Phương pháp tựa tuyến tính hoá và ứng dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————————————–
NGUYỄN TRƯỜNG LƯU
PHƯƠNG PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA
VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI XẤP XỈ BÀI
TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI, 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
——————– * ———————
NGUYỄN TRƯỜNG LƯU
PHƯƠNG PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA
VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI XẤP XỈ
BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƯỜNG CẤP HAI
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Khuất Văn Ninh
Hà Nội, 2012
1
Lời cảm ơn
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Khuất
Văn Ninh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá
trình làm luận văn.
Cũng qua luận văn này, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô
giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội
2, gia đình, bạn bè và các bạn học viên lớp K14 Toán giải tích đợt 1,

những người đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
và làm luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Trường Lưu
2
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là do tôi tự làm dưới sự hướng dẫn
của PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả
nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với
các đề tài khác. Các thông tin trích dẫn, các tài liệu tham khảo trong
luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Luận văn chưa được công bố trên
bất kì tạp chí, phương tiện thông tin nào.
Hà Nội, tháng 7 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Trường Lưu
Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến . . . . . . . . . 9
1.1.1 Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Định nghĩa vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Phương trình và hệ phương trình vi phân tuyến tính . 11
1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . 11
1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . 12
1.3 Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm . . . . . . . . 13
1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn . . 13
1.3.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian
định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Đạo hàm Fréchet trong không gian định chuẩn . . . . . 15
1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Tổng quan về phương pháp tựa tuyến tính hóa 20
2.1 Phương pháp Newton - Raphson . . . . . . . . . . . . 20
3
4
2.1.1 Phương pháp Newton - Raphson đối với không
gian một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.2 Phương pháp Newton- Raphson đối với không
gian đa chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Dạng tổng quát của phương pháp . . . . . . . 27
2.2.2 Một số định lý của phương pháp Newton - Kan-
torovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải xấp
xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân thường
cấp hai 38
3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2 Bài toán biên đối với phương trình vi phân tuyến tính
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Xấp xỉ ma trận vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Hàm Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Tính chất lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.7 Tựa tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Sự tồn tại và bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.10 Sự hội tụ của thuật toán Picard . . . . . . . . . . . . . 52
3.11 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5

3.12 Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải xấp
xỉ bài toán biên đối với phương trình vi phân phi tuyến
cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.13 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.14 Phép tính biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.15 Tựa tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, trong toán học cũng như trong một số ngành
khoa học liên quan, đặc biệt là vật lý, ta gặp nhiều bài toán dẫn đến
yêu cầu giải phương trình phi tuyến. Giải quyết vấn đề này khá khó
khăn do tính chất phi tuyến của nó. Bên cạnh đó, ta cũng thấy rằng
việc giải các phương trình tuyến tính là thuận lợi hơn và được nghiên
cứu nhiều hơn. Vì vậy, việc đưa các bài toán phi tuyến về các bài toán
tuyến tính được nhiều nhà khoa học quan tâm. Đã có những công
trình nghiên cứu về vấn đề này mà kết quả của nó được ứng dụng
rộng rãi trong toán học và nhiều nghành khoa học khác. Có thể kể
đến một số nhà khoa học nổi tiếng trong lĩnh vực này như Newton,
Raphson, Kantorovich, Richard Bellman
Để thuận tiện cho việc giải quyết những bài toán mà việc xử lý
trực tiếp gặp nhiều khó khăn, hạn chế, đặc biệt là các bài toán quy
về việc giải phương trình phi tuyến, tôi lựa chọn đề tài "PHƯƠNG
PHÁP TỰA TUYẾN TÍNH HÓA VÀ ỨNG DỤNG VÀO VIỆC GIẢI
XẤP XỈ BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
THƯỜNG CẤP HAI".
2. Mục đích nghiên cứu
+ Nghiên cứu các bài toán phi tuyến.
7
+ Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa giải bài toán phi tuyến.

+ Ứng dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào một trong các bài
toán phi tuyến thường gặp: Bài toán biên đối với phương trình
vi phân thường cấp hai.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Giải một lớp các bài toán phi tuyến bằng cách quy về bài toán
tuyến tính và cụ thể hóa qua việc giải xấp xỉ bài toán biên đối
với phương trình vi phân thường cấp hai.
+ Áp dụng vào giải xấp xỉ bài toán biên đối với phương trình vi
phân thường cấp hai.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải xấp
xỉ bài toán phi tuyến.
+ Phạm vi nghiên cứu: Bài toán biên đối với phương trình vi phân
thường cấp hai.
5. Phương pháp nghiên cứu
+ Phương pháp tựa tuyến tính hóa giải bài toán biên phi tuyến.
+ Sử dụng tính xấp xỉ nghiệm của bài toán tuyến tính so với bài
toán phi tuyến tương ứng.
8
6. Dự kiến đóng góp mới
+ Áp dụng phương pháp tựa tuyến tính hóa vào giải bài toán biên
đối với phương trình vi phân thường cấp hai.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Đạo hàm và vi phân của hàm một biến
1.1.1 Định nghĩa đạo hàm
Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trong khoảng (a; b) và x
0
là
một điểm tùy ý trong khoảng đó. Ta lập tỉ số:

f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
∆x
, x
0
+ ∆x ∈ (a; b) (1.1)
Nếu tỉ số đó có giới hạn (hữu hạn) khi ∆x → 0 thì ta nói rằng hàm
số y = f (x) có đạo hàm tại x = x
0
và viết:
f

(x
0
) = lim
∆x→0
f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
∆x
= lim
∆x→0
∆y
∆x
(1.2)

Trong đó ∆y = f (x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
Hàm số f

được gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x = x
0
. Nó
còn được kí hiệu:
f

(x
0
) = [f (x)]

x=x
0
9
10
1.1.2 Định nghĩa vi phân
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
:
y

= f

(x

0
) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Khi đó
∆y
∆x
− y

=
f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
∆x
− f

(x
0
) = a
là một vô cùng bé khi ∆x → 0. Do đó đại lượng:
[f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)] − f

(x

0
).∆x = a.∆x
là một vô cùng bé bậc cao hơn so với ∆x(khi ∆x → 0), nghĩa là có
thể viết:
∆y = f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
) = f

(x
0
).∆x + o(∆x) (1.3)
Số hạng f

(x
0
).∆x trong tổng trên được gọi là vi phân của hàm số
y = f(x) tại điểm x
0
và được kí hiệu là dy, nghĩa là:
dy = f

(x
0
).∆x
Ý nghĩa của công thức (1.3):
i) Tính gần đúng giá trị f (x
0
+ ∆x) khi biết f(x

0
), f

(x
0
) và ∆x
ii) Xét công thức (1.3):
∆y = f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
) = f

(x
0
).∆x + o(∆x)
Với ∆x đủ nhỏ, ta có thể xấp xỉ như sau:
f(x
0
+ ∆x) −f(x
0
)
∼
=
f

(x
0
).∆x
hay là:

f(x
0
+ ∆x)
∼
=
f(x
0
) + f

(x
0
).∆x
11
1.2 Phương trình và hệ phương trình vi phân tuyến
tính
1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng:
y

+ p(x).y = q(x) (1.4)
Ta giả thiết p(x), q(x) liên tục trên khoảng (a; b). Khi đó trong miền:
G =





a < x < b
−∞ < y < +∞
Nghiệm của bài toán Cô-si đối với phương trình (1.4) tồn tại duy

nhất.
Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.4), trước hết ta xét
phương trình:
y

+ p(x).y = 0 (1.5)
được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với phương
trình (1.4). Ta viết lại (1.5) dưới dạng:
dy + p(x)ydx = 0 (1.6)
Giả sử y = 0, chia cả hai vế của (1.6) cho y, ta được:
dy
y
+ p(x)dx = 0 (1.7)
Tích phân phương trình (1.7), ta được:
y = c.e
−

p(x)dx
, (c = 0) (1.8)
12
Ta thấy y = 0 cũng là nghiệm của (1.5). Nghiệm này có thể nhận
được từ (1.8) khi c = 0.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) có dạng:
y = c.e
−

p(x)dx
, c ∈ R (1.9)
Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất, ta
áp dụng phương pháp biến thiên hằng số, cụ thể như sau: trong (1.9)

ta coi c là hàm số của x : c = c(x) và tìm cách chọn c(x) sao cho biểu
thức:
y = c(x).e
−

p(x)dx
, c ∈ R (1.10)
thỏa mãn phương trình (1.4). Thay (1.10) vào (1.4) ta có:
c

(x).e
−

p(x)dx
− c(x)p(x)e
−

p(x)dx
+ p(x)c(x)e
−

p(x)dx
= q(x) (1.11)
Từ đó suy ra:
c(x) =

(q(x)e
−

p(x)dx

)dx + c (1.12)
Thay c(x) từ (1.12) vào (1.10) ta được nghiệm tổng quát dạng (1.9)
của phương trình tuyến tính không thuần nhất.
1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Định nghĩa 1.2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một có
dạng tổng quát:





















dy
1
dx

= a
11
(x)y
1
+ a
12
(x)y
2
+ ··· + a
1n
(x)y
n
+ f
1
(x)
dy
2
dx
= a
21
(x)y
1
+ a
22
(x)y
2
+ ··· + a
2n
(x)y
n

+ f
2
(x)
.
.
.
dy
n
dx
= a
n1
(x)y
1
+ a
n2
(x)y
2
+ ··· + a
nn
(x)y
n
+ f
n
(x)
(1.13)
13
Nếu kí hiệu F (x) =









f
1
(x)
f
2
(x)
.
.
.
f
n
(x)








, với a
ij
(x), (i, j = 1, 2, , n) liên
tục trên khoảng (a; b) thì hệ (1.14) có thể viết dưới dạng véc tơ:
dY

dx
= p(x)Y + F (x), với p(x) = (a
ij
(x))
i,j=1,n
(1.14)
hoặc dưới dạng toán tử:
L(Y ) = F (x), với L(Y ) =
dY
dx
− p(x)Y
Khi đó, với mỗi x
0
∈ (a; b), (y
0
1
, y
0
2
, , y
0
n
) ∈ R
n
, tồn tại duy nhất
nghiệm:
Y (x) = (y
1
(x), y
2

(x), , y
n
(x))
của hệ (1.14), xác định trên khoảng (a; b) và thỏa mãn điều kiện ban
đầu:
y
1
(x
0
) = y
0
1
, y
2
(x
0
) = y
0
2
, , y
n
(x
0
) = y
0
n
1.3 Một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm
1.3.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.3. Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc

P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R kí hiệu là  ◦ ,
thỏa mãn các tiên đề:
14
i)  x ≥ 0, ∀x ∈ X
 x = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không của X là θ)
ii)  αx = |α|.  x , ∀x ∈ X, ∀α ∈ P
iii)  x + y ≤ x  +  y , ∀x, y ∈ X
Số  x  được gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian
định chuẩn là X.
Định nghĩa 1.4. Dãy điểm (x
n
) của không gian định chuẩn X gọi là
hội tụ tới điểm x ∈ X, nếu lim
n→∞
 x
n
−x = 0, kí hiệu: lim
m,n→∞
x
n
= x,
hay x
n
→ x(n → ∞)
Định nghĩa 1.5. Dãy điểm (x
n
) trong không gian định chuẩn X gọi
là dãy cơ bản nếu: lim
m,n→∞
 x

m
− x
n
= 0
Định nghĩa 1.6. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.3.2 Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định
chuẩn
Định nghĩa 1.7. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
P (P = R hoặc P = C). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y
gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn các điều kiện:
i) A(x + x

) = Ax + Ax

, ∀x, x

∈ X
ii) Aαx = αAx, ∀x ∈ X, ∀α ∈ P
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính.
15
Định nghĩa 1.8. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Toán tử
tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu
tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho:
 Ax ≤ c.  x , ∀x ∈ X
Định nghĩa 1.9. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian
định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Hằng số c ≥ 0 nhỏ nhất
thỏa mãn :
 Ax ≤ c.  x , ∀x ∈ X
được gọi là chuẩn của toán tử A, kí hiệu là  A  .

1.4 Đạo hàm Fréchet trong không gian định chuẩn
1.4.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.10. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, x
0
∈
X, h ∈ X và ánh xạ f : X → Y.
Nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục A : X → Y sao cho:
f(x
0
+ h) −f(x
0
) = Ah + α(h)
trong đó:
lim
h→0
 α(h) 
 h 
= 0
thì ta nói ánh xạ f khả vi mạnh (hay khả vi Fréchet) tại điểm
x
0
, Ah được gọi là vi phân của f tại x
0
, kí hiệu là df(x
0
, h)).
Ánh xạ f

(x
0

) : X → Y sao cho h → df(x
0
, h) được gọi là đạo hàm
16
của ánh xạ f tại x
0
.
Ta có: df (x
0
, h) = f

(x
0
)h
1.4.2 Tính chất
i) d(f + g) = df + dg
ii) d(λf) = λdf, ∀λ ∈ R
iii) Đạo hàm của hàm hợp
Giả sử f : X → Y, g : Y → Z, F = g ◦ f : X → Z, x
0
∈ X, y
0
=
f(x
0
) ∈ Y
Nếu f khả vi Fréchet tại x
0
, g khả vi Fréchet tại y
0

thì F khả vi
Fréchet tại x
0
và :
dF (x
0
, h) = g

(y
0
).f

(x
0
)h = g

(y
0
).df(x
0
, h)
F

(x
0
) = g

(y
0
).f


(x
0
)
Định lý 1.1. Một toán tử được định nghĩa trên một tập con mở của
một không gian Banach là khả vi Fréchet tại một điểm thì nó liên tục
tại điểm đó.
Chứng minh. Cho A là một tập mở trong không gian Banach X, toán
tử f : A → Y . Lấy x ∈ A và ε > 0 thỏa mãn x + h ∈ A,  h < ε thì
 f (x + h) −f(x) = Ah + φ(x, h) → 0 khi  h → 0. Suy ra f liên
tục tại x.
Định lý 1.2. (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet). Đạo hàm Fréchet
của một toán tử (nếu có) là duy nhất.
17
Chứng minh. Giả sử A, B là hai toán tử tuyến tính liên tục, cùng là
đạo hàm của toán tử f : X → Y tại x, nghĩa là với mọi h ∈ X, ta có:
f(x + h) −f(x) = A(x)(h) + φ
A
(x
0
, h)
f(x + h) −f(x) = B(x)(h) + φ
B
(x
0
, h)
suy ra:
A(h) − B(h)
 h 
=

φ
A
(x
0
, h) − φ
B
(x
0
, h)
 h 
→ 0 khi  h → 0
Nhưng với mọi k ∈ X, mọi ε > 0 ta có:
A(k) − B(k)
 k 
=
A(εk) − B(εk)
 εk 
khi ε → 0 thì εk → 0 nên vế phải phương trình này dần tới 0, suy ra
A(k) = B(k), ∀k ∈ X hay A ≡ B.
Định lý 1.3. Cho X, Y là những không gian Banach thực. Nếu g :
X → Y khả vi Fréchet tại x ∈ X và f : Y → Z khả vi Fréchet tại
y = g(x) ∈ Y thì φ = f ◦ g khả vi Fréchet tại x và:
φ

(x) = f

[g(x)].g

(x)
Chứng minh. ∀x, h ∈ X ta có:

φ(x + h) −φ(x) = f[g(x + h)] −f[g(x)]
= f[g(x + h) − g(x) + g(x)] − f[g(x)]
= f(d + y) − f(y), trong đó d = g(x + h) − g(x)
18
Do đó:  φ(x + h) −φ(x) − f

(y)d = o( d ) trong biểu diễn của:
 d − g

(x).h = o( h ).
Suy ra:
 φ(x + h) − φ(x) −f

(y)g

(x)h = o( h ) + o( d )
Khi đó g liên tục tại x. Theo định lý 1.4 ta có  d = o( h ), suy
ra:
φ

(x)h = f

[g(x)].g

(x)h
1.4.3 Một số ví dụ
Ví dụ 1.1. Nếu f : R → R thì đạo hàm, vi phân Fréchet trùng với
đạo hàm và vi phân theo nghĩa thông thường.
Ví dụ 1.2. Nếu f : R
n

→ R, x
0
= (x
0
1
, x
0
2
, , x
0
n
), h = (h
1
, h
2
, , h
n
) ∈
R
n
thì vi phân Fréchet của f tại x
0
là:
df(x
0
, h) =
n

i=1
∂f(x

0
)
∂x
i
h
i
=

∂f
∂x
1
(x
0
),
∂f
∂x
2
(x
0
), ,
∂f
∂x
n
(x
0
)










h
1
h
2
.
.
.
h
n








.
Ví dụ 1.3. Nếu f : R
n
→ R
n
, x
0
= (x

0
1
, x
0
2
, , x
0
n
), h = (h
1
, h
2
, , h
n
) ∈
19
R
n
, f(x) = (f
1
(x), f
2
(x), , f
n
(x)) thì vi phân Fréchet của f tại x
0
là:
df(x
0
, h) =











∂f
1
∂x
1
(x
0
)
∂f
1
∂x
2
(x
0
) . . .
∂f
1
∂x
n
(x
0

)
∂f
2
∂x
1
(x
0
)
∂f
2
∂x
2
(x
0
) . . .
∂f
2
∂x
n
(x
0
)
.
.
.
.
.
. . . .
.
.

.
∂f
n
∂x
1
(x
0
)
∂f
n
∂x
2
(x
0
) . . .
∂f
n
∂x
n
(x
0
)



















h
1
h
2
.
.
.
h
n








= A(x
0
)[h]

Chương 2
Tổng quan về phương pháp tựa
tuyến tính hóa
2.1 Phương pháp Newton - Raphson
2.1.1 Phương pháp Newton - Raphson đối với không gian
một chiều
Ta bắt đầu với bài toán tìm một dãy xấp xỉ nghiệm của phương trình
vô hướng:
f(x) = 0 (2.1)
Ta giả sử f(x) đơn điệu giảm và lồi nghiêm ngặt, nghĩa là f

(x) > 0.
Giả sử nghiệm phương trình là r thì nghiệm r là đơn, f

(r) = 0. Lấy
x
0
là xấp xỉ ban đầu của nghiệm r, với x
0
< r, (f(x
0
) > 0) và giả sử
xấp xỉ f(x) bởi một hàm tuyến tính của x được xác định bởi giá trị,
độ lệch và đạo hàm của hàm số f(x) tại x = x
0
:
f(x)
∼
=
f(x

0
) + (x −x
0
)f

(x
0
) (2.2)
20
21
Xấp xỉ tiếp theo thu được bởi việc giải phương trình tuyến tính
biến x:
f(x
0
) + (x −x
0
)f

(x
0
) = 0 (2.3)
Phép xấp xỉ thứ hai:
x
1
= x
0
−
f(x
0
)

f

(x
0
)
(2.4)
Quá trình này được lặp lại đối với x
1
, dẫn đến giá trị x
2
, v.v Công
thức truy toán tổng quát là:
x
n+1
= x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
(2.5)
với:
x
0
< x

1
< x
2
< ··· < r (2.6)
Điều này suy ra từ các bất đẳng thức: f(x
n
) > 0, f

(x
n
) > 0.
Ta khẳng định
|x
n+1
− r| ≤ k|x
n
− r|
2
(2.7)
trong đó k không phụ thuộc vào n, với giả thiết hợp lí của f

(x).
Để thấy được điều này, ta viết:
x
n+1
− r = x
n
−
f(x
n

)
f

(x
n
)
− r
= x
n
−
f(x
n
)
f

(x
n
)
−

r −
f(r)
f

(r)

= ϕ(x
n
) − ϕ(r), (2.8)
trong đó ϕ(x) = x −

f(x)
f

(x)
. Sử dụng ba số hạng đầu tiên của khai triển
Taylor với phần dư còn lại, ta được:
x
n+1
− r = (x
n
− r)ϕ

(r) +
(x
n
− r)
2
2
.ϕ

(θ) (2.9)
22
trong đó x
0
≤ x
n
≤ θ ≤ r. Từ đó:
ϕ

(x) =

f(x).f

(x)
[f

(x)]
2
(2.10)
Ta thấy ϕ

(r) = 0. Do đó:
|x
n+1
− r| ≤ k.|x
n
− r|
2
(2.11)
với k = max
x
0
≤θ≤r
|ϕ

(θ)|
2
, phụ thuộc vào f

(x).
Tiếp theo, ta có:

x
n+1
− x
n
= ϕ(x
n
) − ϕ(x
n−1
)
= (x
n
− x
n−1
).ϕ

(x
n−1
) +
(x
n
− x
n−1
)
2
2
.ϕ

(θ) (2.12)
trong đó x
n+1

≤ θ ≤ x
n
, dẫn đến:
x
n+1
−x
n
= (x
n
−x
n−1
)
f(x
n−1
)f

(x
n−1
)
[f

(x
n−1
)]
2
+
(x
n
− x
n−1

)
2
2
ϕ

(θ) (2.13)
Từ công thức (2.5) ta có:
f(x
n−1
)
f

(x
n−1
)
= x
n
−x
n−1
. Thay vào (2.13) ta
được:
x
n+1
− x
n
= (x
n
− x
n−1
)

2
.

f

(x
n−1
)
f

(x
n−1
)
+
ϕ

(θ)
2

(2.14)
Do đó:
|x
n+1
− x
n
| ≤ k
1
.|x
n
− x

n−1
|
2
(2.15)
trong đó:
k
1
= max
x
0
≤θ≤r

f

(θ)
f

(θ)
+
ϕ

(θ)
2

(2.16)
Quan hệ trong (2.15) cũng được gọi là "hội tụ bình phương".
23
2.1.2 Phương pháp Newton- Raphson đối với không gian đa
chiều
2.1.2.1 Dạng tổng quát của phương pháp

Cho hệ phương trình phi tuyến :





















f
1
(x
1
, x
2
, , x
n

) = 0
f
2
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0
.
.
.
f
n
(x
1
, x
2
, , x
n
) = 0
(2.17)
Hệ này có thể viết dưới dạng:
F (x) = 0 (2.18)
nếu coi x = (x
1
, x
2
, , x

n
) và F (x) = (f
1
(x), f
2
(x), , f
n
(x)). Ta xét
ma trận Jacobian của các hàm f
i
(x), (i = 1, n), được giả thiết là hàm
khả vi liên tục:
J(x) =










∂f
1
(x)
∂x
1
∂f
1

(x)
∂x
2
···
∂f
1
(x)
∂x
n
∂f
2
(x)
∂x
1
∂f
2
(x)
∂x
2
···
∂f
2
(x)
∂x
n
··· ··· ··· ···
∂f
n
(x)
∂x

1
∂f
n
(x)
∂x
2
···
∂f
n
(x)
∂x
n










(2.19)
Giả sử cho trước xấp xỉ đầu tiên x
(0)
, thay vì giải hệ phương trình
(2.17) ta giải hệ phương trình sau:
F (x
(0)
) + J(x

(0)
)(x − x
(0)
) = 0 (2.20)
Nếu det J(x
(0)
) = 0 thì (2.20) có nghiệm duy nhất, ta kí hiệu là x
1
.
Để thuận lợi, ta giải (2.20) đối với ẩn ∆x
(0)
= x − x
(0)
, sau đó tính