Phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình toán tử vi phân tuyến tính

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá
trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều
trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,
lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng GD – ĐT huyện Sóc Sơn,
Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, đồng nghiệp trường THCS Nam Sơn
cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện
thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận
văn này.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Hàn Thị Mận
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Hàn Thị Mận
Mục lục

Lời cảm ơn i
Lời cam đoan ii
Bảng ký hiệu v
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Một số không gian của giải tích hàm . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3. Không gian định chuẩn và không gian Banach . . 6
1.1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn 10
1.2.2. Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert . . 12
1.3. Sai phân và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2. Tính chất của sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 16
iii
2 Phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình toán
tử vi phân thường tuyến tính 18
2.1. Phương trình vi phân thường tuyến tính cấp n . . . . . . 18
2.1.1. Một số khái niệm về phương trình vi phân thường 18
2.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . 20
2.2. Một số phương pháp cụ thể giải bài toán biên đối với
phương trình toán tử vi phân thường tuyến tính . . . . 26
2.2.1. Giải đúng bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.2. Phương pháp sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.3. Phương pháp khử lặp . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.4. Phương pháp bắn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.5. Phương pháp Ritz (phương pháp biến phân) . . . 34
2.2.6. Phương pháp Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Ứng dụng của một số phương pháp giải bài toán biên đối
với phương trình vi phân thường tuyến tính 45
3.1. Giải đúng bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2. Ứng dụng của phương pháp sai phân giải bài toán biên . 48
3.3. Ứng dụng của phương pháp khử lặp giải bài toán biên . 50
3.4. Ứng dụng của phương pháp bắn giải bài toán biên . . . 51
3.5. Ứng dụng của phương pháp Ritz giải bài toán biên . . . 54
3.6. Ứng dụng của phương pháp Galerkin giải bài toán biên 59
Kết luận 65
Tài liệu tham khảo 66
iv
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
R Tập số thực
R
+
Tập số thực dương
C Tập số phức
K Tập số thực hoặc phức
R
n
Không gian Euclide n - chiều
C
[a;b]
Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]
C
n

[a;b]
Không gian các hàm xác định và có đạo hàm liên tục
đến cấp n trên [a, b]
L
2
[a;b]
Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]
L
2
[0;1]
Không gian các hàm bình phương khả tích trên [0; 1]
L
p
[a, b] Không gian các hàm bậc p khả tích trên [a; b]
L (X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y
 Kết thúc chứng minh
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình toán tử vi phân là một trong những lĩnh vực quan
trọng của toán học hiện đại. Rất nhiều vấn đề của toán học, vật lý, .đều
dẫn đến việc giải phương trình toán tử vi phân. Từ thập kỷ 70, người
ta đã chú ý nhiều đến việc xây dựng lí thuyết về bài toán biên đối với
phương trình toán tử vi phân. Nhiều phương pháp khác nhau đã được
đưa ra sử dụng trong vấn đề này.Thí dụ: lý thuyết toán tử Fredholm,
phương pháp tham số nhỏ, phương pháp Tôpô, . . . Từ quan điểm đương
thời, có thể nói rằng phương pháp giải tích hàm và phương pháp Tôpô
là những phương pháp hữu dụng nhất. Qua những ứng dụng có tính hệ
thống của các phương pháp này, cơ sở lí thuyết về bài toán biên cho
một lớp rộng phương trình toán tử vi phân đã được xây dựng. Với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán biên đối với phương trình toán tử vi

phân, trong điều kiện có hạn, ở luận văn này tôi xin trình bày:
“Phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình toán tử
vi phân tuyến tính”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu về một số phương pháp giải bài toán biên
đối với phương trình vi phân thường tuyến tính, ứng dụng giải một số
bài toán biên cụ thể.
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp giải đúng và giải xấp xỉ bài toán
biên đối với phương trình vi phân thường tuyến tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp giải đúng bài toán biên đối với phương trình vi phân
thường tuyến tính.
Phương pháp sai phân.
Phương pháp khử lặp.
Phương pháp bắn.
Phương pháp Ritz.
Phương pháp Galerkin.
5. Dự kiến đóng góp mới
Đề tài trình bày một cách có hệ thống phương pháp giải bài toán
biên đối với phương trình toán tử vi phân thường tuyến tính.
6. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức, phương pháp của Đại số tuyến tính,Giải
tích hàm, Giải tích số.
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và hệ thống hoá.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số không gian của giải tích hàm

1.1.1. Không gian metric
Cho X là một tập hợp tùy ý và X = φ.
Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ
d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;
3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.
Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric, ký
hiệu là (X, d). Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.
Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt:
d (x, y) = |x − y| (1.1)
Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối trong tập số thực R ta dễ dàng kiểm
tra được (1.1) xác định một metric trên R. Không gian tương ứng được
ký hiệu là R
1
. Ta gọi metric (1.1) là metric tự nhiên.
3
4
Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu C
[a,b]
là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác
định và liên tục trên [a, b], (−∞ < a < b < +∞).Với hai hàm số bất kỳ
x (t) , y (t) ∈ C
[a,b]
ta đặt:
d (x, y) = max
a≤t≤b
|x(t) − y(t)| (1.2)

Vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục trên [a, b], nên hàm số |x(t) − y(t)| cũng
liên tục trên [a, b]. Hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ C
[a,b]
× C
[a,b]
vào tập số thực R. Ánh xạ (1.2) thoả mãn các tiên đề về metric. Không
gian metric tương ứng vẫn ký hiệu là C
[a,b]
.
Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X, d) được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim
n→∞
d (x
n
, x) = 0.
Ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay x
n
→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.3. Một dãy điểm {x
n
} trong không gian metric (X, d)
được gọi là dãy cơ bản ( hay dãy Cauchy ) nếu lim
m,n→∞
d (x

m
, x
n
) = 0.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X.
Định lý 1.1.1. Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là không
gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ
(X, d). Giả sử {x
n
} là một dãy cơ bản trong F tức là
lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
Suy ra {x
n
} là một dãy cơ bản trong X.
Do X là không gian đầy đủ nên dãy {x
n
} hội tụ, tức là
∃x
0
∈ X : x
n
→ x

0
, n → ∞
Như vậy (x
n
) ⊂ F : x
n
→ x
0
∈ X, n → ∞. Do F là tập đóng nên
x
0
∈ F .
Vậy F là không gian metric đầy đủ.
5
Ví dụ 1.1.3. Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng
S (x
0
, r) = {x ∈ X : d (x, x
0
) ≤ r} , r ∈ R
+
là không gian metric đầy đủ.
1.1.2. Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi là nửa nhóm một tập hợp X cùng với một
phép toán hai ngôi kết hợp đã cho trong X.
Một nửa nhóm có phần tử trung lập gọi là một vị nhóm.
Một nửa nhóm là giao hoán nếu phép toán của nó là giao hoán.
Định nghĩa 1.1.6. Ta gọi là nhóm một nửa nhóm X có các tính chất
sau :
1) Có phần tử trung lập e;

2) Với mọi x ∈ X, ∃x

∈ X sao cho x

x = xx

= e
(phần tử x

gọi là một phần tử đối xứng hay nghịch đảo của x).
- Như vậy, một nhóm là một vị nhóm mà mỗi phần tử đều có nghịch
đảo.
- Nếu phép toán hai ngôi trong X là giao hoán thì ta có một nhóm giao
hoán hay nhóm Abel.
Định nghĩa 1.1.7. Giả sử K là trường số thực hoặc phức, tập X = ∅
cùng với hai phép tính cộng và nhân vô hướng:
+ Phép cộng:
X × X → X
(x, y) → x + y
+ Phép nhân vô hướng:
K × X → X
(λ, x) → λ.x
6
X gọi là không gian tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1) ∀x, y ∈ X : x + y = y + x;
2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z) ;
3) ∀x ∈ X, ∃θ ∈ X : x + θ = x;
4) ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = θ;
( θ là ký hiệu phần tử không của không gian X)
5) ∀λ ∈ K; ∀x, y ∈ X : λ (x + y) = λx + λy;

6) ∀λ, µ ∈ K; ∀x ∈ X : (λ + µ) x = λx + µx;
7) ∀λ, µ ∈ K; ∀x ∈ X : λ (µx) = (λµ) x;
8) ∃1 ∈ K, ∀x ∈ X : x.1 = x.
Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên K và mỗi phần
tử x ∈ X gọi là một vectơ.
1.1.3. Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.1.8. Cho X là một không gian vectơ trường K ( K = R
hoặc C). Một chuẩn trong X, ký hiệu ., là một ánh xạ từ X vào tập
số thực R thỏa mãn các tiên đề sau
1) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) αx = |α| x ;
3) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y .
Số x gọi là chuẩn ( hay độ dài)của véc tơ x.
Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không
gian đó được gọi là không gian định chuẩn.
Định lý 1.1.2. Giả sử X là không gian định chuẩn, đặt
d (x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X
Khi đó, d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.9. Dãy điểm {x
n
} của không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu
7
lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Ký hiệu lim
n→∞

x
n
= x hay x
n
→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.10. Dãy điểm {x
n
} trong không gian định chuẩn X
được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim
m,n→∞
x
n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.1.11. Một không gian định chuẩn X được gọi là không
gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.4. R
n
- Không gian vectơ Euclide n - chiều là không gian
Banach với chuẩn
x =

n

i=1
|x
i
|

2
, ∀x ∈ R
n
C
[a;b]
- Không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là không gian
Banach với chuẩn
x = max
t∈[a;b]
|x (t)| , ∀x ∈ C
[a;b]
.
L
2
[a;b]
- Không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue trên đoạn
[a; b] là không gian Banach với chuẩn
x =

b

a
x
2
(t) dt, ∀x ∈ L
2
[a;b]
.
1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.12. Cho X là một không gian vectơ trường K ( K = R

hoặc C).Ta gọi là tích vô hướng trên X mọi ánh xạ đi từ X × X → K,
ký hiệu (.,.) thoả mãn các tiên đề sau với ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ K:
1)(x, y) = (y, x)
2)(x + y, z) = (x, z) + (y, z)
3)(λx, y) = λ(x, y)
4)∀x ∈ X thì (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ
( θ là ký hiệu phần tử không của không gian X).
Số (x, y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y.
8
Định nghĩa 1.1.13. Ta gọi H = ∅ gồm các phần tử x,y,z,. là không
gian Hilbert nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) H là không gian tuyến tính trên trường K
2) Hđược trang bị một tích vô hướng (.,.)
3) H là không gian Banach với chuẩn
x =

(x, x)∀x ∈ H. (1.3)
Ví dụ 1.1.5. Không gian R là không gian Hilbert với
(x, y) = x.y và x =

(x, x) = |x| .
Ví dụ 1.1.6. Không gian R
n
với tích vô hướng
(x, y) =
n

i=1
x
i

.y
i
, ∀x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
, ∀y = (y
1
, y
2
, , y
n
) ∈ R
n
Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng:
x =

(x, x) =

n

i=1
|x
i
|
2

R
n
với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert.
• Tính trực giao
Định nghĩa 1.1.14. Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử x, y ∈ H
gọi là trực giao, kí hiệu x⊥y nếu (x, y) = 0.
Định nghĩa 1.1.15. Nếu A là tập con của H, A = ∅, x ∈ H, ta nói x
trực giao với A nếu x trực giao với mọi phần tử trong A, kí hiệu x⊥A.
Từ hai định nghĩa trên suy ra một số tính chất sau:
1) θ⊥x(∀x ∈ H) ( θ là kí hiệu phần tử không của không gian H).
2) x ∈ H mà x⊥x thì x = θ.
3) Nếu các phần tử x, y
j
∈ H (j = 1, 2, , n) thoả mãn điều kiện
9
x⊥y
j
(j = 1, 2, , n), thì ∀α
j
∈ K (j = 1, 2, , n) ta có x⊥
n

j=1
α
i
y
j
.
4) Cho phần tử x ∈ H và dãy các phần tử (y
n

) ∈ H hội tụ tới
y ∈ H theo chuẩn (1.3). Nếu x⊥y
n
(∀n ∈ N
∗
) thì x⊥y.
5) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong không gian H. Khi đó,
nếu x ∈ H và x⊥A thì x = θ.
Định nghĩa 1.1.16. Mọi không gian tuyến tính con đóng của không
gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.
Định nghĩa 1.1.17. Cho không gian Hilbert H, một tập gồm hữu hạn
hay đếm được các phần tử (e
n
)
n≥1
⊂ H gọi là một hệ trực chuẩn nếu
(e
i
, e
i
) = δ
ij
=

0 khi i = j
1 khi i = j

i, j = 1, 2, , n)
Nhận xét 1.1. Mọi hệ trực chuẩn đều độc lập tuyến tính. Ngược lại, giả
sử là một hệ độc lập tuyến tính ta có thể xây dựng một hệ trực chuẩn

từ hệ bằng quá trình trực giao hoá Hilbert – Schmidt như sau:
Đặt
e
1
=
x
1
x
1

⇒ e
1
 = 1
Đặt
y
2
= x
2
− (x
2
, e
1
)e
1
⇒ (y
2
, e
1
) = (x
2

, e
1
) − (x
2
, e
1
)(e
1
, e
1
) = 0
Rõ ràng y
2
= θ vì nếu y
2
= θ thì sẽ kéo theo x
1
, x
2
phụ thuộc tuyến tính.
Đặt e
2
=
y
2
y
2

⇒ e
2

 = 1 và hệ {e
1
, e
2
} trực chuẩn.
Bằng quy nạp ta xây dựng được hệ (e
n
)
n≥1
⊂ H với
e
n
=
y
n
y
n

, y
n
= x
n
−
n−1

i=1
(x
n
, e
i

)e
i
, n = 1, 2,
Hệ trên là hệ trực chuẩn.
10
Định nghĩa 1.1.18. Hệ trực chuẩn (e
n
)
n≥1
gọi là đầy đủ khi chỉ có
vector θ mới trực giao với tất cả các phần tử của hệ: x⊥e
n
(n = 1, 2, ) ⇒
x = θ (θ là vector không trong không gian Hilbert ).
• Cơ sở trực chuẩn – Đẳng thức Parseval
Định nghĩa 1.1.19. Hệ trực chuẩn (e
n
)
n≥1
trong không gian Hilbert H
được gọi là một cơ sở trực chuẩn trong không gian H, nếu trong không
gian H không tồn tại vectơ khác không nào trực giao với hệ đó.
Định lý 1.1.3. (Định lý về đẳng thức Parseval) Cho (e
n
)
n≥1
là
một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Năm mệnh đề sau tương
đương:
1) Hệ (e

n
)
n≥1
là cơ sở trực chuẩn của không gian H.
2) ∀x ∈ H, x =

n≥1
(x, e
n
) e
n
.
3) ∀x, y ∈ H, (x, y) =

n≥1
(x, e
n
) (e
n
, y) (đẳng thức Parseval).
4) ∀x ∈ H, x
2
=

n≥1
|(x, e
n
)|
2
(phương trình đóng).

5) Bao tuyến tính của hệ (e
n
)
n≥1
trù mật khắp nơi trong không gian
H (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ
các phần tử thuộc hệ (e
n
)
n≥1
trù mật khắp nơi trong không gian H).
1.2. Toán tử tuyến tính
1.2.1. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn
• Toán tử tuyến tính liên tục, bị chặn
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trên
trường K. Một ánh xạ A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu
thoả mãn :
1) A(x
1
+ x
2
) = A(x
1
) + A(x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X

11
2) A(αx) = αA(x), ∀x ∈ X, ∀α ∈ K
Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x
trong toán tử A. Dễ thấy hai điều kiện 1) và 2) tương đương với
A(α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ + α
n
x
n
) = α
1
A(x
1
) + α
2
A(x
2
) + + α
n
A(x
n
),
∀x

1
, x
2
, x
n
∈ X, ∀α
1
, α
2
, , α
n
∈ K
Khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính,
còn khi toán tử A chỉ thoả mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần
nhất.
Khi X = Y thì ta cũng nói A là một toán tử trong X.
Khi Y = K thì toán tử A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.2. Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu
x
n
→ x
0
(n → ∞) luôn kéo theo Ax
n
→ Ax
0
(n → ∞).
Một toán tử tuyến tính từ R
k
vào R

m
bao giờ cũng liên tục.
Nhưng trong thực tế không gian định chuẩn bất kỳ thì toán tử tuyến
tính không nhất thiết liên tục.Ở đây điều kiện liên tục tương đương với
tính bị chặn định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2.3. Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (giới nội )
nếu tồn tại hằng số M > 0 để cho
(∀x ∈ X) Ax ≤ M x
Số M nhỏ nhất thoả mãn hệ thức (1.4) gọi là chuẩn của toán tử A, ký
hiệu A. Khi đó A = inf {M > 0 : Ax ≤ M x , ∀x ∈ X}.
Định lý 1.2.1. Cho không gian định chuẩn X, Y . Một toán tử tuyến
tính A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
Định lý 1.2.2. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y. Nếu toán tử A bị chặn, thì
A = sup
x≤1
Ax hay A = sup
x=1
Ax
12
1.2.2. Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert
• Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục
Định lý 1.2.3. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian
Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f (x) = (x, a) , x ∈ H
trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và
f = a
Định lý 1.2.4. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian
L
p

[a, b] (p > 1) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f (x) =
b

a
x (t) y (t) dt, x (t) ∈ L
p
[a, b] , y(t) ∈ L
q
[a, b] , q > 1,
1
p
+
1
q
= 1
Định nghĩa 1.2.4. Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử dương trong
không gian Hilbert H nếu
(Ax, x) ≥ 0, ∀x ∈ H
Định nghĩa 1.2.5. Toán tử tuyến tính A gọi là toán tử xác định dương
nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho
(Ax, x) ≥ γx
2
, ∀x ∈ H
• Toán tử liên hợp
Định nghĩa 1.2.6. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không
gian Hilbert X vào không gian HilbertY . Toán tử B ánh xạ không gian
Y vào không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A, nếu
(Ax, y) = (x, By) , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y
13

Toán tử liên hợp B thường ký hiệu là A
∗
.
Định lý 1.2.5. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó tồn tại toán tử A
∗
liên hợp
với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X.
Định nghĩa 1.2.7. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian
Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp, nếu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H (1.4)
Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.2.6. Toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert
vào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là số
thực đối với mọi x ∈ H.
• Phương pháp chiếu
Cho E, F là hai không gian Banach (thực hoặc phức)
Xét phương trình
Lu = f (1.5)
Trong đó L là toán tử tuyến tính có miền xác định D(L) ⊂ E và miền
giá trị R(L) ⊂ F . Phương pháp chiếu để giải phương trình này như sau:
Giả sử hai dãy không gian con {E
n
} và {F
n
} thoả mãn
E
n
⊂ D(L) ⊂ E, F
n

⊂ F, (n = 1, 2, )
Các toán tử chiếu tuyến tính p
n
từ F lên F
n
nghĩa là thoả mãn điều
kiện:
(p
n
)
2
= p
n
, p
n
F = F
n
, (n = 1, 2, )
Phương trình (1.5) được thay thế gần đúng bởi phương trình
p
n
(Lu
n
− f ) = 0, u
n
∈ E
n
(1.6)
14
Tìm nghiệm u

n
∈ E
n
sao cho p
n
(Lu
n
− f ) ∈ F
n
. Ta giải phương trình
(1.6) trong F
n
và tìm nghiệm trong E
n
.
• Định lý hình chiếu lên không gian con
Định lý 1.2.7. Cho không gian Hilbert H và H
0
là không gian con của
H. Khi đó phần tử bất kỳ x ∈ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
x = y + z, y ∈ H
0
, z⊥H
0
(1.7)
Khi đó phần tử y được gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian
con H
0
.
Chứng minh. Đặt d = inf

u∈H
0
x − u, theo tính chất cận dưới đúng, tồn
tại một dãy phần tử (u
n
) ⊂ H
0
sao cho lim
n→∞
x − u
n
 = d. Áp dụng
đẳng thức hình bình hành ta có ∀m, n ≥ 1
2x − u
n

2
+ 2x − u
m

2
= 4




x −
u
n
+ u

m
2




2
+ u
n
− u
m

2
.
Ký hiệu d
k
= x − u
k
 (k = 1, 2, ). Vì
1
2
(u
n
+ u
m
) ∈ H
0
nên
u
n

− u
m

2
≤ 2d
2
n
+ 2d
2
m
− 4d
2
(n, m = 1, 2, ).
Do đó lim
n→∞
u
n
− u
m
 = 0. Do H là không gian Banach và tính đóng
của không gian con H
0
ta được lim
n→∞
u
n
= y ∈ H
0
, nghĩa là
x − y = lim

n→∞
x − u
n
 = d.
Đặt z = x − y, ta chứng minh z⊥H
0
.
Thật vậy, giả sử ∃v ∈ H
0
mà (z, v) = c = 0, suy ra v = 0 nên (v, v) = 0.
Đặt w = y +
c
(v, v)
v ∈ H
0
d
2
≤ x − w
2
=




x − y −
c
(v, v)
v





=

z − d
c
(v, v)
v, z −
c
(v, v)
v

=z
2
−
¯c
(v, v)
c −
c
(v, v)
¯c +
c.¯c
(v, v)
2
(v, v) = z
2
−
|c|
2
(v, v)

<d
2
15
điều này vô lý.
Do đó không tồn tại v = 0 thuộc H
0
để (z, v) = 0 ⇒ z⊥H
0
.
Vậy ∀x ∈ H luôn có biểu diễn: x = y + z, y ∈ H
0
, z⊥H
0
.
Giả sử x = y

+ z

, y

∈ H
0
, z

⊥H
0
⇒ y + z = y

+ z


⇔ y − y

= z

− z với y − y

∈ H
0
, z − z

⊥H
0
⇒
y − y

⊥H
0
⇔ y − y

= θ ⇔ y = y

, z = z

.
Vậy biểu diễn của x là duy nhất.
Phần tử y trong biểu diễn (1.7) còn được gọi là phần tử của H
0
gần
phần tử x nhất theo nghĩa
d(x, y) = x − y ≤ x − u = d(x, u), ∀u ∈ H

0
.
Ta ký hiệu y = P x và nhận được toán tử tuyến tính liên tục P ánh xạ H
lênH
0
, P  = 1. Toán tử P thường được gọi là toán tử chiếu vuông góc
(hay toán tử chiếu trực giao) không gian H lên không gian con H
0
⊂ H.
Tính chất của toán tử chiếu
+) P là toán tử chiếu của H lên không gian con H
0
thì P là toán tử tự
liên hợp (P
∗
= P ) nghĩa là ∀x, y ∈ H, (P x, y) = (x, P y).
Thật vậy, giả sử x = u + v, y = r + s với u, r ∈ H
0
, v, s⊥H
0
⇒ P x =
u, P y = r
(P x, y) = (u, r + s) = (u, r) + (u, s) = (u, r)
(x, P y) = (u + v, r) = (u, r) + (v, r) = (u, r)
⇒ (P x, y) = (x, P y) ⇒ P
∗
= P.
+) P là toán tử chiếu thì P
2
= P .

Thật vậy với mỗi x ∈ H, đặt P x = u ⇒ P
2
x = P (P x) = P (u) = u =
P x.Vậy P
2
= P .
+) P là toán tử chiếu thì P là toán tử dương.
Thật vậy P là toán tử tuyến tính bị chặn và ∀x ∈ H :
x = u + v, u ∈ H
0
, v⊥H
0
.
16
Ta có (P x, x) = (u, u + v) = (u, u) + (u, v) = (u, u) ≥ 0.
Do đó P là toán tử dương.
• Sự hội tụ yếu
Định nghĩa 1.2.8. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm x
n
⊂ H gọi là
hội tụ yếu tới điểm x ∈ H, nếu với mọi điểm y ∈ H
lim
n→∞
(x
n
, y) = (x, y)
Nhận xét 1.2. Nếu dãy điểm (x
n
) ⊂ H hội tụ đến điểm x ∈ H theo
chuẩn trên H (còn gọi là hội tụ mạnh), nghĩa là

lim
n→∞
x
n
− x = 0
thì dãy điểm (x
n
) hội tụ yếu tới điểm x ∈ H.
1.3. Sai phân và các tính chất
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước và
h = const = 0. Ta gọi sai phân cấp 1 của f(x) là đại lượng ∆f (x) =
f(x + h) − f(x). Tỷ sai phân cấp 1 của f (x) là
∆f(x)
h
.
Biểu thức
∆
2
f = ∆ [∆f(x)] = [f (x + 2h) − f(x + h)] − [f (x + h) − f(x)]
= f(x + 2h) − 2f(x + h) + f(x) được gọi là sai phân cấp 2 của f (x)
tại x.
Một cách tổng quát ∆
n
f(x) := ∆

∆
n−1
f(x)


(n ≥ 1), được gọi là sai
phân cấp n của f(x) tại x.
1.3.2. Tính chất của sai phân
1) ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là:
17
∀α, β ∈ R;∀f, g ⇒ ∆ (αf + βg) = α∆f + β∆g
2) Nếu c = const thì ∆c = 0.
3) ∆
n
(x
n
) = n!h
n
; ∆
m
(x
n
) = 0 (m > n).
4) Nếu P (x) là đa thức bậc n thì theo công thức Taylor
∆P := P (x + h) − P (x) =
n

i=1
h
i
i!
P
(i)
(x).
5) f (x + nh) =

n

i=0
C
i
n
∆
i
f (x).
6) ∆
n
f (x) =
n

i=0
(−1)
i
C
i
n
f (x + (n − i) h).
7) Giả sử f ∈ C
n
[a; b] và (x, x + h) ⊂ [a; b].
Khi đó
∆
n
f (x)
h
n

= f
(n)
(x + θnh) ; θ ∈ (0; 1)
Hệ quả: Nếu f ∈ C
n
[a; b] thì khi h đủ nhỏ f
(n)
(x) ≈
∆
n
f(x)
h
n
.
Chương 2
Phương pháp giải bài toán biên đối
với phương trình toán tử vi phân
thường tuyến tính
Trước khi nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán biên đối
với phương trình toán tử vi phân thường chúng ta cùng tìm hiểu một số
vấn đề về phương trình vi phân thường tuyến tính.
2.1. Phương trình vi phân thường tuyến tính cấp n
2.1.1. Một số khái niệm về phương trình vi phân thường
Định nghĩa 2.1.1. Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm
cần tìm và các đạo hàm của nó.
- Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương
trình vi phân thường.
- Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phương
trình đạo hàm riêng.
- Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng:

F (x, y, y

, y

, , y
(n)
) = 0 (2.1)
18
19
trong đó x là biến độc lập, y là hàm cần tìm. Nếu từ (2.1) ta giải ra được
đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình (2.1) có dạng
y
(n)
= f(x, y, y

, y

, , y
(n−1)
) (2.2)
- Cấp của phương trình là đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương
trình.
- Phương trình vi phân thường cấp một là phương trình biểu diễn dưới
dạng:
dy
dx
= f(x, y) hay F (x, y, y

) = 0.
Định nghĩa 2.1.2. - Hàm số y = ϕ(x) được gọi là nghiệm của phương

trình (2.2) nếu thay y = ϕ(x), y

= ϕ

(x), y

= ϕ

(x), , y
(n)
= ϕ
(n)
(x)
vào (2.2) thì ta được phương trình đồng nhất thức.
- Hàm y = ϕ(x, C), (C ∈ R) có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n
được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (2.2) nếu:
+) ∀(x, y) ∈ D (D là miền xác định của phương trình ) ta có thể giải ra
C = ϕ(x, y).
+) Hàm y = ϕ(x, C), (C ∈ R)thoả mãn (2.2) khi (x, y) chạy khắp D.
-Với mỗi C
0
ta có một nghiệm ϕ(x, C
0
) và gọi là một nghiệm riêng.
Nghiệm riêng của phương trình vi phân là nghiệm nhận từ nghiệm tổng
quát khi cho hằng số C một giá trị cụ thể.
Tuy nhiên có những nghiệm của phương trình không nhận được từ nghiệm
tổng quát ta gọi là nghiệm kì dị.
Định nghĩa 2.1.3. Khi giải phương trình (2.2) nhiều khi ta được nghiệm
tổng quát dưới dạng ẩn:

Φ(x, y, C
1
, C
2
, C
n
) = 0 (2.3)
và được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (2.2).Hệ thức (2.3)
được gọi là tích phân tổng quát của phương trình (2.2) trong miền D nếu
nó xác định nghiệm tổng quát y = ϕ(x, C
1
, C
2
, C
n
) của phương trình
đó trong miền D.
20
Định nghĩa 2.1.4. Hàm f (x, y
1
, y
2
, y
n
) xác định trong miền D ⊂ R
n+1
được gọi là thoả mãn điều kiện Lipsit theo các biến y
1
, y
2

, y
n
nếu tồn
tại hằng số L > 0 sao cho đối với hai điểm bất kì (x, y
1
, y
2
, y
n
) ∈
D, (x, y
1
, y
2
, y
n
) ∈ D ta có bất đẳng thức
|f(x, y
1
, y
2
, y
n
) − f(x, y
1
, y
2
, y
n
)| ≤ L

n

i=1
|y
i
− y
i
|
Định lý 2.1.1. (Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm)
Giả sử trong miền D ⊂ R
n+1
hàm f(x, y
1
, y
2
, y
n
) liên tục và thoả
mãn điều kiện Lipsit theo y
1
, y
2
, y
n
. Khi đó với bất kì điểm trong
(x, y
0
, y

0

, y
(n−1)
0
) ∈ D tồn tại duy nhất nghiệm y = y(x) của phương
trình (2.2) thoả mãn điều kiện ban đầu
y(x
0
) = y
0
, y

(x
0
) = y

0
, ,y
(n−1
(x
0
) = y
(n−1)
0
Nghiệm này xác định tại lân cận, nói chung, khá bé của điểm x
0
.
Để nghiên cứu các phương pháp giải bài toán biên đối với phương
trình vi phân tuyến tính tiếp theo ta đi tìm hiểu một số vấn đề về phương
trình vi phân tuyến tính.
2.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính

Các phương trình vi phân mà biểu thức là tuyến tính đối với ẩn
và đạo hàm của nó được gọi là phương trình vi phân tuyến tính.
Định nghĩa 2.1.5. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng
P
0
(x)y
(n)
+ P
1
(x)y
(n−1)
+ P
2
(x)y
(n−2)
+ + P
n−1
(x)y

+ P
n
(x)y = F (x)
(2.4)
Trong đó các hàm P
i
(x), i = 0, 1, 2, . . . và F (x) là các hàm liên tục trên
(a, b).