Đề kiểm tra học kì 2 môn Toán lớp 10 năm học 2014-2015 trường THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên

SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN


!"#$%
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
&'((2,0 điểm) Một rạp chiếu phim A thống kê số khách đến xem phim trong 15 ngày
đầu của tháng 1 như sau:
80 78 50 62 75 80 50 78
50 90 80 78 62 50 90
a) Lập bảng phân bố tần số.
b) Trong tháng 1, trung bình một ngày có bao nhiêu khách đến rạp A xem phim.
&'((2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức
( ) ( )
9
3sin 5cos 4sin cos .
2 2
A a a a a
π π
π
   
= − + − − − − +
 ÷  ÷
   
b) Tính giá trị biểu thức
3 3
sin 5cos
sin 2cos
+
=
−

a a
B
a a
biết
tan 2.a
=
&')((2,0 điểm) Giải bất phương trình và phương trình sau:
a)
7 1 3 18 2 7.
+ − − ≤ +
x x x
b)
2
3 2 4 2 .
+ + − = + −
x x x x x
&'((2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy,
cho hai điểm A(3;3), B(-2;-2).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng AB, đồng thời tiếp xúc
với đường thẳng d
1
và d
2
biết d
1
: 3x + 2y + 3 = 0, d
2
: 2x – 3y + 15 = 0.

&' ((2,0 điểm) Lập phương trình chính tắc của (E) biết độ dài trục lớn bằng 10 và tâm
sai bằng
3
5
.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………………. Số báo danh:……………

SỞ GD VÀ ĐT THÁI NGUYÊN

%*+,!#$%
 (
&' $$

&'

Một rạp chiếu phim A thống kê số khách đến xem phim trong 15 ngày đầu
của tháng 1 như sau:
80 78 50 62 75 80 50 78
50 90 80 78 62 50 90
a) Lập bảng phân bố tần số.
b) Trong tháng 1, trung bình một ngày có bao nhiêu khách đến rạp A xem
phim.
/ Bảng phân bố tần số:
0123456. 50 75 78 80 90
789:58. 4 2 1 3 3 2 N=15
1,0
;./ ;. Giá trị trung bình
6

i i
i 1
1
x n .x 70,2
N
=
= =
∑

0,5
Vậy: Trong tháng 1, trung bình một ngày có 70 khách đến rạp A xem phim. 0,5
&'
/
;./
a) Rút gọn biểu thức
( ) ( )
9
3sin 5cos 4sin cos
2 2
   
= − + − − − − +
 ÷  ÷
   
A a a a a
π π
π
b) Tính
3 3
sin 5cos
sin 2cos

+
=
−
a a
B
a a
biết
tan 2.a
=
/
Có:
( ) ( )
sin sin , cos sin , sin sin ,
2
 
− =− − = − =
 ÷
 
a a a a a a
π
π
9
cos cos 4 sin
2 2
   
+ = + + = −
 ÷  ÷
   
a a a
π π

π
0,5
3sin 5sin 4sin sin sin
=− + − + =−
A a a a a a
0,5
;./
;. Vì
tan 2a
=
nên
cosa
≠ 0. Chia cả tử và mẫu cho
cosa
được:
3 2
3
3
sin 5
cos os
sin
2
os
a
a c a
A
a
c a
+
=

−
0,5
2
=
2 2
3
t ana(1 tan ) 5(1 tan )
tan 2
a a
a
+ + +
−
0,25
=
35
6
0,25
&')
/
;./
Giải bất phương trình và phương trình sau:
a)
7 1 3 18 2 7x x x
+ − − ≤ +
(1)
b)
2
3 2 4 2x x x x x
+ + − = + −
/ ĐK: x ≥ 6 0,25

(1) 
7 1 2 7 3 18x x x
+ ≤ + + −
2
6 6 15 126x x x⇔ + ≤ − −
0,25
Vì x ≥ 6
⇒
x + 6 > 0 nên ta bình phương 2 vế của phương trình:
(x+6)
2
≤ 6x
2
– 15x - 126

2
18
5 27 162 0
5
9

≤ −

⇔ − − ≥ ⇔

≥

x
x x
x

(loại)
0,25
Kết hợp ĐK, vậy: x
≥
9 0,25
;./ ;. Đk:
0 2x
≤ ≤
Đặt:
2
u x
v x

=


= −


(đk u, v
0
≥
) , ta có hệ:
2 2
2
2
3 4
u v
u u uv v


+ =


+ + − =


0,25
Nhân pt đầu với 2, trừ theo vế cho pt còn lại ta được :
2 2
2 3 ( ) 0u v uv u v+ − − − =
( )( 2 ) ( ) 0u v u v u v
⇔ − − − − =
( )( 2 1) 0u v u v
⇔ − − − =
0
2 1 0
u v
u v
− =

⇔

− − =


0,25
Với
2 2
0
2

− =


+ =

u v
u v
ta được : u = v = 1
1x
⇒ =
.
0,25
Với
2 2
u – 2v 1
2
=


+ =

u v
ta được:
1
5
7
5

=





=


v
u
49
25
⇒ =x
.
Vậy:
1
49
25
=



=

x
x
0,25
&'
/
;./
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
Oxy,

cho hai điểm A(3;3), B(-2;-2).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng AB, đồng thời
tiếp xúc với đường thẳng d
1
và d
2
biết d
1
: 3x +2y +3= 0, d
2
: 2x – 3y+15 = 0.
3
Đường thẳng AB đi qua điểm A(3;3), có véc tơ chỉ phương là
AB ( 5; 5)= − −
uuur


vtpt : n (5; 5)
⇒ = −
r
0,5
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
5(x-3) – 5(y-3) =0
0,25
x y 0⇔ − =
0,25
;.Gọi I là tâm đường tròn, I
∈
AB suy ra I=(a;a),

Vì đường tròn (I; R) tiếp xúc với d
1
và d
2
nên: d(I,d
1
) = d(I,d
2
)
0,25
d(I, d
1
) =
2 2
3 2 3 5 3
13
3 2
a a a+ + +
=
+
, d(I, d
2
) =
2 2
2 3 15 15
13
2 3
a a a− + −
=
+

Ta có pt:
5 3 15a a+ = −
5 3 15
5 3 15
a a
a a
+ = −

⇔

+ = − +

2
9
2
a
a
=


⇔

= −

0,25
+) Với a = 2 có I (2;2) có R =
13
. Pt đường tròn là: (x-2)
2
+ (y-2)

2
= 13
0,25
+) Với
9
2
= −a
có:
9 9
;
2 2
 
− −
 ÷
 
I
, R =
3 13
2
. Pt đường tròn là:
2 2
9 9 117
2 2 4
   
+ + + =
 ÷  ÷
   
x y
0,25
&'

/
Lập pt chính tắc của (E) biết độ dài trục lớn bằng 10 và tâm sai bằng
3
5
Gọi phương trình chính tắc của (E) là:
2 2
2 2
1 ( 0).+ = > >
x y
a b
a b
Theo bài: 2a =10
⇔
a = 5
0,5
e =
3
3
5
c
c
a
= ⇒ =
0,5
b
2
= a
2
– c
2

= 16 0,5
Vậy: phương trình chính tắc của (E) là:
2 2
1
25 16
x y
+ =
0,5
(Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm)
4