Tính đóng và tính đầy đủ trong một số không gian hàm

1
LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới ban giám hiệu trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 và trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang cùng toàn thể
các thầy cô, cán bộ công nhân viên đang công tác và giảng dạy tại trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 và trường Cao đẳng Nghề Bắc Giang đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn
tốt nghiệp.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Khải – người thầy đã
hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp
đỡ để tôi an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn.










Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Học viên

Thân Thị Thanh

2
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn trực tiếp của T.S Nguyễn Văn Khải.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.












Hà Nội, tháng 6 năm 2012
Học viên


Thân Thị Thanh

3
Mục lục

4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong giải tích toán học và trong toán học tính toán, nhiều trường hợp ta
không thể tính đúng được phân tử
x
trong không gian
X
(thường thì
X
là
không gian véc tơ vô hạn chiều có trang bị chuẩn hoặc là tích vô hướng).
Khi đó người ta sẽ tìm cách tính gần đúng
x
và một trong những cách đó
được mô tả như sau:
Bước 1: Chọn một hệ véc tơ
 
,
i
x i

trong
X
.
Bước 2: Khai triển hình thức
x

theo hệ
 
,
i
x i

dưới dạng

x
0
i i
i
x





(1)
Bước 3: Lấy
0
N

đủ lớn và đặt

x
0
0
N
i i

i
x




(2)
Ta coi
x
ở (2) là gần đúng của
x X
và
0
i i
i N
x



là sai số của
x
so với
x
.
Nếu hệ véc tơ
 
,
i
x i


chọn ở trên “đủ tốt” thì sai số nêu trên đủ nhỏ
khi
0
N
đủ lớn.
Để chính xác các khái niệm nêu trên, tôi đã chọn nghiên cứu và làm rõ các
khái niệm về tính đóng và đầy đủ (các véc tơ) và mối quan hệ của chúng trong
không gian
X
.
2. Mục đích nghiên cứu
Làm rõ khái niệm về tính đóng, tính đầy đủ (hai khái niệm nền tảng trong
tính toán của giải tích) và sự liên hệ giữa hai khái niệm này.
Luận văn cũng nghiên cứu tính đóng, tính đầy đủ một số hệ véc tơ đặc biệt
trong
 
2
,L a b
hoặc
 
0,1
C
.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu


5
Nhiệm vụ chính: Nghiên cứu khái niệm tính đóng, tính đầy đủ của một hệ
véc tơ trong không gian tuyến tính định chuẩn, không gian tiền Hilbert.
Nghiên cứu mối liên hệ giữa các khái niệm này. Nghiên cứu một số trường

hợp cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là hai khái niệm: Tính đóng, tính đầy đủ trong
những không gian giải tích hàm trừu tượng.
Phạm vi nghiên cứu: Các không gian tuyến tính định chuẩn, không gian
tiền Hilbert và các trường hợp cụ thể
 
2
,L a b
,
 
0,1
C
.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dịch và đọc tài liệu. Phân tích tổng hợp và trình bày lại các khái niệm
đóng và đầy đủ theo phương pháp giải tích hàm.
6. Dự kiến đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống vấn đề tính đóng và tính đầy đủ.
Trình bày mối quan hệ về tính đóng và tính đầy đủ.

6
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị

Trước khi nghiên cứu về tính đóng và tính đầy đủ, chúng ta cùng nhắc lại
một số kiến thức cơ sở.

1.1. Không gian tuyến tính định chuẩn
Ta nhắc lại một số khái niệm về không gian metric
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d:
X
x
X  
được gọi
là một khoảng cách (hay metric) nếu các tính chất sau đây được thỏa mãn:
1,
 
,
x y X 

( , )d x y
0, ( , ) 0
d x y x y   
;
2, (
,x y X 

)
( , ) ( , )d x y d y x
;
3, (
, ,x y z X 
)
( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d z y 
(bất đẳng thức tam giác).
Tập X với hàm khoảng cách d xác định như trên được gọi là không gian
metric.
Định nghĩa 1.1.2. Cho
X
là không gian metric với hàm khoảng cách
( , )d x y
. Nếu
0
,x X
tập U(
0,
x r
) bao gồm tất cả các phần tử
x X
thỏa mãn
 
0
,
d x x r
được gọi là một hình cầu mở tâm
0
x

bán kính
r
. Một phần tử
x S
(S là tập mở) được gọi là phần tử trong của S nếu có một
0r 
sao cho
U(
,x r
)
S
.
Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm
 
n
x
trong không gian metric X được gọi là hội
tụ tới phần tử
x X
nếu

lim ( , ) 0
n
n
d x x


.
Khi đó ta nói
x

là giới hạn của dãy
 
n
x
và viết
lim
n
n
x x


.


7
Nhận xét: Một dãy hội tụ thì không thể hội tụ tới hai phần tử khác nhau.
Thật vậy, giả sử
lim ( , ) 0
n
n
d x x


và
lim ( , ) 0
n
n
d y x



, theo bất đẳng thức
tam giác ta có
0 ( , ) ( , ) ( , )
n n
d x y d x x d y x  
với
n  
ta được
( , ) 0d x y 

do đó
x
y
.
Định nghĩa 1.1.4. Một dãy các phần tử
 
n
x
của
X
được gọi là dãy Cauchy
(cơ bản) nếu
0, ( ) :
N
 
  

( , )
m n
d x x




, ( )m n N

 
hay
,
lim ( , ) 0
m n
m n
d x x


.
Không gian
X
là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều có giới hạn trong
X
.
Định nghĩa 1.1.5. Cho
X
là một tập khác rỗng,
X
được gọi là không gian
tuyến tính trên trường
K
(thực hay phức) nếu trên
X
tồn tại hai ánh xạ sau

đây mà chúng được gọi lần lượt là phép cộng và phép nhân với một lượng vô
hướng
( , ) ( )
X X X
x y x y
 


và
( , ) .
K X X
x x
 
 


sao cho:

1, , ;
2, ( ) ( ) , , ;
3, 0 : 0 ;
4, ( ) : ( ) 0;
5, ( ). ( . ) , , ;
6, ( ). . . , , ;
7, .( ) . . , , ;
8, 1. .
x y y x x y X
x y z x y z x y z X
X x x x X
x X x X x x

x x K x X
x x x K x X
x y x y K x y X
x x x X
    
     
   
    
      
     
       
    
      
      
  

Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian tuyến tính
X
trên trường K (K=

,
K=

). Xét ánh xạ từ
X
vào tập số thực

, ký hiệu là
.
thỏa mãn các tiên

đề sau đây:
1, (
x X 
)
0, 0x x x

   
;
2, (
x X 
) (
K

 
),
x x
 

;


8
3, (
,x y X 
)
x y x y  
.
Khi đó ánh xạ
.
được gọi là chuẩn xác định trên X. Không gian tuyến tính

X
cùng với chuẩn xác định như trên được gọi là không gian tuyến tính định
chuẩn. Nếu
K  
thì X được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn thực.
Với
,x y
thuộc không gian tuyến tính định chuẩn X đặt
( , )
d x y x y 
.
Ta thấy rằng hàm d: XxX
 
là hàm khoảng cách và ta nói đó là metric
cảm sinh bởi chuẩn.
Định nghĩa 1.1.7. Nếu trong không gian tuyến tính định chuẩn
X
mọi dãy
Cauchy có giới hạn thuộc
X
thì
X
là đầy đủ. Không gian tuyến tính định
chuẩn đầy đủ được gọi là không gian Banach.
Ví dụ 1.1.1: Không gian Euclide phức
n

là đầy đủ. Do đó nó là không
gian Banach.
Thật vậy, lấy

( ) ( ) ( )
1 2
( , , , ).
m m m
m n
x x x x

Nếu
 
m
x
là dãy Cauchy thì
2
( ) ( )
1
, ( ).
n
m p
i i
i
x x m p N
 

   


Do đó, với
i
bất kỳ
2

( ) ( )
, ( ).
m p
i i
x x m p N
 
   

Suy ra với mỗi
i
,
 
( )
m
i
x
là dãy Cauchy và có giới hạn
i
x
:
( )
lim 0.
m
i i
m
x x

 

Đặt

1 2
( , , , )
n
x x x x
thì:
2
2
( ) 2 '
1
( ).
n
m
m i i
i
x x x x m N
 

     


Ví dụ 1.1.2: Cho
X
là C
 
,a b
tập tất cả các hàm số xác định và liên tục
trên
 
,a b
với chuẩn Chebyshev

max ( )
a x b
f f x
 

. Không gian này là đầy đủ.
Nếu
max ( ) ( ) , ( )
m n
a x b
f x f x m n N
 
 
   
thì dãy
 
( )
m
f x
là hội tụ điểm
trên
 
,a b
. Do đó nếu hàm
 
( ) ,f x C a b
sao cho:
'
( ) ( ) , , ( )
n

f x f x a x b n N
 
    



9
thì kéo theo
n
f
hội tụ tới
f
theo chuẩn.
Ví dụ 1.1.3: Cho
X
là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn
 
,a b
với
chuẩn
2 2
( )
b
a
f f x dx


thì
X
là không đầy đủ. Thật vậy, ta có thể chỉ ra

dãy Cauchy trong
X
nhưng không hội tới phần tử thuộc
X
.
Để đơn giản ta lấy
1, 1a b  
và xét
( )
n
f x
định nghĩa bởi

1
1 1
1 1
( )
1
1 1
n
x
n
f x nx x
n n
x
n


   





  



 



và
( )f x
là hàm không liên tục
1 1 0
( )
1 0 1.
x
f x
x
   



 


Ta có
1
0

2
2 2
1
0
2
( ) ( ) ( 1 ) (1 )
3
n
n
n
f x f x nx dx nx dx
n

      
 
.
Suy ra
2
lim 0
n
n
f f

 
.
Suy ra
n
f
hội tụ theo chuẩn tới
f

và nó là dãy Cauchy. Nhưng nó không hội
tụ theo chuẩn đến một hàm liên tục
( )g x
vì
.
n n
f g f f g f    

Nếu
0
n
g f
 
thì
0
f g
 
. Suy ra
0
2
1
(1 ( )) 0
g x dx

 

và
1
2
0

( ( ) 1) 0
g x dx
 

. Do đó
( ) 1 1 0
( ) 1 0 1.
g x x
g x x
    


  


Vậy
( )g x
không liên tục.


10
Định nghĩa 1.1.8. Tập
Y
 
được gọi là không gian định chuẩn con của
không gian định chuẩn
X
nếu
Y
là không gian tuyến tính con của không

gian
X
và chuẩn xác định trên
Y
là chuẩn cảm sinh từ chuẩn trên
X
.
Định nghĩa 1.1.9. Cho hai không gian tuyến tính
X
và
Y
trên trường K (K
là trường số thực

hoặc trường số phức

). Ánh xạ
A
từ không gian
X

vào không gian
Y
được gọi là tuyến tính nếu
A
thỏa mãn các điều kiện:
1, (
,x y X 
)
( )A x y Ax Ay  

;
2,
( )x X 

( )k K 

( )A kx kAx
.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi
Y
=K thì
A
được
gọi là phiếm hàm tuyến tính, nếu
K  
thì A còn được gọi là phiếm hàm
tuyến tính thực.
Định nghĩa 1.1.10. Cho
X
là không gian tuyến tính và
Y
là không gian con
tuyến tính. Cho
L
một là phiếm hàm tuyến tính xác định trên
Y
. Một hàm
tuyến tính
L
1

được gọi là một mở rộng của
L
trên
X
nếu
L
1
( )x
là xác định
với
x X 
và
L
1
( )x 
L
(
x
) với
x 
Y
.
Ví dụ 1.1.4: Cho
X
là không gian của các hàm xác định trên
 
,a b
. Cho
Y
là không gian con của

X
gồm tập các hàm xác định và liên tục trên
 
,a b
.
Rõ ràng
 
,Y C a b
là không gian con thực sự của
X
. Với
1
a x b 
, xét
phiếm hàm
:L Y  
xác định bởi
L
(
f
)=
1
lim
x x

f
(
x
). Xét phiếm hàm
1

:L X
 
xác định bởi
 
1 1
( )
L g g x g X  
. Rõ ràng
,L

1
L
là hai phiếm
hàm tuyến tính, thử trực tiếp ta có
1
L
là một mở rộng của
L
trên
X
.
Định lý 1.1.1. Cho
X
là một không gian tuyến tính định chuẩn thực và
Y

là một không gian con tuyến tính (
Y

X

). Cho
( )p x
là một phiếm hàm giá
trị thực xác định trên các phần tử của
X
và thỏa mãn các tính chất dưới đây:
1,
( ) 0 ;p x x X  

2,
( ) ( ) ( ) , ;p x y p x p y x y X    
(1.1.1)
3,
( ) ( ) , 0.
p x p x x X
  
   



11
Cho
L
là một phiếm hàm tuyến tính thực xác định trên
Y
và thỏa mãn

( ) ( )
L x p x x Y  
. (1.1.2)

Khi đó
L
có thể mở rộng tới một phiếm hàm tuyến tính
1
L
xác định trên
X

và thỏa mãn

1
( ) ( )
L x p x x X  
. (1.1.3)

Chứng minh
1. Chọn
0
x X
nhưng
0
x Y
. Lấy
,x y Y
. Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ).L y L x L y x p y x    

Vì
0 0
( ) ( ) ( )p y x p y x p x x     

nên
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
p x x L x p y x L y x y Y        

y
cố định trong
Y
và
x
thay đổi trong
Y
ta có
0
( ) ( )p x x L x   
bị chặn
trên. Tương tự cho
y
thay đổi,
x
cố định ta có
0
( ) ( )p y x L y 
bị chặn
dưới.
Nếu ta đặt
 
 
1 0
2 0

sup ( ) ( )
inf ( ) ( )
x Y
y Y
r p x x L x
r p y x L y


    
  

thì ta có
1 2
r r
    
. Chọn một số
r
sao cho
1 2
r r r 
. Khi đó

0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
p x x L x r p y x L y x y Y         
. (1.1.4)
2. Không gian con tuyến tính định chuẩn
0
Y
bao gồm tất cả các phần tử

y
có dạng
0
,y x x

 

x Y
. Mỗi phần tử trong
0
Y
có một cách biểu diễn
duy nhất ở dạng trên. Giả sử
0
,y Y

1 1 0 2 2 0
.y x x x x
 
   
Khi đó
1 2 1 2 0
( )x x x
 
  
. Nếu
1 2
 

thì

0
x
sẽ là một tổ hợp tuyến tính của
1 2
,x x

và do đó
0
x Y
. Điều này trái với điều kiện của
0
x
. Do đó
1 2
 

và từ đó ta
có
1 2
x x
.
Xác định
1
L
trên
0
Y
với

12

1
( ) ( )
L y L x r

 
.
Nếu
,y Y

0


thì
1
( ) ( ),L y L y

y Y
. Từ
L
là tuyến tính kéo theo
1
L
là
tuyến tính.
Ta sẽ chứng minh

1 0
( ) ( )

L y p y y Y  
. (1.1.5)

Biểu diễn
y
dưới dạng
1 0
y x x

 
. Chúng ta xét trường hợp
0


.
Từ (1.1.4) ta có
1 1 1 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
x x x x
p x L r p x L
   

      
.
Nếu
0


thì

1
0 1 0
1
( ) ( )
x
p x p x x

 
  
(vì
p
tuyến tính) và bất đẳng thức
thứ hai trở thành
1 0 1
1 1
( ) ( )r p x x L x

 
  


1 1 1 0
( ) ( ) ( ) ( )L y L x r p x x p y
 
    
.
Nếu
0



thì
1
0 1 0
1
( ) ( )
x
p x p x x

 
    
và bất đắng thức thứ nhất được
viết lại thành
1 0 1
( ) ( )
p x x L x r
 
  


1 1 1 0
( ) ( ) ( ) ( )L y L x r p x x p y
 
     
.
Vậy ta có
1 0
( ) ( )
L y p y y Y  
.
3, Cuối cùng, xét tập hợp


là tất cả các phiếm hàm tuyến tính được mở
rộng từ L trên một không gian con tuyến tính chứa Y và nó thỏa mãn điều
kiện (1.1.5) . Trang bị cho tập này thứ tự

như sau:
' ''
L L
nghĩa là
''
L
là mở
rộng của
'
L
. Với sắp thứ tự này mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn
0

của

đều có cận trên đúng. Cận trên đúng này là phiếm hàm xác định trên tập
hợp các miền xác định của các phiếm hàm thành phần
'
L
và trùng với từng
'
L

trên miền xác định của nó. Theo bổ đề Zorn
’

s tồn tại một mở rộng cực đại
1
L

trong toàn bộ

. Phiếm hàm tuyến tính
1
L
này là xác định trên toàn bộ không


13
gian
X
, vì nếu không, ta có thể mở rộng
1
L
bằng cách thực hiện bước 2. Vậy
1
L
là hàm cần tìm.
Một phiếm hàm
( )p x
thỏa mãn (1.1.1) được gọi là một phiếm hàm lồi.
Định nghĩa 1.1.11. Cho
X
là không gian tuyến tính định chuẩn và L là
phiếm hàm tuyến tính trên
X

. Nếu tồn tại số
1
sup ( )
x
A L L x

   

thì L là phiếm hàm tuyến tính bị chặn và số
A L
được gọi là chuẩn của
phiếm hàm tuyến tính L.
Ta chú ý các tính chất sau của chuẩn
1,
0
( )
sup ;
x
L x
L
x



2,
( ) .L x L x

Chú ý: Có thể thấy với phiếm hàm tuyến tính thì tính bị chặn và liên tục là
tương đương.
Định lý 1.1.2. (Hahn-Banach). Cho

X
là không gian tuyến tính định chuẩn
thực và
Y
là không gian con. Cho L là phiềm hàm tuyến tính xác định trên
Y

và có chuẩn
Y
L
. Khi đó có một phiếm hàm tuyến tính
1
L
là mở rộng của L
trên
X
và
1
X Y
L L
.
Chứng minh
Đặt
( )
Y
p x L x
. Phiếm hàm
( )p x
thỏa mãn (1.1.1). Thật vậy

( ) 0
p x x X  
.
( ) ( ) ( ) , .
Y Y
p x y L x L y p x p y x y X      

( ) ( ) , 0
Y Y Y
p kx L kx k L x k L x kp x x X k
      
.
Theo định lý trước chúng ta có thể mở rộng L tới
1
L
sao cho:
1
( )
Y
L x L x x X  
.
Vì


14
1 1
( ) ( )
Y Y
L x L x L x L x     

nên
1
( )
Y
L x L x
.
Tức là
1
( )
sup
Y
x X
L x
L
x


.
Do đó
1
Y
L L
.
Hơn nữa
1 1
1 1
( ) ( ) ( )
sup sup sup
Y X Y X
x Y x Y x X

L x L x L x
L L L L
x x x
  
     
.
Vậy
1
Y X
L L
.
Định lý mở rộng này cũng có giá trị trong không gian tuyến tính định
chuẩn phức. Để thiết lập nó, chúng ta sử dụng một phương pháp đơn giản là
kết hợp với mỗi không gian tuyến tính định chuẩn phức một không gian tuyến
tính định chuẩn thực duy nhất. Bằng cách đó, việc chứng minh định lý trở về
trường hợp thực.
Định nghĩa 1.1.12. Cho
X
là một không gian tuyến tính định chuẩn phức.
Không gian
R
X
bao gồm các phần của
X
. Phép cộng xác định trong
R
X
là
phép cộng trong
X

. Nếu a là số thực và
R
x X
thì
ax
là phần tử của
X
với
( 0)a i x ax 
,
x
trong
R
X
bằng
x
trong
X
. Nếu L là phiếm hàm
tuyến tính phức và bị chặn xác định trên
X
thì với
R
L
chúng ta sẽ có phiếm
hàm giá trị thực xác định trên
R
X
bởi biểu thức

( )
R
L x 
Re
( )L x
. (1.1.6)

x
bên trái là phần tử của
R
X
,
x
bên vế phải là phần tử của
X
.
Bổ đề 1.1.1. Nếu L là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên
X
thì
R
L
là
một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên
R
X
.


15
Chứng minh

Lấy
,
R
x y X
và a, b là số thực
( ) Re ( )
R
L ax by L ax by  


 
Re ( ) ( ) Re ( ) Re ( )aL x bL y a L x b L y   


( ) ( )
R R
aL x bL y 
.
Do đó
R
L
là tuyến tính trong
R
X
.
Hơn nữa

( ) Re ( ) ( )
R
R

X X
L x L x L x L x L x   
. (1.1.7)
Do đó
R
L
bị chặn trên
R
X
và
R
L L
.
Bổ đề 1.1.2. Nếu L là một phiếm hàm tuyến trên
X
thì

( ) ( ) ( )
R R
L x L x iL ix 
. (1.1.8)

Ngược lại nếu

là một phiếm hàm tuyến tính trên
R
X
, thì phương trình

( ) ( ) ( )L x x i ix   

(1.1.9)

xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X .
Chứng minh
Nếu
( ) Re ( ) Im ( )
L x L x i L x x X   

thì
( ) Re ( ) Im ( ) Re ( ) Im ( )
Im ( ) Re ( ) ( ).
R
L ix L ix i L ix i L x L x
L x L ix L ix
   
   


Im ( ) ( )
R
i L x iL ix  
.
Vậy
( ) ( ) ( )
R R
L x L x iL ix 
.

Ngược lại, cho
,x y X

từ (1.1.9) ta thấy rằng
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ).
L x y x y i ix iy
x y i ix i iy
L x L y
      
       
 

Hơn nữa, nếu
a
là thực,

( )L ax 
( ) ( )ax i iax  



16

( ) ( )
( ( ) ( ))
( ).
a x ia ix
a x i ix
aL x
   
   



Cuối cùng
( ) ( ) ( )L ix ix i x    


2
( ( ) ( ))i x i x
   


 
( ) ( ) ( ).i x i ix iL x    

Vậy L là tuyến tính trên X.
Định lý 1.1.3. (Bohnenblust-Sobczyk-Suchomlinoff). Cho X là không gian
tuyến tính định chuẩn phức và Y là không gian con. Cho L là một phiếm hàm
tuyến tính phức xác định trên Y và có chuẩn
Y
L
. Khi đó có một phiếm hàm
tuyến tính
1
L
là mở rộng của L trên X và thỏa mãn
1
X Y
L L
.
Chứng minh

Viết
1
( ) ( ) ( )
R
L x L x iL x x Y   
, trong đó
R
L
và
1
L
là hàm giá trị thực.
Theo bổ đề 1.1.1,
R
L
là một phiếm hàm tuyến tính giá trị thực bị chặn xác
định trên
R
Y
, (
R
Y
là không gian tyến tính định chuẩn thực liên kết với Y). Mở
rộng
R
L
trên
R
X
theo định lý 1.1.1, thu được một phiếm hàm tuyến tính thực

bị chặn
1,R
L
sao cho:
1,
( ) ( ),
R R R
L x L x x Y 
và
1,
R R
L L

.
Phiếm hàm
1
L
được xác định

1 1, 1,
( ) ( ) ( ).
R R
L x L x iL ix 
(1.1.10)
Theo bổ đề 1.1.2,
1
L
là một phiếm hàm tuyến tính xác định trên toàn bộ X .
Nó là một mở rộng của L. Lấy
x Y

khi đó theo (1.1.8) ta có

1, 1, 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
R R R R
L x L x iL ix L x iL ix L x    
.
Cuối cùng ta phải chứng minh rằng
1
L L
.
Từ
1
L
là một mở rộng của L nên
1
L L
.
Mặt khác giả sử rằng
1
( ) ,
i
L x re x X

 
. Khi đó


17

1 1 1, 1,
( ) Re ( ) ( )
i i i
R R
L x r L e x R e x L e x
  
  
   


1,R R
L x L x L x
  
.
Bất đẳng thức cuối là hiển nhiên theo (1.1.7). Do đó
1
( )
,
L x
x X L
x
  
suy
ra
1
L L
. Vậy
1
L L
.

Định lý 1.1.4. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn Y là một
không gian con. Lấy
0
,x X

0
x Y
và giả sử rằng
0
inf 0
y Y
d y x

  
. Khi
đó ta có thể tìm được một phiếm hàm tuyến tính bị chặn L trên X sao cho:

( ) 0
L x x Y  
;

0
1
( ) 1;
.
L x
L d




(1.1.11)
Chứng minh
Như trong định lý 1.1.2, cho
0
Y
là không gian con tuyến tính định chuẩn
gồm các phần tử có dạng
0
x x



x Y 
. Sự khai triển này là duy nhất.
Xây dựng
L
trên
0
Y
thỏa mãn:

( )L y


với
0
y x x

 
.

(1.1.12)
Đặc biệt với
( ) 0L x 

x Y 
và
0 0
( ) (0 1 ) 1
L x L x
  
,

0
0 0
( )
1 1
( )
L y
x x
y y x x
x x
 

 
   

  
.
Vì
0

, ( )
x x
Y x d
 
    
nên
0
0
( )
1
sup
Y
y Y
L y
L
y d

 
.
Mặt khác, ta có thể tìm được một dãy
 
n
x Y
sao cho:
0
lim
n
n
x x d


 
.
Vì
0 0
n
x x Y 
nên


18

0
0 0
( )
n n
Y
L x x L x x  
.
Vì
( ) 0, 1,2,
n
L x n 
và
0
( ) 1
L x

nên
0
0

1
n
Y
L x x 
.
Do đó
0
1 .
Y
L d
Suy ra
0
1
Y
L
d


Vậy
0
1
Y
L
d

, định lý được chứng minh.

1.2. Không gian với tích vô hướng.
Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian tuyến tính
X

trên trường K (K là trường
số thực

hoặc trường số phức

). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian
X
mọi ánh xạ từ tích đề các
X
x X vào trường K, kí hiệu (.,.), thỏa mãn tiên
đề:
1,
  
 
, , ,x y X y x x y
  
;
2,
      
, , , , ,x y z X x y z x z y z    
;
3,
     
, , ,x y X K x y x y
  
    
;
4,
  
, 0

x X x x
  
,
 
, 0
x x

nếu
x


(

là phần tử không).
Các phần tử
, ,x y z
…được gọi là các phần tử của tích vô hướng, số
 
,x y

được gọi là tích vô hướng của hai phần tử
x
và
y
, các tiên đề 1,2,3,4, được
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Từ định nghĩa ta có một số tính chất sau:

1, ( , ) ;
2, ( , ) ( , ), ( , ) ( , );

x x
kx y k x y x ky k x y

 



3, (0, ) ( ,0) 0
y x
 
;

4,
x X 
ta có
( , )
x x x

thỏa mãn tiên đề về chuẩn và gọi là
chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng.


19
Định nghĩa 1.2.2.
Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô hướng được gọi là
không gian tiền Hilbert.
Mọi không gian tiền Hilbert là định chuẩn với chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng. Nếu với chuẩn này
X
là đầy đủ thì nó được gọi là không gian Hilbert.

Ví dụ 1.2.1:

là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng
( , )
x y xy
.
Ta kiểm tra thấy nó thỏa mãn hệ tiên đề của tích vô hướng nên nó là không
gian tiền Hilbert.
Ví dụ 1.2.2: Ký hiệu
k

là không gian véc tơ thực k chiều. Với
   
,
k k
n n
x x y y     
 
ta đặt
 
1
,
k
n n
n
x y x y



.

Ta kiểm tra thấy hệ thức trên thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh
ra bởi tích vô hướng là
2
1
( , ) , ( )
k
k
n n
n
x x x x x x

   


.
Ta kiểm tra thấy với chuẩn nói trên không gian véc tơ thực
k

là một không
gian Hilbert.
Định lý 1.2.1. (Bất đẳng thức Schwarz). Với bất kỳ hai phần tử
,x y
của
không gian tiền Hilbert ta có
( , )
x y x y
.
Dấu (=) xảy ra khi và chỉ khi
x
và

y
là phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh
Nếu
0y 
thì bất đẳng thức thỏa mãn.
Giả sử
0y 
ta có:
2
0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ).x ky x ky x x k x y k y x k y y
      

Đặt
( , )
( , )
x y
k
y y
 
rồi nhân hai vế với
( , )y y
ta được


20

2
0 ( , )( , ) ( , )x x y y x y
 


( , )
x y x y
. (Bất đẳng thức Schwarz)
Nếu
x
và
y
là phụ thuộc tuyến tính thì
,y kx k
 
. Khi đó
( , ) ( , ) ( , )
x y x kx k x x k x x x kx x y
    
.
Bây giờ cho
x
và
y
là các véc tơ sao cho:
( , ) ( , )( , ) ( , )( , )x y x y x y y x x x y y  
.
Chúng ta xẽ chỉ ra rằng
( , ) ( , ) 0y y x x y y 
. Thật vậy từ biểu thức trên ta có
2
(( , ) ( , ) ,( , ) ( , ) )

( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) ( , )( , )( , ) ( , )( , )( , ) 0
y y x x y y y y x x y y
y y x x y y y x x y x y y y y x x y y x y y
 
    

điều phải chứng minh.
Định lý 1.2.2. (Quy tắc hình bình hành). Với hai phần tử
x
và
y
của một
không gian tiền hilbert ta có:
2 2 2 2
2( )x y x y x y
    
.
Chứng minh
Ta có
2
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )x y x y x y x x x y y x y y
       
và do đó
2 2 2
( , ) ( , )
x y x x y y x y
    
.
Thay
y y 

ta được
2 2 2
( , ) ( , )
x y x x y y x y
    
.
Cộng vế với vế ta thu được quy tắc hình bình hành.
Định nghĩa 1.2.3. Một hệ
 
i
i I
x

gồm các phần tử khác không trong không
gian tiền Hilbert
X
được gọi là trực giao nếu
(
,
i j
x x
)=0
i j 
.
Nếu hệ trực giao
 
i
i I
x


thỏa mãn thêm
1
i
x i I  
thì hệ được gọi là trực
chuẩn.



21
1.3. Một số vấn đề về phân loại hàm và hàm số phức.
Ở phần sau của luận văn chúng ta quan tâm đến tính đóng và tính đầy đủ
của lớp hàm giải tích. Sau đây là một số kiến thức cơ sở cần thiết:
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử
D
là tập mở trên trường K ( thực hay phức) và
:f D K
là hàm trên
D
. Hàm
f
được gọi là giải tích trên
D
nếu với
0
0:
z D r
   

0 0

0
( ) ( )
n
n
n
f z a z z z z r


    

.
Xét
 
,a b

, ánh xạ liên tục
 
: ,a b
  
xác định bởi công thức:
( ) ( ) ( )t x t iy t  
trong đó
( ), ( )x t y t
là những hàm giá trị thực trên
 
,a b

được gọi là một cung trong mặt phẳng phức. Các điểm
( ), ( )a b 
lần lượt

gọi là các điểm đầu và cuối của cung. Nếu
( ) ( )a b  
thì cung đó được gọi
là cung kín. Đường cong không có điểm tự cắt, tức là không tồn tại
1 2
, ( , )t t a b
để
1 2
( ) ( )t t  
được gọi là đường cong Jordan. Đường cong
Jordan có điểm đầu và cuối trùng nhau được gọi là chu tuyến.
Ta cũng có định nghĩa sau về đường cong Jordan:
Định nghĩa 1.3.2. Một đường cong Jordan trong mặt phẳng là ảnh đồng
phôi của một đường tròn. Nghĩa là, một điểm (
,x y
) thuộc đường tròn có thể
biểu diễn được dưới dạng tham số
( ),x f



( )y g


trong đó:
(a) f và g là hàm liên tục và tuần hoàn với chu kỳ
2

và

(b)
1 2
( ) ( ),
f f
 


1 2
( ) ( )
g g
 

kéo theo
1 2
1
( )
2
 


là số nguyên.
Cho
f
là hàm giải tích trên miền
D
và
z D
. Khi đó với mọi chu tuyến
D



sao cho
z D D

 
ta có tích phân Cauchy
1 ( )
( )
2
f t
f z dt
i t z





.


22
Nếu
f
liên tục trên
D
và biên của
D
là một chu tuyến thì với
z D 
ta

có
1 ( )
( )
2
f t
f z dt
i t z





.
Cho
( )f z
là hàm liên tục,
( )w

được gọi là mô-đun liên tục của
f
nếu
với
z t

 
thì
sup ( ) ( ) ( )
z t
f z f t w



 
 
.
Bổ đề 1.3.1. Cho
C
là một cung cầu trường được (với điểm mút là
a
và b)
có độ dài L. Cho
( )f z
là hàm liên tục và xác định trên C và có
( )w

là
mô- đun liên tục. Lấy
0 1
, , ,
n
z a z z b 
là những điểm của
C
sắp xếp theo
thứ tự dọc theo C. Giả sử
i
z z

 
với mọi z thuộc cung
1i i

z z

,
0,1, , 1i n 
. Khi đó

1
1
0
( ) ( )( ) ( )
n
i i i
i
C
f z dz f z z z w L




  


(1.3.1)
Chứng minh
 
1
1 1
1
0 0
( ) ( )( ) ( ) ( )

i
i
z
n n
i i i i
i i
C z
f z dz f z z z f z f z dz

 

 
   
 
 


1
1
0
( ) ( ) .
i
i
z
n
i
i
z
f z f z ds




 



Dọc theo
C
từ
i
z
tới
1i
z

, ta có
i
z z

 
sao cho
( ) ( ) ( )
i
f z f z w

 
.
Khi đó
1 1
1 1

0 0
( ) ( ) ( ) ( )
i i
i i
z z
n n
i
i i
z z
f z f z ds w ds w L
 
 
 
 
  
 
 
.
Tập
D  
được gọi là một miền nếu nó thỏa mãn hai điều kiện:
1,
D
là tập mở.
2,
D
là liên thông, tức là với hai điểm tùy ý
,a b D
tồn tại đường cong
D



có điểm đầu là
a
điểm cuối là
b
.


23
Giả sử
f
xác định trên miền
D  
. Khi đó

chia mặt phẳng
C
thành
hai miền, một trong hai miền đó là bị chặn ký hiệu là
D

và gọi là miền trong
giới hạn bởi

, miền còn lại viết là
D


và gọi là miền ngoài giới hạn bởi


.
Miền
D
được gọi là miền đơn liên nếu mọi chu tuyến
D


đều có
D D


.
Cho
D
là một miền đơn liên biên của nó là một đường cong Jordan .

Dãy các miền đơn liên bị chặn
n
D
được gọi là hội tụ tới
D
từ bên ngoài nếu:
(A) Mỗi
n
D
chứa
D
(bao đóng của
D

) .
(B)
n
D
chứa
1n
D

.
(C) Tập
1 2

D D
 
không chứa điểm nào nằm ngoài
D
.
Với mỗi
D
ta có thể tìm được một dãy hội tụ. Cho
0z 
ở bên trong
D
.
Ánh xạ bảo giác
n
D
lên đường tròn đơn vị
1
w


là
( )
n
z
.
D
được ánh xạ
bởi
( )z
. Các hàm ánh xạ phải thỏa mãn các tính chất sau:
' '
(0) (0) 0; (0) 0, (0) 0.
n n
       


Ánh xạ bảo giác từ
n
D
lên
D
được xác định
'
( ); (0) 0, (0) 0.
n n n
w m z m m
  

Định lý 1.3.1. Với các ký hiệu bên trên

lim ( ) ( )
lim ( )
n
n
n
n
z z
m z z


  

(1.3.2)

là đều trên
D
.
Định nghĩa 1.3.3. Cho C là một đường cong Jordan nằm trong mặt phẳng
phức.
( )W C
là không gian tuyến tính định chuẩn của các hàm giải tích trong
C và liên tục trên C . Với chuẩn được xác định

max ( )
z C
f f z


. (1.3.3)

24
Chương 2

Tính đóng và tính đầy đủ trong một số
không gian hàm

2.1. Tính đóng
Định nghĩa 2.1.1. Một hệ hữu hạn hoặc vô hạn của các phần tử
1
x
,
2
x
…trong một không gian tuyến tính định chuẩn
X
được gọi là đóng nếu
mỗi phần tử
x
X
có thể xấp xỉ tùy ý gần bằng tổ hợp tuyến tính của hữu
hạn các phần tử trong dãy
 
i
x

1,2 i 

Nghĩa là cho
x
X
và
0


, ta
tìm được các hằng số
1
, ,
n
 
sao cho:

1 1
( )
n n
x x x
  
   
(2.1.1)
Ví dụ 2.1.1: Cho
X
là C
 
,a b
với chuẩn Chebyshev
max ( )
a x b

f f x
 

. Dãy
2
1, , x x
là đóng trong
X
.
Thật vậy theo định lý Weierstrass hàm
f
bất kỳ liên tục trên
 
,a b
là giới
hạn đều của một dãy các đa thức, suy ra nó có thể được xấp xỉ tùy ý gần bằng
tổ hợp tuyến tính của hữu hạn phần tử trong dãy
2
1, , x x
. Tức là dãy
2
1, , x x

là đóng trong
 
,C a b
.
Ví dụ 2.1.2: Cho
X
là tập các hàm liên tục trên đoạn

 
,a b
với chuẩn
2
( )
b
a
f f x dx


. Dãy
2
1, , x x
là đóng trong
X
(tương tự ví dụ trên).
Ví dụ 2.1.3: Cho
X
là L
 
,a b
tập các hàm số xác định đo được theo nghĩa
Lebesgue và khả tích trên đoạn
 
,a b
với chuẩn
( )
b
a
f f x dx



. Dãy
2
1, , x x

là đóng trong
X
. Thật vậy, với
0


ta tìm được một hàm liên tục tuyệt đối
g(
x
) sao cho:


25
( ) ( ) / 2
b
a
f x g x dx

 

.
Từ g liên tục ta có thể tìm được một đa thức
p
sao cho:

( ) ( ) ,
2( )
g x p x a x b
b a

   


và vì thế
( ) ( ) / 2
b
a
g x p x dx

 

. Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
b
a
f x g x g x p x dx
 

     

.
Ví dụ 2.1.4: Cho
X
là tập các hàm giải tích trong

1z 
. Đặt
1
max ( )
z
f f z


.
Khi đó hệ
2 3
, , z z z
là không đóng trong
X
.
Thật vậy, giả sử hệ này là đóng trong
,X
cho
0


và xét hàm đồng nhất
1 ta có thể tìm được các hằng số
1 2
, , ,
n
a a a
sao cho:
2
1 2

1
max 1 ( )
n
n
z
a z a z a z


    

cho
z
0
, ta thu được 1


(mâu thuẫn).
Định lý 2.1.1. (Lauricella). Cho
X
là một không gian tuyến tính định chuẩn
và
 
n
x
là một hệ đóng. Khi đó hệ
 
n
y
là đóng trong
X

khi và chỉ khi nó là
đóng trong
 
n
x
. Điều này có nghĩa là mỗi
n
x
đều có thể xấp xỉ tùy ý gần
bằng tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các phần tử trong dãy
 
n
y
.
Chứng minh
Điều kiện cần là hiển nhiên.
Ta chứng minh điều kiện đủ.
Lấy
x X
và
0


cho trước. Từ
 
n
x
là đóng ta có thể tìm được các hằng
số
1

, ,
N
a a
sao cho
1 1

2
N N
x a x a x

   
. Ta có thể giả sử rằng các
0
i
a

(vì nếu tồn tại
i
sao cho
0
i
a

ta chỉ cần bỏ qua hệ số đó). Từ
 
n
y
là