Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 2013

Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 2013
Môn thi: Đại số. Thời gian: 150′
Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tính
a/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho .
b/ Nếu thêm giả thiết f (AB) = f (BA) với mọi A,B thì tồn tại sao cho .
Bài 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A
cấp n sao cho ma trận là một ma trận
chéo hóa được. Ở đó là ma trận đơn vị cấp n.
Bài 3: Cho là các số phức với với
mọi cặp .
Tính định thức của ma trận , ở đó:
Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận cỡ với hệ số phức.
Chứng minh rằng
Bài 5:
a/ Cho là một ma trận thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng $A=I$
b/ Cho là một ma trận thỏa mãn điều
kiện . Kết luận A=I có còn đúng không? Tại sao?
Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn:
Định nghĩa và ký hiệu:
(1) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên
được chéo chính của B
(2)
(3) Giả sử . Ma trận phụ hợp phức
của A được định nghĩa như sau: .
Ma trận A được gọi là nếu
Môn thi: Giải tích Thời gian:120′
Bài 1: Tính giới hạn sau:
Bài 2: Cho là hàm số liên tục. Giả sử
tồn tại một hàm khả vi sao cho:
Chứng minh rằng nếu thì g(b)=0
Bài 3: Cho hai dãy số thực và $\left \ { y_{n} \right \}_{0}^{\infty}$ thỏa mãn

các điều kiện sau:
1. .
2. .
Chứng minh rằng:
Bài 4: Cho hàm số thỏa mãn các
điều kiện sau:
1. .
2. bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong .
Chứng minh rằng:
Bài 5: Cho đa thức với các hệ số
và $a \neq 0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên sao cho . Chứng minh rằng phương
trình P(x)=0 có nghiệm nguyên.