Xem [3])
Cho C ⊂ R
n
, khi đó với mọi x ∈ conv C, là tổ hợp lồi của không quá
n +1 điểm khác nhau của C, tức là ∃ a
0
, , a
m
∈ C và λ
0
, , λ
m
≥ 0 với

m ≤ n sao cho
m

i=1
λ
i
= 1 và x =
m

i=1
λ
i
a
i
.
Định nghĩa 1.2.5. Cho C ⊂ R
n
là tập lồi, các tập
int C = {x ∈ R
n
|∃ε > 0, x + εB ⊂ C}
C =

ε>0
(C + εB)
lần lượt được gọi là phần trong và bao đóng của C.
Định nghĩa 1.2.6. Phần trong tương đối của C ⊂ R
n
là phần trong
của C trong aff C, kí hiệu ri C

ri C = {x ∈ aff C |∃ε > 0, (x + εB) ∩aff C ⊂ C}.
13
Nhận xét 1.2.2. x ∈ ri A khi và chỉ khi tồn tại lân cận mở V của x
trong R
n
sao cho V ∩ aff A ⊂ A.
Ví dụ 1.2.1. Trong R
2
, A = [a, b], khi đó ri A = (a, b).
Mệnh đề 1.2.4. (Xem [2])
Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
. Khi đó
(a) ri C = ∅ và aff C = C.
(b) Nếu x ∈ C và y ∈ C thì
tx + (1 − t)y ∈ ri C, ∀t ∈ [0, 1]
và do đó ri C lồi.
(c) C = ri C, ri C = ri C.
Mệnh đề 1.2.5. (Xem [2])
Cho C, D là hai tập lồi trong R
n
. Khi đó, với α, β ∈ R
ri(αC + βD) = α ri C + β ri D.
Vì vậy, với α = −β = 1, ta có
0 ∈ ri(C − D) ⇔ ri C ∩ ri D = ∅.
Mệnh đề 1.2.6. (Xem [2])
Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
. Khi đó
(a) ri C ⊂ C ⊂

C.
(b) C = C; ri(ri C) = ri C.
(c) A(C) ⊂ A(C) và ri A(C) = A(ri C)
trong đó A : R
n
→ R
n
là ánh xạ tuyến tính.
Hơn nữa, A
−1
(S) = {x ∈ R
n
|A(x) ∈ S} là nghịch ảnh của A với S ⊂ R
n
.
Khi đó, nếu A
−1
(ri C) = ∅ thì
ri(A
−1
C) = A
−1
(ri C); A
−1
(C) = A
−1
(C).
14
Định nghĩa 1.2.7. Tập K ⊂ R
n

được gọi là nón nếu
∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ⇒ tx ∈ K.
Nếu K là nón và là tập lồi thì ta nói K là nón lồi.
Ví dụ 1.2.2. Các tập sau đây trong R
n
{x ∈ R
n
|x
i
≥ 0, i = 1, , n}
{x ∈ R
n
|x
i
> 0, i = 1, , n}
là các nón lồi.
Mệnh đề 1.2.7. (Xem [2])
Giả sử K ⊂ R
n
, các mệnh đề sau tương đương
(a) K là nón lồi;
(b) K là nón thỏa mãn K + K ⊂ K.
Định nghĩa 1.2.8. Cho K ⊂ R
n
, nón cực của K là một nón được xác
định
K
∗
= {y ∈ R
n

| y, x ≤ 0, ∀x ∈ K}.
Lưỡng cực (hay là song cực) của K là nón K
∗∗
= (K
∗
)
∗
.
Tính trực giao của các không gian con là một trường hợp đặc biệt
của cực của nón. Cho M là không gian con của R
n
M
∗
= M
⊥
= {y ∈ R
n
| y, x = 0, ∀x ∈ M}.
Mệnh đề 1.2.8. (Xem [2])
Cho K ⊂ R
n
, nón cực K
∗
đóng, lồi và K
∗∗
=
conv K. Nếu K đóng và
lồi thì K
∗∗
= K.

Mệnh đề 1.2.9. (Xem [2])
Cho K ⊂ R
n
là nón lồi. Khi đó
int K = ∅ khi và chỉ khi K
∗
là nón nhọn .
15
Định nghĩa 1.2.9. Cho C ⊂ R
n
là tập lồi khác rỗng, nón pháp tuyến
của C tại x, kí hiệu N
C
(x) được định nghĩa
N
C
(x) =



{v ∈ R
n
| v, x − x ≤ 0 ∀x ∈ C} nếu x ∈ C
∅ nếu x /∈ C
.
Định nghĩa 1.2.10. Cho C ⊂ R
n
là tập lồi khác rỗng, nón tiếp tuyến
của C tại
x, kí hiệu T

C
(x) được định nghĩa
T
C
(x) = {d ∈ R
n
|∃t > 0, x + td ∈ C}.
Với x ∈ C, nón N
C
(x) và T
C
(x) là cực của nhau.
Mệnh đề 1.2.10. (Xem [2])
Nón K
i
⊂ R
n
, i = 1, , n. Khi đó
(a) K
1
⊂ K
2
⇒ K
∗
2
⊂ K
∗
1
và K
∗∗

1
⊂ K
∗∗
2
.
(b) K = K
1
+ K
2
⇒ K
∗
= K
∗
1
∩ K
∗
2
.
(c) K = K
1
∩ K
2
với K
1
, K
2
đóng ⇒ K
∗
= K
∗

1
+ K
∗
2
.
Nếu 0 ∈ int(K
1
− K
2
) thì K
∗
= K
∗
1
+ K
∗
2
(d) Với họ nón {K
i
|i ∈ I} trong R
n
K =

i∈I
K
i
⇒ K
∗
=


i∈I
K
∗
i
.
(e) Cho A : R
n
→ R
n
là ánh xạ tuyến tính và K là nón lồi đóng của R
n
.
Khi đó
{x|Ax ∈ K}
∗
= {A
T
y |y ∈ K}.
Nếu 0 ∈ int(K − rge A) trong đó rge A = {Ax |x ∈ R
n
} thì
{x |Ax ∈ K}
∗
= {A
T
y |y ∈ K}.
Định nghĩa 1.2.11. Nón K ⊂ R
n
được gọi là sinh hữu hạn nếu nó viết
được dưới dạng

K = {
p

i=1
t
p
a
p
|a
i
∈ R
n
, t
i
≥ 0, i = 1, , p}.
16
Định nghĩa 1.2.12. Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
. Ta nói véc
tơ d là một phương lùi xa của C nếu
x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0.
Tập tất cả các phương lùi xa của C được gọi là nón lùi xa của C và được
ký hiệu là o
+
(C). Vậy
o
+
(C) = {d ∈ R
n
|x + λd ∈ C; ∀x ∈ C, ∀λ > 0}.

Ví dụ 1.2.3. Xét tập C = {(x
1
, x
2
) |x
1
> 0, x
2
> 0} ∪{(0, 0)}.
Khi đó, d = (d
1
, d
2
) ∈ o
+
(C) ⇔ x + λd ∈ C, ∀λ > 0, ∀x = (x
1
, x
2
) ∈ C.
⇔












x
1
+ λd
1
> 0
x
2
+ λd
2
> 0



x
1
+ λd
1
= 0
x
2
+ λd
2
= 0
⇔












d
1
> 0
d
2
> 0



d
1
= 0
d
2
= 0
⇒ o
+
(C) = C
Mệnh đề 1.2.11. (Xem [3])
Cho C là tập lồi đóng khác rỗng. Lúc đó, o
+
(C) là nón lồi đóng và
(a) d ∈ o

+
(C) ⇔ ∃x
0
∈ C, ∀λ > 0 : x
0
+ λd ∈ C.
(b) o
+
(C) =

λ>0
λ(C − x
0
); với mọi x
0
∈ C.
Định nghĩa 1.2.13. Cho C ⊂ R
n
là tập khác rỗng, nón nhỏ nhất chứa
C được gọi là bao dương (hay bao conic) của C, kí hiệu pos C
pos C = {λx |x ∈ C, λ > 0} ∪{0}.
Bao dương pos C cũng được gọi là nón sinh bởi C.
Định nghĩa 1.2.14. Tập P ⊂ R
n
được gọi là tập đa diện nếu nó có
dạng
P = {x ∈ R
n
| a
i

, x ≤ b
i
, i = 1, , p}
trong đó a
i
∈ R
n
, b
i
∈ R, i = 1, , p.
Khi b
i
= 0, ∀i = 1, , p thì P được gọi là nón đa diện.
17
Định nghĩa 1.2.15. Cho C ⊂ R
n
là tập lồi khác rỗng. Tập F ⊂ C được
gọi là mặt (hay diện, bề mặt) của C nếu
∀x, y ∈ C, F ∩[x, y] = ∅ thì [x, y] ⊂ F.
Định nghĩa 1.2.16. Điểm z ∈ C được gọi là biên của C nếu {z} là
mặt, tức z không thể viết được dưới dạng
z = λx + (1 − λ)y, x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
Tập các điểm biên của C, kí hiệu ext C.
Định nghĩa 1.2.17. Tia cực biên của C là hướng của nửa đường thẳng
là mặt của C.
Tập các tia cực biên của C kí hiệu là extray C.
Định lý 1.2.2. (Định lý Krein - Milman) (Xem [2])
Cho C là tập lồi đóng khác rỗng không chứa đường thẳng nào. Khi đó
C = conv(ext C ∪ extray C).
Định lý 1.2.3. (Định lý Minkowski) (Xem [2]) Cho C là tập lồi compact

khác rỗng trong R
n
. Khi đó
C = conv(ext C).
1.2.2 Hàm lồi
Định nghĩa 1.2.18. Cho f : R
n
→ R, các tập
dom f = {x ∈ R
n
|f(x) < ∞}
epi f = {(x, α) ∈ R
n
× R |f(x) ≤ α}
được gọi lần lượt là miền hữu hiệu và trên đồ thị của f.
Định nghĩa 1.2.19. Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f = ∅
và f(x) > −∞, ∀x ∈ R
n
.
Trái lại, f được gọi là phi chính.
18
Định nghĩa 1.2.20. Với mỗi α ∈ R ta gọi tập hợp sau là tập mức của
f
lev(f, α) = {x ∈ R
n
|f(x) ≤ α}.
Cho f : R
n
→ R, kí hiệu
inf f = inf{f(x) |x ∈ R

n
}
argmin f = argmin{f(x) |x ∈ R
n
}
= {x ∈ R
n
|f(x) = inf f}.
Định lý 1.2.4. (Xem [2])
Cho f : R
n
→ R, các mệnh đề sau tương đương:
(a) f nửa liên tục dưới trên R
n
;
(b) epi f là tập đóng trong R
n
× R;
(c) Tập mức lev(f, α) đóng trong R
n
, ∀α ∈ R.
Định nghĩa 1.2.21. Bao đóng của hàm f, kí hiệu là f, được xác định
sao cho
epi(f) = epi f.
Định nghĩa 1.2.22. Hàm f : R
n
→ R được gọi là lồi nếu epi f là tập
lồi khác rỗng trong R
n
× R.

Hàm f được gọi là lõm nếu −f lồi.
Định lý 1.2.5. (Xem [3])
Hàm f : R
n
→ R được gọi là lồi khi và chỉ khi
∀x, y ∈ R
n
, ∀t ∈ (0, 1) ⇒ f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y).
Định lý 1.2.6. (Bất đẳng thức Jensen) (Xem [3])
Cho f : R
n
→ R. Khi đó f là hàm lồi khi và chỉ khi ∀λ
i
≥ 0,
i = 1, , m,
m

i=1
λ
i
= 1, ∀x
i
∈ R
n
f(λ
1
x
1
+ ···+ λ
m

x
m
) ≤ λ
1
f(x
1
) + ··· + λ
m
f(x
m
).
19
Ví dụ 1.2.4. Hàm chỉ δ
C
(.) của tập lồi C ⊂ R
n
là hàm lồi
δ
C
(x) =



0 nếu x ∈ C
+∞ nếu x /∈ C
Thật vậy, với ∀x, y ∈ R
n
, ∀t ∈ (0, 1) ta có
δ
C

(tx + (1 − t)y) =



0 nếu tx + (1 − t)y ∈ C
+∞ nếu tx + (1 − t)y /∈ C
- Nếu x, y ∈ C thì δ
C
(x) = δ
C
(y) = 0.
Vì C lồi nên tx + (1 −t)y ∈ C ⇒ δ
C
(tx + (1 − t)y) = 0.
Do đó, δ
C
(tx + (1 − t)y) = tδ
C
(x) + (1 − t)δ
C
(y).
- Nếu





x, y /∈ C
x ∈ C, y /∈ C
x /∈ C, y ∈ C

thì
δ
C
(tx + (1 − t)y) = +∞ và tδ
C
(x) + (1 − t)δ
C
(y) = +∞
Vậy
δ
C
(tx + (1 − t)y) = tδ
C
(x) + (1 − t)δ
C
(y) với ∀x, y ∈ R
n
, ∀t ∈ (0, 1)
Suy ra, hàm chỉ δ
C
(.) là hàm lồi.
Định nghĩa 1.2.23. Hàm f : R
n
→ R được gọi là nửa liên tục dưới
(lsc) tại x nếu
f(x) ≤ lim
y→x
inf f(y).
f được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ R
n

.
Mệnh đề 1.2.12. (Xem [2])
Hàm lồi f : R
n
→ R ∪ {+∞} nửa liên tục dưới tại x mà f(x) < ∞ khi
và chỉ khi f(x) = f(x).
20
Mệnh đề 1.2.13. (Xem [2])
Cho f
i
: R
n
→ R ∪ {+∞}, i = 1, , p là một dãy các hàm lồi chính
thường. Nếu
p

i=1
ri(domf
i
) = ∅ thì
f
1
+ ···+ f
p
= f
1
+ ···+ f
p
.
Định nghĩa 1.2.24. Cho f : R

n
→ R, bao lồi của f kí hiệu là conv f
được xác định như sau
conv f(x) = inf{r ∈ R |(x, r) ∈ conv(epi f)}
= inf{
n+1

i=1
t
i
f(x
i
) |
n+1

i=1
t
i
x
i
= x, x
i
∈ dom f,
n+1

i=1
t
i
= 1}.
Định nghĩa 1.2.25. Cho f : R

n
→ R∪{+∞}, hàm f
∗
: R
n
→ R∪{+∞}
được xác định
f
∗
(y) = sup
x
{x, y −f(x)}
được gọi là hàm liên hợp của f.
Hàm liên hợp bậc hai của f được xác định
f
∗∗
(x) = sup
y
{x, y −f
∗
(y)}.
Nhận xét 1.2.3. (Xem [2]) Từ định nghĩa ta có
x, y ≤ f(x) + f
∗
(y) ∀x ∈ dom f, y ∈ dom f
∗
Bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Fenchel.
Khi conv f chính thường, luôn có f
∗
và f

∗∗
chính thường, nửa liên tục
dưới, lồi và có quan hệ sau
f
∗∗
(x) =
conv f; f
∗∗
≤ f.
Định lý 1.2.7. (Fenchel-Moreau) (Xem [2])
Cho f : R
n
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi. Khi đó hàm liên hợp f
∗
chính
21
thường, nửa liên tục dưới và lồi khi và chỉ khi f chính thường.
Hơn nữa,
(f)
∗
= f
∗
và f
∗∗
= f.
Định nghĩa 1.2.26. Giả sử f
i
: R
n
→ R ∪ {+∞}, i = 1, , m là các

hàm chính thường, tổng chập infimal của f
1
, , f
m
là hàm h được xác
định
h(x) = (f
1
⊕···⊕f
m
)(x) = inf{f
1
(x
1
)+···+f
m
(x
m
) |
m

i=1
x
i
= x} ∀x ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.2.27. Cho hàm f : R
n
→ R khả vi, gradient của f tại x

kí hiệu ∇f(x) được xác định
∇f(x) = (
∂f(x)
∂x
1
, ··· ,
∂f(x)
∂x
n
).
Định nghĩa 1.2.28. Cho hàm f : R
n
→ R là hàm lồi, x ∈ R
n
, f(x) < ∞,
dưới gradient của hàm f tại x là véc tơ g ∈ R
n
sao cho
f(y) −f(x) ≥ g, y −x, ∀y ∈ R
n
.
Định nghĩa 1.2.29. Tập tất cả dưới gradient của f tại x được gọi là
dưới vi phân của f tại x ∈ R
n
, kí hiệu ∂f(x). Tức là,
∂f(x) = {g ∈ R
n
|f(y) −f(x) ≥ g, y −x ∀y ∈ R
n
}.

Định nghĩa 1.2.30. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân nếu ∂f(x) = ∅.
Mệnh đề 1.2.14. (Xem [2])
Cho hàm f : R
n
→ R là hàm lồi, chính thường. Khi đó
∂f(x) = ∅, bị chặn khi và chỉ khi x ∈ int (dom f).
Định nghĩa 1.2.31. Cho C là tập khác rỗng trong R
n
định nghĩa hàm
σ
C
: R
n
→ R ∪{+∞} như sau:
σ
C
(d) = sup{x, d |x ∈ C}
được gọi là hàm giá của C.
22
Định nghĩa 1.2.32. Miền xác định của σ
C
được định nghĩa bởi
dom σ
C
= {x ∈ R
n
|σ
C
(x) < ∞}
được gọi là nón chắn của C, kí hiệu là b(C).

Định nghĩa 1.2.33. Hàm π : R
n
→ R ∪{+∞} thuần nhất dương nếu
0 ∈ dom π và π(λx) = λπ(x), ∀x, ∀λ > 0.
Mệnh đề 1.2.15. (Xem [2]) Cho C là tập khác rỗng trong R
n
, hàm tựa
σ
C
có các tính chất sau:
(a) σ
C
là hàm lồi, thuần nhất dương và nửa liên tục dưới.
(b) Nón chắn dom σ
C
là nón lồi.
(c) σ
C
= σ
C
= σ
conv C
= σ
conv C
.
(d) σ
C
< +∞ ⇔ C bị chặn.
(e) Nếu C lồi thì σ
C

= σ
ri C
.
Định lý 1.2.8. (Xem [2])
Cho C là tập lồi khác rỗng trong R
n
và
B(d) = σ
C
(d) + σ
C
(−d), d ∈ R
n
Khi đó, B(d) ≥ 0 và
(a) x ∈ affC ⇔ x, d = σ
C
(d), ∀d với B(d) = 0.
(b) x ∈ ri C ⇔ x, d < σ
C
(d), ∀d với B(d) > 0.
(c) x ∈ intC ⇔ x, d > σ
C
(d), ∀d = 0.
(d) x ∈ C ⇔ x, d ≤ σ
C
(d), ∀d.
Nhận xét 1.2.4. (Xem [2])
Giả sử C ⊂ R
n
, δ(., C) là hàm chỉ của tập C. Khi đó

δ
∗
C
(x) = sup
y
{y, x −δ
C
(y)}
= sup
y∈C
y, x = σ
C
(x).
Do đó, σ
∗
C
(.) = (δ
∗
C
)(.))
∗
= δ
C
(.) = δ
C
(.).
Nếu C là tập lồi đóng thì
σ
∗
C

(.) = δ
C
(.).
1.3 Bài toán tối ưu, Định lý Frank-Wolfe
1.3.1 Bài toán tối ưu
Định nghĩa 1.3.1. (Xem [3])
Một bài toán tối ưu là một bài toán có dạng:
min{f(x) : x ∈ C} (P )
trong đó C ⊂ X, là tập chấp nhận được (tập ràng buộc), (X là một
không gian nào đó); f : C → R là hàm mục tiêu. Mỗi véctơ x ∈ C gọi
là một phương án (lời giải) chấp nhận được. Một lời giải x
∗
gọi là tối ưu
(hay chính xác hơn, tối ưu toàn cục) nếu
x
∗
∈ C, f(x
∗
) ≤ f(x), ∀x ∈ C
Một lời giải
x ∈ C gọi là tối ưu địa phương (cục bộ) nếu có một
lân cận W của x (tập mở chứa x) sao cho:
f(x) ≤ f(x), ∀x ∈ W ∩C
Nhiều khi C được cho bởi

C = {x ∈ R
n
: g
i
(x) ≤ 0, (i = 1, 2, , m)}

(1.1)
với g
i
: R
n
→ R. Khi ấy các hệ thức g
i
(x) ≤ 0, (i = 1, 2, , m) gọi là các
ràng buộc.
Chú ý: max{f(x) : x ∈ C} = −min{−f(x) : x ∈ C} vì vậy chỉ cần bàn
về các bài toán cực tiểu.