Phép tính vi phân và tích phân trên thang thời gian

1

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Tạ
Duy Phượng người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi về tri thức, phương pháp
và kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình thực hiện đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ
nhiệm, quý Thầy, Cô giáo khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 và
quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập,
Trường Cao đẳng nghề Việt-Đức Vĩnh Phúc, gia đình, bạn bè đã tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Học viên


Nguyễn Thị Bình

2

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản
thân cùng sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, các thầy, cô
giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm.
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng và trình bày các kết quả của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng nội
dung trình bày trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện
luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.

Học viên


Nguyễn Thị Bình

3

MỤC LỤC
Trang

Mở đầu ………………………………………………………….
1
Chương 1. Khái niệm thang thời gian
………………………………
4
1.1. Khái niệm thang thời gian

4
1.1.1. Thang thời gian 4
1.1.2. Các khái niệm cơ bản
1.2. Tôpô đại cương
1.2.1. Không gian tôpô


1.2.2. Hàm số liên tục


1.2.3. Hàm số khả vi


1.3. Nguyên lí quy nạp trên thang thời gian

Chương 2. Phép tinh vi phân trên thang thời gian ………….

2.1. Phép tính vi phân cấp 1
2.1.1. Định nghĩa đạo hàm Hilger
2.1.2. Đạo hàm Hilger trên một số thang thời gian


2.2. Các tính chất của đạo hàm Hilger
2.3. Phép tính vi phân cấp cao


Chương 3. Phép tính tích phân trên thang thời gian ……….

3.1. Hàm chính quy và hàm rd-liên tục, hàm tiền khả vi
3.1.1. Các định nghĩa


3.1.2. Các tính chất


3.2. Phép tính tích phân


3.2.1. Tích phân


3.2.2. Các tính chất của tích phân
3.3. Quy tắc xích

4

3.4. Một số ứng dụng của tích phân
Kết luận


Tài liệu tham khảo

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của
Giáo sư Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động
lực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình
sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian và phát triển lý
thuyết Giải tích và Hệ động lực trên thang thời gian. Từ đó tới nay, đã có một
số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng ngàn bài báo nghiên cứu về
giải tích (Phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian.
Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho
phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thế giới thực, đó là tính liên tục và
tính rời rạc. Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống
nhất mô hình rời rạc và liên tục dưới cùng một khái niệm và công cụ.
Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian hiện
đang được nhiều nhóm các nhà toán học ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung
Quốc, ) và trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và các học trò, PGS Đặng
Đình Châu, ) quan tâm. Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian
nghiên cứu bài toán tối ưu và phép tính biến phân, các mô hình kinh tế vĩ
mô, áp dụng vào bài toán trò chơi, hệ sinh thái,
Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và cơ bản của giải tích,
từ đó hiểu hơn về giải tích cổ điển, để có hiểu biết rộng rãi và bản chất về
những kiến thức của giải tích đã được học trong chương trình đại học và
cao học, đồng thời hy vọng với những kiến thức này, tôi có thể giảng dạy
tốt môn toán, đặc biệt là môn Giải tích, trong chương trình phổ thông, tôi
chọn đề tài Phép tính vi phân và tích phân trên thang thời gian làm đề
tài luận văn cao học.

2

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu và trình bày các khái niệm cơ bản nhất của giải tích trên thang
thời gian trong khuôn khổ một luận văn cao học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đọc hiểu các tài liệu (chủ yếu tiếng Anh) và trình bày trong một
luận văn cao học các kiến thức cơ bản nhất của giải tích trên thang thời
gian.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Thang thời gian.
Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu chủ yếu tiếng
Anh viết về Giải tích trên thang thời gian.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích hàm để tiếp
cận và giải quyết vấn đề.
Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liên
quan, đặc biệt là các bài báo mới tiếng Anh về vấn đề mà luận văn đề
cập tới.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Chủ yếu dựa trên cuốn sách [6], có tham khảo thêm các tài liệu [3],
[4], [5], [7], luận văn trình bày có hệ thống về lý thuyết Giải tích trên thang
thời gian.
Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham
khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về giải tích trên thang thời
gian.


3

Chương 1
KHÁI NIỆM THANG THỜI GIAN

1.1. Khái niệm thang thời gian
1.1.1. Thang thời gian
Định nghĩa 1.1. Thang thời gian (time scale) là tập con đóng tùy ý khác rỗng
trong tập số thực
.
ℝ
Thang thời gian thường được ký hiệu là T
.

Ví dụ 1.1
1.1.1)
Các tập
,
ℝ
0
, ,
ℤ ℕ ℕ
,
[
]
[
]
0;1 2;3 ,
∪
T
=

[ ]
0,
2 ,2 1
k k
k k
∞
= ∈
+
ℕ
∪
là thang thời
gian.

1.1.2)
Các tập
, \
ℚ ℝ ℚ
,
[
)
0;1
không phải là thang thời gian vì chúng tuy
nằm trong
ℝ
nhưng không phải là tập đóng trong
.
ℝ

1.1.3)
Mặt phẳng phức

ℂ
cũng không phải là thang thời gian vì nó là tập
đóng nhưng không nằm trong
.
ℝ

1.1.2. Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.2.
Cho
T
là thang thời gian
Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử
σ
:
T
→
T
được xác định bởi
công thức

( ) : inf{
t s
σ
= ∈
T
:
}
s t
>
.

Toán tử nhảy lui (backward jump) là toán tử
ρ
:
T
→
T
được xác định bởi
công thức


( ) : sup{
t s
ρ
= ∈

T
:
}
s t
<
.

Định nghĩa 1.3.
Cho
T
là thang thời gian
Điểm
t
∈
T

được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu
( )
t t
σ
>
.
Điểm
t
∈
T
được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered) nếu
( )
t t
ρ
<
.


4

Điểm
t
∈
T
được gọi là điểm cô lập (isolated) nếu
( ) ( )
t t t
ρ σ
< <
.

Định nghĩa 1.4.
Cho
T
là thang thời gian
Điểm
t
∈
T
được gọi là trù mật phải (right-dence) nếu
( ) .
t t
σ
=

Điểm
t
∈
T
được gọi là trù mật trái (left-dence) nếu
( ) .
t t
ρ
=

Điểm
t
∈
T
được gọi là trù mật (dence) nếu

( ) ( ).
t t t
ρ σ
= =

Ta có bảng tóm tắt 1.1
t
là điểm cô lập phải
( )
t t
σ
<

t
right-scattered
t
là điểm trù mật phải
( )
t t
σ
=

t
right-dense
t
là điểm cô lập trái
( )
t t
ρ
<

t
left-scattered
t
là điểm trù mật trái
( )
t t
ρ
=

t
left-dense
t
là điểm cô lập
( ) ( )
t t t
ρ σ
< <

t
isolated
t
là điểm trù mật
( ) ( )
t t t
ρ σ
= =

t
dense

Bảng 1.1
Ta có bảng 1.2 hình ảnh hình học của các điểm có thể mô tả như sau
1
:
t
Điểm trù mật (trù mật trái và trù mật
phải)
2
:
t
Điểm trù mật trái và cô lập phải
3
:
t
Điểm trù mật phải và cô lập trái
4
:
t
Điểm cô lập (cô lập trái và cô lập phải)
Bảng 1.2
Định nghĩa 1.5.
Cho
T
là thang thời gian. Hàm hạt (grainiess) là hàm
:
µ

T
→
[

)
0;
∞
được xác định bởi công thức
( ) : ( ) .
t t t
µ σ
= −

Định nghĩa 1.6.
Cho
T
là thang thời gian và hàm
:
f
T
.
→
ℝ

Ta kí hiệu
hàm hợp của
f
và
σ
là
:
f
σ
T

→
ℝ
được xác định theo công thức


5


( ) ( ( )).
f t f t
σ
σ
=
Ví dụ 1.2
1.2.1)
Cho thang thời gian
T
=
ℝ
thì
( ) ( ) , ( ) 0
t t t t
σ ρ µ
= = =
với mọi
t
∈
T
.
Mọi điểm

t
∈
T
đều là điểm trù mật.
1.2.2)
Cho thang thời gian
T
=
ℤ
thì ( ) 1,
( ) 1
t t
t
σ
µ
= +
=
và
( ) 1
t t
ρ
= −
với
mọi
t
∈
T
. Mọi điểm
t
∈

T
đều là điểm cô lập.
1.2.3)
Cho thang thời gian
T
0
:
2
n
n
 
= ∈
 
 
ℕ
với
0
ℕ
là tập các số tự nhiên và
số 0.
Ta có
1
( ) ,
2
t t
σ
= +

1
( )

2
t t
ρ
= −
và
1
( ) .
2
t
µ
=

Điểm
0
t
=
là điểm cô lập phải và mọi
t
∈
T
,
0
t
≠
đều là điểm cô lập.
1.2.4)
Cho
0
h
>

là một số cố định. Xác định thang thời gian
h
Z
như sau

T
=
h
Z
{ : } { , 3 , 2 , ,0, ,2 ,3 , }
hn n h h h h h h
= ∈ = − − −
Z
.
Ta có
( ) , ( ) , ( ) .
t t h t t h t h
σ ρ µ
= + = − =

Vì
0
h
>
nên mọi điểm
t
∈
T
đều là điểm cô lập. Chú ý rằng
0

h
>
có thể là số
vô tỉ, thí dụ
2.
h
=
1.2.5)
Cho
T
=
[ ]
0,
2 ,2 1 .
k k
k k
∞
= ∈
+
ℕ
∪
Ta có
Nếu
(
)
2 ,2 1
t k k
∈ +
thì
( ) ( )

t t t
σ ρ
= =
nên
t
là điểm trù mật.
Nếu
2 1
t k
= +
thì
( ) 2 2
t t t
σ
= + >
và
( )
t t
ρ
=
nên
t
là điểm cô lập phải và là
điểm trù mật trái.
Nếu
2
t k
=
thì
( ) 2

t t k
σ
= =
và
( ) 2 1
t k t
ρ
= − <
nên
t
là điểm cô lập trái và
là điểm trù mật phải.
1.2.6)
Cho thang thời gian
T
=
{
}
2 2
0 0
: .
n n= ∈
ℕ ℕ



6

Nếu
t

∈
T
thì tồn tại số
0
n
∈
ℕ
sao cho
2
t n
=
hay
.
t n
=

Ta có
2 2
( ) ( ) ( 1) ,
t n n
σ σ
= = +
2
( ) ( 1)
t t
σ
= +
và

2

( ) ( 1)
t t
ρ
= −
và
2
( ) ( ) ( 1) 1 2 .
t t t t t t
µ σ
= − = + − = +
Điểm
0
t
=
là điểm cô lập phải. Mọi điểm
t
∈
T
,
0
t
≠
đều là điểm cô lập.
1.2.7)
Cho thang thời gian
T
{
}
0
:n n= ∈

ℕ
. Nếu
t
∈
T
thì tồn tại số
0
n
∈
ℕ

sao cho
t n
= hay
2
,
n t
=

2
1 1.
n t
+ = +

Ta có
2
( ) 1
t t
σ
= +

,
2
( ) 1
t t
ρ
= −
, và
2
( ) 1
t t t
µ
= + −
.
Điểm
0
t
=
là điểm cô lập phải. Mọi điểm
t
∈
T
,
0
t
≠
đều là điểm cô lập.
1.2.8)
Cho thang thời gian
T
{

}
3 2 1 2 3
2 : ={ ,2 ,2 ,2 ,1,2,2 ,2 , }.
z
z
− − −
= ∈
ℤ

Nếu
t
∈
T
thì tồn tại số nguyên
z
∈
ℤ
sao cho
2 0
z
t
= >
hay
2
log .
z t
=

Ta có
1

( ) 2 2.2 2 .
z z
t t
σ
+
= = =

1
1 1
( ) 2 2 .
2 2
z z
t t
ρ
−
= = =
và
( ) ( ) 2 .
t t t t t t
µ σ
= − = − =

Mọi điểm
t
∈
T
,
0
t
≠

đều là điểm cô lập.
Nhận xét rằng
inf{ :
t t
∈
T
}
0
= ∉
T
.
1.2.9)
Cho
0, 1
q q
> ≠
là một số cố định, có thể là số vô tỉ. Ta xác định thang
thời gian
q
Z
như sau

3 2 1 2 3
{ : } { , , , ,1, , , , }
z
q q z q q q q q q
− − −
= ∈ =
Z
Z

.
Tương tự như trên ta có
( ) , ( ) , ( ) ( 1) .
t
t qt t t q t
q
σ ρ µ
= = = −
Cũng có thể định nghĩa thang thời gian
___
: {0}
q q= ∪
Z Z
.
Ta có
(0) 0, (0) 0
σ µ
= =
nên
0
t
=
là điểm cô lập trái và trù mật phải. Mỗi
điểm khác
0
của
___
q
Z
đều là điểm cô lập.

7

1.2.10)
Cho
0
,
n
∈
ℕ
các số điều hòa
n
H
được xác định như sau
0
1
1
0, .
n
n
k
H H
k
=
= =
∑

Khi đó
T

=
{
}
0
:
n
H n
∈
ℕ
là một thang thời gian. Ta có
1
1
1 1
( ) ;
1
n
n n
k
H H
k n
σ
+
=
= = +
+
∑
1
( ) ;
1
n

H
n
µ
=
+

1
1
1 1
( )
n
n n
k
H H
k n
ρ
−
=
= = −
∑

Và
0 0
( )
H H
ρ
=

Ta có Bảng tóm tắt (1.3) các thang thời gian thường gặp
T

( )
t
σ

( )
t
µ

( )
t
ρ

ℝ

t

0

t

ℤ

1
t
+

1

1

t
−

h
ℤ

t h
+

h

t h
−

q
ℕ

qt

( 1)
q t
−

t
q

2
ℕ

2

t

t

2
t

2
0
ℕ

(
)
2
1
t
+

2 1
t
+

(
)
2
1
t
−

0

ℕ

2
1
t
+

2
1
t t
+ −

2
1
t
−

Bảng 1.3
1.2. Tôpô đại cương
Nhằm làm sáng tỏ hơn các khái niệm liên tục, đạo hàm, tích phân trên
thang thời gian, dưới đây chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản nhất của
tôpô đại cương.
1.2.1. Không gian tôpô


8

Định nghĩa 1.7.
Cho tập hợp
X

bất kỳ. Ta nói một họ
τ
những tập hợp
con của
X
là một tôpô trên
X
(hay trên
X
xác định một cấu trúc tôpô),
nếu

i) Hai tập
∅
(tập rỗng) và
X
đều thuộc họ
.
τ

ii)
τ
đóng kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập
họ thuộc
τ
thì cũng thuộc họ đó.
iii)
τ
đóng kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là hợp của một số bất kỳ (hữu hạn
hoặc vô hạn ) tập thuộc họ

τ
thì cũng thuộc họ
.
τ

Một tập
X
được trang bị một tôpô
τ
được gọi là không gian tôpô
( , )
X
τ
(hay
đơn giản là không gian tôpô
X
). Các tập thuộc họ
τ
được gọi là tập mở.
Định nghĩa 1.8.
Tập
U
được gọi là lân cận của điểm
x
trong một không gian
tôpô
X
nếu có một tập mở
G
sao cho

.
x G U
∈ ⊂

Định nghĩa 1.9.
Cho không gian tôpô
.
X
Ta nói dãy điểm ( )
n
x X
⊂
hội tụ
tới điểm
x X
∈
và viết
n
x x
→
nếu với mọi lân cận
U
cho trước của
x
tồn tại
0
n
sao cho với mọi
0
n n

>
ta có
.
n
x U
∈

Định nghĩa 1.10.
Cho không gian tôpô
.
X
Phần tử
x
được gọi là điểm giới
hạn của tập
,
M X
⊂
nếu mỗi lân cận bất kỳ của
x
chứa ít nhất một phần tử
của tập
M
khác
x
. Tập tất cả các điểm giới hạn của
M
được kí hiệu là
.
M

′

Tập
[
]
M M M
′
= ∪
được gọi là
bao đóng
của
.
M

Định nghĩa 1.11.
Cho tập
M
bất kì nằm trong không gian tôpô
.
X
Đặt
{
}
,
M
M M A A
τ
τ
τ
=

= ∩ ∀ ∈
thì dễ dàng chứng minh theo định nghĩa rằng
M
τ
cũng là một không gian tôpô và được gọi là
tôpô cảm sinh
của
X
trên
.
M

Trong suốt luận văn này, ta qui ước xét
tôpô trên

T
là
tôpô cảm sinh
từ tôpô
thông thường trên tập số thực (tôpô thông thường trên
ℝ
là tôpô tạo bởi các
khoảng mở cùng với hợp bất kì và giao hữu hạn của chúng).


9

Để cho gọn, ta vẫn kí hiệu
khoảng mở, lân cận trong tôpô cảm sinh
trên

T
là
, , ,
U V
mà không viết
T
U
(
T
U
=
U
∩
T
, trong đó
U
là tập mở trong
ℝ
).
Ta chỉ
khoảng mở, lân cận
mà không nói khoảng mở, lân cận trong tôpô cảm
sinh trên
T
.
1.2.2. Hàm liên tục
Định nghĩa 1.12.
Cho hàm
(
)

f x
xác định trên đoạn
[
]
, .
a b
Hàm số
(
)
f x

được gọi là có giới hạn
L
tại điểm
(
)
0
,
x a b
∈
nếu với mọi
0
ε
>
tồn tại
0
δ
>

chỉ phụ thuộc vào

ε
sao cho với mọi
[
]
,
x a b
∈
thỏa mãn
0
x x
δ
− <
ta có
(
)
.
f x L
ε
− ≤
Ta viết
(
)
0
lim .
x x
f x L
→
=

Nếu với mọi

0
ε
>
tồn tại
0
δ
>
chỉ phụ thuộc vào
ε
sao cho với mọi
[
]
,
x a b
∈
thỏa mãn
x a
δ
− <
ta có
(
)
f x L
ε
− ≤
thì ta nói
(
)
f x
có giới hạn

phải (giới hạn từ bên phải) bằng
L
tại điểm
0
.
x a
=

Ta viết
(
)
lim .
x a
f x L
+
→
=

Nếu với mọi
0
ε
>
tồn tại
0
δ
>
chỉ phụ thuộc vào
ε
sao cho với mọi
[

]
,
x a b
∈
thỏa mãn
b x
δ
− <
ta có
(
)
f x L
ε
− ≤
thì ta nói
(
)
f x
có giới hạn
trái (giới hạn từ bên trái) bằng
L
tại điểm
0
.
x b
=

Ta viết
(
)

lim .
x b
f x L
−
→
=

Định nghĩa 1.13. Cho hàm
(
)
f x
xác định trên đoạn
[
]
, .
a b
Hàm số
(
)
f x

được gọi là liên tục tại điểm
(
)
0
,
x a b
∈
nếu nó có giới hạn
0

( )
L f x
=
tại điểm
0
.
x
Hàm số
(
)
f x
được gọi là liên tục phải (liên tục trái) tại điểm
0
x a
=
(tại
điểm
0
x b
=
).
Nếu
f
liên tục tại mọi điểm
[
]
0
,
x a b
∈

thì ta nói
f
liên tục trên trên đoạn
[
]
,
a b
.


10

Ta gọi
[
]
,
C a b
là tập tất cả các hàm số giá trị thực và liên tục trên đoạn
[
]
,
a b
.
Định nghĩa 1.14. Hàm
f
được gọi là liên tục đều trên đoạn
[
]
,
a b

nếu với
mọi
0
ε
>
cho trước tồn tại
0
δ
>
chỉ phụ thuộc vào
ε
sao cho
[
]
0
, ,
x x a b
∀ ∈

thỏa mãn
0
x x
δ
− <
ta có
(
)
(
)
0

.
f x f x
ε
− <

1.2.3. Hàm khả vi
Định nghĩa 1.15. Cho hàm
(
)
f x
xác định trên đoạn
[
]
, ,
a b

f
được gọi là
khả vi tại
(
)
0
,
x a b
∈
nếu tồn tại giới hạn

(
)
(

)
( )
0
0
0
0
lim :
x x
f x f x
f x
x x
→
−
′
=
−

Hàm
(
)
f x
được gọi là khả vi trên
(
)
,
a b
nếu nó khả vi tại mọi điểm trên
(
)
,

a b
.
Qui nạp, hàm
(
)
f x
được gọi là khả vi cấp
n
trên
(
)
,
a b
nếu đạo hàm cấp
(
)
1
n
−
của nó là khả vi tại mọi điểm trên
(
)
,
a b
.
1.3. Nguyên lí qui nạp trên thang thời gian
Nguyên lí qui nạp trên thang thời gian dưới đây là mở rộng nguyên lí
qui nạp trên tập số tự nhiên. Nguyên lí này là cần thiết và quan trọng trong
các chứng minh toán học trên thang thời gian.
Cho thang thời gian

T
.
(
1) Với mọi
0
t
∈
T. Giả sử
[
)
0
{ ( ), , }
S t t t
∈ ∞
là một họ các phát biểu thỏa
mãn
i) Phát biểu
0
( )
S t
là đúng.
ii) Nếu
[
)
0
,
t t
∈ ∞
là điểm cô lập phải và
( )

S t
đúng thì
( ( ))
S t
σ
cũng đúng.


11

iii) Nếu
[
)
0
,
t t
∈ ∞
là điểm trù mật phải và
( )
S t
đúng thì tồn tại một lân cận
U

của điểm
t
trong tôpô cảm sinh trên
T
sao cho
( )
S s

đúng
(
)
,
s U t
∀ ∈ ∩ ∞
.
iv) Nếu
[
)
0
,
t t
∈ ∞
là điểm trù mật trái và
( )
S s
đúng
[
)
0
,
s t t
∀ ∈
thì
( )
S t
đúng.
Khi đó phát biểu
( )

S t
là đúng với mọi
[
)
0
, .
t t
∈ ∞

(2) Với mọi
0
t
∈Τ
. Giả sử
(
]
0
{ ( ), , }
S t t t
∈ −∞
là một họ các phát biểu
thỏa mãn
i) Phát biểu
0
( )
S t
là đúng.
ii) Nếu
(
]

0
,
t t
∈ −∞
là điểm cô lập trái và
( )
S t
đúng thì
( ( ))
S t
ρ
cũng đúng.
iii) Nếu
(
]
0
,
t t
∈ −∞
là điểm trù mật trái và
( )
S t
đúng thì tồn tại một lân cận
U
của điểm
t
trong tôpô cảm sinh trên
T
sao cho
( )

S s
đúng
(
)
, .
s U t
∀ ∈ ∩ −∞

iv) Nếu
(
]
0
,
t t
∈ −∞
là điểm trù mật phải và
( )
S s
đúng
(
]
0
,
s t t
∀ ∈
thì
( )
S t

đúng.

Khi đó phát biểu
( )
S t
là đúng với mọi
(
]
0
, .
t t
∈ −∞














12

Chương 2
PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN

2.1. Phép tính vi phân cấp 1

2.1.1. Định nghĩa đạo hàm Hilger
Định nghĩa 2.1.
Cho thang thời gian
T
.

Ta kí hiệu tập
T
k
như sau

Nếu
T
có phần tử lớn nhất
m
là điểm cô lập trái thì đặt
T
k
:
=

T
\{ }
m
và
T
k
:
=
T

trong trường hợp còn lại.

Định nghĩa 2.2.
Giả sử
:
f
T
→

ℝ
và
t
∈
T
k
. Delta đạo hàm (
∆
đạo hàm,
đạo hàm Hilger) của
f
tại

t
∈
T
k
là một số (nếu tồn tại) được kí hiệu là
( )
f t
∆

nếu với mỗi
0
ε
>
cho trước tồn tại một lân cận
U
của

t
trong tôpô
cảm sinh trên
T
(nghĩa là
( , )
U t t
δ δ
= − + ∩
T
với
0
δ
>
nào đó) sao cho


[
]
[
]
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )

f t f s f t t s t s
σ σ ε σ
∆
− − − ≤ −
với mọi
.
s U
∈

Nhận xét

2.1.
Bất đẳng thức trên có thể viết dưới dạng
[
]
[
]
( ( )) ( ) ( ) ( )
( )
f t f s f t t s
t s
σ σ
ε
σ
∆
− − −
≤
−
với mọi
s U

∈

Hay
[
]
( ( )) ( )
( )
( )
f t f s
f t
t s
σ
ε
σ
∆
−
− ≤
−
với mọi
.
s U
∈

Định nghĩa 2.3.
Hàm

:
f
T
→

ℝ
được gọi là
∆
khả vi (ngắn ngọn khả vi)
trên
T
k
nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
t
∈
T
k
.
2.1.2. Đạo hàm Hilger trên một số thang thời gian


13

Ví dụ 2.1.
Cho thang thời gian
T
bất kì.

2.1.1)
Nếu
:
f
T
→

ℝ
,
( )
f t
α
= ∀
t
∈
T
k
,
α
∈

ℝ
thì
( ) 0.
f t
∆
≡

Thật vậy,
( )
f t
α
= ∀
t
∈
T
k

nên
(
)
( )f t
σ α
= ∀
t
∈
T
k
.
Với mọi
0
ε
>
,
s U
∈
ta có
[
]
[
]
[
]
[
]
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 0. ( )
f t f s f t t s f t f s t s
σ σ σ σ

∆
− − − = − − −


0 ( ) .
t s
α α ε σ
= − = ≤ −

Vậy
( ) 0
f t
∆
=
mọi điểm
t
∈
T
k
.
2.1.2)
Nếu
:
f
T
→
ℝ
,
( )
f t t

= ∀
t
∈
T
k
thì
( ) 1
f t
∆
=
với mọi
t
∈
T
k
.
Thật vậy, với mọi
0
ε
>
,
s U
∈
ta có:

[
]
[
]
[

]
[
]
( )
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 1. ( )
( ) ( ( ) ) 0 ( ) .
f t f s f t t s f t f s t s
t s t s t s
σ σ σ σ
σ σ ε σ
∆
− − − = − − −
= − − − = ≤ −

Vậy
( ) 1
f t
∆
=
với mọi
t
∈
T
k
.
2.1.3)
Nếu
:
f
T

→
ℝ
và
2
( ) .
f t t
=
Khi ấy
( ) ( )
f t t t
σ
∆
= + với mọi
t
∈
T
k
.
Thật vậy, với mọi
0
ε
>
,
s U
∈
thì
.
s t
ε
− <

Do đó ta có

[
]
[
]
2 2
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))( ( ) )
f t f s f t t s t s t t t s
σ σ σ σ σ
∆
− − − = − − + −


2
( ( ) ) ( )
s t t s t s
σ σ
= − − +

( ( ) )( ) ( ) .
t s s t t s
σ ε σ
= − − ≤ −

Vậy với mọi
t
∈
T
k

ta có
( ) ( ).
f t t t
σ
∆
= +
Nếu
T
=
ℝ
thì
( ) .
t t
σ
≡
Do đó
( ) 2 ( ).
f t t f t
∆
′
= =
Ví dụ này chỉ ra rằng,
∆
đạo hàm phụ thuộc vào hàm nhảy tiến
( )
t
σ
của
thang thời gian
T

, tức là phụ thuộc vào cấu trúc của thang thời gian
T
. Các thí
dụ sau đây chỉ rõ hơn điều đó.


14

2.1.4)
Cho thang thời gian
T
0
: : .
2
n
n
 
= ∈
 
 
ℕ
Theo Ví dụ 1.2.5 (hay Bảng 1.2,
T
=
h
ℤ
với
1
2
h

=
) ta có
1 1
( ) ( )
2 2 2
n n
t t
σ σ
+
= = = +
nên với
2
( )
f t t
=
.
Ta có

2
1
( ( )) .
2
f t t
σ
 
= +
 
 
Hơn nữa, với mỗi
1

0 ,
2
ε
< <
mọi lân cận
( )
U t
của
điểm
t
(là tập tất cả các điểm
s
∈
T
sao cho s t
ε
− <
) chỉ là tập một điểm
{
}
( ) .
U t t
=
Do đó với
2
( )
f t t
=
ta có
[ ]

2
2
1
( ( )) ( )
1
2
( ) ( ) 2 ( ) .
1
( ) 2
2
t t
f t f s
f t f t t f t
t s
t t
σ
σ
∆ ∆ ∆
 
+ −
 
−
 
 
− = − = + −
 
−  
 
+ −
 

 

Bất đẳng thức
[
]
( ( )) ( )
1
( ) 2 ( )
( ) 2
f t f s
f t t f t
t s
σ
σ
∆ ∆
−
 
− = + −
 
−
 
ε
≤

đúng với mọi
0
ε
>
nên
( ( )) ( ) 1

( ) 2 .
( ) 2
f t f t
f t t
t t
σ
σ
∆
−
= = +
−

Ta cũng có thể áp dụng trực tiếp công thức
( ) ( )
f t t t
σ
∆
= + trong mục 3) ở
trên với
1
( )
2
t t
σ
= +
để được ngay
( )
1
( ) ( ) 2 .
2

f t t t t
σ
∆
= + = +

2.1.5)
Cho thang thời gian
T
{ }
1
2
0 0
: : : .
n n= = ∈
ℕ ℕ
Với mỗi
t
∈
T
, tồn tại số
0
n
∈
ℕ
sao cho
t n
= hay
2
.
n t

=
Theo Bảng 1.3 ta có
2
( ) 1
t t
σ
= +
.
Với
2
( ) ,
f t t
=
từ công thức
( ) ( )
f t t t
σ
∆
= + trong mục 3) ở trên ta có ngay
2
( ) ( ) 1.
f t t t t t
σ
∆
= + = + +

Ví dụ 2.2


15

2.2.1)
Nếu
T
=
ℝ
thì tôpô trên
T
là tôpô trên
,
ℝ

( )
t t
σ
≡
nên khái niệm
∆

khả vi của hàm
:
f
ℝ
→
ℝ
tại
t
∈
ℝ
trùng với khái niệm

khả vi theo nghĩa
thông thường và

( ) ( )
( ) lim ( ).
s t
f t f s
f t f t
t s
∆
→
−
′
= =
−

2.2.2)
Nếu
T
=
ℤ
thì với mỗi
0 1,
ε
< <
mọi lân cận
( )
U t
của điểm

t
(là tập
tất cả các điểm
s
∈
T
sao cho s t
ε
− <
chỉ là tập một điểm
{
}
( ) .
U t t
=
Hơn
nữa,
( ) 1
t t
σ
= +
với mọi
t
∈
T
. Bất đẳng thức
[
]
[
]

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
f t f s f t t s t s
σ σ ε σ
∆
− − − ≤ −
với mọi
s U
∈

trở thành
[
]
(
)
(
)
( 1) ( ) ( ) 1 1
f t f t f t t t t t
ε
∆
+ − − + − ≤ + −
 
 
với mọi
t
∈
T
.
Do
0

ε
>
bất kì nên
[
]
( 1) ( ) ( ) 0.
f t f t f t
∆
+ − − =

Nghĩa là mọi hàm
:
f
ℤ
→
ℝ
đều là
∆
khả vi tại mọi điểm
t
∈
ℤ
và ta có
( ) ( 1) ( ) ( ).
f t f t f t f t
∆
= + − = ∆
Ở đây
( ) ( 1) ( )
f t f t f t

∆ = + −
là toán tử sai phân tiến theo định nghĩa thông
thường.
Như vậy, khái niệm Delta đạo hàm thống nhất hai khái niệm đạo hàm và sai
phân thông thường.
Ví dụ 2.3.
Tính delta đạo hàm của


3
( )
f t t
=
trên thang thời gian
T
{ }
1
3
3
0 0
: : : .
n n= = ∈
ℕ ℕ

Với mỗi
t
∈
T
, tồn tại số
0

n
∈
ℕ
sao cho
3
t n
= hay
3
.
n t
=

Ta có
33
3 3
( ) ( ) 1 1.
t n n t
σ σ
= = + = +
Suy ra
3
( ( )) 1.
f t t
σ
= +

Vì tập
T
{ }
1

3
3
0 0
: : :n n= = ∈
ℕ ℕ
là tập rời rạc trong
ℝ
.


16

Nên với mỗi
0
ε
>
đủ nhỏ, mọi lân cận
( )
U t
của điểm
t
(là tập tất cả các
điểm
s
∈
T
sao cho s t
ε
− <
chỉ là tập một điểm

{
}
( ) .
U t t
=
Ta có
( )
3 3
2
3 3 2
3
3
3
( ( )) ( ) ( ( )) ( ) 1
1 1 .
( ) ( )
1
f t f s f t f t t t
t t t
t s t t
t t
σ σ
σ σ
− − + −
= = = + + + +
− −
+ −


Vì bất đẳng thức

[
]
( )
2
3 3 23
3
( ( )) ( )
( ) 1 1 ( )
( )
f t f s
f t t t t f t
t s
σ
ε
σ
∆ ∆
−
 
− = + + + + − ≤
 
−
 

phải đúng với mọi
0
ε
>
nên ta có
( )
2

3 3 2
3
3
( ) 1 1 .
f t t t t
∆
= + + + +

2.2. Các tính chất của đạo hàm Hilger
Định lí 2.1.
Cho

:
f
T
→
ℝ
là hàm xác định với mọi
t
∈
T
k
. Ta có các kết luận sau

i) Nếu
f
delta khả vi tại

t
thì

f
liên tục tại
.
t

ii) Nếu
f
liên tục tại

t
∈
T
k
và
t
là điểm cô lập phải thì
f
delta khả vi

tại
t
và

( ( )) ( )
( )
( )
f t f t
f t
t
σ

µ
∆
−
= .
iii) Nếu
t
là điểm trù mật phải thì
f
delta khả vi

tại
t
khi và chỉ khi giới hạn
( ) ( )
lim
s t
f t f s
t s
→
−
−
tồn tại và hữu hạn khi đó ta có
( ( )) ( )
( ) lim .
( )
s t
f t f s
f t
t s
σ

σ
∆
→
−
=
−

iv) Nếu
f
delta khả vi tại

t
∈
T
k
thì

( ( )) ( ) ( ) ( )
f t f t t f t
σ µ
∆
= + .
Chứng minh
i) Giả sử
f
delta khả vi tại

t
∈
T

k
. Với
(0;1)
ε
∈
ta đặt


17

1
1 ( ) 2 ( ) .
f t t
ε ε µ
−
∗ ∆
 
= + +
 

Ta có
(0;1)
ε
∗
∈ . Theo Định nghĩa 2.1 tồn tại lân cận
U
của

t
thỏa mãn

[
]
[
]
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) .
f t f s f t t s t s s U
σ σ ε σ
∆ ∗
− − − ≤ − ∀ ∈

Vì vậy
( , )
s U t t
ε ε
∗ ∗
∀ ∈ ∩ − + ta có:
[
]
∆ ∆ ∆
( ) ( ) { ( ( )) ( ) ( ). ( ) } { ( ( ))- ( )- ( ) ( )} ( ) ( )
f t f s f
σ t f s f t σ t s f σ t f t µ t f t t s f t
− = − − − − + −


( ) ( ) ( )
t s t t s f t
ε σ ε µ
∗ ∗ ∆
≤ − + + −

( ) ( ) ( )
t t s t f t
ε µ µ
∗ ∆
 
≤ + − + +
 

1 2 ( ) ( )
t f t
ε µ
∗ ∆
 
< + +
 
ε
=
.
Vậy
f
liên tục tại
t
∈
T
k
.
ii) Giả
f
liên tục tai

t
∈
T
k
và
t
là điểm

cô lập phải. Từ tính liên tục của hàm
f
tại

t
∈
T
k
ta có

( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
lim .
( ) ( ) ( )
s t
f t f s f t f t f t f t
t s t t t
σ σ σ
σ σ µ
→
− − −
= =
− −

Với
0
ε
>
. Trong lận cận
U
của
s
ta có:

( ( )) ( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
f t f s f t f t
s U
t s t t
σ σ
ε
σ σ
− −
− ≤ ∀ ∈
− −


⇔
[ ] [ ]
( ( )) ( )
( ( )) ( ) . ( ) ( ) .
( )
f t f t

f t f s t s t s s U
t
σ
σ σ ε σ
µ
−
− − − ≤ − ∀ ∈

Từ đó ta có

( ( )) ( )
( )
( )
f t f t
f t
t
σ
µ
∆
−
= .
iii) Giả sử
f
delta khả vi tại

t
∈
T
k
và

t
là điểm trù mật phải. Cho
0
ε
>
. Vì
f
delta khả vi tại

t
∈
T
k
nên trong lân cận của
t
ta có:


18


[
]
[
]
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
f t f s f t t s t s s U
σ σ ε σ
∆
− − − ≤ − ∀ ∈

.
Vì
( )
t t
σ
=
nên ta có

[
]
[
]
( ) ( ) ( ) .
f t f s f t t s t s s U
ε
∆
− − − ≤ − ∀ ∈

Ta có

[
]
( ) ( )
( ) , , .
f t f s
f t s U s t
t s
ε
∆
−

− ≤ ∀ ∈ ≠
−


Suy ra

( ) ( )
( ) lim .
s t
f t f s
f t
t s
∆
→
−
=
−

iv) Nếu
( )
t t
σ
=
ta có
( ) 0
t
µ
=
và ta có:

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
f t f t f t t f t f t
σ µ
∆
= = + =
Nếu
( )
t t
σ
>
theo (ii) ta có
( ( )) ( )
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
( )
f t f t
f t f t t f t t f t
t
σ
σ µ µ
µ
∆
−
= + = +
Ví dụ 2.4
(Hàm nhảy tiến
σ
là liên tục tại 0 nhưng không khả vi tại 0).
Cho
T
{ }

2
0
1
: 0; 1
2
n
n
t n
 
 
 
= = ∈ ∪ −
 
 
 
 
 
ℕ là thang thời gian và
:
σ
T
→
T
là liên
tục nhưng không khả vi tại điểm trù mật phải
t
∈
T
.
Thật vậy, ta có

1
( ) 0 (0)
n n
t t
σ σ
−
= → =
khi
n
→ ∞
và
lim ( ) (0).
n
n
t
σ σ
→∞
=
Vì vậy
σ
liên tục tại 0. Do
0
t
=
là điểm trù mật phải và
1
1
2
2
2

1
( (0)) ( ) ( )
2
lim lim lim lim2 .
(0)
1
2
n
n
n
n n
n n n n
n n
t t
t t
σ σ σ σ
σ
−
−
→∞ →∞ →∞ →∞
 
 
−
 
= = = = ∞
−
 
 
 

19

Vì vậy
σ
không khả vi tại 0.
Ví dụ 2.5.
Cho
1
1
n
n
k
H
k
=
=
∑
với
n
∈
ℕ
và
0
0.
H
=
Thang thời gian

T
{
}
0
:
n
H n
= ∈
ℕ
có
1
( )
n n
H H
+
=
σ
với mọi
0
.
n
∈
ℕ

Vì
1
1
( ) ( ) 0
1
n n n n n

H H H H H
n
µ σ
+
= − = − = >
+
.
Nên mọi điểm thuộc
T
đều là điểm cô lập.
Với mọi hàm
:
f
T
→
ℝ
ta có
(
)
1
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
n n
n n
n
n n
f H f H
f H f H

f H
H H
σ
µ µ
∆
+
−
−
= =

1
( ) ( )
( 1) ( )
1
1
n n
n
f H f H
n f H
n
+
−
= = + ∆
+

Ví dụ 2.6.
Cho chuỗi
{
}
0

n
n∈
α
ℕ
là chuỗi số thực với
0
n
>
α
với mọi
n
∈
ℕ
và
đặt
1
.
n
n k
k o
t
α
−
=
=
∑

Xét thang thời gian
T
{

}
:
n
t n
= ∈
ℕ
nếu
0
k
k
α
∞
=
= ∞
∑

Hoặc
T
{
}
{
}
:
n
t n L
= ∈ ∪
ℕ
nếu
0
k

k
L
∞
=
=
∑
α
hội tụ.
Chúng ta có
1
( )
n n
t t
+
=
σ
và
( ) 0
n n
t
µ α
= >
với mọi
.
n
∈
ℕ
Chứng tỏ mọi điểm
n
t

∈
T
là điểm cô lập.
Với hàm
:
f
T
→
ℝ
bất kì ta có
( ( )) ( )
( )
( )
n n
n
f t f t
f t
t
σ
µ
∆
−
=

1
( ) ( ) ( )
( )
n n n
n
f t f t f t

t
µ α
+
− ∆
= = với mọi
n
∈
ℕ



20

Định lí 2.2.
Giả sử
, :
f g
T
→
ℝ
delta khả vi tại
t
∈
T
k
. Khi đó

i) Hàm
:
f g

+
T
→
ℝ
delta khả vi tại
t
∈
T
k
và
( ) ( ) ( ) ( ).
f g t f t g t
∆ ∆ ∆
+ = +
ii) Với hằng số
α
tùy ý hàm
f
α
delta khả vi tại
t
∈
T
k
và
:
f
α
T
→

ℝ


( ) ( ) ( ).
f t f t
α α
∆ ∆
=
iii) Hàm tích
:
fg
T
→
ℝ
delta khả vi tại
t
∈
T
k
và

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
fg t f t g t f t g t f t g t f t g t
σ σ
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
= + = +
iv) Nếu
( ) ( ( )) 0
f t f t
σ

≠
thì
1
f
là delta khả vi tại
t
∈
T
k
và
1 ( )
( ) .
( ) ( ( ))
f t
t
f f t f t
σ
∆
∆
 
= −
 
 

v) Nếu
( ) ( ( )) 0
g t g t
σ
≠
thì

f
g
delta khả vi tại
t
∈
T
k
và
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
( ) ( ( ))
f f t g t f t g t
t
g g t g t
σ
∆
∆ ∆
 
−
=
 
 

Chứng minh
Giả sử
,
f g
delta khả vi tại
t
∈

T
k
.
i) Cho
0
ε
>
,
1 2
,
U U
là lân cận của
t
ta có
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )
2
f t f s f t t s t s
ε
σ σ σ
∆
− − − ≤ −
với mọi
1
.
s U
∈

Và
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )
2

g t g s g t t s t s
ε
σ σ σ
∆
− − − ≤ −
với mọi
2
.
s U
∈

Lấy
1 2
U U U
= ∩
thì với mọi
:
s U
∈



21

( )( ( )) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) )
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )( ( ) )
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )( ( ) )
( ) ( ) .
2 2
( )

f g t f g s f t g t t s
f t f s f t t s g t g s g t t s
f t f s f t t s g t g s g t t s
t s t s
t s
σ σ
σ σ σ σ
σ σ σ σ
ε ε
σ σ
ε σ
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
 
+ − + − + −
 
= − − − + − − −
≤ − − − + − − −
≤ − + −
= −

Vì vậy
f g
+
delta khả vi tại
t
và ( )
f g f g
∆ ∆ ∆

+ = +
với mọi
t

ii) Giả sử
f
delta khả vi tại
t
∈
T
k
. Hiển nhiên, nếu
0
α
=
thì
( ) 0
f t
α
≡
với
mọi
t
∈
T
. Theo Ví dụ 1.1,
f
α
và hàm khả vi và
( ) ( ) 0 ( ).

f t f t
α α
∆ ∆
≡ ≡

Coi
0.
α
≠
Cho
0
ε
>
bất kì, chọn
1
0.
ε
ε
α
= >
Do
f
delta khả vi tại
t
∈
T
k

nên với
1

0
ε
>
tồn tại lân cận
U
của
t
sao cho
1
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ) ( )
f t f s f t t s t s t s
ε
σ σ ε σ σ
α
∆
− − − ≤ − = −
với mọi
.
s U
∈

Suy ra, với mỗi
0
ε
>
bất kì, tồn tại lân cận
U
của
t
sao cho

( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )
f t f s f t t s t s
α σ α α σ ε σ
∆
− − − ≤ −
với mọi
.
s U
∈

Hay

(
)
(
)
( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )
f t f s f t t s t s
α σ α α σ ε σ
∆
− − − ≤ −
với mọi
.
s U
∈

Theo định nghĩa,
f
α
delta khả vi tại

t
∈
T
k
và
( ) ( ) ( ).
f t f t
α α
∆ ∆
=
iii) Cho trước
(
)
0,1 .
ε
∈
Đặt
1
1 ( ) ( ( )) ( ) .
f t g t g t
ε ε σ
−
∗ ∆
 
= + + +
 
Khi ấy
với
(
)

0,1 ,
ε
∗
∈ vì
,
f g
delta khả vi tại
t
∈
T
k
nên tồn tại các lân cận
1 2
,
U U

của
t
thỏa mãn