Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số

Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
dưới sự hướng dẫn của thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình
thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong
cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn, lòng
kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đã giúp đỡ, tạo
điều kiện cho tác giả trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân,
bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả
hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, ngày 12 tháng 10 năm 2013
Tác giả
Phan Thị Ánh Vân
1
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa
những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự
trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn
trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 12 tháng 10 năm 2013
Tác giả
Phan Thị Ánh Vân

2
Mục lục
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7
1.1 Không gian Euclide R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Tập lồi, hàm lồi, ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Bài toán quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Quy hoạch toàn phương . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 Bài toán quy hoạch toàn phương có tham số . . . 24
2 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GIÁ TRỊ TỐI ƯU 25
2.1 Các bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Tính liên tục của hàm giá trị tối ưu . . . . . . . . . . . 28
2.3 Tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu. . . . . . . . . . 35
3 TÍNH KHẢ VI THEO HƯỚNG CỦA HÀM GIÁ TRỊ
TỐI ƯU 40
3.1 Các bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Điều kiện G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Tính khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu . . . . . . 50
3
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
BẢNG KÝ HIỆU
R đường thẳng thực
R đường thẳng thực suy rộng
R
n
không gian Euclide n - chiều
∅ tập rỗng

x
T
véctơ chuyển vị của véctơ x
x chuẩn của véctơ x
x, y tích vô hướng của x và y
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A
R
m×n
tập các ma trận m × n
R
n×n
S
tập các ma trận n × n đối xứng
det A định thức của ma trận vuông A
E ma trận đơn vị trong R
n×n
f

(x; v) đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng v
Sol(P ) tập nghiệm của bài toán (P )
loc(P ) tập nghiệm địa phương của bài toán (P )
v(P ) giá trị tối ưu của bài toán (P )
QP quy hoạch toàn phương
QP (Q, A, c, b) quy hoạch toàn phương xác định bởi
các ma trận Q, A và các véctơ c, b
Sol(Q, A, c, b) tập nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phương
ϕ(Q, A, c, b) hoặc ϕ(c, b) hàm giá trị tối ưu của bài toán
quy hoạch toàn phương

loc(Q, A, c, b) tập nghiệm địa phương của bài toán
quy hoạch toàn phương
lsc nửa liên tục dưới
usc nửa liên tục trên
C hoặc C(A, b) {x : Ax ≥ b}
2
R
n
tập tất cả các tập con của R
n
4
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những khía cạnh thường được quan tâm trong nghiên cứu
những bài toán tối ưu là những tính chất của hàm giá trị tối ưu. Gauvin
và Dubeau [8], Bonnans and A. Shapiro [4] đã nghiên cứu về tính khả vi
của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toán học. Jasnin [9], Minchenko
và Sakolchik [14] đã nghiên cứu đạo hàm theo hướng của hàm giá trị tối
ưu trong quy hoạch phi tuyến. Tam [17], [18] và Lee, Tam and Yen [11],
[12] đã nghiên cứu hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương.
Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn
tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng
của chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu:
“Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch
toàn phương có tham số”.
2. Mục đích nghiên cứu
Khảo sát tính liên tục, các điều kiện cần và điều kiện đủ của tính
chất nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới; điều kiện cần và đủ để hàm giá
trị tối ưu khả vi theo hướng và công thức tính đạo hàm theo hướng của
hàm giá trị tối ưu.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1. Tính liên tục và tính nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu.
2. Tính khả vi theo hướng của hàm giá trị tối ưu.
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tính liên tục và tính khả vi của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch
toàn phương có tham số.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về tính liên tục và tính khả vi của
hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch toàn phương có tham số.
6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về những tính chất của hàm giá trị tối ưu trong quy hoạch
toàn phương có tham số.
6
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Không gian Euclide R
n
Cho X là một tập tùy ý và X = ∅.
Định nghĩa 1.1.1. Một metric trong X là một ánh xạ:
d : X × X → R
thỏa mãn các điều kiện sau:
i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X.
Một tập khác trống X cùng với metric được xác định trên tập đó lập
thành một không gian metric, ký hiệu là (X, d). Số d(x, y) gọi là khoảng
cách giữa các điểm x và y.

Định nghĩa 1.1.2. Cho X là một không gian vectơ trường K ( K = R,
hoặc K = C).
Một chuẩn trong X, ký hiệu  . , là một ánh xạ từ X vào tập số thực
R thỏa mãn các tiên đề sau:
i) (∀x ∈ X)  x ≥ 0,  x = 0 ⇔ x = ∅;
ii) (∀x ∈ X)(∀α ∈ K)  αx = |α|  x ;
iii) (∀x, y ∈ X)  x + y ≤ x  +  y .
Số  x  gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x. Một không gian X cùng
với một chuẩn xác định trong không gian đó được gọi là một không gian
định chuẩn.
7
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Định lí 1.1.1. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Đặt:
d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X.
Khi đó, d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.3. Tập hợp
R
n
:= {x = (x
1
, . . . , x
n
)
T
: x
1
, . . . , x
n
∈ R}
cùng với hai phép toán:

(x
1
, . . . , x
n
)
T
+ (y
1
, . . . , y
n
)
T
:= (x
1
+ y
1
, . . . , x
n
+ y
n
)
T
λ(x
1
, . . . , x
n
)
T
:= (λx
1

, . . . , λx
n
)
T
, λ ∈ R
lập thành một không gian vectơ thực n - chiều, gọi là không gian Euclide
R
n
.
Trong R
n
tích vô hướng chính tắc ., ,  được định nghĩa như sau:
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
.
Với tích vô hướng chính tắc ta có:
(i) x, y = y, x.
(ii) x + x

, y = x, y + x

, y.
(iii) λx, y = λx, y.
(iv) x, x ≥ 0 và x, x = 0 ↔ x = 0.

Khi đó, ta có chuẩn Euclide của vectơ x:
 x :=

x, x =




n

i=1
|x
i
|
2
, ∀x ∈ R
n
thỏa mãn các tính chất:
(i)  x ≥ 0 ∀x ∈ R
n
,  x = 0 ↔ x = 0.
(ii)  λx = |λ|  x  ∀x, y ∈ R
n
;
(iii) |x, y| ≤ x  .  y  ∀x, y ∈ R
n
, trong đó dấu "=" xảy ra khi và
chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
(iv) | x  −  y | ≤ x + y ≤ x  +  y  ∀x, y ∈ R
n

.
Định nghĩa 1.1.4. Cho x
0
∈ R
n
, ε > 0, ta gọi tập
B(x
0
, ε) := {x ∈ R
n
: x − x
0
< ε}
là hình cầu mở trong R
n
có tâm tại x
0
, bán kính ε.
8
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Định nghĩa 1.1.5. Tập U ⊂ R
n
được gọi là tập mở nếu với mọi x
0
∈ U,
tồn tại ε > 0 sao cho B(x
0
, ε) ⊂ U.
Tập F ⊂ R
n

được gọi là tập đóng nếu U := R
n
\F là mở.
Tập V ⊂ R
n
được gọi là lân cận của x ∈ R
n
nếu tồn tại ε > 0 sao cho
B(x, ε) ⊂ V .
Định nghĩa 1.1.6. Cho x ∈ R
n
, A là tập con của R
n
.
(i) Nếu có lân cận V (x) của x mà V (x) ⊂ A thì x gọi là điểm trong của
A.
(ii) Nếu có lân cận V (x) của x mà V (x) ⊂ R
n
\A thì x gọi là điểm ngoài
của A.
(iii) Nếu mọi lân cận V (x) của x đều chứa điểm trong và điểm ngoài
của A khác x, thì x gọi là điểm biên của A.
Định nghĩa 1.1.7. Cho A là tập con bất kỳ trong R
n
. Ký hiệu {

i
(A)}
i∈I
là họ tất cả các tập mở trong A, {F

j
(A)}
j∈J
là họ tất cả các tập đóng
chứa A. Ta có U =

i∈I
U
i
(A) là tập mở, F =

j∈J
F
j
(A) là một tập
đóng.
Tập U gọi là phần trong của A, ký hiệu là intA. Tập F gọi là bao đóng
của A, ký hiệu là A. Như vậy intA là tập mở lớn nhất chứa A, còn A là
tập đóng nhỏ nhất chứa A.
Ta có:
(i) x ∈ intA khi và chỉ khi x là điểm trong của A.
(ii) Tập A là tập mở khi và chỉ khi A = intA.
(iii) Tập A là đóng khi và chỉ khi A = A.
Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm {x
k
} trong R
n
được gọi là hội tụ đến
x
0

∈ R
n
khi k → ∞ nếu dãy số  x
k
− x
0
 hội tụ tới 0 ∈ R khi k → ∞.
Khi đó ta gọi x
0
là giới hạn của {x
k
} và ký hiệu x
k
→ x
0
.
lim
k→∞
x
k
= x
0
↔ lim
k→∞
 x
k
− x
0
= 0
Sự hội tụ trong R

n
là sự hội tụ theo tọa độ.
Định lí 1.1.2. Tập A ⊂ R
n
là đóng khi và chỉ khi với mọi dãy {x
k
} ⊂ A
mà x
k
hội tụ đến x
0
thì x
0
∈ A.
Định nghĩa 1.1.9. Tập A trong R
n
được gọi là bị chặn nếu tồn tại
m > 0 sao cho  x ≤ m với mọi x ∈ A.
9
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Dễ thấy tập khác rỗng A ⊂ R
n
là tập bị chặn nếu sup{ x : x ∈
A} < ∞.
Tập ∅, tập gồm hữu hạn điểm, hình cầu B(x, ε) là những tập bị chặn.
Định nghĩa 1.1.10. Tập A trong R
n
được gọi là tập compact nếu mọi
dãy {x
k

} trong A đều có dãy con {x
k
m
} hội tụ đến một điểm x
∗
∈ A.
Định lí 1.1.3. Tập A trong R
n
compact khi và chỉ khi A đóng và bị
chặn.
1.2 Hàm nhiều biến
Định nghĩa 1.2.1. Cho X ⊂ R
n
. Ta gọi ánh xạ f : X → R là một hàm
n biến xác định trên X.
Nếu n ≥ 2 thì hàm n biến được gọi là hàm nhiều biến.
Ví dụ 1.2.1.
X = {x = (x
1
, x
2
)
T
∈ R
2
: x
1
+x
2
−5 = 0}, f (x) = 2

x
1
+x
2
là hàm 2 biến
Ví dụ 1.2.2.
X = R
n
, f(x) = x
2
1
+ . . . + x
2
n
là hàm n biến
Định nghĩa 1.2.2. Cho f : R
n
→ R Ta goi f là một hàm tuyến tính
nếu:
f(αx + βy) = αf(x) + βf(y), ∀x, y ∈ R
n
, ∀α, β ∈ R.
Mọi hàm tuyến tính f : R
n
→ R đều có dạng f (x) = c, x, với c ∈ R
n
cố định, phụ thuộc vào f .
Định nghĩa 1.2.3. Ta gọi g : R
n
→ R là một hàm afin nếu tồn tại hàm

tuyến tính f và hằng số α sao cho:
g(x) = f (x) + α, ∀x ∈ R
n
.
Như vậy, hàm afin luôn có dạng g(x) = c, x +α. Cho f : X ⊂ R
n
→
R.
Định nghĩa 1.2.4. Hàm f được gọi là hàm bị chặn dưới (hay bị chặn
trên) trên X nếu tồn tại α sao cho f(x) ≥ α (hay f (x) ≤ α) với mọi
x ∈ X.
Hàm f gọi là bị chặn trên X nếu nó vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên
trên X. Như vậy, f bị chặn trên X nếu tồn tại α > 0 sao cho |f(x)| ≤ α
với mọi x ∈ X.
10
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Định nghĩa 1.2.5. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x
0
∈ X
nếu:
lim
x∈X
inf
x→x
0
f(x) ≥ f (x
0
).
Điều kiện này tương đương là: với mọi ε > 0, tồn tại một lân cận mở U
của x

0
sao cho:
f(x
0
) − ε ≤ f(x), ∀x ∈ U ∩ X.
Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu f nửa liên tục dưới tại
mọi điểm x
0
∈ X.
Định nghĩa 1.2.6. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x
0
nếu:
lim
x∈X
sup
x→x
0
f(x) ≤ f (x
0
).
Tức là, với mọi ε > 0, tồn tại một lân cận mở U của x
0
sao cho:
f(x
0
) ≤ f (x
0
+ ε), ∀x ∈ U ∩ X.
Hàm f gọi là nửa liên tục trên X nếu nó nửa liên tục trên tại mọi x
0

∈ X.
Định nghĩa 1.2.7. Hàm f được gọi là liên tục tại x
0
nếu nó vừa nửa
liên tục trên, vừa nửa liên tục dưới tại x
0
, tức là: với mọi ε > 0, tồn tại
một lân cận mở U của x
0
sao cho |f (x) − f(x
0
)| ≤ ε, ∀x ∈ U ∩ X. Hàm
f liên tục trên X khi và chỉ khi f liên tục tại mọi x
0
∈ X.
Ví dụ 1.2.3. Cho X = {x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
: x
1
− x
2
≥ 1}.
Khi đó, f(x) = x
2
1
+ x

2
+ 1 liên tục tại mọi x ∈ X.
Ví dụ 1.2.4. Cho X = {x ∈ R : x ≥ 0},
f(x) =

x
2
nếu x > 0
1 nếu x = 0.
là hàm nửa liên tục trên tại mọi điểm trên X, không nửa liên tục dưới
tại x = 0.
Định lí 1.2.1. (Định lý Weierstrass) Cho X ⊂ R
n
là tập compact, khác
rỗng và f : X → R. Khi đó:
(i) Nếu f nửa liên tục dưới trên X thì f đạt cực tiểu trên X, tức là tồn
tại x
∗
∈ X sao cho f(x
∗
) ≤ f (x) với mọi x ∈ X.
(ii) Nếu f nửa liên tục trên trên X thi f đạt cực đại trên X, tức là tồn
tại x
∗
∈ X sao cho f(x
∗
) ≥ f (x) với mọi x ∈ X.
11
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Chứng minh. (i) Giả sử α := inf{f(x) : x ∈ X}.

Theo định nghĩa của α, tồn tại dãy {x
k
} ∈ X sao cho:
lim
k→∞
f(x
k
) = α.
Do X compact nên x
k
có dãy con hội tụ. Giả sử x
k
→ x
0
∈ X.
Vì f nửa liên tục dưới nên f(x
0
) ≤ α.
Mặt khác, do x
0
∈ X nên f(x
0
) ≥ α.
Vậy f(x
0
) = α = inf f(x) : x ∈ X.
(ii) Chứng minh tương tự phần (i).
1.3 Tập lồi, hàm lồi, ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.3.1. Tập X ⊂ R
n

được gọi là lồi nếu:
λx + (1 − λ)y ∈ X, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1].
Ví dụ 1.3.1. Tập ∅ được xem là tập lồi.
Các tam giác và hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi.
Hình cầu đơn vị trong R
n
là tập lồi.
Định nghĩa 1.3.2. Một tập con C ⊂ R
n
được gọi là một tập đa diện lồi
nếu C có thể biểu diễn được bởi giao của một số hữu hạn các nửa không
gian con đóng của R
n
, tức là tồn tại các vectơ khác không a
1
, . . . , a
m
∈ R
n
và các số thực b
1
, . . . , b
m
sao cho C là tập nghiệm của hệ bất phương trình
tuyến tính:
a
i
, x ≥ b
i
với i = 1, . . . , m.

hay C = {x ∈ R
n
: a
i
, x ≥ b
i
với i = 1, . . . , m}
Các bất phương trình đó thường được gọi là các ràng buộc xác định
C.
Ký hiệu A là ma trận cấp m × n có các cột phần tử là a
1
, . . . , a
m
∈
R
n
, b = (b
1
, . . . , b
m
)
T
∈ R
m
. Khi đó, C = {x ∈ R
n
: Ax ≥ b}.
Định nghĩa 1.3.3. Cho X ⊂ R
n
là một tập lồi và f : X → R là một

hàm số.
Hàm f được gọi là một hàm lồi trên X nếu với mọi x, y ∈ X và với mọi
t ∈ [0, 1] ta có:
f(tx + (1 − t)y) ≤ tf(x) + (1 − t)f(y).
12
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Hàm f còn được gọi là một hàm lõm trên X nếu với mọi x, y ∈ X và với
mọi t ∈ [0, 1] ta có:
f(tx + (1 − t)y) ≥ tf(x) + (1 − t)f(y).
Ví dụ 1.3.2. Hàm f : R → R, f (x) = 2x
2
+ 3x − 4 là một hàm lồi trên
R.
Hàm f : R → R, f (x) = x
3
không là hàm lồi, cũng không là hàm lõm
trên R.
Định nghĩa 1.3.4. Cho X, Y là hai tập bất kỳ.
Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ từ X vào tập toàn bộ các tập con của Y (được
ký hiệu là 2
Y
).
Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y.
Như vậy, với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y. Không ngoại trừ
khả năng là với một số phần tử x ∈ X nào đó ta có F (x) là tập rỗng.
Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y , thì ta
nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y
Ví dụ 1.3.3. Xét phương trình đa thức:
x
n

+ a
1
x
n−1
+ . . . + a
n−1
x + a
n
= 0
ở đó, n ∈ N và a
i
∈ R, (i = 1, . . . , n) là các hệ số thực.
Quy tắc cho tương ứng mỗi vectơ a = (a
1
, . . . , a
n
) ∈ R
n
với tập nghiệm,
ký hiệu bởi F (a) của bài toán trên cho ta một ánh xạ đa trị:
F : R
n
⇒ C.
từ không gian Euclide R
n
vào tập số phức C.
Định nghĩa 1.3.5. Miền hữu hiệu của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được
xác định bởi:
domF = {x ∈ X : F (x) = ∅}
Định nghĩa 1.3.6. Ta nói F là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với

mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V , tồn tại lân cận mở U của x
sao cho:
F (x) ⊂ V ∀x ∈ U.
Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là
nửa liên tục trên ở trong X.
13
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Định nghĩa 1.3.7. Ta nói F là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu với
mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V = ∅ tồn tại một lân cận mở U
của x sao cho:
F (x) ∩ V = ∅ ∀x ∈ U ∩ domF.
Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF , thì F được gọi là
nửa liên tục dưới ở trong X.
Định nghĩa 1.3.8. F được gọi là nửa liên tục tại x ∈ domF nếu F
đồng thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. Nếu F là liên
tục tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa liên tục ở trên X.
Ví dụ 1.3.4. Ánh xạ đa trị
F (x) =



{0} nếu x < 0
[−1, 1] nếu x = 0
{1} nếu x > 0
từ R vào R là nửa liên tục trên ở trong R, nhưng không là nửa liên tục
dưới tại x = 0. Như vậy, F không phải ánh xạ liên tục ở trên R.
Ví dụ 1.3.5. Ánh xạ đa trị
F (x) =

[0, 1] nếu x = 0

{0} nếu x = 0
là nửa liên tục dưới ở trong R, nhưng không là nửa liên tục trên tại
x = 0. Như vậy, F không phải ánh xạ liên tục ở trên R.
Ví dụ 1.3.6. Ánh xạ đa trị
F (x) =

[0, 1] nếu x ∈ Q
[−1, 0] nếu x ∈ I
không là nửa liên tục dưới ở trong R, cũng không là nửa liên tục trên và
do đó không phải ánh xạ liên tục ở trên R.
1.4 Bài toán quy hoạch toàn phương
1.4.1 Bài toán tối ưu
(P ) : min{f (x) : x ∈ C}.
14
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Với f : R
n
→ R là hàm cho trước và C ⊂ R
n
là tập con cho trước của
R
n
.
Ký hiệu R = [−∞; +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} là đường thẳng thực.
R
n
là không gian Euclide n chiều với chuẩn:
 x = (
n


i=1
x
2
i
)
1
2
.
với mỗi x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
và tích vô hướng:
x, y =
n

i=1
x
i
y
i
= x
T
y với ∀x = (x
1
, , x
n
), y = (y

1
, , y
n
) ∈ R
n
.
Trong đó x
T
là ma trận chuyển vị của x.
Định nghĩa 1.4.1. Bài toán (P ) được gọi là bài toán tối ưu hay bài toán
quy hoạch toán học. Hàm f gọi là hàm mục tiêu và C là tập ràng buộc
(hay miền chấp nhận được của (P)). Các phần tử của C được gọi là các
véctơ chấp nhận được của (P ) hay các phương án.
C = R
n
thì ta nói rằng (P ) là một bài toán không có ràng buộc.
Các trường hợp còn lại P là bài toán có ràng buộc.
Định nghĩa 1.4.2. Một véctơ chấp nhận được x ∈ C được gọi là một
nghiệm, hoặc nghiệm tối ưu toàn cục, hoặc phương án tối ưu toàn cục,
hoặc cực tiểu toàn cục của (P) nếu f (x) = +∞ và f(x) ≥ f(x) với mọi
x ∈ C.
Ta nói rằng x ∈ C là một nghiệm tối ưu địa phương hoặc nghiệm
cực tiểu địa phương của (P ) nếu f(x) = +∞ và tồn tại một lân cận U
của x sao cho:
f(x) ≥ f (x), ∀x ∈ C ∩ U (1.1)
Tập tất cả các nghiệm tối ưu của (P) được kí hiệu Sol(P ). Tập tất cả
các nghiệm địa phương của (P ) kí hiệu là loc(P )
Ta nói hai bài toán tối ưu (bài toán quy hoạch toán học) là tương
đương nếu tập nghiệm của hai bài toán là trùng nhau.
15

Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Định nghĩa 1.4.3. Giá trị tối ưu v(P ) của (P) được định nghĩa bởi tập
v(P ) = inf{f (x) : x ∈ C} (1.2)
Nếu C = ∅ thì ta quy ước v(P ) = +∞.
Chú ý 1.4.1. Rõ ràng rằng Sol(P ) ⊂ loc(P ), do đó:
Sol(P ) = {x ∈ C : f(x) = +∞, f(x) = v(P )}
Chú ý 1.4.2. Có thể xảy ra trường hợp loc(P )\Sol(P ) = ∅.
Ví dụ, nếu ta chọn C = R, f(x) = x
3
+ 3x
2
− 4 thì x = 0 là một
nghiệm địa phương của (P) nhưng không phải nghiệm toàn cục.
Chú ý 1.4.3. Thay vì bài toán (P) giá trị nhỏ nhất ta có thể gặp bài
toán giá trị lớn nhất sau:
(P
1
) : Maxf(x) với x ∈ C.
Một điểm x ∈ C được gọi là nghiệm tối ưu toàn cục hay cực đại toàn
cục của (P
1
) nếu
f(x) = −∞ và f (x) ≤ f(x) với ∀x ∈ C
Ta nói rằng x ∈ C là một nghiệm tối ưu địa phương hay cực đại địa
phương của (P
1
) nếu f (x) = −∞ và tồn tại một lân cận U của x sao
cho:
f(x) ≤ f (x) với ∀x ∈ C ∩ U
Rõ ràng x là một nghiệm tối ưu toàn cục (tương ứng, một nghiệm

tối ưu địa phương) của (P
1
) nếu và chỉ nếu x là một nghiệm tối ưu toàn
cục (tương ứng, một nghiệm tối ưu địa phương) của bài toán giá trị nhỏ
nhất sau:
min − f(x) với x ∈ C
Do vậy, bất kỳ bài toán giá trị lớn nhất nào của dạng (P
1
) cũng có
thể đưa về bài toán dạng giá trị nhỏ nhất dạng (P).
Bài toán P còn được gọi là bài toán "min", giá trị tối ưu của bài toán
còn được kí hiệu là:
min{f(x) : x ∈ C} hoặc min
x∈C
f(x).
16
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Nếu bài toán P có nghiệm x thì
f(x) = min{f (x) : x ∈ C}.
Bài toán (P
1
) được gọi là bài toán "max", giá trị tối ưu của bài toán
(P
1
) còn được kí hiệu là:
max{f(x) : x ∈ C} hoặc max
x∈C
f(x).
Nếu bài toán (P
1

) có nghiệm
x thì
f(x) = max{f (x) : x ∈ C}
Chú ý 1.4.4. Chú ý rằng giá trị tối ưu thì luôn tồn tại, nhưng nghiệm
tối ưu thì có thể tồn tại, có thể không. Ngay cả trong trường hợp v(P) là
một số thực hữu hạn, vẫn có thể xảy ra khả năng Sol(P ) = ∅.
Chẳng hạn, nếu C = [1; +∞) ⊂ R và
f(x) =

1
|x|
, x = 0
+∞, x = 0
Ta có v(P) = 0. Sol(P ) = ∅.
Giá trị tối ưu của bài toán (P ) theo định nghĩa, là inf f(C) và ta luôn
có:
inf f (C) ≤ f (x) ∀x ∈ C và tồn tại dãy x
k
⊂ C sao cho
lim
k→∞
f(x
k
) = inf f(C).
Tương tự, giá trị tối ưu của bài toán (P ), theo định nghĩa, là sup f(C)
và ta luôn có:
sup f(C) ≥ f(x) ∀x ∈ C và tồn tại dãy {x
k
} ⊂ C
sao cho

lim
k→∞
f(x
k
) = sup f (C).
Hiển nhiên rằng, nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P ) (hay (P
1
))
đều là nghiệm tối ưu địa phương của (P ) (tương ứng, của (P
1
)). Nhưng
điều ngược lại không phải lúc nào cũng đúng.
17
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Ví dụ 1.4.1.
min{f(x) = −x
2
1
− x
2
2
+ 1 : x = (x
1
, x
2
), x
1
≥ −1, −x
1
≥ −1, x

2
≥ −1,
−x
2
≥ −1}
Sol(P ) = loc(P ) = {(1, 1), (1, −1), (−1, 1), (−1, −1)}
Ví dụ 1.4.2. Cho f
1
(x) = −x + 3, f
2
(x) = x + 2, x ∈ R.
Xác định f (x) = min{f
1
(x), f
2
(x)} và chọn C = [0, 2] ⊂ R. Với các
f và C này ta có:
Sol(P ) = {2}, loc(P ) = {0, 2}
Trong ví dụ này, f không là hàm lồi trong khi C là một tập lồi.
Ví dụ 1.4.3. Xét bài toán
min{f(x) = (x
1
− c
1
)
2
+ (x
2
− c
2

)
2
: x ∈ C} (1.3)
Với C = {x = (x
1
, x
2
) : x
1
≥ 0} ∪ {x = (x
1
, x
2
) : x
2
≥ 0} và
c = (c
1
, c
2
) = (−2, −1).
Chú ý rằng (1.3) tương đương với bài toán sau:
min{ x − c : c ∈ C}
Ta có thể chỉ ra rằng Sol(P ) = {(−2, 0)}, loc(P ) = {(−2, 0); (0, −1)}.
Tuy nhiên, nếu C là một tập lồi và f là một hàm lồi trên C thì mọi
nghiệm tối ưu địa phương của (P ) đều là nghiệm tối ưu toàn cục của
(P ). Khẳng định sau đây chứng minh điều đó.
Định lí 1.4.1. Cho C ⊂ R
n
là tập lồi, f : C → R là một hàm lồi. Khi

đó, nếu x là một nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P ):
min{f(x) : x ∈ C}
thì nó cũng là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán đó.
Chứng minh. Giả sử x là nghiệm tối ưu địa phương của (P ). Khi đó
x ∈ C và tồn tại lân cận mở V trong R
n
của x sao cho
f(x) ≤ f (x) ∀x ∈ V ∩ C.
18
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Lấy x ∈ C tùy ý. Vì C lồi nên với mọi t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có
x
t
:= tx + (1 − t)x ∈ V ∩ C.
Do f lồi trên C nên
f(x) ≤ f (x
t
) ≤ tf (x) + (1 − t)f (x),
Suy ra f (x) ≤ f(x).
Vì x ∈ C tùy ý, ta suy ra x là nghiệm tối ưu toàn cục của (P ).
1.4.2 Quy hoạch toàn phương
Định nghĩa 1.4.4. Ta nói rằng f : R
n
→ R là hàm toàn phương tuyến
tính nếu tồn tại ma trận Q ∈ R
n×n
, một véctơ c ∈ R
n
và một số thực α
sao cho:

f(x) =
1
2
x, Qx + c, x + α. (1.4)
với ∀x ∈ R
n
.
Nếu
Q =


q
11
. . . q
1n
. . . . . . . . .
q
n1
. . . q
nn


; c =


c
1
.
.
.

c
n


; x =


x
1
.
.
.
x
n


thì (1.4) có nghĩa là
f(x) =
1
2
(
n

j=1
n

i=1
q
ij
x

i
x
j
) +
n

i=1
c
i
x
i
+ α.
Từ x, Qx = x,
1
2
(Q + Q
T
)x với ∀x ∈ R
n
, biểu thức (1.4) vẫn đúng
nếu ta thay Q bởi ma trận đối xứng
1
2
(Q + Q
T
).
Do đó ta sẽ giả sử ma trận vuông trong phép biểu diễn của hàm toàn
phương tuyến tính là đối xứng. Không gian các ma trận đối xứng n × n
được ký hiệu là R
n×n

S
.
Định nghĩa 1.4.5. Bài toán (P) được gọi là bài toán quy hoạch toàn
phương tuyến tính (hoặc gọi tắt là quy hoạch toàn phương) nếu f là một
hàm toàn phương tuyến tính và C là một tập đa diện lồi.
19
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Trong (1.4), nếu Q là ma trận không thì f là một hàm afin. Do đó,
lớp các quy hoạch tuyến tính là một lớp con của lớp các quy hoạch
toàn phương. Thông thường, các quy hoạch toàn phương là bài toán
quy hoạch toán học không lồi.
Ví dụ 1.4.4. Quy hoạch toàn phương sau là không lồi:
min{f(x) : x
2
1
− x
2
2
: x = (x
1
, x
2
), 1 ≤ x
1
≤ 3; 1 ≤ x
2
≤ 3}
Rõ ràng rằng f là một hàm không lồi.
Ta có thể thử lại rằng Sol(P ) = {(1, 3)} và v(P ) = −8.
Rõ ràng nếu ta bỏ hằng số α trong phép biểu diễn (1.4) của f thì ta

không thể thay đổi được tập nghiệm của bài toán min{f(x) : x ∈ C},
với C ⊂ R
n
là một tập đa diện lồi. Do đó, thay vì (1.4) ta thường dùng
dạng rút gọn: f (x) =
1
2
x, Qx + c, x của hàm mục tiêu.
Thay thuật ngữ được dùng cho quy hoạch tuyến tính, ta gọi các dạng
sau của quy hoạch toàn phương:
min{
1
2
x, Qx + c, x : x ∈ R
n
, Ax ≥ b},
min{
1
2
x, Qx + c, x : x ∈ R
n
, Ax ≥ b, x ≥ 0},
min{
1
2
x, Qx + c, x : x ∈ R
n
, Ax ≥ b, Cx = d}
tương ứng là dạng chuẩn, dạng chính tắc và dạng tổng quát. (Nghĩa của
A, C, b và d giống như mô tả trong dạng điển hình của quy hoạch tuyến

tính). Chú ý rằng phép biểu diễn của tập hằng số của quy hoạch toàn
phương chính tắc yếu so với các tập khác của quy hoạch toàn phương
chính tắc. Định nghĩa trên của quy hoạch toàn phương chính tắc được
dùng vì các quy hoạch toàn phương của loại này có một mối quan hệ
rất chặt chẽ với các bài toán bù tuyến tính.
Định nghĩa 1.4.6. Một ma trận Q ∈ R
n×n
được gọi là xác định dương
(tương ứng xác định âm) nếu v, Qv > 0 (tương ứng v, Qv < 0) với
mọi v ∈ R
n
\{0}.
Nếu v, Qv ≥ 0( tương ứng v, Qv ≤ 0 ) với mọi v ∈ R
n
thì Q được
gọi là nửa xác định dương (tương ứng nửa xác định âm).
20
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Ví dụ 1.4.5.
Xét A =

1 1
1 1

Với mọi x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2

ta có:
x
T
Ax = (x
1
x
2
)

1 1
1 1

x
1
x
2

= (x
1
x
2
)

x
1
+ x
2
x
1
+ x

2

= x
2
1
+ x
1
x
2
+ x
2
x
1
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
≥ 0 với mọi x ∈ R
2
x
T
Ax = 0 ↔ x
1
+ x
2

= 0 ↔ x
2
= −x
1
Vậy A là nửa xác định dương.
Ví dụ 1.4.6.
Xét ma trận Q =


1 1 0
0 1 1
1 0 1


Với mọi x ∈ R
3
ta có:
x
T
Qx = (x
1
x
2
x
3
)


1 1 0
0 1 1

1 0 1




x
1
x
2
x
3


= (x
1
x
2
x
3
)


x
1
+ x
2
x
2
+ x
3

x
1
+ x
3


= x
2
1
+ x
1
x
2
+ x
2
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
1
+ x
2
3
=
1
2

[(x
1
+ x
2
)
2
+ (x
2
+ x
3
)
2
+ (x
3
+ x
1
)
2
] ≥ 0
x
T
Qx = 0 ↔ x
1
= x
2
= x
3
= 0
Vậy Q là ma trận xác định dương.
Chú ý 1.4.5. Nếu f(x) =

1
2
x, Qx + c, x + α với Q ∈ R
n×n
S
, c ∈ R
n
và α ∈ R. Nếu Q là một ma trận nửa xác định dương, thì f là một hàm
lồi.
21
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Chứng minh. Do x → c, x + α là một hàm lồi và tổng hai hàm lồi là
một hàm lồi. Điều này đủ để suy ra
f
1
(x) := x, Qx là một hàm lồi.
Vì Q là một ma trận nửa xác định dương, với ∀u ∈ R
n
và ∀v ∈ R
n
, ta
có:
0 ≤ u − v, Q(u − v) = u, Qu − 2v, Qu + v, Qv.
Điều này suy ra rằng:
v, Qv ≤ u, Qu − 2 (1.3)
Lấy bất kỳ x ∈ R
n
, y ∈ R
n
và t ∈ (0, 1), ta đặt z = tx + (1 − t)y.

Từ (1.33) ta có:
z, Qz ≤ y, Qy − 2z, Q(y − z),
z, Qz ≤ x, Qx − 2z, Q(x − z).
Từ y − z = t(y − x) và x − z = (1 − t)(x − y) và hai bất đẳng thức cuối
ta suy ra:
(1 − t)z, Qz + tz, Qz ≤ (1 − t)y, Qy + tx, Qx,
Do đó,
f
1
(tx + (1 − t)y) = f
1
(z) ≤ tf
1
(x) + (1 − t)f(y).
Do vậy f
1
là một hàm lồi.
- Nếu Q là nửa xác định âm thì hàm f cho bởi (1.4) là hàm lõm, tức
là:
f(tx + (1 − t)y) ≥ tf(x) + (1 − t)f(y).
với ∀x ∈ R
n
, y ∈ R
n
và t ∈ (0, 1).
Trong trường hợp ma trận Q không được cho là nửa xác định dương,
cũng không được cho là nửa xác định âm, ta nói rằng f(x) =
1
2
x, Qx +

c, x với c ∈ R
n
là một hàm toàn phương tuyến tính bất định. Các bài
toán với hàm mục tiêu toàn phương tuyến tính bất định được gọi là các
quy hoạch toàn phương bất định.
Định lý Frank - Wolfe
Xét quy hoạch toàn phương có dạng:

Minf(x) :=
1
2
x, Qx + c, x
x ∈ R
n
, Ax ≥ b,
(1.5)
22
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
với Q ∈ R
n×n
S
, A ∈ R
n
, c ∈ R
n
và b ∈ R
m
.
Cho tập hằng số và giá trị tối ưu của (1.5), ta sẽ dùng kí hiệu:
C(A, b) = {x ∈ R

n
: Ax ≥ b},
f
∗
= inf{f (x) : x ∈ C(A, b)}.
Nếu C(A, b) = ∅ thì quy ước f
∗
= +∞.
Nếu C(A, b) = ∅ thì có hai trường hợp:
(i) f
∗
∈ R.
(ii) f
∗
= −∞.
Nếu (ii) xảy ra thì chắc chắn (1.5) không có nghiệm. Câu hỏi đặt ra
là: Liệu bài toán sẽ luôn có nghiệm khi (i) xảy ra hay không?
Chú ý rằng bài toán tối ưu với hàm mục tiêu không toàn phương có
thể không có nghiệm thậm chí trong trường hợp hàm mục tiêu là hữu
hạn.
Ví dụ, bài toán min{
1
x
: x ∈ R, x ≥ 1} không có nghiệm, trong khi
hàm giá trị tối ưu f
∗
= inf{
1
x
: x ∈ R, x ≥ 1} = 0 là hữu hạn.

Định lí 1.4.2. ( Định lý Frank - Wolfe (1956)) Nếu f∗ = inf{f(x) :
x ∈ C(A, b)} là một số thực xác định thì bài toán (1.5) có nghiệm.
Trong định lý 1.2.1, giả sử f là một hàm toàn phương tuyến tính và
C là một tập đa diện lồi. Từ định nghĩa tập đa diện lồi suy ra tồn tại
một số nguyên m ∈ N, một ma trận A ∈ R
m×n
và một véctơ b ∈ R
m
sao
cho C = {x ∈ R
n
: Ax ≥ b}.
Điều này có nghĩa là định lý Frank - Wolfe có thể được phát biểu như
sau:
"Nếu một hàm toàn phương tuyến tính bị chặn trên một tập đa diện
lồi khác rỗng thì bài toán giá trị nhỏ nhất của hàm trên tập đó phải có
nghiệm"
Nếu f là một hàm toàn phương tuyến tính nhưng C không là một
tập đa diện lồi thì kết luận của định lý 1.2.1không còn đúng nữa.
Ví dụ 1.4.7. Cho f(x) = x
1
với ∀x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
.
Cho C = {x = (x
1

, x
2
) ∈ R
2
: x
1
x
2
≥ 1, x
1
≥ 0, x
2
≥ 0}.
Ta có: f
∗
:= inf{f(x) : x ∈ C} = 0.
nhưng bài toán min{f (x) : x ∈ C} không có nghiệm.
23
Luận văn thạc sĩ Toán học Học viên Phan Thị Ánh Vân
Nếu C là một tập đa diện lồi nhưng f không là hàm toàn phương
tuyến tính thì kết luận định lý 1.2.1 có thể không còn đúng. Trong ví dụ
sau, f là một hàm đa thức bậc 4 đối với ẩn x
1
và x
2
.
Ví dụ 1.4.8. Cho f(x) = x
2
1
+ (1 − x

1
x
2
)
2
với ∀x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
.
Lấy C = {x = (x
1
, x
2
) ∈ R
2
: x
1
≥ 0, x
2
≥ 0}.
Ta thấy f(x) ≥ 0 với ∀x ∈ R
2
.
Chọn x
k
:= (
1

k
, 1 + k), k ∈ N, ta có:
f(x
k
) =
2
k
2
→ 0 khi k → ∞.
Điều này suy ra
f
∗
:= inf{f (x) : x ∈ C} = 0 = inf{f(x) : x ∈ R
2
}
Dễ dàng chỉ ra cả hai bài toán
min{f(x) : x ∈ C} và min{f(x) : x ∈ R
2
}
đều không có nghiệm.
1.4.3 Bài toán quy hoạch toàn phương có tham số
Bài toán quy hoạch toàn phương tổng quát với hệ số tuyến tính, ký
hiệu QP(Q, A, c, b), là bài toán:

Minf(x, c, Q) :=
1
2
x, Qx + c, x (1.6)
x ∈ C(A, b) := {x ∈ R
n

: Ax ≥ b}.
Xét bài toán QP(Q, A, c, b) phụ thuộc tham số ω = (Q, A, c, b) ∈ Ω
với Ω := R
n×n
S
× R
m×n
× R
n
× R
m
.
Tập nghiệm của (1.6) được ký hiệu là Sol(Q, A, c, b).
Hàm ϕ : Ω → R định nghĩa bởi:
ϕ(ω) = inf{f(x, c, Q) : x ∈ C(A, b)}
là hàm giá trị tối ưu của bài toán tham số (1.6).
Nếu v, Qv ≥ 0 với ∀v ∈ R
n
thì f(., c, Q) là một hàm lồi và (1.6) là
một bài toán quy hoạch toàn phương lồi.
Nếu v, Qv ≤ 0 với ∀v ∈ R
n
thì f(., c, Q) là một hàm lõm và (1.6) là
một bài toán quy hoạch toàn phương lõm.
Nếu các điều kiện trên không thỏa mãn thì nó là bài toán quy hoạch
toàn phương bất định.
24
Chương 2
TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM GIÁ
TRỊ TỐI ƯU

Trong chương này chúng ta tập trung nghiên cứu tính liên tục, tính
nửa liên tục của hàm giá trị tối ưu tại một điểm cho trước.Các kết quả
trong chương được viết dựa trên bài báo [18].
2.1 Các bổ đề
Để phục vụ chứng minh các định lý, trước hết ta đề cập một số bổ
đề.
Xét bài toán quy hoạch toàn phương QP(Q, A, c, b) phụ thuộc tham số
ω = (Q, A, c, b) ∈ Ω với Ω := R
n×n
S
× R
m×n
× R
n
× R
m
:

Minf(x, c, Q) :=
1
2
x, Qx + c, x
x ∈ C(A, b) := {x ∈ R
n
: Ax ≥ b}.
(2.1)
Cho A ∈ R
m×n
, b ∈ R
m

.
Ta gọi hệ Ax ≥ b là chính quy nếu tồn tại x
0
∈ R
n
sao cho:Ax
0
> b
Bổ đề 2.1.1. Cho A ∈ R
m×n
, b ∈ R
m
. Kí hiệu 2
R
n
là tập tất cả các tập
con của R
n
.
Hệ Ax ≥ b là chính quy khi và chỉ khi hàm đa trị C(.) : R
m×n
×R
m
→ 2
R
n
xác định bởi :
C(A

, b


) = {x ∈ R
n
: A

x ≥ b

}
là nửa liên tục dưới tại (A, b) .
Chứng minh. Giả sử:

Ax ≥ b là hệ chính quy.
x
0
∈ R
n
sao cho Ax
0
> b.
25