Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bạc Liêu môn Toán bảng A (Năm học 2011 - 2012) - Ngày thi thứ hai

Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh:…………………………… ……… …………….………………
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)


* Ngày thi: 06/11/2011
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ

Câu 1 (6 điểm):
Tìm
n ∈` sao cho số
22016
2011 20112011 2011an n=+ + (có 2016 số 2011 ở số
hạng cuối) chia hết cho 9.

Câu 2 (7 điểm):
Cho phương trình:
22
(2cos 1) 6cos os 1 0 (1)xxc
ααα
−−+−−=.
a) Tìm
α
để phương trình (1) có hai nghiệm
12

,
x
x
.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
22
12
A
xx
=
+ .

Câu 3 (7 điểm):
Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC = CD, DE = EF = FA,
n
n
0
60BCD EFA==
. Giả sử G và H là hai điểm nằm trong lục giác sao cho
n
n
0
120AGB DHE==.
Chứng minh rằng: AG + GB + GH + DH + HE
≥
CF. Dấu bằng (=) xảy ra khi
nào?

Hết
(Gồm 01 trang)

CHÍNH THỨC
1 Bảng A – Ngày 2
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)


* Ngày thi: 06/11/2011

* Thời gian: 180 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu 1 (6 điểm):
Ta có

(
)
33
2011 4 1 mod 9≡≡
(0,5đ)

(
)
3.672 2016
2011 2011 1 mod 9⇒=≡
(0,5đ)

(

)
2016
2011 . mod 9nn⇒≡
(0,5đ)
Số 20112011…2011 có 2016 số 2011 ghép thành , nên tổng các chữ số bằng
( 2+0+1+1).2016=8064 chia hết cho 9 (0,5đ)
Suy ra
()
2
mod 9an n≡+
.
Khi chia n cho 9, ta có số dư
{0;1;2;3;4;5;6;7;8}r
∈
(0,5đ)
Ta thấy với r = 1, r = 2, r = 3, r = 4, r = 5, r = 6, r = 7 thì số dư khi chia
()
2
nn+ cho
9 lần lượt là 2; 6; 3; 2; 3; 6; 2 (0,5đ)
nên
()
2
9nn+ # (0,5đ)
9a⇒ #
(0,5đ)
Với r = 0 thì
()
2
9nn+ # (0,5đ)

Với r = 8 thì
()
2
9nn+ # (0,5đ)
Vậy các số cần tìm là
9nk= và 98,nk k
=
+∈N . (1,0đ)

Câu 2 (7 điểm):
22
(2cos 1) 6cos os 1 0 (1)xxc
ααα
−−+−−=
a) Phương trình (1) có hai nghiệm
12
,
x
x khi và chỉ khi
0
Δ
≥

22
(2cos 1) 4(6cos cos 1) 0
ααα
⇔−− −−≥ (1,0đ)
2
11
20cos 5 0 os

22
c
αα
⇔− + ≥ ⇔− ≤ ≤ (1,0đ)
2
22
33
,(2)
45
22
33
kk
k
kk
ππ
πα π
ππ
πα π
⎡
+≤≤+
⎢
⇔∈
⎢
⎢
+≤≤+
⎢
⎣
Z
(1,0đ)

b) Ta có:
22 2
12 12 12
()2.
A
xx xx xx=+=+ −
Với
α
thỏa (2), theo định lí Vi-ét, ta có:
12
2
12
2cos 1
.6cos os1
xx
xx c
α
αα
+= −
⎧
⎨
=
−−
⎩
(1,0đ)
Vậy
22 2
(2 cos 1) 2(6cos os 1) 8cos 2 cos 3Ac
ααααα
=−− −−=−−+

(Gồm 02 trang)
CHÍNH THỨC
2 Bảng A – Ngày 2
Đặt
cost
α
=
,
11
22
t−≤≤
thì
2
823
A
tt
=
−−+
.
Xét hàm số
2
() 8 2 3
f
ttt=− − + , ta có
1
() 16 2; () 0
8
ft t ft t
′′
=

−− =⇔=−
(1,0đ)
BBT
t
1
2
−

1
8
−

1
2
()
f
t
′

+ 0 -


()
f
t

25
8

2 0

Dựa vào BBT ta có:
11
;
22
125 1 1
max max ( ) ( ) ; cos os
88 8 8
Aftf t c
α
β
⎡⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
= =−= =−⇔ =−=−
11
;
22
11 1
min min ( ) ( ) 0; cos 2
22 2 3
A
ft f t k
π
α
απ
⎡⎤

−
⎢⎥
⎣⎦
====⇔=⇔=±+ (1,0đ)
Câu 3 (7 điểm):
Từ giả thiết suy ra AB=BD và ED=EA.
Đường thẳng BE là trục đối xứng của hai điểm A và D. (1,0đ)
Theo giả thiết, ta cũng có các tam giác BCD và AEF là các tam giác đều được dựng
trên BD và AE về phía ngoài tứ giác lồi ABDE.
Gọi C’ đối xứng với C và F’ đối xứng với F qua BE.
Các tam giác ABC’ và DEF’ đều. (1,0đ)
Các điểm C’ và G nằm khác phía với AB, H
và F’ khác phía với DE.
Các tứ giác AGBC’ và DF’EH nội tiếp. (1,0đ)
Mặt khác, ta lại có:
GA+GB=GC’, HE+HD=HF’.
(Xem chứng minh ở dưới)
Vì vậy:
GA+GB+GH+HE+HD=

=
C’G+GH+HF’ ≥ C’F’ (1,0đ)
Mà C’F’=Đ
BE
(CF) nên C’F’=CF
Từ đó, ta có:
AG+GB+GH+DH+HE
≥ CF (1,0đ)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi G và H
nằm trên đoạn C’F’. (1,0đ)

Bổ đề:
Lấy M trên cạnh GC’ sao cho AG=GM.
Ta có:
Δ
AMC’=
Δ
AGB (c.g.c) => GB=C’M
Do đó: GA+GB=GM+C’M=GC’.
Tương tự, ta cũng chứng minh được HE+HD=HF’.
(1,0đ)

HẾT
(1,0đ)
M
B
A
C'
G
F
'
C'
F
A
D
B
E
C
G
H