Ứng dụng phương trình vi phân giải bài toán kinh tế
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.18 MB, 65 trang )
1
LỜI CẢM ƠN
S.
giáo Phòng Sau
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Trần Hoài Anh
2
LỜI CAM ĐOAN
S.
“Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán
kinh tế”
Hà Nội, tháng 11 năm 2013
Tác giả
Trần Hoài Anh
3
MỤC LỤC
Trang
1
2
3
MỞ ĐẦU 4
NỘI DUNG 6
Chƣơng 1: Phƣơng trình vi phân 6
vi phân 6
7
11
15
Chƣơng 2: Ứng dụng phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 18
18
2. 23
ng Solow 28
34
Chƣơng 3: Ứng dụng hệ phƣơng trình vi phân giải bài toán kinh tế 44
3.1 44
3.2. Mô hình 46
56
KẾT LUẬN 64
TÀI LIỆU THAM KHẢO 65
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
, .
“ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ
mình.
2. Mục đích nghiên cứu
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
5
-
- và h phng trình vi phân các
bài toán .
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
-
-
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
-
-
-
6. Nhƣ
̃
ng đo
́
ng go
́
p cu
̉
a luâ
̣
n văn
. ,
6
CHƢƠNG 1
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
1.1. Một số khái niệm về phƣơng trình vi phân
1.1.1. Phƣơng trình vi phân thƣờng
Định nghĩa 1.1.
()
, , , , 0
n
F x y y y y
,
F
2n
x
y
,
n
.
trên
()n
y
()n
y
( ) ( 1)
, , , ,
nn
y f x y y y
.
1.1.2. Cấp của phƣơng trình vi phân
3
2
2
20
d y dy
y
dx
dx
1.1.3. Nghiệm
vi phân
()y y x
n
( , )ab
,
( 1)
, ( ), ( ), , ( ) 0
n
F x y x y x y x
,
7
x
( , )ab
.
1.2. Phƣơng trình vi phân cấp 1
1.2.1. Định nghĩa
, , 0F x y y
, (1.1)
F
3
D
.
-
D
y
:
,y f x y
, (1.2)
v
- Hàm
yx
,I a b
a,
,,x x x D
xI
;
b,
, , 0F x x x
trên
I
.
-
, , 0M x y dx N x y dy
.
1.2.2. Một số phƣơng trình vi phân cấp 1
i) Phương trình với biến số phân li
0M y dy N x dx
(1.3)
(
Cách giải:
Các hàm
,M y N x
k
8
M y dy N x dx
.
ii) Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
y p x y q x
, (1.4)
,p x q x
,ab
y y t
0qx
0y p x y
(1.5)
0qx
(1.4) là h v
*
y ay b
. (1.6)
Cách giải:
- Xét
0y ay
.
dy dy
ay adx
dx y
ln
ax
c
y ax c y Ae
.
- Tìm nghi riêng c (1.6) là
/
p
y b a
n
0a
;
p
y bx
n
0a
.
- (1.6) có d
9
.
pc
y y y
V
(0)
ax ax
b b b
y Ae y e
a a a
, v
0a
;
(0)y A bx y bx
, v
0a
.
thiên:
y p x y q x
. (1.7)
Cách giải:
- Xét phng trình tuy tính thu nh tng
0.y p x y
()
dy
p x dx
y
1
ln ( )y p x dx C
()
.
p x dx
c
y Ce
-
Coi
C
là
x
, t
(1.7
p x dx
y C x e
. (1.8)
7
p x dx
C x e q x
,
suy ra
p x dx
C x q x e dx C
.
Thay vào (1.87) là
10
p x dx p x dx
y e q x e dx C
,
C
.
iii) Phương trình Bernoulli
Bernoulli là
y p x y q x y
,
. (1.9)
Cách giải:
0
hay
1
, thì (1.9) tr thành vi phân
tính c 1.
+
0
và
1
, ta chia c hai 9) cho
y
1
.y y p x y q x
(1.10)
1
zy
.
1z y y
.
T
z
và
z
vào (1.10) ta
11z p x z q x
.
y là phng trình vi phân tuy tính c v
z
. Gi phng trình
này ta tìm nghi
()z z x
. T suy ra nghi c phng trình
(1.9) là
1/(1 )
( ) .y z x
iv) Phương trình vi phân toàn phần
vi phân c m
, , 0P x y dx Q x y dy
(1.11)
,U x y
sao cho
11
, , ,dU x y P x y dx Q x y dy
hay
( , )
U
P x y
x
;
( , ).
U
Q x y
y
(1.12)
T (1.11) và (1.12) suy ra
( , ) 0dU x y
( , )U x y C
,
C
Do
22
UU
x y y x
, nên
PQ
yx
.
PQ
yx
(1.13)
Cách giải:
T
( , )
U
P x y
x
ta có
( , ) ( , ) ( ).U x y P x y dx y
L hàm hai v theo
y
( , ) ( ) ( , ).
U
P x y dx y Q x y
yy
T ta có th tìm
()y
, do tìm
( , )U x y
. Nghi c tìm s là
,U x y C
.
1.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp
n
1.3.1. Định nghĩa
phân
n
12
( ) ( 1)
1 1 0
( ) ( ) ( ) ( )
nn
n
y p x y p x y p x y f x
, (1.14)
0 1 1
( ), ( ), , ( )
n
p x p x p x
và
()fx
( , )ab
( ) 0fx
, thì (1.14)
( ) ( 1)
1 1 0
( ) ( ) ( ) 0
nn
n
y p x y p x y p x y
. (1.15)
( ) 0fx
, thì (1.14) vi phân n không
.
( ); 0, , 1
i
p x i n
,
, (1.14)
.
1.3.2. Cấu trúc nghiệm của phƣơng trình vi phân tuyến tính
n
vi phân
tuy tính thu nh (1.15)
12
, , ,
m
y y y
(1.15)
1
()
m
kk
k
y c y x
,
12
, , ,
m
c c c
y
(1.14)
12
, , ,
n
y y y
(1.15)
(1.14).
,
(1.14)
13
1
( ) ( ) ( )
n
kk
k
y x y x c y x
.
1.3.3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp
n
với hệ số hằng số
v
trình
( ) ( 1)
1 1 0
0
nn
n
y p y p y p y
, (1.16)
0 1 1
, , ,
n
p p p
(1.16)
x
ye
,
y
(1.16). Khi
2 ( )
, , ,
x x n n x
y e y e y e
.
(1.16)
1
1 1 0
0
n n x
n
p p p e
.
0
x
e
,
, ta suy ra
1
1 1 0
( ) 0
nn
nn
P p p p
. (1.17)
T
(1.17) thì
x
ye
(1.16).
(1.17)
trình (1.16)
()
n
P
(1.16).
,
(1.16)
(1.17). Xét các h
sau:
14
i) Phng trình (1.17) có
m
nghi th khác nhau:
12
, , ,
m
. Khi
12
, , ,
m
x x x
e e e
là cáriêng
(1.16).
ii) Phng trình (1.17) có
m
,
1
. Khi
1 1 1
1
, , ,
x x x
m
e xe x e
(1.16).
iii) Phng trình (1.17) có
i
m
. Khi
1
os , os , , os
x x m x
e c x xe c x x e c x
;
1
sin , sin , , sin
x x m x
e x xe x x e x
là
2m
(1.16).
1.3.4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp
n
với hệ số
hằng số
Pvi phân tuy tính vh sh scó
( ) ( 1)
1 1 0
()
nn
n
y p y p y p y f x
, (1.18)
0 1 1
, , ,
n
p p p
()fx
( , )ab
(1.18)
này
15
trình vi phân tuy tính Ta xét
()fx
nh sau:
i)
( ) ( )
x
k
f x e P x
,
()
k
Px
k
x
.
c (1.18)
()
x
k
y e Q x
;
m
(1.18)
()
mx
k
y x e Q x
,
()
k
Qx
k
x
.
ii)
( ) ( )cos ( )sin
x
f x e P x x Q x x
,
( ), ( )P x Q x
là
,
.
i
, thì ta tìm
()yx
(1.18)
( ) ( )cos ( )sin
x
y x e R x x S x x
.
i
m
, thì ta tìm
()yx
(1.18)
( ) ( )cos ( )sin
mx
y x x e R x x S x x
,
()Rx
và
()Sx
()Px
và
()Qx
.
1.4. Hệ phƣơng trình vi phân cấp một
1.4.1. Định nghĩa
16
H phng trình sau
1
11
1
, , ,
, , ,
n
n
nn
dy
f x y y
dx
dy
f x y y
dx
(1.19)
g là h phng trình vi phân c m d chu t, trong
x
là
bi l;
1
, ,
n
yy
là các hàm ph tìm và các hàm
i
f
(
1,in
) xác
trên mi
1n
G
.
H
11
( ), , ( )
nn
y x y x
kh vi trên kho
( , )ab
g là nghi
c h phng trình n:
i)
1
, ( ), , ( ) ;
n
x x x G
( , ).x a b
ii)
1
( ) , ( ), , ( ) ; 1, ;
i i n
x f x x x i n
( , ).x a b
1.4.2. Hệ phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp một
H phng trình vi phân tuy tính c m có d
1
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
nn
n
n n nn n n
dy
p x y p x y p x y f x
dx
dy
p x y p x y p x y f x
dx
(1.20)
trong
; , 1,
ij
p x i j n
liên t trên kho
( , )ab
.
N
( ) 0; 1,
i
f x i n
, thì g là h phng trình vi phân
tuy tính c m thu nh.
17
N
( ) 0; 1,
i
f x i n
, thì g là h phng trình vi phân
tuy tính c m không thu nh.
; , 1,
ij
p x i j n
là h s, thì g là h phng trình
vi phân tuy tính c m v
18
CHƢƠNG 2
ỨNG DỤNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
GIẢI BÀI TOÁN KINH TẾ
2.1. Khái niệm phân tích cân bằng động
2.1.1. Một số định nghĩa
n
an:
()P P t
i
tiêu
t
).
Tr ,
()xt
x
*( )xt
có tính
,
*( ) const.x t x
Lúc này ta nói
x
()xt
x
thì ta nói
19
x
()xt
có tính
-
t
.
-
t
0 1 2
, , , t t t t
.
Trên hình 2.
Pt
t
Pt
.
Pt
P
Pt
P
P
, ta
.
P(t)
O
t
Hình 2.1
P
20
2.1.2. Một số ứng dụng của phép tính tích phân và phƣơng trình vi phân
Bài toán 1.
Cho
1/2
dH
t
dt
và
0 100H
Ht
t
.
0H
0t
.
Ht
.
1/2
dH
t
dt
1dH
dt
t
dt
dH
t
( ) 2 ,H t t c
0t
ta có
0Hc
( ) 2 (0)H t t H
.
Theo bài ra ta có
(0) 100H
.
( ) 2 100H t t
.
()Ht
.
Bài toán 2.
Cho
0,2
( ) 2
Q
MC C Q e
và
0 90FC C
.
Tìm .
21
Ta có
0,2
2
Q
C Q e
0,2
2
Q
dC
e
dQ
0,2
2
Q
dC e dQ
0,2
10 .
Q
C e k
(0) 90FC C
thì
0
(0) 10 80k C e
, nên
0,2
( ) 10 80.
Q
C Q e
Bài toán 3.
MSP=
0,5
0,3 0,1
dS
Y
dY
C
Ta có:
0,5
0,3 0,1
dS
Y
dY
0,5
0,5 0,5
0,3 0,1
0,3 0,1 0,3 0,2
dS Y dY
S Y Y dY Y Y c
ta có
81 0S
suy ra
22,5c
.
0,5
0,3 0,2 22,5S Y Y Y
.
2.1.3. Ứng dụng phƣơng trình vi phân xác định hàm cầu khi biết hệ số co
dãn của cầu
22
d
dQ p
E
dp Q
hay
d
dQ dp
E
Qp
Q
p
d
E
ln ln ln ln ln ln
d
dd
E
dd
EE
Q
Q E p c E p p
c
Q
p Q cp
c
Bài toán 4.
Q f p
giá
p
là:
2
10 4
d
pp
E
Q
mãn
1000Q
khi
20p
.
Ta có:
d
dQ p
E
dp Q
d
dQ dp
E
Qp
2
10 4
10 4
d
dp p p Q
dQ E Q dp
p Q p
p dp
Hay
2
10 2Q p p c
,
1000Q
khi
20p
nên
2
1000 10 20 2 20 400cc
23
2
10 2 400Q p p
Bài toán 5.
Q D p
, cho b
giá
p
là:
2
52
d
pp
E
Q
mãn
500Q
khi
10p
.
Ta có:
d
dQ p
E
dp Q
d
dQ dp
E
Qp
2
52
52
d
dp p p Q
dQ E Q dp
p Q p
p dp
Hay
2
5Q p p c
,
500Q
khi
10p
nên
2
500 5 10 10 650cc
2
5 650Q p p
.
2.2. Phân tích cân bằng động đối với giá cả thị trƣờng
2.2.1. Phát biểu mô hình cân bằng động
:
d
s
QP
QP
v
, , , >0.
Trong
24
d
Q
s
Q
: hàm cung
P
Cho
ds
QQ
.P
+ Khi
(0)PP
+ Khi
(0)PP
không.
()Pt
:
ds
dP
j Q Q
dt
,
j
Hình 2.2
Q
O
P
Q
P
25
()P j P P
( ) ( ).P j P j
()
(0) .
jt
cp
P P P P e P
.
p
PP
2.2.2. Khảo sát tính ổn định động của mức giá cân bằng
P
()Pt
P
khi
t
. Ngoài ra, do
const
p
PP
.
(0)PP
()P t P
()Pt
và
P
t
.
Bài toán 6.
P(0)
P(t): khi P(0) <
P
P
P(0)
P(t): khi P(0) >
P
Hình 2.3
