Đề thi Olympic môn Toán lớp 8 - Phòng GD Đức Thọ tỉnh Hà Tĩnh

phòng gd-đt đức thọ đề thi olympic toán 8 năm
học 2012-2013
Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1: Cho biểu thức

= +
ữ
+ +

2 2 2 2 2 2
4xy 1 1
A :
y x y x y 2xy x
a) Tìm điều kiện x, y để giá trị của A đợc xác định
b) Rút gọn A
c) Nếu x, y là các số thực thỏa mãn
+ + =
2 2
3x y 2x 2y 1
, hãy tìm các giá trị nguyên đơng của A ?
Lời giải
: a) ĐKXĐ của A là:







+ +

+
+ +


2 2
2 2
2 2 2 2
y x 0
y x
y 2xy x 0
y 0
1 1
0
y x y 2xy x

b)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
+
= = = +
+
+
2
2
2 2 2

y x y x
4xy 2y 4xy
A : . 2x 2xy
y x y x y x 2y
y x y x
c) ĐK cần: Từ điều kiện
( )
+ + = + + + + + =
2 2 2 2 2
3x y 2x 2y 1 2x 2xy x 2xy y 2 x y 1 2
( ) ( ) ( )
+ + + + = + + + =
2 2
2 2
2x 2xy x y 2 x y 1 2 2x 2xy x y 1 2
( )
+ = +
2
2
2x 2xy 2 x y 1 2
. Do đó 0 < A 2 nên giá trị A cần tìm là
{ }
A 1;2

ĐK đủ: Với A = 1
( )
2
x y 1 1 + =
Xét
x y 1 1 x y + = =

(loại vì x y)
Xét
x y 1 1 x y 2 + = =
thay vào
+ + =
2 2
3x y 2x 2y 1
đợc
( ) ( )
2
2
3 y 2 y 2 y 2 2y 1 + + =
( )
2
2 2
3 2
y
2y 3 2
2
4y 12y 7 0 4y 12y 9 2 2y 3 2
2y 3 2 3 2
y
2

+
=


=

+ = + = =


=


=



3 2 2 1
y x
2 2
+
= =
;
3 2 2 1
y x
2 2

= =
Với A = 2
( )
2
x y 1 0 x y 1 0 x y 1 + = + = =
thay vào
+ + =
2 2
3x y 2x 2y 1
đợc

( ) ( )
2
2
3 y 1 y 2 y 1 2y 1 + + =

( )
2
y 0 (loại)
1
4y 6y 0 2y 2y 3 0 x
3
2
y
2
=


= = =

=


Vậy A = 1 khi
( )
2 1 3 2 2 1 3 2
x;y ; ; ;
2 2 2 2


+

ữ ữ

ữ ữ



A = 2 khi
( )
3 1
x;y ;
2 2




ữ


Câu 2: a) Giải phơng trình sau

+ = +
2 2 2 2
x 17 x 15 x 13 x 11
2008 2010 2012 2014
b) Tìm các số x, y, z biết
+ + = + +
2 2 2
x y z xy yz zx

và
+ + =
2012 2012 2012 2013
x y z 3
Lời giải
: a) Phơng trình tơng đơng

+ = +
2 2 2 2
x 17 x 15 x 13 x 11
1 1 1 1
2008 2010 2012 2014
( )


+ = + + =
ữ

2 2 2 2
2
x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 1 1 1
x 2025 0
2008 2010 2012 2014 2008 2010 2012 2014
Vì
>
1 1
2008 2012
và
>
1 1

2010 2014
nên
+ >
1 1 1 1
0
2008 2010 2012 2014
Do đó ta có
= =
2
x 2025 0 x 45
. Tập nghiệm của phơng trình là:
{ }
= S 45;45
b) Từ giả thiết
+ + = + + + + =
2 2 2 2 2 2
x y z xy yz zx 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0
( ) ( ) ( )
+ + = = = = = =
2 2 2
x y y z z x 0 x y y z z x 0 x y z
Do đó
2012 2012 2012 2013 2012 2013
x y z 3 3x 3 x 3+ + = = =
. Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3
Câu 3: a) Cho phơng trình

= +

4x 1

m 3
x 1
, với m là tham số. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng
b) Chứng minh rằng nếu
+ + a b c 3
thì
+ + + +
3 3 3 4 4 4
a b c a b c
Lời giải
: a) ĐKXĐ: x 1. Ta có
( ) ( ) ( ) ( )

= + = + = + +

4x 1
m 3 4x 1 x 1 m 3 4x 1 x m 3 m 3
x 1
( ) ( ) ( )
= + + = +4x 1 x m 3 m 3 x m 1 m 2
Nếu m = 1 thì 0 = 3 nên phơng trình vô nghiệm
Nếu m 1 thì
+
=

m 2
x
m 1
. Để phơng trình có nghiệm dơng thì
+)

( ) ( )
+








+ > + + > + >

ữ
+ >
+




>


2
2 2
m 2
1
m
1 9 1 9
m 1
m m 2 0 m m 0 m

m 2 m 1 0
4 4 2 4
m 2
0
m 1
+ >
1 3
m
2 2
m < -2; m > 1. Vậy giá trị m cần tìm là m < -2; m > 1
b) Ta dễ dàng chứng minh đợc
+ +
4 4 3 3
a b a b ab
.
Thật vậy
( ) ( ) ( )
( )
+ +
4 4 3 3 3 3 3 3
a b a b ab a a b b a b 0 a b a b 0
( )
( )
( )


+ + + +

ữ

2
2
2 2
2 2
b 3b
a b a ab b 0 a b a 0
2 4
đúng với mọi a, b
Chứng minh tơng tự ta cũng có
+ +
4 4 3 3
b c b c bc
và
+ +
4 4 3 3
c a c a ca
Do đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + + +
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
3 a b c a b b c c a a b c
( ) ( ) ( )
+ + + + + + + + = + + + + + + + +
3 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3
a b ab b c bc c a ca a b c a a b c b a b c c a b c
( )
( )
+ + + +

3 3 3
a b c a b c
. Mặt khác
( )
( )
+ + + + + +
4 4 4
a b c 3 a b c a b c

Do đó
( )
( )
( )
( )
+ + + + + + + +
4 4 4 3 3 3
a b c a b c a b c a b c
+ + + +
3 3 3 4 4 4
a b c a b c
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Câu 4: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm của AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy
điểm C trên tia Ax, điểm D trên tia By sao cho
ã
=
0
COD 90
a) Chứng minh rằng ACO BOD và OCD BOD
b) Kẻ OI CD (I CD), gọi K là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng IK // AC
c) Gọi E là giao điểm của OD với IK. Chứng minh rằng IE = BD

Lời giải
: a) Xét ACO và BOD có
A
B
O
K
I
C
y
D
x
E
ã
ã
ã
ã
ã

= =


=


0
CAO OBD 90 (gt)
AOC BDO (cùng phụ BOD)

ACO BOD (g g)
= = =

CO AO CO OD CO OD
OD BD AO BD OB BD
(Vì AO = OB)
Xét OCD và BOD có
ã
ã

=



= =

0
CO OD
OB BD
COD OBD 90 (gt)
OCD BOD (c g c)
b) Ta có ACO BOD
ã
ã
=ACO BOD
OCD BOD
ã
ã
=DCO BOD
. Do đó
ã
ã
=ACO DCO

Xét CAO (
ã
=
0
CAO 90
) và CIO (
ả
=
0
CIO 90
) có:
ã
ã


=



ACO DCO
CO chung
CAO = CIO (Cạnh huyền góc nhọn) CA = CI. Chứng minh tơng tự ta cũng có
DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) DB = DI
Mặt khác





CA AB (gt)

DB AB (gt)
CA // DB
= =
DK DB DI
AK CA CI
(Hệ quả của định lí TaLets)
Từ đó ta có
=
DK DI
AK CI
suy ra IK // AC (Định lí đảo định lí TaLes)
c) Theo câu b) ta có IK // AC mà AC // BD nên IK // BD
ả
ã
=IED BDE
(so le)
Mặt khác DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn)
ã
ả
=BDE IDE
. Do đó
ả ả
=IED IDE
IED cân tại I
IE = ID mà ID = BD (Theo câu b). Vậy IE = BD
Câu 5: Cho
+
= + + + + + +
+ +
+ + +

2 n 2013
2 3 n 1 2014
2
2 2 2
2 2 2 2 2
S
2013 1 2013 1
2013 1 2013 1 2013 1
So sánh S với
1
1006
Lời giải
: Ta có
( ) ( )
( ) ( )
+
= = =
+ + +
2 2
x y 1 x y 1
x x 2x x x 2x
y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1
Lần lợt thay x bởi 2; 2
2
; 2
3
; ; 2
2014
và y bởi 2013; 2013
2

;
2
2
2013
; ;
2013
2
2013
đợc
= + + + =


2 2013 2014
2 2 3 2014 2015
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
S
2013 1 2013 1 2013 1
2013 1 2013 1 2013 1
= <

2014
2015
2
1 2 1
1006 1006
2013 1
. Vậy
<

1
S
1006
Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn