Đề thi học sinh giỏi tỉnh Long An lớp 12 vòng 1 năm 2012 - 2013 môn Toán (Bảng B)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-VÒNG 1
LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B
Ngày thi:23/10/2012
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút( không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (6,0 điểm)
a) Giải hệ phương
trình: ,với

b) Giải phương trình: ,với
Câu 2: (5,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng với hệ toạ
độ §, cho tam giác ABC cân tại A,
cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình: §. Đường cao kẻ từ B có phương
trình: §, điểm § thuộc đường cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
ABC.
b) Trong mặt phẳng cho bốn điểm phân biệt A,B,C,D sao cho bốn điểm đó
không cùng nằm trên một đường thẳng.
Chứng minh
rằng:
Câu 3: (3,0 điểm)
Cho dãy số(u
n
) xác định như sau :

a) Chứng
minh:
b) Tính:
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho ba số dương a, b c thỏa mãn abc = 1.Chứng minh rằng:
a)
b)

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho hệ phương trình
Tìm m để hệ phương trình có nhiều hơn hai nghiệm với
x,y.

…….HẾT……
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………
Chữ ký giám thị 1:…………………….Chữ ký giám thị 2:………………….
2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y

+ − − =


+ + − − =


,x y∈¡
( )
4 2 2
1 3 1 3 3x x x x+ + + + =
x∈¡
Oxy
2 2 0x y+ − =
1 0x y+ + =

( )
1;1M
⊥ ⇔ + = +
2 2 2 2
AC BD AB CD AD BC
1
1
2
2 1
( 1, )
1 ( 2 1)
n
n
n
u
u
u n n
u
+

=


+ −
= ∀ ≥ ∈

− −

¥
tan 2 1

8
= −
π
2015
u
2 2 2
a b c a b c+ + ≥ + +
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
2
3
2
2
( 2) 2 3 ( )
3
x y m
x y xy m y

+ =




+ + = +


∈

¡
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT NĂM 2012-
VÒNG 1
LONG AN Môn: TOÁN- Bảng B
Ngày thi:23/10/2012
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1a
(3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
Điểm
Điều kiện: 0,25
Đặt: ĐK: ta có hệ: 0,25
0,5
0,5
Thế (1) vào (2) ta có:
. 0,5
Kết hợp (1) ta có:
0,5
(vì u>v). 0,25
Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(Thỏa đk). Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2). 0,25
Câu 1b
(3,0 điểm)
Giải phương trình: (1)
Từ pt ta thấy
(1)
0,5
Đặt: 0,5
Pt trở thành: 0,5
1,0
0,5

Câu 2a
(2,5 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
§, cho tam giác ABC cân tại A, cạnh BC nằm trên đường thẳng có
phương trình §. Đường cao kẻ từ B có phương trình §, điểm § thuộc đường
cao kẻ từ đỉnh C. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác ABC
Toạ độ B là
nghiệm của hệ

Suy ra
0,25
Gọi d là đường thẳng qua M song
song với BC
0,25
Gọi N là giao điểm của d với đường cao kẻ từ B. Toạ độ N là nghiệm của hệ
Suy ra
0,25
Gọi I là trung điểm MN . 0,25
2 2 2 2
2
1 3
x y x y
x y x y

+ − − =


+ + − − =



x+y 0, x-y 0≥ ≥
u x y
v x y
= +


= −

0, 0u v≥ ≥
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
 
− = > + = +
 
⇔
 
+ + + +
− = − =
 
 
2
2 4 (1)
( ) 2 2
3 (2)

2
u v uv
u v uv
uv

+ = +

⇔

+ − +
− =


2
8 9 3 8 9 (3 ) 0uv uv uv uv uv uv uv+ + − = ⇔ + + = + ⇔ =
0
4
uv
u v
=


+ =

4
0
0
4
u
v

u
v

=



=


⇔

=



=



4
0
u
v
=

⇔

=


( )
2 2 2
( 1) 1 3 1 3 3x x x x+ + + + =
0x〉
2
2
1 1
1 3 3 3x x
x x
 
⇔ + + + + =
 ÷
 
1
, 2t x t
x
= + ≥
( )
2
1 3 3t t− = −
2
3
2
9 14 0
t
t
t t
≤

⇔ ⇔ =


− + =

1
2 1x x
x
+ = ⇔ =
Oxy
2 2 0x y+ − =
1 0x y+ + =
( )
1;1M
1 0
2 2 0
x y
x y
+ + =


+ − =

( )
3; 4B −
: 2 3 0d x y⇒ + − =
2 3 0
1 0
x y
x y
+ − =



+ + =

( )
4; 5N −
5
; 2
2
I
 
⇒ −
 ÷
 
13
: 2 0
2
IE x y⇒ − − =
13
2 0
21 11
,
2
10 5
2 2 0
x y
E
x y

− − =


 
⇒ −

 ÷
 

+ − =

6 2
;
5 5
C
 
⇒ −
 ÷
 
8
: 0
5
CA x y− − =
13
2 0
2
8
0
5
x y
x y

− − =





− − =


33 49
;
10 10
A
 
⇒ − −
 ÷
 
2 2 2 2
AC BD AB CD AD BC⊥ ⇔ + = +
Oxy
,A C Ox∈
B Oy∈
( ,0), ( ,0), (0, ), ( , )A a C c B b D m n
2 2 2 2
AB CD AD BC+ = +
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
a b c m n a m n c b⇔ + + − + = − + + +
2 ( ) 0m a c⇔ − =
( ,0)A a ≠
( ,0)C c

a c⇔ ≠
AC BD⇔ ⊥





=
−−
−+
=
=
+
, )3,2,1(
)12(1
12
2
1
1
n
u
u
u
u
n
n
n
tan 2 1
8
= −

π
2015
u
2
2 tan
8
1 tan tan
4 8 8
1 tan
8
 
= = + =
 ÷
 
−
π
π π π
π
2
tan 2tan 1 0
8 8
⇔ + − =
π π
tan 2 1
8
tan 2 1
8

= −


⇔


= − −


π
π
tan 2 1
8
⇒ = −
π
tan
8
π
1
2 tanu a= =
2
tan tan
8
tan( )
8
1 tan .tan
8
a
u a
a
π
+
π

= = +
π
−
3
tan( ) tan
8 8
tan( 2. )
8
1 tan tan( )
8 8
a
u a
a
π π
+ +
π
= = +
π π
− +
tan( ( 1) ), 1,
8
n
u a n n n= + − ∀ ≥ ∈¥
π
1
tanu a=
1k ≥
tan( ( 1) )
8
k

u a k= + −
π
1
tan( ( 1) ) tan
2 1
8 8
tan( . )
8
1 ( 2 1)
1 tan( ( 1) ).tan
8 8
k
k
k
a k
u
u a k
u
a k
+
+ − +
+ −
= = = +
− −
− + −
π π
π
π π
tan( ( 1) ), 1,
8

n
u a n n n= + − ∀ ≥ ∈¥
π
2015
3 3
tan( 2014. ) tan( 251 ) tan( )
8 4 4
u a a a= + = + + = +
π π π
π
2 1
tan( )
4
2 1
a
π −
− =
+
2 2
( 2 1) tan
8
π
= − =
2 2 2
a b c a b c+ + ≥ + +
1 1 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤
+ + + + + +

2
1 2a a+ ≥
2
1 2b b+ ≥
2
1 2c c+ ≥
( ) ( )
2 2 2
3a b c a b c a b c⇔ + + ≥ + + + + + −
3
3 3a b c abc+ + ≥ =
2 2 2
a b c a b c+ + ≥ + +
1a b c= = =
( )
( )
( )
2 2
3 3
3 3 3
3 3 3
a b a b a ab b
ab a b
+ = + − +
≥ +
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c⇒ + + ≥ + + = + + = + +
( ) ( )
3 3

3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 abc c
a b 1
a b c
ab a b c ab a b c
⇒ ≤ = =
+ +
+ +
+ + + +
( ) ( )
3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 abc a
b c 1
a b c
bc a b c bc a b c
≤ = =
+ +
+ +
+ + + +
( ) ( )
3 3
3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 abc b
c a 1
a b c
ca a b c ca a b c

≤ = =
+ +
+ +
+ + + +
3 3 3
3 3 3
1 1 1 a b c
1
a b 1 b c 1 c a 1
a b c
+ +
+ + ≤ =
+ + + + + +
+ +
2
3
(1)
2
2
( 2) 2 3 ( )(2)
3
x y m
x y xy m y

+ =




+ + = +



3
2
x m y= −
2
3 3
2 2 2 3 2
2 2
m y y m y my m
   
+ − + − = +
 ÷  ÷
   
3 2
3
( ) 2 0
2
f y y my m⇔ = − + =
( )f y
′
⇔
1 2
,y y
1 2
( ). ( ) 0f y f y
( )f y
′
0m ≠
( )

2 2
1 2
( ). ( ) 0 4 0f y f y m m⇔ −
( )
2 2
0
4 0
m
m m
≠



−


( , 2) (2, )m⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
I
B
C
A
N
M
E

Ghi chú: Thí sinh giải khác hướng dẫn chấm mà đúng thì vẫn chấm điểm theo thang
điểm tương ứng.