Phương pháp giải bài toán cauchy đối với phương trình toán tử vi phân tuyến tính

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Sự giúp
đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận
văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận
một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường
và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,
tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo,
đồng nghiệp trường trung học phổ thông Minh Phú cùng gia đình, người
thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả
hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Hiền
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Thu Hiền
Mục lục
Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii
Bảng ký hiệu vi
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Một số không gian của giải tích hàm . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Không gian định chuẩn và không gian Banach . . 9
1.1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn . 12
1.2.2. Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert . . . 15
1.3. Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . 17
1.3.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai . . . . . 20
iii
1.3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp n . . . . . . 25
1.4. Sai phân và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình
toán tử vi phân 27
2.1. Phương trình toán tử vi phân thường . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Phương trình vi phân với họ toán tử G = {G (t)} 28
2.1.2. Phương trình vi phân với toán tử Volterra, C - lý
thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.3. Phương trình vi phân với toán tử Volterra, L
2
- lý
thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình
giả parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.1. Phương trình giả parabolic, C - lý thuyết . . . . . 43
2.2.2. Phương trình giả parabolic, L
2
- lý thuyết . . . . 47
2.3. Phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán Cauchy . . 50
3 Một số ví dụ áp dụng 52
3.1. Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1. Hệ thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
với hệ số hằng số . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3. Một số ví dụ giải gần đúng . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Kết luận 68
iv
Tài liệu tham khảo 69
v
BẢNG KÝ HIỆU
N Tập số tự nhiên
N
∗
Tập số tự nhiên khác không
R Tập số thực
R
+
Tập số thực dương
C Tập số phức
K Tập số thực hoặc phức
R
n
Không gian Euclide n - chiều

C
[a;b]
Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]
L
2
[a;b]
Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a; b]
L (X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y
 Kết thúc chứng minh
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phương trình toán tử được nhiều nhà khoa học nghiên
cứu và có nhiều kết quả trong toán học hiện đại. Một trong các vấn đề
của toán học hiện đại là nghiên cứu phương pháp giải bài toán Cauchy.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn bài toán Cauchy và đối với phương
trình toán tử vi phân, trong luận văn này tôi trình bày đề tài:
“ Phương pháp giải bài toán Cauchy đối với phương trình toán
tử vi phân tuyến tính ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp giải bài toán Cauchy đối với
phương trình toán tử vi phân tuyến tính, ứng dụng vào giải một số
phương trình cụ thể.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải bài toán bài toán Cauchy đối với
phương trình toán tử vi phân tuyến tính.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Bài toán Cauchy đối với phương trình toán
tử vi phân tuyến tính.
Phạm vi nghiên cứu: Bài toán Cauchy đối với phương trình toán
tử vi phân tuyến tính trong không gian Banach và không gian Hilbert.

2
5. Dự kiến đóng góp mới
Đề tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp giải
bài toán Cauchy đối với phương trình toán tử vi phân tuyến tính. Đưa
ra một vài ví dụ giải gần đúng bài toán Cauchy dùng phương pháp sai
phân.
6. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức, phương pháp của Đại số tuyến tính, Giải
tích hàm, Giải tích số.
Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan.
Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số không gian của giải tích hàm
1.1.1. Không gian metric
Cho X là một tập hợp tùy ý và X = φ.
Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ
d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;
iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.
Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric, ký
hiệu là (X, d). Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.
Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt:
d (x, y) = |x − y| (1.1)
Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối trong tập số thực R ta dễ dàng
kiểm tra được (1.1) xác định một metric trên R, không gian tương ứng
được ký hiệu là R

1
. Ta gọi metric (1.1) là metric tự nhiên.
3
4
Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu C
[a;b]
là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác
định và liên tục trên [a; b], (−∞ < a < b < +∞). Với hai hàm số bất kỳ
x (t) , y (t) ∈ C
[a;b]
ta đặt:
d (x, y) = max
a≤t≤b
|x(t) − y(t)| (1.2)
Vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục trên [a; b], nên hàm số |x(t) −y(t)|
cũng liên tục trên [a; b]. Hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ C
[a;b]
×C
[a;b]
vào tập số thực R.
Ánh xạ (1.2) thoả mãn các tiên đề về metric. Không gian metric
tương ứng vẫn ký hiệu là C
[a;b]
.
Định nghĩa 1.1.2. Cho dãy các phần tử x
n
∈ X, ∀n ∈ N
∗
và phần tử
x

∗
∈ X. Khi đó x
∗
được gọi là giới hạn của dãy {x
n
}
n∈N
∗
nếu lim
n→∞
d (x
n,
x
∗
) = 0
và ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x
∗
.
Dãy điểm {x
n
} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃N
0
sao
cho ∀n, m > N
0
thì d (x

n
, x
m
) < ε.
Định nghĩa 1.1.3. Một dãy điểm {x
n
}, n = 1, 2, trong không gian
metric (X, d) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu:
lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X.
Định lý 1.1.1. Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là không
gian metric đầy đủ.
Chứng minh. Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ
(X, d). Giả sử {x
n
} là một dãy cơ bản trong F tức là
lim
m,n→∞
d (x
m
, x
n
) = 0.

Suy ra {x
n
} là một dãy cơ bản trong X.
5
Do X là không gian đầy đủ nên dãy {x
n
} hội tụ, tức là
∃x
0
∈ X : x
n
→ x
0
, n → ∞
Như vậy (x
n
) ⊂ F : x
n
→ x
0
∈ X, n → ∞. Do F là tập đóng nên
x
0
∈ F .
Vậy F là không gian metric đầy đủ.
Ví dụ 1.1.3. Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng
S (x
0
, r) = {x ∈ X : d (x, x
0

) ≤ r}, r ∈ R
+
là không gian metric đầy đủ .
Định nghĩa 1.1.5. Cho hai không gian metric tùy ý (X, d
1
) và (Y, d
2
).
Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số α ∈ [0, 1) sao
cho ∀x
1
, x
2
∈ X ta đều có d
2
(A(x
1
), A(x
2
)) ≤ αd
1
(x
1
, x
2
). α gọi là hệ
số co của ánh xạ co A.
Định lý 1.1.2 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A ánh
xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có một điểm bất
động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x

∗
∈ X thỏa mãn
Ax
∗
= x
∗
, x
∗
là giới hạn của dãy (x
n
) , x
n
= A (x
n−1
) , x
0
∈ X tùy ý và
d (x
n
, x
∗
) ≤
α
n
1 − α
d (x
1
, x
0
)

d (x
n
, x
∗
) ≤
α
1 − α
d (x
n
, x
n−1
) , n = 1, 2,
trong đó, α là hệ số co của ánh xạ co A.
Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x
0
∈ X và lập dãy x
n
= A (x
n−1
) ,
n = 1, 2, ta được
d (x
2
, x
1
) = d (Ax
2
, Ax
1
) ≤ αd (x

1
, x
0
) = αd (Ax
0
, x
0
) ,
d (x
3
, x
2
) = d (Ax
2
, Ax
1
) ≤ αd (x
2
, x
1
) ≤ α
2
d (Ax
0
, x
0
) ,

d (x
n+1

, x
n
) = d (Ax
n
, Ax
n−1
) ≤ αd (x
n
, x
n−1
) ≤ α
n
d (Ax
0
, x
0
) , n = 1, 2,
6
Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, ta có
d (x
n+p
, x
n
) ≤
p

k=1
d (Ax
n+k
, Ax

n+k−1
) ≤ d (Ax
0
, x
0
)
p

k=1
α
n+k−1
=
α
n
− α
n+p
1 − α
d (Ax
0
, x
0
) ≤
α
n
1 − α
d (Ax
0
, x
0
)

Vì 0 ≤ α < 1 nên lim
n→∞
d (x
n+p
, x
n
) = 0, ∀p ∈ N
∗
nghĩa là (x
n
) là dãy cơ
bản trong không gian metric đầy (X, d). Từ đó tồn tại lim
n→∞
x
n
= x
∗
∈ X.
Ta có
d (Ax
∗
, x
∗
) ≤ d (Ax
∗
, x
n
) + d (x
n
, x

∗
) = d (Ax
∗
, Ax
n−1
) + d (x
n
, x
∗
)
≤ αd (x
n−1
, x
∗
) + d (x
n
, x
∗
) , ∀n = 1, 2,
Cho n → ∞ ta được d (Ax
∗
, x
∗
) = 0 hay Ax
∗
= x
∗
, nghĩa là x
∗
là điểm

bất động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y
∗
∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì
d (x
∗
, y
∗
) = d (Ax
∗
, Ay
∗
) ≤ αd (x
∗
, y
∗
)
⇒ (1 − α) d (x
∗
, y
∗
) ≤ 0 ⇒ d (x
∗
, y
∗
) = 0, (0 ≤ α < 1)
⇒ x
∗
= y
∗

Vậy x
∗
là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Nhận xét 1.1. Nếu A là ánh xạ co từ không gian metric đầy (X, d) vào
chính nó S (x
0
, r) ⊂ X, nếu thêm giả thiết d (Ax
0
, x
0
) ≤ (1 − α) r thì A
cũng là ánh xạ co từ hình cầu đóng S (x
0
, r) ⊂ X vào chính nó, α là hệ
số co của A.
Chứng minh. i, Theo định lý 1.1.1 thì S (x
0
, r) là không gian metric đầy.
ii, Giả sử A là ánh xạ co với hệ số co α
d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ X
⇒ d (Ax, Ay) ≤ αd (x, y) , ∀x, y ∈ S (x
0
, r)
7
iii, Ta chứng minh A

S (x
0
, r)


⊂ S (x
0
, r) tức là với ∀y ∈ S (x
0
, r) ta
phải chứng minh d (Ay, x
0
) ≤ r. Thật vậy
d (Ay, x
0
) ≤ d (Ay, Ax
0
) + d (Ax
0
, x
0
)
≤ αd (y, x
0
) + d (Ax
0
, x
0
) ≤ α.r + d (Ax
0
, x
0
)
Nếu giả thiết d (Ax
0

, x
0
) ≤ (1 − α) r thì d (Ay, x
0
) ≤ α.r + (1 −α) r = r
⇒ Ay ∈ S (x
0
, r) ⇒ A

S (x
0
, r)

⊂ S (x
0
, r)
Như vậy nguyên lý Banach về ánh xạ co có thể áp dụng trên hình
cầu đóng của không gian metric đầy đủ.
1.1.2. Không gian tuyến tính
Định nghĩa 1.1.6. Giả sử K là trường số thực hoặc phức, tập X = φ
cùng với hai phép tính cộng và nhân vô hướng:
+) Phép cộng:
X × X → X
(x, y) → x + y
+) Phép nhân vô hướng:
K × X → X
(λ, x) → λ.x
X gọi là không gian tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1. ∀x, y ∈ X : x + y = y + x;
2. ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z) ;

3. ∀x ∈ X, ∃θ ∈ X : x + θ = x;
4. ∀x ∈ X, ∃(−x) ∈ X : x + (−x) = θ; (θ là ký hiệu phần tử không
của không gian X)
5. ∀λ ∈ K; ∀x, y ∈ X : λ (x + y) = λx + λy;
6. ∀λ, µ ∈ K; ∀x ∈ X : (λ + µ) x = λx + µx;
8
7. ∀λ, µ ∈ K; ∀x ∈ X : λ (µx) = (λµ) x;
8. ∃1 ∈ K, ∀x ∈ X : x.1 = x.
Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên K và mỗi
phần tử x ∈ X gọi là một vectơ.
Ví dụ 1.1.4. Cho tập hợp
R
n
= {x = (x
1
, x
2
, , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, 2, , n} ta đưa vào hai phép
toán (+) cộng hai phần tử và (.) nhân một phần tử với một số
1. x + y = (x
i
+ y
i
)
n
i=1

∀x = (x
i
)
n
i=1
, y = (y
i
)
n
i=1
∈ R
n
.
2. αx = (αx
i
)
n
i=1
∀α ∈ R, ∀x = (x
i
)
n
i=1
∈ R
n
.
Khi đó R
n
cùng hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.
Thật vậy ta chỉ ra rằng hai phép toán định nghĩa trên thoả mãn

8 tiên đề của không gian tuyến tính.
1. ∀x = (x
i
)
n
i=1
, y = (y
i
)
n
i=1
∈ R
n
.
Ta có: x
i
+ y
i
= y
i
+ x
i
∀i = 1, n
⇒ x + y = y + x
(Tiên đề 1 thoả mãn).
2. ∀x = (x
i
)
n
i=1

, ∀y = (y
i
)
n
i=1
, ∀z = (z
i
)
n
i=1
∈ R
n
Ta có: (x
i
+ y
i
) + z
i
= x
i
+ (y
i
+ z
i
) ∀i = 1, n
⇒ (x + y) + z = x + (y + z)
(Tiên đề 2 thoả mãn).
3. Xét phần tử θ = (0; 0; . . . ; 0) ∈ R
n
, ∀x = (x

i
)
n
i=1
∈ R
n
Ta có: 0 + x
i
= x
i
+ 0 = x
i
∀i = 1, n
⇒ θ + x = x + θ = x
(Tiên đề 3 thoả mãn).
4. ∀x = (x
i
)
n
i=1
∈ R
n
, tồn tại phần tử −x = (−x
i
)
n
i=1
∈ R
n
Ta có: x

i
+ (−x
i
) =0 ∀i = 1, n
⇒ x + (−x) = θ
(Tiên đề 4 thoả mãn).
5. ∀x = (x
i
)
n
i=1
∈ R
n
, ∀α, β ∈ R
9
Ta có: α (βx
i
) = (αβ) x
i
∀i = 1, n
⇒ α (βx) = (αβ) x
(Tiên đề 5 thoả mãn).
6. ∀x = (x
i
)
n
i=1
∈ R
n
, ∀α, β ∈ R

Ta có: (α + β) x
i
= αx
i
+ βx
i
, ∀i = 1, n
⇒ (α + β) x = αx + βx
(Tiên đề 6 thoả mãn).
7. ∀x = (x
i
)
n
i=1
, y = (y
i
)
n
i=1
∈ R
n
., ∀α ∈ R
Ta có: α (x
i
+ y
i
) = αx
i
+ αy
i

, ∀i =
1, n
⇒ α (x + y) = αx + αy
(Tiên đề 7 thoả mãn).
8. ∀x = (x
i
)
n
i=1
∈ R
n
ta luôn có
1.x
i
= x
i
( 1 là đơn vị của R ) ∀i = 1, n
⇒ 1.x = x
(Tiên đề 8 thoả mãn).
Vậy R
n
là một không gian tuyến tính thực với hai phép toán cộng
và nhân xác định trên.
1.1.3. Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.1.7. Cho X là một không gian vectơ trên trường K (
K = R hoặc C). Một chuẩn trong X, ký hiệu ., là một ánh xạ từ X
vào tập số thực R thỏa mãn các tiên đề sau
i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ;
ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ K) αx = |α|x;
iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y.

Số x gọi là chuẩn (hay độ dài) của véc tơ x.
Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không
gian đó được gọi là không gian định chuẩn.
Định lý 1.1.3. Giả sử X là không gian định chuẩn, đặt
10
d (x, y) = x − y, ∀x, y ∈ X
Khi đó, d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm {x
n
} của không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu
lim
n→∞
x
n
− x = 0.
Ký hiệu lim
n→∞
x
n
= x hay x
n
→ x khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.9. Dãy điểm {x
n
} trong không gian định chuẩn X được
gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim
m,n→∞
x

n
− x
m
 = 0.
Định nghĩa 1.1.10. Một không gian định chuẩn X được gọi là không
gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1.5. Với mỗi x ∈ R đặt x = |x|. Công thức trên xác định
một chuẩn trên R.
Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là R
1
R
1
là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.6. R
n
- Không gian vectơ Euclide n - chiều là không gian
Banach với chuẩn
x =

n

i=1
|x
i
|
2
, ∀x ∈ R
n
.
C

[a;b]
- Không gian các hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là không
gian Banach với chuẩn
x = max
t∈[a;b]
|x (t)|, ∀x ∈ C
[a;b]
.
L
2
[a;b]
- Không gian các hàm bình phương khả tích Lebesgue trên
đoạn [a; b] là không gian Banach với chuẩn
x =

b

a
x
2
(t) dt, ∀x ∈ L
2
[a;b]
.
11
1.1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1.11. Cho không gian vectơ X trên trường K (K = R
hoặc C). Ta gọi là tích vô hướng trên X mọi ánh xạ đi từ X × X → K,
ký hiệu (., .) thoả mãn các tiên đề sau với ∀x, y, z ∈ X, ∀λ ∈ K
1. (x, y) = (y, x)

2. (x + y, z) = (x, z) + (y, z)
3. (λx, y) = λ (x, y)
4. ∀x ∈ X thì (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ
( θ là ký hiệu phần tử không của không gian X)
Số (x, y) như vậy được gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y.
Định nghĩa 1.1.12. Ta gọi H = φ gồm các phần tử x, y, z, . . . là không
gian Hilbert nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1. H là không gian tuyến tính trên trường K.
2. H được trang bị một tích vô hướng (., .).
3. H là không gian Banach với chuẩn x =

(x, x), ∀x ∈ H.
Nếu K = R hoặc C thì không gian Hilbert tương ứng là không gian
Hilbert thực hoặc phức.
Ví dụ 1.1.7. Không gian R là không gian Hilbert với
(x, y) = x.y và x =

(x, x) = |x|.
Ví dụ 1.1.8. Không gian R
n
với tích vô hướng
(x, y) =
n

i=1
x
i
.y
i
, ∀x = (x

1
; x
2
; ; x
n
) ∈ R
n
, ∀y = (y
1
; y
2
; ; y
n
) ∈ R
n
Chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng:
x =

(x, x) =

n

i=1
|x
i
|
2
R
n
với tích vô hướng trên là một không gian Hilbert.

12
1.2. Toán tử tuyến tính
1.2.1. Toán tử tuyến tính trong không gian định chuẩn
Toán tử tuyến tính liên tục, bị chặn
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn trên
trường K. Một ánh xạ A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu
thoả mãn:
a) A(x
1
+ x
2
) = A(x
1
) + A(x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X.
b) A(αx) = αA(x), ∀x ∈ X, ∀α ∈ K.
Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với
x trong toán tử A. Dễ thấy hai điều kiện a) và b) tương đương với
A(α
1
x
1
+ α
2
x

2
+ + α
n
x
n
) = α
1
A(x
1
) + α
2
A(x
2
) + + α
n
A(x
n
),
∀x
1
, x
2
, x
n
∈ X, ∀α
1
, α
2
, , α
n

∈ K
Nếu X = Y thì ta cũng nói A là một toán tử trong X.
Ví dụ 1.2.1. Cho X = R
k
, Y = R
m
, A(ξ
1
; ξ
2
; ; ξ
k
) = (η
1
; η
2
; ; η
m
),
Với
η
i
=
k

j=1
a
ij
ξ
j

; (i = 1, 2, m), (1.3)
Trong đó a
ij
là những hằng số. Ma trận







a
11
a
12
a
1k
a
21
a
22
a
2k

a
m1
a
m2
a
mk








Gọi là ma trận của toán tử A.
Dễ thấy rằng (1.3) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính
từ R
k
vào R
m
.
Thật vậy, cho A là một toán tử tuyến tính bất kỳ từ R
k
vào R
m
.
Gọi {e
1
; e
2
; ; e
k
} và {f
1
; f
2
; ; f

m
} là các cơ sở của R
k
và R
m
sao cho
13
với mọi x = {ξ
1
; ξ
2
; ; ξ
k
} ∈ R
k
và y = {η
1
; η
2
; ; η
m
} ∈ R
m
x =
k

j=1
ξ
j
e

j
, y =
m

i=1
η
i
f
i
(chẳng hạn lấy e
1
= (1; 0; ; 0), e
2
= (0; 1; 0; ; 0),. . . , e
k
= (0; 0; ; 1), và
các f
1
, f
2
, , f
m
cũng tương tự). Vì A là tuyến tính nên Ax =
k

j=1
ξ
j
(Ae
j

).
Vậy đặt Ax = {η
1
; η
2
; ; η
m
}, Ae
j
= (a
1j
; a
2j
; ; a
mj
) ta có (1.3).
Ví dụ 1.2.2. X = Y = C
[a;b]
, Ax(t) =
b

a
K(t, s)x(s)ds
Trong đó K(t, s) là một hàm số liên tục của t và s trong hình vuông
a ≤ t, s ≤ b.
Toán tử này gọi là một toán tử tích phân với hạch là K(t, s).
Định nghĩa 1.2.2. Một toán tử A : X → Y gọi là liên tục nếu
x
n
→ x

0
(n → ∞) luôn kéo theo Ax
n
→ Ax
0
(n → ∞).
Một toán tử tuyến tính từ R
k
vào R
m
bao giờ cũng liên tục.
Thật vậy, như trên đã thấy một toán tử như thế có dạng (1.3).
Nếu x
n
= (ξ
1
(n)
; ξ
2
(n)
; ; ξ
k
(n)
) → x
0
= (ξ
1
(0)
; ξ
2

(0)
; ; ξ
k
(0)
) thì do
sự hội tụ trong R
k
là hội tụ theo toạ độ, ta có ξ
j
(n)
→ ξ
j
(0)
(j = 1, 2, , k).
Do đó
η
(n)
i
=
k

j=1
a
ij
ξ
j
(n)
→
k


j=1
a
ij
ξ
j
(0)
= η
(0)
j
Tức là Ax
n
→ Ax
0
(n → ∞).
Nhưng trong thực tế không gian định chuẩn bất kỳ thì toán tử
tuyến tính không nhất thiết liên tục. Ở đây điều kiện liên tục tương
đương với tính bị chặn định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.2.3. Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (hay giới
nội) nếu tồn tại hằng số M > 0 để cho:
(∀x ∈ X) Ax ≤ M x (1.4)
14
Số M nhỏ nhất thoả mãn hệ thức (1.4) gọi là chuẩn của toán tử A,
ký hiệu A.
Khi đó A = inf {M > 0 : Ax ≤ M x, ∀x ∈ X}.
Định lý 1.2.1. Một toán tử A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị
chặn.
Định lý 1.2.2. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y . Nếu toán tử A bị chặn thì
A = sup
x≤1

Ax hay A = sup
x=1
Ax
Định lý 1.2.3. Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X
lên không gian định chuẩn Y có toán tử ngược A
−1
liên tục khi và chỉ
khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho:
Ax ≥ α x(∀x ∈ X)
Khi đó


A
−1


≤
1
α
.
Nguyên lý đồ thị đóng Banach
Định nghĩa 1.2.4. Cho hai không gian định chuẩn X, Y và ánh xạ A
từ không gian X vào không gian Y . Ta gọi đồ thị của toán tử A, ký hiệu
G (A), là tập:
G(A) = {(x, Ax) : x ∈ X ⊂ X ×Y
Nếu đồ thị G (A) của toán tử A là tập đóng trong không gian định
chuẩn X × Y thì toán tử A gọi là toán tử đóng.
(trong đó X × Y là tích descartes của hai không gian tuyến tính định
chuẩn X, Y với hai chuẩn 
1

, 
2
.
Khi đó (z ∈ X ×Y, x ∈ X, y ∈ Y ) , z = x
1
+ y
2
).
15
Định lý 1.2.4. Cho toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian Banach X
vào không gian Banach Y . Toán tử A liên tục khi và chỉ khi A là toán
tử đóng.
Định nghĩa 1.2.5. Cho họ (A
t
)
t∈T
gồm các toán tử tuyến tính A
t
ánh
xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T
là tập chỉ số có lực lượng nào đấy. Họ (A
t
)
t∈T
gọi là bị chặn từng điểm
nếu với mỗi x ∈ X tập (A
t
)
t∈T
bị chặn. Họ (A

t
)
t∈T
gọi là bị chặn đều
nếu tập (A
t
)
t∈T
bị chặn.
Định lý 1.2.5. Nếu họ (A
t
)
t∈T
các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ
không gian Banach X vào không gian định chuẩn Y bị chặn từng điểm
thì họ đó bị chặn đều.
1.2.2. Toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert
• Dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục
Định lý 1.2.6. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian
Hilbert H đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:
f (x) = (x, a) ; x ∈ H (1.5)
trong đó phần tử a ∈ H được xác định duy nhất bởi phiếm hàm f và
f = a (1.6)
Định lý 1.2.7. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian
Lp[a; b](p > 1) đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng
f (x) =
b

a
x (t) y (t) dt, x (t) ∈ L

p
[a; b] (1.7)
• Toán tử liên hợp
16
Định nghĩa 1.2.6. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không
gian Hilbert X vào không gian Y . Toán tử B ánh xạ không gian Y vào
không gian X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu
(Ax, y) = (x, By) , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y (1.8)
Toán tử liên hợp B thường được ký hiệu là A
∗
Định lý 1.2.8. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Khi đó tồn tại toán tử A
∗
liên hợp
với toán tử A ánh xạ không gian Y vào không gian X.
Định nghĩa 1.2.7. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian
Hilbert H vào chính nó gọi là tự liên hợp nếu
(Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H (1.9)
Toán tử tự liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng.
Định lý 1.2.9. Toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert
vào chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax, x) là số
thực đối với mọi x ∈ H.
• Sự hội tụ yếu
Định nghĩa 1.2.8. Cho không gian Hilbert H. Dãy điểm {x
n
} ⊂ H gọi
là hội tụ yếu tới điểm x ∈ H, ký hiệu x
n
 x, nếu với mọi điểm y ∈ H
lim

n→∞
(x
n
, y) = (x, y).
Nhận xét 1.2. Nếu dãy điểm {x
n
} ⊂ H hội tụ tới điểm x ∈ H theo chuẩn
trên H (còn gọi là hội tụ mạnh), nghĩa là
lim
n→∞
x
n
− x = 0
thì dãy điểm (x
n
) hội tụ yếu tới điểm x ∈ H.
17
1.3. Phương trình vi phân tuyến tính
1.3.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Định nghĩa 1.3.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một là phương
trình có dạng:
y

+ p(x).y = q(x) (1.10)
trong đó p(x), q(x) là những hàm số liên tục cho trước.
Nếu q (x) ≡ 0 thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến
tính cấp một thuần nhất.
Nếu q (x) = 0 thì (1.10) được gọi là phương trình vi phân tuyến
tính cấp một không thuần nhất.
Cách giải:

Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân hai vế của (1.10) với thừa số e

p(x)dx
Ta được:
y

.e

p(x)dx
+ p(x).e

p(x)dx
.y = q(x)e

p(x)dx
(*)
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là
đạo hàm của tích số y.e

p(x)dx
. Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:

y.e

p(x)dx


= q(x)e


p(x)dx
Lấy tích phân hai vế ta được:
y.e

p(x)dx
=

q(x)e

p(x)dx
dx + C
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) có dạng:
y = e
−

p(x)dx


q(x)e

p(x)dx
dx + C

Lưu ý: Hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
18
Ví dụ 1.3.1. Giải phương trình:
y

+ 2x.y = 4x
Nhân hai vế của phương trình với thừa số e


2xdx
= e
x
2
Ta được: y

e
x
2
+ 2xye
x
2
= 4xe
x
2
Hay:
d
dx

ye
x
2

= 4x.e
x
2
Lấy tích phân hai vế ta được:
ye
x

2
= 4

xe
x
2
dx + C = 2e
x
2
+ C
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là:
y = 2 + C.e
−x
2
.
Cách 2: Phương pháp Bernoulli (pp tìm nghiệm dưới dạng tích)
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng
tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới
dạng tích:
y = u(x).v(x)
Ta có: y

= u

v + v

u
Thế vào phương trình ta có:
(u


.v + v

.u) + p(x).(u.v) = q(x)
Hay: (u

+ p(x).u)v + v

.u = q(x) (*)
Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u

, v

nên không
thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình (*), ta cần
chọn u, v sao cho triệt tiêu đi một hàm chưa biết.
19
Muốn vậy ta chọn u (x) sao cho: u

+ p (x) u = 0 (**)
Ta dễ dàng tìm được hàm u (x) thoả mãn (**) vì (**) chính là
phương trình tách biến. Khi đó:
du
u
= −p(x)dx ⇒ u(x) = C.e
−

p(x)dx
Chọn C = 1 ta có: u(x) = e
−


p(x)dx
Như vậy ta tìm được hàm u (x) nên từ (*) ta sẽ có:
v

(x) =
p(x)
u(x)
= q(x).e

p(x)dx
⇒ v =

q(x).e

p(x)dx
dx + C
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) là:
y = e
−

p(x)dx


q(x).e

p(x)dx
dx + C

.
Cách 3: Phương pháp Larrange (pp hằng số biến thiên)

Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng y = u(x).v(x) với
u (x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến
tính thuần nhất cấp một.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp một
ta tìm được: u(x) = Ce
−

p(x)dx
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) lại là:
y = e
−

p(x)dx
.v(x) chỉ sai khác so với u (x) ở chỗ thế hằng số C bằng
hàm cần tìm v (x).
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần
nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v (x) sẽ giải được bài
toán.
Vậy:
Bước 1: Giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp một liên kết với
phương trình (1.10):
y

+ p(x).y = 0