Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học Sư Phạm TP HCM năm 2013

Đề thi Olympic Toán sinh viên Đại học Sư Phạm TP.HCM năm 2013
Môn Giải tích
Câu 1: Cho
và
Giả sử dãy không âm và thoả
Chứng minh
Câu 2: Giả sử hai dãy thoả các điều
kiện sau:
i)
ii)
iii)
Tìm
Câu 3: Cho P(x),Q(x)là các đa thức hệ số thực thoả mãn:
Chứng minh
Câu 4: Cho f liên tục trên [a;b],
khả vi trên (a,b) và
Chứng minh rằng
Câu 5: Cho sao cho:
Xét tính đơn điệu của hàm số
Câu 6: Cho
Giả sử f(0)=f(a)=1. Gọi , chứng
minh
Môn Đại số
Bài 1: Cho A là ma trận cấp và B là ma trận cấp thỏa:
Tìm AB
Bài 2: Cho n là số nguyên dương, x, a, b là các số thực với Ký hiệu M_n là ma
trận vuông cấp 2n thỏa
Tìm
Bài 3: Cho Chứng minh rằng và
có cùng hạng.
Bài 4: Cho ma trận A như sau

với
Chứng minh rằng
Bài 5:
a) Cho là n vector khác
không của kgvt V và là một phép biến đổi tuyến tính thỏa
với k = 2,3,…,n
Chứng minh rằng hệ vector độc lập
tuyến tính.
b) Chứng minh rằng hệ
vector độc lập tuyến tính trong không gian các hàm số liên tục trên
Bài 6: Cho A,B là hai ma trận đối
xứng cấp n. Giả sử tồn tại hai ma trận X,Y cấp n thỏa . Chứng minh
Bài 7: Cho thỏa và là hai ma
trận đối xừng và . Chứng minh rằng
Bài 8: Cho P,Q,U,V là các ma trận
cấp 2 thỏa U,V là 2 nghiệm phân biệt của phương trình và U-V khả nghịch.
Chứng minh và
Bài 9: Cho P là đa thức hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt lớn hơn 1. Xét
Q(x) có ít nhất 2n-1 nghiệm thực phân biệt đúng hay sai?