Một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm và bài toán biên của phương trình vi phân thường

1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
nhà trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học và các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Khuất Văn Ninh,
người luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên và
tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.


Hà Nội, ngày tháng năm 2012
Tác giả


Trương Mỹ An Ngọc

2


LỜI CAM ĐOAN


Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tác giả dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS Khuất Văn Ninh.

Hà Nội, ngày tháng năm 2012
Tác giả


Trương Mỹ An Ngọc












3

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Cho X và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và
YXT

:
là toán tử phi
tuyến tính và f

Y. Xét phương trình
Tu = f (1)
Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử trên không gian định
chuẩn.
Có thể nói phương trình toán tử dạng: Tu = f là có một nghiệm duy nhất khi
và chỉ khi toán tử T là toán tử khả nghịch và trong trường hợp này nghiệm là
u =
fT
1
. Vấn đề đặt ra là tìm điều kiện để phương trình giải được và có
nghiệm duy nhất.
Trong trường hợp tìm nghiệm giải tích từ phương trình (1) là rất khó hoặc
không thể tìm được thì người ta nghiên cứu để tìm nghiệm xấp xỉ. Một trong
những phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ là phương pháp chiếu. Nhờ có phương
pháp chiếu, phương trình toán tử giải trong không gian vô hạn chiều được đưa
về giải một dãy các phương trình toán tử trong không gian hữu hạn chiều.
Nghiệm của phương trình toán tử trong không gian hữu hạn chiều cho ta một

nghiệm xấp xỉ. Vì vậy tôi chọn đề tài “ Một số phương pháp giải xấp xỉ phương
trình tích phân Fredholm và bài toán biên của phương trình vi phân thường ”.

2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp chiếu và ứng dụng của phương pháp chiếu để giải
phương trình toán tử, phương trình toán tử tích phân Fredholm, phương trình vi
phân thường. Ứng dụng vào các bài tập cụ thể có sử dụng phần mềm Maple.



4

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu về phương pháp chiếu để giải xấp xỉ phương trình toán tử.
Phương pháp chiếu để giải xấp xỉ phương trình tích phân Fredholm, phương
trình vi phân thường.

- Ứng dụng giải một số phương trình vi phân thường.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về các phương pháp chiếu và thuật toán phép chiếu xấp xỉ,
nghiệm xấp xỉ của phương trình tích phân Fredholm nghiệm xấp xỉ của bài toán
biên của phương trình vi phân thường.

5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số

vấn đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập.


6. Đóng góp đề tài

Hệ thống lại các vấn đề cơ bản của phương pháp chiếu.
Trình bày về một số phương pháp chiếu giải xấp xỉ phương trình tích phân
Fredholm, và bài toán biên của phương trình vi phân thường.
Ví dụ về phương pháp giải xấp xỉ vào phương trình vi phân thường.











5

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN 1
LỜI CAM ĐOAN 2
MỞ ĐẦU 3
MỤC LỤC 5
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC BỔ TRỢ 6
1.1. Một số khái niệm về không gian, không gian con hữu hạn chiều, không gian
Banach, không gian Hilbert 6

1.2. Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn, không gian
Hilbert. 10
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP CHIẾU 12
2.1. Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (I) 12
2.2. Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (II) 21
2.2.1 Các ví dụ về phương pháp chiếu xấp xỉ 25
2.2.2 Giải xấp xỉ phương trình toán tử compact 30
2.2.3 Thuật toán phép chiếu trong không gian Banach 35
2.3. Nghiệm xấp xỉ của phương trình tích phân Fredholm và bài toán biên của
phương trình vi phân thường. 39
2.3.1. Phương trình tích phân Freholm và nghiệm xấp xỉ 40
2.3.2. Nghiệm xấp xỉ của bài toán biên của phương trình vi phân thường 46
2.3.3. Phương pháp Galerkin 51
2.3.4. Giải xấp xỉ phương trình tích phân tuyến tính loại hai 52
CHƯƠNG 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE VÀO GIẢI BÀI TOÁN BIÊN
CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 57
3.1. Ứng dụng phần mềm Maple và các ví dụ 57
KẾT LUẬN………………………………………………………………………… 67
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………….68



6


Chương 1.
KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Một số khái niệm về không gian, không gian con hữu hạn chiều, không
gian Banach, không gian Hilbert.

Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X khác rỗng cùng với
một ánh xạ d từ tích Descartes X

X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên đề
sau đây:
1,
( , ) ( , ) 0, ( , ) 0 ,
x y X d x y d x y x y
     
(tiên đề đồng nhất);
2,
( , ) ( , ) ( , ),
x y X d x y d y x
  
(tiên đề đối xứng);
3,
( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
x y X d x y d x z d z y
   
(tiên đề tam giác).
Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x
và y. Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề
metric.
Không gian metric được kí hiệu là M = (X,d).
Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X,d). Một tập hợp con bất kì
0
X

khác rỗng của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric.
Không gian metric

),(
00
dXM 
gọi là không gian metric con của không gian
metric đã cho.
Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric M(X,d), dãy điểm
Xx
n
)(
, điểm
Xx 
0
. Dãy điểm
)(
n
x
gọi là hội tụ tới điểm
0
x
trong không gian M khi


n
nếu
*
0 0 0
( 0), ( ) ( ) ( , ) .
n
n N n n d x x
 

      



7

Kí hiệu:
0
lim
n
n
x x


hay
)(
0
 nxx
n

Điểm
0
x
còn được gọi là giới hạn của dãy
)(
n
x
trong không gian M.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric M = (X,d) gọi là tách được nếu tập X
chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong không gian M.

Ví dụ. Không gian metric R
1
là không gian tách được. Thật vậy, tập số hữu tỉ Q
là tập đếm được trù mật khắp nơi trong không gian R
1
.
Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng
với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là
g
đọc là chuẩn, thỏa mãn các
tiên đề sau đây:
1)
( ) 0, 0x X x x x

     
(kí hiệu phần tử không là

);
2)
( ) ( ) ;
x X P x x
  
    

3,
( , )
x y X x y x y
    
.

Số
x
gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.6. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. Cho không gian vecto
2
l
. Đối với vecto bất kì
2
( )
n
x x l
 
ta đặt

2
1n
x x




. (1.1)
Từ công thức
),(

xdx 
và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1) cho một

chuẩn trên
2
l
. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là
2
l
. Dễ thấy
2
l
là
không gian Banach.
Định nghĩa 1.1.7. Tập
0
X
khác rỗng gọi là không gian định chuẩn con của
không gian định chuẩn X. Nếu
0
X
là không gian tuyến tính con của không gian


8

X và chuẩn xác định trên
0
X
là chuẩn xác định trên X. Nếu
0
X
đồng thời là tập

đóng trong không gian X, thì
0
X
gọi là không gian con đóng của không gian X.
Định nghĩa 1.1.8. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.1.9. Ta gọi một tập H khác

gồm những phần tử x, y, z,…nào
đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1, H là không gian tuyến tính trên trường P;
2, H được trang bị một tích vô hướng (. , .); và H là không gian tiền Hilbert.
3, H là không gian Banach với chuẩn
( , ), .
x x x x H
 

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không
gian Hilbert con của không gian H.
Ví dụ 1.2. Kí hiệu R
k
là không gian vectơ thực k chiều. Với
k
n
Rxx  )(
,


1 2,
, , , ,

k
x x x
hoặc


1 2
, , ,
k
y y y y


ta đặt
n
k
n
n
yxyx



1
),(
. (1.2)
Dễ dàng thấy hệ thức (1.2) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi
tích vô hướng (1.2)

2
1
( , ) , ( )
k

k
n n
n
x x x x x x R

   

.
Trùng với chuẩn



k
j
j
xx
1
2
đã biết trong không gian R
k
. Nên không gian vectơ
thực R
k
cùng với tích vô hướng (1.2) là một không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X. Dãy


n
x X


gọi là hội tụ yếu
tới phần tử
,
x X

nếu với mọi lân cận yếu U của x, tìm được một số nguyên
dương
0
n
sao cho với
0
n n
 
thì
n
x U

, kí hiệu
êy u
n
x x




n
 
.

9

Định nghĩa 1.11. X là không gian định chuẩn


n
x
là một dãy, nếu
n
x x

tiến
đến 0 khi
n
 
thì ta nói
n
x
hội tụ mạnh đến x.
Định nghĩa 1.12. Giả sử X là không gian lồi địa phương được chứa trong không
gian lồi địa phương Y. Ánh xạ
:
I X Y

thỏa mãn điều kiện:

.
I x x

với

x X
 
,
thì được gọi là ánh xạ nhúng hay phép nhúng X và Y hay I gọi là toán tử nhúng.
Ta nói X được nhúng liên tục vào Y nếu ánh xạ I là ánh xạ liên tục. X được
nhúng liên tục vào Y nếu mọi tập G mở trong Y thì


1
f G

là mở trong X.
Định lí 1.1. (Định lí hình chiếu lên không gian con đóng)
Cho không gian Hilbert H và
0
H
là không gian con đóng của H. Khi đó phần tử
bất kì
x H

biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

0 0
, ,
x y z y H z H
   
(1.3)
Phần tử y trong biểu diễn (1.3) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian
con
0

H
.
Chứng minh. Đặt
0
inf
u H
d x u

 
theo tính chất cận dưới đúng, tồn tại một dãy
phần tử


0
n
u H

sao cho
lim
n
n
x u d

 
. Ta có

2
2 2 2
2 2 4
2

n m
n m n m
u u
x u x u x u u

      
.
Kí hiệu


1,2, .
k k
d x u k  
Vì
 
0
1
2
n m
u u H
 
nên

 
2
2 2 2
2 2 4 , 1,2,
n m n m
u u d d d n m    

Do đó
,
lim 0
n m
n m
u u

 
.
Do H là không gian Banach và tính đóng của không gian con
0
H
ta được
0
lim
n
n
u y H

 
, nghĩa là


10


lim
n
n
x y x u d


   
.
Đặt z = x - y, ta chứng minh
0
z H

. Thật vậy, giả sử
0
v H
 
mà


, 0
z v c
 
, do
đó
v


. Suy ra phần tử
 
0
w
,
c
y v H
v v

  
và

     
2
2
2
w ,
, , ,
c c c
d x x y v z v z v
v v v v v v
 
       
 
 
 


   
 
 
 
2
2 2
2
2
.
,
, , ,

,
c
c c c c
z c c v v z d
v v v v v v
v v
      
.
điều này vô lí. Suy ra (z,u) = 0,
0
u H
 
hay
0
z H

. Hệ thức (1.2) được chứng
minh.
Định lý 1.2. (Nguyên lý thác triển Hahn- Banach)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con
0
X

của không gian định chuẩn X
0
( )
X X

đều có thác triển lên toàn không gian X
với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm hàm tuyến tính liên

tục F xác định trên toàn không gian X sao cho:
1, F(x) = f(x),


0
x X
 
,
2,
0
X X
F f

.
2.1 Toán tử tuyến tính liên tục trong các không gian định chuẩn, không
gian Hilbert.
Định nghĩa 2.1. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P là
trường số thực hoặc trường số phức C ). Ánh xạ A đi từ không gian X vào không
gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện sau:
1,
( , ' )
x x X
 
( ') '
A x x Ax Ax
  
,
2,
( )( )
x X P


   

AxxA



.


11


Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thỏa
mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn
điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = R thì toán tử tuyến tính A
thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 2.2. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ
không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C >0 sao
cho:

xCAx 
,
Xx


(1.4)
Định nghĩa 2.3. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y. Hằng số
0


C
nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức (1.3)
gọi là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là
A
.
Định lí 2.1. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert đều có
thể biểu diễn duy nhất dưới dạng.
F(x) = (x,a) ,
Hx


Trong đó phần tử
Ha

được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và

af 
.










12

Chương 2
.

PHƯƠNG PHÁP CHIẾU

2.1 Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (I)
Cho X và Y là không gian tuyến tính định chuẩn và T :
YX

là toán tử phi
tuyến tính (không nhất thiết phải tuyến tính) và
Yf

. Xét phương trình
Tu = f (2.1)
Đây là trường hợp tổng quát của phương trình toán tử trên không gian định
chuẩn.
Trước tiên ta chọn một dãy không gian con tuyến tính
}{
n
X
của X và một
dãy không gian con tuyến tính
}{
n
Y
của Y và hai dãy ánh xạ
n

P
:
n
X X

và

n
Q
:
n
Y Y

tương ứng, ta sử dụng ánh xạ
n
Q
:
n
Y Y

để xác định một dãy toán
tử
nnn
YXT :
bởi

n
n n
X
T Q T


. (2.2)
Một toán tử A xác định trên một không gian tuyến tính chuẩn Z,
0
Z
A
là kí hiệu
hạn chế của A trên không gian con
0
Z
của Z. Ta sử dụng :

n n n
T u Q f

,
nn
Xu 
,
1,2,3,
n

(2.3)
như là một dãy phương trình toán tử xấp xỉ của phương trình (2.1). Nếu có một
sơ đồ tính toán, khi đó để tìm dãy nghiệm {
n
u
} của phương trình toán tử (2.3), ta
gọi nó là sơ đồ xấp xỉ của phương trình toán tử (2.1), kí hiệu sơ đồ tính toán
n


:
{ , , , }
n n n n n
X P Y Q
 
.
Để có thể định nghĩa sơ đồ xấp xỉ là hiệu quả và có ích, ta phải bàn đến một
số vấn đề quan trọng sau:


13


(1) Phương trình xấp xỉ (2.3) có một nghiệm (duy nhất) với mỗi n không?
(2) Nếu mỗi phương trình (2.3) có một nghiệm
n
u
thì dãy nghiệm
}{
n
u
có hội tụ
không?
(3) Với giả thiết nếu dãy nghiệm
}{
n
u
hội tụ thì giới hạn của nó có là nghiệm
chính xác của phương trình (2.1) không?

Nếu dãy
n
u
hội tụ đến nghiệm chính xác của phương trình (2.1) thì ta nói
n
u

là nghiệm xấp xỉ của phương trình (2.1). Việc tìm nghiệm
n
u
được gọi là giải
xấp xỉ phương trình toán tử (2.1).
Định nghĩa 2.1.1. Chuẩn trên không gian định chuẩn X, được kí hiệu là
X
.
.
Một dãy
Xu
n

gọi là hội tụ mạnh tới
,
u X

kí hiệu
n
u u

hoặc
uu

n

, nếu
lim
n


n
X
u u

= 0.
Một dãy
Xu
n

gọi là hội tụ yếu tới
,
u X

kí hiệu
n
u
w

u, nếu

lim
n


( ) 0
n
l u u
 
,
*
,
l X
 

ở đây
*
X
là không gian liên hợp của X.
Định nghĩa 2.1.2. Phương trình toán tử (2.1) gọi là giải được xấp xỉ duy nhất
và mạnh (yếu) theo sơ đồ xấp xỉ
n

, nếu tồn tại một số nguyên N >0 sao cho
phương trình toán tử:
,
n n n n n
T u Q f u X
 
, n =
1,2,3,….
có một nghiệm duy nhất
,
n

u X n N
  
, và dãy
}{
n
u
là hội tụ mạnh (yếu) đến
,
u X

ở đó u là nghiệm duy
nhất của (2.1).
Định nghĩa 2.1.3. Phương trình toán tử (2.1) gọi là giải được xấp xỉ theo nghĩa
mạnh (yếu) theo sơ đồ xấp xỉ
n

, nếu tồn tại một số nguyên N > 0 sao cho
phương trình toán tử
,
n n n n n
T u Q f u X
 
, n = 1,2,3,… có một nghiệm
nn
Xu 
,
Nn


và dãy

}{
n
u
là một dãy con hội tụ mạnh (yếu) đến
,
u X

ở đó u là
nghiệm của (2.1).


14


Rõ ràng, để có thể giải xấp xỉ phương trình theo nghĩa mạnh (hoặc yếu) thì
bốn yếu tố trong sơ đồ
n

phải thỏa mãn những điều kiện nhất định nào đó,
chẳng hạn, điều kiện cần là

XX
n
n




1
. (2.4)

Điều kiện này nói rằng hợp của một dãy
}{
n
X
là trù mật khắp nơi trong X.
Điều kiện này sẽ được nghiên cứu ở chương sau.
Phần lớn sơ đồ xấp xỉ, toán tử
n
P
và
n
Q
được giới thiệu ở trên là toán tử
tuyến tính. Nếu
n
P
:
n
X X

và
n
Q
:
n
Y Y

là phép chiếu tuyến tính thì tương
ứng với sơ đồ xấp xỉ, ta có phương pháp chiếu số và sơ đồ đó gọi là thuật toán
chiếu xấp xỉ.

Đặc biệt, tùy theo điều kiện khác nhau trên toán tử T và bốn phần tử trong sơ
đồ
n

=
{ , , , }
n n n n
X P Y Q
, ta có các phân loại sau:
(i) Nếu
X Y

và
nn
YX 
,
n
 
1, 2, 3,…, khi đó sơ đồ phương pháp chiếu gọi là
phương pháp Galerkin.
(ii) Nếu T là vi phân hoặc toán tử tích phân, và
n
X
là không gian các hàm
spline, khi đó ta có phương pháp phần tử hữu hạn.
(iii) Nếu X và Y là không gian hàm xác định trên miền
m
R



và
nn
YYQ :
là
toán tử nội suy được định nghĩa bởi:




n
i
iin
xxyxyQ
1
)()())((

,
ở đây
1 2
, , , ,
n
x x x x

,
Yxy

)(
và
}, ,{
1 n


là một cơ sở của
n
Y
, do đó phương
trình toán tử xấp xỉ (2.3) trở thành

1 1
( ) ( )
i i
n n
n i i
i i
x x x x
u x f x
 
 
 
 
 
.



x
, phương trình tương đương, với phương trình nói trên là


15

i
i
xx
xx
n
fuT



,
1, , .
i n

(2.5)
Phương pháp này gọi là phương pháp Collocation.
(iv) Nếu X và Y là không gian Hilbert với tích vô hướng
.,.
,

1
{ , , }
n n
X span
 

và
1
{ , , }

n n
Y span
 

,
và
n
P
và
n
Q
là toán tử chiếu trực giao, thì phương trình toán tử (2.3) là tương
đương với

, 0
n i
Tu f
    
, i=1,2,3,… (2.6)
Phương pháp nói trên gọi là phương pháp Galerkin –Petrov. Đặc biệt, nếu
i i
M
 

,
1,2,3, ,
i


trong đó M là toán tử tuyến tính được chọn nào đó,

YXM

:
đây là phương pháp moment. Mặt khác nếu
:
T X Y

là toán tử
tuyến tính và
i i
T
 

, i = 1,2,3,…, khi đó ta có phương pháp xấp xỉ trung bình
phương nhỏ nhất vì trong trường hợp này điều kiện ở (2.6) tương đương với cực
tiểu hóa.

min
n n
u X


n
Y
Tu f

.
Hơn nữa, nếu X = Y và
i i
 


,
1,2,3,
i

, ta có phương pháp Bubnov-
Galerkin.
Bây giờ, ta trở về phương trình toán tử (2.1) và sơ đồ xấp xỉ
{ , , , }
n n n n n
X P Y Q
 
được định nghĩa trong (2.2) - (2.3). Để thuật toán phép chiếu
xấp xỉ và để cho sơ đồ xấp xỉ hội tụ thì ta yêu cầu dãy không gian con
}{
n
X
và
toán tử chiếu
}{
n
P
thỏa mãn một vài điều kiện sau:
(i)
1

nn
XX
,
, 2,1



n

(ii) Hợp của một dãy
}{
n
X
là trù mật trong X:
XX
n
n




1
;


16


(iii)
}{
n
P
là bị chặn đều, nghĩa là tồn tại hằng số c sao cho
n
P

thỏa mãn :
n
P c

,
1,2,3, ,
n
 

(iv)
}{
n
P
hội tụ từng điểm đến toán tử đơn vị I trên X:
lim 0,
n
X
n
P x x x X

   

Rõ ràng, đối với không gian Banach X, để tồn tại một dãy không gian con hữu
hạn chiều
}{
n
X
thỏa mãn cả hai điều kiện (i) và (ii) nếu và chỉ nếu X là không
gian tách được.
Mệnh đề 2.1.1. Bốn điều kiện nêu trên, thỏa mãn các mệnh đề sau:

(a) Điều kiện (iv)

điều kiện (ii);
(b) Điều kiện (iv)

điều kiện (iii); và
(c) Các điều kiện (i), (ii) và (iii)

điều kiện (iv).
Chứng minh . Trước tiên, ta có
1
n
n
X X



U
. Khi đó, từ
n
P
là toán tử chiếu, nên
mọi
Xx

, ta có
1
n n n
n
P x X X



 
U
, n = 1,2,… Do đó, nếu điều kiện (iv) thỏa mãn
thì
1
n
n
x X



U
. Điều đó có nghĩa là




1n
n
XX
, như vậy điều kiện (iv) suy ra điều
kiện (ii). Khi đó theo định lí bị chặn đều thì điều kiện (iv) cũng suy ra điều kiện
(iii). Tiếp theo, giả sử rằng điều kiện (i) – (iii) là thỏa mãn. Do đó với bất kì
Xx

, điều kiện (i) và (ii) nói rằng tồn tại một dãy
}{
n

x
với
nn
Xx 
,
, 3,2,1


n
,
sao cho
lim 0.
n
X
n
x x

 

Thật vậy, từ điều kiện (iii) ta có
n n n n
X X X
P x x P x x x x
    



n n n
X
P x x x x

   



17





1
n
X
c x x
  
,
suy ra điều kiện (iv).
Ví dụ 2.1.1. Cho
],[ ba
CX 
là không gian các hàm liên tục xác định trên [a,b],
được trang bị với chuẩn

max ( )
a x b
x x t

 

,

Xx



Chọn
,0 ,1 ,
{ , , },
n
n n n n m
X span e e e

ở đây
, ,
( ), 0,1,2, ,
n k n k n
e e t k m
 
, gồm một cơ sở gồm các hàm hàm tuyến tính B -
spline được định nghĩa trên phân hoạch
,0 ,1 ,
:
n
n n n m
n
a t t t b
    

.
Giả sử rằng phép phân hoạch thỏa mãn
1


nn
và
0maxlim
,1,
0
1





knkn
mk
n
tt
n
,
ta có
1

nn
XX
.
Bây giờ, xác đinh toán tử nội suy
nn
XXP :
bởi
 
, ,

0
( ) ( ) ( ),
n
m
n n k n k
k
P x t x t e t




x X
 

Thế thì rõ ràng
nn
PP 
2
và
n
P
là toán tử tuyến tính bị chặn:

,
0
sup ( ) ,
n
m
n n k
a t b

k
P x x e t x
  
 

 


x X
 
(2.7)
Điều này chứng tỏ rằng chuẩn toán tử
, 2,1,1  nP
n
và thỏa mãn

XxxxP
n
n



,0lim
(2.8)
Do đó, dãy
},{
nn
PX
thỏa mãn điều kiện (i), (iii) và (iv), và cũng thỏa mãn điều
kiện (ii).

18


Ví dụ 2.1.2. Cho D là toán tử đạo hàm,
),(
1
baHX 
là không gian Sobolev cấp
một và được định nghĩa bởi


1
),( ba
H
{ x(t) / x(t) liên tục tuyệt đối trên [a,b]
[Dx](t) là hàm bình phương khả tích tuyệt đối trên (a,b) }
Với tích vô hướng

 
1
1
, ( ) ( ) [ ]( )[ ]( ) , , ( , )
b
H
a
x y x t y t Dx t Dy t dt x y H a b
     


.
Và chuẩn
1 1
1/2 1
, , ( , )
H H
x x x x H a b
    
.
Chú ý rằng không gian Sobolev H
1
(a,b) với tích vô hướng nói trên là không gian
Hilbert.
Cho
}{
n
X
và
}{
n
P
được nói trong ví dụ 2.1.1. Chúng thỏa mãn điều kiện (i),
như chỉ ra ở trên.
Tiếp theo ta nhận thấy rằng không gian
),(
1
baH
có thể được nhúng liên tục
vào trong không gian C[a,b], có nghĩa là, bất kì
),()(

1
baHtx 
thỏa mãn
],[
)(
ba
Ctx 
với
1
H
x c x


.
trong đó hằng số c > 0 không phụ thuộc
),()(
1
baHtx 
.Như vậy, toán tử chiếu
}{
n
P
là xác định khắp nơi trên H
1
(a,b). Do đó, với bất kì
),(
1
baHh
, từ công thức
(2.7) ta được.

1
2
n n
L H
P h b a P h b a h c h
 
    
, (2.9)
c là hằng số c > 0, và
),(
22
baLL 
, và từ công thức (2.8) ta có

)(0
2


nhhPabhhP
n
L
n
. (2.10)


19


Trước tiên, ta nhắc lại tầm quan trọng của hàm tuyến tính B - spline. Với

),(
1
baHf 
, ta đặt


1
, ,
( ) ( , ) ( ) ( ), 0,1, ,
f n k n k n
V h t H a b h t f t k m
   
,
và đặc biệt với f = 0

1
0 ,
{ ( ) ( , ) ( ) 0 , 0,1, , }
n k n
V h t H a b h t k m
   
.
Do đó ta có

2 2
2 2
[ ] inf
f
n
L L

h V
D P f Dh


(2.11)

Và

0
,0],[
2
VhDhfPD
L
n

(2.12)
Bây giờ, bằng công thức (2.11), ta có
22
][
LL
n
DffPD 
,
sao cho phương trình (2.9) cùng với bất đẳng thức nói trên suy ra,


1 2 1
2
( 1)
n n n

H L H
L
Pf P f D P f c f
   
.
Điều đó chứng tỏ rằng dãy
}{
n
P
là bị chặn đều và điều kiện (iii) cũng được
thỏa mãn.
Tiếp theo do dãy
}{ fP
n
là bị chặn trên H
1
(a,b), cho nên tồn tại một dãy con
hội tụ yếu
{ }
j
n
P f
sao cho

1
( , ) ( )
j
w
n
P f f H a b j

   
%
. (2.13)
Nếu có thể chứng minh rằng
f f

%
khi đó ta có

( )
w
n
P f f n
  
(2.14)



20


Thật vậy, với bất kì
],[
2
baCg 
, trong đó
2
[ , ]
C a b
là không gian các hàm khả

vi liên tục đến cấp hai trên [a,b], do đó từ công thức (2.10) và tích phân từng
phần ta có
22
2
,)]()[()]()[(],[
L
n
L
n
gDfPaDgafbDgbfDgfPD
jj



2
2
,)]()[()]()[(
L
gDfaDgafbDgbf 


2
, ( ).
L
Df Dg j
  

Do vậy, công thức (2.10) và (2.13) cùng có giới hạn nói trên ta có
1
1

2
, , , [ , ]
H
H
f g f g g C a b
 
%
.
Hơn nữa,
],[],[
1
baHbaC 
trong chuẩn H
1
. Do đó bất đẳng thức đúng với mọi
),(
1
baHg 
. Cho nên, ta có
f f

%
.
Tiếp theo, Giả sử
* 1
2
: ( , ) ( , )
D L a b H a b

là toán tử liên hợp của

),(),(:
2
1
baLbaHD 
. Do đó

1
2
* 1
2
, , , ( , ) ( , )
L
H
Df g f D g f H a b và g L a b
    
.
Từ (2.14) ở đó bất kì
1
( , ),
g H a b

ta có

1
2
*
,,
H
n
L

n
gDfPgfDP 


1
2
*
, , ( ),
L
H
f D g Df g n
   

nghĩa là dãy
}{ fDP
n
hội tụ yếu đến Df trong
),(
2
baL
. Do đó, theo phương trình
(2.12) và (2.14), ta có.

2 2
1
1
2
2
*
2

*
,
,
, ( ),
n n
L L
n
H
L
H
DP f DP f Df
P f D Df
f D Df Df n


   

khi đó

2
2
n
L
DP f Df




21

=
2 2 2
2 2
2 ,
n n
L L L
DP f Df DP f Df Df
  

0


)(


n
.
Sau cùng, tổng kết lại các kết quả cùng với đẳng thức (2.10), ta thấy rằng
1
2 2
2 2 2
[ ] 0 ( )
n n n
H L L
P f f P f f D P f Df n
      
.

Nghĩa là, dãy



nn
PX ,
thỏa mãn điều kiện (iv). Do đó điều kiện (ii) cũng được
thỏa mãn.
Chú ý rằng đây là ví dụ có thể dễ dàng mở rộng cho đẳng thức nội suy bậc
cao bởi các hàm spline. Hơn nữa, ai cũng biết đa thức nội suy Lagrange và đa
thức lượng giác cũng có thể được sử dụng để định nghĩa toán tử chiếu.

2.2. Thuật toán phép chiếu xấp xỉ (II).
Nhiều phương trình toán tử trong toán giải tích được đưa ra từ phương trình
Tu = f ,
*
Xf 
(2.15)
ở đây
*
X
là không gian đối ngẫu của không gian Banach X và toán tử
* *
: .
T X X

Trong trường hợp sơ đồ phương pháp xấp xỉ
{ , ; , }
n n n n n
X P Y Q
 

được xây dựng bởi
*
n n
Q P

và
* *
n n
Y P X

,
n
P
:
* *
X X

trong đó toán tử chiếu,
được định nghĩa:
* * *
:
n
P X X

là toán tử đối ngẫu của toán tử chiếu
:
n
P X X


được định nghĩa như sau:

*
( , ) ( , ),
n n
g P l P g l g X
  
và
*
l X
 
.


Kí hiệu: (g, l) là giá trị của phiếm hàm tuyến tính l tại điểm
g X

với
*
,
l X

g X

. Phương trình toán tử (2.1) được thay thế bởi (2.15), và bài toán
xấp xỉ (2.2)- (2.3) tương ứng trở thành: Tìm
nn
Xu 
sao cho

*
n n n
T u P f

, (2.16)
trong đó

*
n
n n
X
T P T

. (2.17)


22


Do đó bài toán trên tương đương với

( , ) ( , ), .
n n n n n
v Tu v f v X
  
(2.18)
Ta chuyển sang nghiên cứu một vài phép chiếu cơ sở của dãy


*

,
nn
PY
, dãy
này được sinh ra bởi
},{
nn
PX
ta kí hiệu đơn giản sơ đồ phương pháp xấp xỉ bằng


,
n n n
X P
 
.
Mệnh đề 2.1.2. Giả sử
n
X
là không gian con N chiều của không gian Banach X,
:
n n
P X X

là toán tử chiếu và
* *
.
n n
Y P X


Khi đó
nn
XY dimdim 
.
Chứng minh. Giả sử
N
ggg , ,,
21
là một cơ sở của
n
X
. Khi đó, theo định lí Hahn-
Banach, tồn tại các phần tử
*
1
, , Xll
N

sao cho


, , , 1, , ,
i j ij
g l i j N

 

mà
ij


là delta Kronecker. Có thể chứng minh rằng


* *
1
, ,
n n N
P l P l
là một cơ sở
của
n
Y
. Trước tiên, ta thấy rằng chúng là hệ độc lập tuyến tính. Thật vậy, cho
N
aa , ,
1
là hằng số sao cho
*
1
, 0,
N
i n i
i
g a P l

 

 
 


.
g X
 

Do đó ta có
1
, 0, .
N
n i i
i
P g a l g X

 
 
 
 


Chọn
i
gg 
, với
1, ,
i N

, ta có
0
1


N
aa

Tiếp theo, với bất kì
*
,
n
l Y l X
  
%
sao cho
*
n
l P l

%
, với mọi
Xg

, đặt



N
i
iin
gbgP
1
.
Khi đó, ta có

23


   
 
*
1 1
, , , ,
N N
i n i i n i
i i
g g l P l g l P g l
 
 

 
 
 
% %


 
1 1
, ,
N N
i j j i
i j
g l b g l

 
 

 
 
 
%


   
 
1
, , ,
N
i i n
i
b g l P g l g l

  

% %
,
do đó

 
*
1
,
N
i n i

i
l g l P l



%
.
Điều đó nói lên rằng


Nnn
lPlP
*
1
*
, ,
là một cơ sở của
.
n
Y

Mệnh đề 2.1.3. Với điều kiện của mệnh đề 2.12, ta có





*
n n
R P N P



và


*
( ) ,
n n
N P R P



trong đó




*
0,
M l X l g g M X

     
.
Tiếp theo ta xét bài toán: Nếu dãy


nn
PX ,
thỏa mãn tất cả bốn điều kiện (i)-(iv)
ở mục 2.1, thì dãy



*
,
nn
PY
, được sinh ra từ


nn
PX ,
, có thỏa mãn các điều kiện đó
không? Để trả lời câu hỏi, ta đưa ra các kết quả sau.
Mệnh đề 2.1.4. Giả sử rằng X là không gian Banach phản xạ, với một dãy các
không gian con hữu hạn chiều


n
X
. Giả sử
n
P
:
n
X X

là toán tử chiếu thỏa
mãn
nmn
PPP 

, nếu
m
n

. Hơn nữa, giả sử
* *
.
n n
Y P X

Khi đó với các điều kiện
dưới đây.
(a)
, 2,1,
1


nXX
nn
, và
(b)
n
P
là hội tụ từng điểm đến toán tử đồng nhất I trên X,
ta có


*
1
n n

a Y Y


với mọi n = 1,2,…,


24




* *
n
b P
hội tụ từng điểm đến toán tử đồng nhất
*
I
trên
*
.
X

Chứng minh: Từ điều kiện
,
n m n
P P P

suy ra
* * *
m n n

P P P

,
n m

. Thật vậy, ta có
mn
YY 
nếu
m
n

.
Khi đó, do X là phản xạ , nếu
*
1
XY
n
n




,
thì,
, 0
g X g
  
, sao cho
 

1
, 0,
n
n
g l l Y


  
U
.
Đặc biệt, ta có :




, 2,1,,,,0
**
 nXllgPlPg
nn

Từ đó suy ra
, 2,1,0  ngP
n
. Hơn nữa,
ggP
n

khi



n
bởi điều kiện
(b), nghĩa là g = 0 (mâu thuẫn). Do đó ta phải có
*
1
XY
n
n




.
Khi đó, sử dụng mệnh đề 2.1.1. có thể thấy rằng


*
n
P
hội tụ đến
*
I
từng điểm
trên
*
X
.
Cuối cùng trong mục này, ta xét trường hợp X là không gian Hilbert, theo
một kết quả đã biết nếu



0
M 
là không gian con đóng của không gian X, thì
tồn tại một toán tử chiếu trực giao P sao cho


R P M

và
( )
N P M


.
Hơn nữa, toán tử chiếu trực giao P trên không gian Hilbert X là tự liên hợp
và không âm với chuẩn bằng 1, nghĩa là,
, , , , ,
, 0, ,
1.
X X
X
Pf g f Pg g f X
Pf f f X
P
  
  


25


Bây giờ, giả sử rằng không gian Hilbert X có một dãy không gian con hữu
hạn chiều
}{
n
X
thỏa mãn điều kiện (i), (ii), nghĩa là,
1
, 1, 2,
n n
X X n

  
và
1
n
n
X X



U
.
Đối với các toán tử chiếu trực giao
:
n n
P X X


, ta có
1
, ,
N
n i i
X
i
P x x e e X x X

   

,
trong đó


N
ee , ,
1
là cơ sở trực giao của
n
X
. Do
1, 1,2,
n
P n 
. Mệnh đề 2.1.1
bảo đảm rằng dãy



n
P
hội tụ từng điểm đến toán tử đơn vị I trên X.
Khi đó sơ đồ phương pháp xấp xỉ
n

với phép chiếu toán tử trực giao, được
gọi là sơ đồ phép chiếu xấp xỉ trực giao. Rõ ràng là mọi không gian Hilbert tách
được đều có sơ đồ phép chiếu xấp xỉ trực giao.

2.2.1 Các ví dụ về phương pháp chiếu xấp xỉ.
Trong mục này, ta sử dụng bài toán biên hai điểm làm ví dụ về việc đưa bài
toán của phương trình vi phân thường về dạng phương trình toán tử và sau đó là
giải bằng phương pháp chiếu xấp xỉ.
Xét bài toán biên

" ( ) ( ), 0 1
u q x u f x x
    
(2.19)

(0) 0, (1) 1.
u u
 
(2.20)
Với
' ,
du
u
dx


hàm số
 


0,1
q x C
là hàm lấy giá trị thực còn f(x) có thể nhận
giá trị phức.
Giải bài toán biên hai điểm theo nghĩa cổ điển nghĩa là đi tìm nghiệm
2
( ) (0,1) [0,1]
u x C C 
sao cho nó thỏa mãn cả (2.19) và (2.20). Nghiệm u(x)
này nếu tồn tại gọi là nghiệm cổ điển của bài toán.