10 đề thi thử THPT Quốc Gia 2015 môn TOÁN tháng 3,4 năm 2015 (Có đáp án chi tiết)

DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
SỞ GD-ĐT THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ QUÝ ĐÔN

KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG
THI THPT QUỐC GIA
Năm học 2014 – 2015

Mơn thi: TỐN HỌC
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm 01 trang)
4
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y  x  8 x 2  4 .
a. Khảo sát và vẽ đồ thị C  của hàm số.

T
De

b. Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết hồnh độ của tiếp điểm là nghiệm của phương
trình y '' x   13.

Câu 2. (1,0 điểm)


a. Giải phương trình 1  sin x cos x  2sin x  cos 2



www.DeThiThu.Net

x
.
2

b. Cho số phức z  3  2i . Xác định phần thực và phần ảo của w  iz  z.

Câu 3. (0,5 điểm) Giải bất phương trình 6log 2 x  5log 3 x  4  0.
1
3

x 4  2 x 3  2 x 1
 x   .
x3  2 x2  2 x

hiT

Câu 4. (1,0 điểm) Giải bất phương trình

x

2 x2  4x 1
dx .
Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân I  
2x 1
0
Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình thang cân với hai đáy là BC và AD .
Biết SB  a 2 , AD  2a, AB  BC  CD  a và hình chiếu vng góc của điểm S xuống mặt
phẳng  ABCD  trùng với trung điểm cạnh AD. Tính theo a thể tích khối chóp S . ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AD .
4

hu

Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn T  :  x  2   y  2  4 và đường
thẳng  : 3 x  y 10  0. Viết phương trình đường trịn C  biết tâm I của C  có hồnh độ âm
2

2

.N

và nằm trên đường thẳng d : x  y  0, C  tiếp xúc với  và cắt T  tại A, B sao cho AB  2 2 .
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho điểm I 1;2; 2 và mặt phẳng  P có phương trình

et

 P : 2 x  2 y  z  5  0 . Hãy viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I sao cho giao tuyến của mặt
cầu  S  và mặt phẳng  P  là một đường trịn có chu vi bằng 8.
Câu 9. (0,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A2,0, B 2, 2, C 4, 2, D 4,0 .
Xét các điểm có tọa độ  x; y  với x, y là các số nguyên, nằm trong hình chữ nhật ABCD (kể cả các
điểm nằm trên các cạnh). Trong các điểm đó, chọn ngẫu nhiên một điểm. Tính xác suất để điểm
được chọn có tọa độ  x; y  thỏa x  y  2.
Câu 10. (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ac  b 2  2bc. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2a 2  b 2
2b 2  c 2
biểu thức P 
 2 2
.
a 2b 2  ab 3  4b 4
b c  bc 3  4c 4

Tham gia ngay!! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


T
De

ĐÁP ÁN TOÁN THPT 2014-2015
Câu Ý
Nội dung
1
a Học sinh khảo sát và vẽ đúng đồ thị hàm số
b
1
y ' x  4 x 3  16 x; y '' x  12 x 2  16  13  x  
2
1
15
93
x   phương trình tiếp tuyến: y  x 
2
2
16
1
15
93
x    phương trình tiếp tuyến: y   x  .
2
2
16

2
a Biến đổi phương trình như sau
1  sin x cos x  2sin x  cos x  1  21  sin x  cos x 1 sin x  0

Điểm
1,0
0,5
0,25
0,25

0,25

 1 sin xcos x  2  0

Vì cos x  1 nên phương trình có nghiệm x 

b

3

w  i 3  2i   3  2i   1  i
 Re w  1, Im w  1.


 k 2 .
2

0,25

ĐK: x  0. Biến đổi bất phương trình 6log x  10log3 x  4  0 *

2
3

Đặt t  log 3 x  * : 6t 2  10t  4  0  2  t 

1
3

0,25

 x    x 1 *
 x  1 x 1
x


2
2
x  1  x 1  1
x  x 1  1
3

3

3

1

.N

Hơn nữa f t  liên tục trên  , nên đồng biến trên 

 3 5 
.
Vậy * : f x  f  x 1  x  x 1  x 0;


2 

t 2 1
 dx  tdt
Đặt t  2 x  1  x 
2
3
3
t4

 t5 t3 t 

1
478
2
I     t   dt     
.
2
15
2
10 3 2 

 

0,25

0,5

0,25
0,5
0,5

1

Gọi M là trung điểm AD , theo giả thiết SM   ABCD .
Tứ giác MBCD là hình bình hành nên MB  a, do đó SM  a.
Ta có MC  a nên tam giác MBC đều, do đó
3 3a 2
1
3a 3
dt  ABCD   3dt  MBC  
 V  .SM .dt  ABCD  
.
4
3
4
Gọi K là trung điểm BC , H là hình chiếu của M lên SK .

et

6

hu

t3

t 4  3t 2
Đặt f t   2
 0, t  
t    , ta có f 't   2
2
t 1
t  1

5

0,25
0,25

1

Suy ra tập nghiệm bất phương trình S   ; 3 3  .
 9

Điều kiện x  0. Biến đổi bất phương trình

hiT

4

0,25

Do SC  SB  a 2 nên tam giác SBC cân tại S , do đó


 BC  MK  BC   SMK    BC  MH  MH   SBC 



 BC  SK
 SK  MH



0,25
0,25

0,25

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


a 3
, do đó
2
SM .KM
a 21
d  SB, AD   d  AD,  SBC   MH 

.
2
2
7
SM  KM
Đường trịn T  có tâm K 2;2, bán kính r  2;
Tam giác MBC đều cạnh bằng a nên MK 

7

Gọi I t; t , bán kính của đường tròn C  là R  d  I ,  

0,25

0,25

4t 10
10

22t  5
8 2
2 
t  5t  5
5
5
và d  K , AB   2; IK  2 t  2  2 2  t  (do t  0 )
TH1. I , K khác phía đối với AB :
2

Ta có d  I , AB   R 2  2 

T
De

d  I , AB  d  K , AB   IK  2



0,25

1 2
t  5t  5  1 t  t  5  2 10
5

 

 

2

0,25



2

2

 C  : x  5  2 10  y  5  2 10  8  3 10 .

TH2. I , K cùng phía đối với AB :

d  I , AB   d  K , AB   IK  2

hiT

1 2
t  5t  5 1  2  t *

5

0,25

* không có nghiệm âm

C  :  x  5  2 10    y  5  2 10   8  3 10 
2

8

2

2

Đường tròn giao tuyến của  S  và  P có r  4; d  I ,  P   3 .

0,5

Bán kính mặt cầu là R  r 2  d 2  I , P   5

0,5

Vậy phương trình  S  :  x 1   y  2   z  2  25.
2

2

hu

9

2

Không gian mẫu    x; y  | x, y  ,  2  x  4,0  y  2

0,25

A   x, y    | x  y  2

 2;0;2;1;2;2;1;0;1;1;1; 2;0;0;0;1;1;0

10

n  A 9
3
  .
n  21 7

.N

Suy ra P  A 

0,25

Trong đó f t  

f t  


4 2t 2  1
t t 8
2

2t 2  1
t2 t  4

et

a
b
Đặt x  , y   x, y  0, x  y  2
b
c
2
2 x 1
2 y 2 1
 2
 f  x  f  y 
Ta có P 
x2  x  4
y  y4

với t  0;2.

t 113t  16 3 t 1 104  29t  29
2



2 t  t  8
2

 
2

16 t  t  8

29
3
t 1  .
16
2

29
 x  y  2  3  3
16
Nên min P  3 khi x  y  1  a  b  c.

Vậy P  f  x   f  y  

2



16

t 1 

0,25

3
2
0,5

0,25


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
Chú ý. Học sinh có thể sử dụng tọa độ để giải bài toán 6 như sau
a 3 a 

  

Chọn hệ trục tọa độ M ; MK , MD, MS khi đó C 
; ;0 , D 0; a;0, S 0;0; a ,
 2 2



 a3 3
  a 3 a  


1   
.
MC  
; ;0 , MD  0; a;0, MS  0;0; a   V  3VS .MCD   MC , MD  MS 
 2 2


2
4


 a 3 a  



  a 3 a
-Ta có A0; a;0, B 
;  ;0  AD  0;2a;0, SB  
;  ; a

 2
 2
2 
2



  


 AD, SB  .MS


a 21
Vậy d  AD, SB     

.


 AD, SB
7







T
De

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

et

.N

hu

hiT


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM
TRƯỜNG THPT CHUN
NGUYỄN BỈNH KHIÊM

KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015

MƠN TỐN
Thời gian làm bài : 180 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC:
Câu 1) (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - 2 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số

T
De

1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = - x
9
Câu 2) (1,0 điểm)
2 x
a) Giải phương trình: cos x + 2 cos - 3 = 0
3
b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z + z = 6 và z 2 + 2 z - 8i là một số thực.
2
Câu 3) (0,5 điểm) Giải phương trình: log 4 ( x - 7 x + 10) - log 4 ( x - 2) = log 1 ( x + 5)
4

hiT

Câu 4) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
ì x ( x + 6 y - 4) + 3 y (3 y - 4) + 8 + 2( x + y ) = ( x + y ) 2 + 4(1 - xy ) + 2
ï
í
2
ï 3 x - xy + 22 - 1 - y = x - 2 y + 3

ỵ
Câu 5) (1,0 điểm) Tính tích phân I =

p
4

ị ( x + 2 + tan

2

x) sin xdx

0

hu

Câu 6) (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a 3 , BC = 3a , · = 300 . Cạnh
ACB
0
bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60 và mặt phẳng (A’BC) vng góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên
cạnh BC sao cho BC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vng góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A’B’C ' và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC).
Câu 7) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(– 3; – 4), tâm đường tròn nội tiếp
1
I(2; 1) và tâm đường trịn ngoại tiếp J( - ;1 ). Viết phương trình đường thẳng BC.
2

.N

Câu 8) (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; – 2; 11), B( – 2; – 10; 3) và mặt phẳng

(P): x + y – z – 4 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB và tìm điểm M trên mặt phẳng (P)
sao cho MA = MB = 13.

et

Câu 9) (0,5 điểm) Một hộp đựng 3 xanh , 4 bi đỏ và 5 bi vàng . Lấy ngẫu nhiên 5 bi từ hộp. Tính xác suất để
trong 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau.
Câu 10) (1,0 điểm) Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0, 1) thỏa mãn (a 3 + b3 )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
12
a 4 + b4
+ 3ab P=
ab
36 + (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 )
-------------------------------------------------------

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
1


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Câu

Đáp án

Điểm

T

De

Câu1)
a) y = x3 + 3 x 2 - 2
+ TXĐ D = R , xlim y = -¥ , xlim y = +Ơ
đ-Ơ
đ+Ơ

hiT

ộ x = 0 ị y = -2
+ y ' = 3x 2 + 6 x , y ' = 0 Û ê
ë x = -2 Þ y = 2
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------+ BBT
-¥
x
0
+¥
-2
y’
+
0
0
+
¥
y
Câu 1
-¥
-2
(2,0đ)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Hàm ĐB trên các khoảng ( -¥ ; -2 ), (0; + ¥ ) và NB trên khoảng ( -2 ; 0). Điểm cực đại đồ
thị ( -2 ; 2); điểm cực tiểu đồ thị (0; -2 )
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Đồ thị

0,25

0,25

0,25

4

hu
2

-10

-5

0,25

5

10

-2

.N

-4

et

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
b)Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = - x nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------é x0 = 1 Þ y0 = 2
2
Ta có y '( x0 ) = 9 Û 3x0 + 6 x0 = 9 Û ê
ë x0 = -3 Þ y0 = -2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (1, 2) là y = 9( x - 1) + 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------+Phương trình tiếp tuyến tại điểm (– 3, – 2 ) là y = 9( x + 3) - 2

0,25
0,25
0,25
0,25
2

Tham gia ngay!! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


Câu 2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------(1,0đ) Câu 2)
x
2 x
3 x
2 x
a) cos x + 2cos - 3 = 0 Û 4cos - 3cos + 2 cos - 3 = 0
3
3

3
3
x
x
x
Û (cos - 1)(4 cos 2 + 6cos + 3) = 0
3
3
3
Câu

T
De

Đáp án
x
x
Û cos = 1 Û = k 2p Û x = 6kp , k Ỵ Z
3
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) Gọi z = x + yi . Ta có z + z = 6 Û ( x + yi ) + ( x - yi) = 6 Û x = 3 (1)

hiT

2
2
2
z 2 + 2 z - 8i = ( x + yi) + 2( x - yi ) - 8i = ( x - y + 2 x) + (2 xy - 2 y - 8)i là số thực nên
2 xy - 2 y - 8 = 0 (2).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Từ (1) và (2) ta giải được x = 3 và y = 2. Vậy z = 3 + 2i

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------ì x 2 - 7 x + 10 > 0
ìx < 2 Ú x > 5
ï
ï
Câu 3
x-2>0
Û íx > 2
Û x>5
(0,5đ) Câu 3) b)ĐK í
ïx + 5 > 0
ï x > -5
ỵ
ỵ

0,25

Điểm
0,25

0,25
0,25

0,25

2
Với ĐK trên phương trình tương đương : log 4 ( x - 7 x + 10) - log 4 ( x - 2) = - log 4 ( x + 5)

.N

hu

Û log 4 ( x 2 - 7 x + 10)( x + 5) = log 4 ( x - 2)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Û ( x 2 - 7 x + 10)( x + 5) = x - 2
Û ( x - 5)( x + 5) = 1 Û x = 26 (vì x > 5)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------ì x( x + 6 y - 4) + 3 y (3 y - 4) + 8 + 2( x + y ) = ( x + y ) 2 + 4(1 - xy ) + 2 (1)
ï
Câu 4) í
2
ï 3 x - xy + 22 - 1 - y = x - 2 y + 3(2)
ỵ
Câu 4
(1,0đ) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------+Ta có (1) Û ( x + 3 y - 2) 2 + 4 + ( x + 3 y - 2) = ( y - x) 2 + 4 + ( y - x)
+ Xét hàm f (t ) = t + 4 + t , t Ỵ R . Ta có f '(t ) =
2

t

t +4
2

+1 =

t2 + 4 + t
t +4
2

> 0, "t Î R

(3) Û ( x 2 + 2 x + 22 - 5) - ( x - 1) = x 2 + 2 x - 3
Û

x2 + 2 x - 3
x 2 + 2 x + 22 + 5

-

et

Suy ra f(t) đồng biến trên R.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Ta có (1) Û f ( x + 3 y - 2) = f ( y - x ) Û x + 3 y - 2 = y - x Û y = 1 - x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Thế y = 1 – x vào (2) ta có : x 2 + 2 x + 22 - x = x 2 + 2 x + 1 (3) . Với ĐK x ³ 0. ta có

0,25

0,25

0,25

x -1
= ( x - 1)( x + 3)
x +1
0,25
3


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
é 1
ỉ
ứ
1

Û ( x - 1) ờ
+ ( x + 3) ỗ1 ữỳ = 0 Û x = 1
x 2 + 2 x + 22 + 5 ø ú
ê x +1
è
ë
û
ỉ
ư
1
1
+ ( x + 3) ç1 ÷ > 0 (phải giải thích)
x +1
x 2 + 2 x + 22 + 5 ø
è
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------x = 1 Þ y = 0 .Vậy hệ có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0)
Vì với x ³ 0 thì

T
De

Câu

p
4

Đáp án
p
4

Điểm
p
4

sin x
dx
cos 2 x
0
0
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìu = x + 1
ì du = dx
Þí
+ Đặt í
.
ỵ dv = sin xdx ỵv = - cos x

Câu 5 Câu 5) I =
(1,0đ)

p
4

2

x)sin xdx = ò ( x + 1)sin xdx + ò

p
4

p
p
2
2
+ 1 + sin x 04 = p +1
( x + 1) sin xdx = -( x + 1) cos x + ò cos xdx = -( + 1)
ị
4
2
8
0
0
p
4
0

hiT

Ta có

ị ( x + 2 + tan

0,25

0,25

0,25

------------------------------------------------------------------------------------------------------------p
4

p
4

p

.N

hu

4
+ sin x dx = -d (cos x) = 1
ò cos2 x ò cos2 x cos x 0 = 2 - 1
0
0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
+ Vậy I = p+ 2
8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 6 Câu 6)
(1,0đ)
ì( A ' BC ) ^ ( ABC )
A'
ï
Þ A ' H ^ ( ABC )
í( A ' AH ) ^ ( ABC )
ï A ' H = ( A ' BC ) ầ ( A ' AH )
ợ
C'
B'
Suy ra à AH = 600

A'

et

Þ A ' H = AH tan 600 = a 3
2

0,25

C

VABC . A ' B 'C ' = S ABC . A ' H =

3a

3

0,25

3

9a
4
4
-------------------------------------------------------Vì AH 2 + AC 2 = HC 2 Þ HA ^ AC Þ AA ' ^ AC
1
1
S A ' AC = . AC. AA ' = .a 3.2a = a 2 3
2
2

H

0,25

---------------------------------------------------------AH 2 = AC 2 + HC 2 - 2 AC.HC .cos 300 = a 2
Þ AH = a

A

B

0,25

.a 3 =

0,25

4


T
De

------------------------------------------------------------------------------------------------------------9 3
a
3 3a
Þ d ( B, ( A ' AC )) = 3.VA ' ABC = 4
=
2
S A ' AC

4
a 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 7 Câu 7)
(1,0đ)
1 2
125
2
+ Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC : ( x + ) + ( y - 1) =
(1)
2
4
x+3 y+4
Û x - y -1 = 0
=
+ Phương trình đường thẳng AI :
2 + 3 1+ 4
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu

et

.N

hu

hiT

Đáp án
+ Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là D, trung điểm cung BC.
Hoành độ điểm D là nghiệm khác – 3 của phương trình :
é x = -3

1 2
125
9 7
2
( x + ) + ( x - 2) =
Ûê
9 . Suy ra D( ; )
êx =
2
4
2 2
ë
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------A B
B A
·
·
·
·
·
·
+ Ta có BID = + và IBD = IBC + CBD = + suy ra BID = IBD Þ DI = DB = DC
2 2
2 2
Þ B, C nằm trên đường trịn tâm D bán kính DI có phương trình :
9
7
50
( x - )2 + ( y - )2 =
(2)

2
2
4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Tọa độ điểm B và C là nghiệm hệ phương trình (1) và (2)
1
125
ì
( x + ) 2 + ( y - 1) 2 =
2
2
ï
ï
2
4 Û ì x + y + x - 2 y - 30 = 0 Û ì10 x + 5 y - 50 = 0
í
í 2
í 2
2
2
ï x + y - 9 x - 7 y + 20 = 0
ỵ x + y - 9 x - 7 y + 10 = 0
ï( x - 9 ) 2 + ( y - 7 ) 2 = 50
ỵ
ï
2
2
4
ỵ
Suy ra phương trình đường thẳng BC : 10 x + 5 y - 50 = 0 hay 2 x + y - 10 = 0
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 8)



Câu 8 + Mp trung trực (Q) của đoạn AB qua trung điểm I(1; – 6; 7) của AB nhận AB = (-6; -8; -8)
(1,0đ)
làm VTPT
------------------------------------------------------------------------------------------------------------Suy ra phương trình mp(Q): -6( x - 1) - 8( y + 6) - 8( z - 7) = 0 Û 3 x + 4 y + 4 z - 7 = 0
------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Gọi D = (Q) Ç (P). Đường thẳng D là tập hợp các điểm thỏa hệ phương trình:
ì3 x + 4 y + 4 z - 7 = 0
(1)
í
ỵx + y - z - 4 = 0




+ (P) có VTPT nP = (1;1; -1) , (Q) có VTPT nQ = (3; 4; 4)
  
 
suy ra D có VTCP u = [nP , nQ ] = (8; -7;1) . Trong (1) cho x = 1 giải được y = 2; z = – 1 suy

0,25

0,25

Điểm

0,25

0,25

0,25

0,25
0,25

0,25
5


ra D đi qua điểm I(1; 2; – 1). Vậy phương trình tham số đường thẳng D
ì x = 1 + 8t
ï
í y = 2 - 7t
ï z = -1 + t
ợ

T
De

------------------------------------------------------------------------------------------------------------+M ẻ D thỡ M ẻ (P) v MA = MB. Ta có M(1 + 8t ; 2 – 7t ; – 1 + t)
MA = 13 Û (8t - 3) 2 + (4 - 7t )2 + (t - 12) 2 = 169 Û 114t 2 - 128t = 0 Û t = 0 hoặc t = 64 / 27
569 334 7
;; )
Vậy có hai điểm M thỏa bài toán : M 1 (1; 2; -1) , M 2 (
57
57 57
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Câu 9)
Câu 9
5
(0,5đ) + Có C12 = 792 cách chọn 5 bi từ hộp 12 bi Þ W = 792

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------+ Gọi X là biến cố :’’ 5 bi lấy ra có đủ 3 màu và số bi xanh và số bi đỏ bằng nhau’’
1 1 3
TH1 : 1X, 1Đ, 3V Þ có C3C4C5 = 120 cách chọn
2 2 1
TH2 : 2X, 2Đ, 1V Þ có C3 C4 C5 = 90 cách chọn

0,25

0,25

hiT

Câu
10
(1,0đ)

Suy ra W X = 120 + 90 = 210
WX
210 35
=
=
Vậy P(X) =
W
792 132
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------12
a 4 + b4
+ 3ab Câu 10) P =
ab
36 + (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 )

0,25

hu

---------------------------------------------------------------------------------------------------------(a 3 + b3 )(a + b)
= (1 - a)(1 - b) (*)
GT : (a 3 + b 3 )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = 0 Û
ab
(a 3 + b3 )(a + b) ổ a 2 b 2 ử
= ỗ + ữ (a + b) ³ 2 ab .2 ab = 4ab
Vì
ab
à
è b

0,25

.N

và (1 - a )(1 - b) = 1 - ( a + b) + ab £ 1 - 2 ab + ab , khi đó từ (*) suy ra 4ab £ 1 - 2 ab + ab
,
1
ì
1
ï0 < t £
Û03
Đặt t = ab (t > 0) ta được 2 t £ 1 - 3t Û í
9
ï 4t £ (1 - 3t ) 2

ỵ

------------------------------------------------------------------------------------------------------12

36 + (1 + 9a )(1 + 9b )
2

2

£

2
1 + ab

et

Ta có (1 + 9a 2 )(1 + 9b 2 ) ³ 36ab Þ

a 4 + b4
£ 3ab - 2ab = ab .
ab
2
1
+ ab . Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b = .
Suy ra P £
1 + ab
3
------------------------------------------------------------------------------------------------------------và 3ab -

0,25

6


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
2
1
+ t với 0 < t Ê ,
1+ t
9
1
1
1
> 0, "t ẻ (0, ] ị f(t) đồng biến trên (0, ]
ta có f '(t ) = 1 9
(1 + t ) 1 + t
9
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ìa = b
1
6
1
1
ï
+ , dấu đẳng thức xảy ra Û í
f(t) £ f ( ) =
1 Ûa=b=
9
3
10 9
ït = ab = 9

ỵ
6
1
1
+ đạt được tại a = b =
Vậy MaxP =
10 9
3

. Xét hàm f (t ) =

0,25

0,25

T
De

Tham gia ngay!! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

et

.N

hu

hiT
7

DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI

ĐỀ THI THỬ ­ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015

MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài: 180 phút

x3 3 2
1
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = - x - 3x + (1).
2 4
2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1);
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng
(d ) : y =

T
De

8
x +1.
27

Câu 2 (1,0 điểm).
1) Giải phương trình: cos 2x + cos 2 x - sin x+2 = 0 .
2) Tìm các số thực x, y thỏa mãn: 2 x + 1 + (1 - 2 y ) i = ( -2 + x ) i 2 + (3 y - 2)i .
Câu 3 (0,5 điểm). Giải phương trình sau trên tập số thực: log2 x - log9 (9x 2 ) - 1 = 0 .

3

hiT

ì2 x 2 + 5 = 2 2 y + x 2
ï
Câu 4 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: í
.
ï x + 3 xy + x - y 2 - y = 5 y + 4
ỵ
1 x
e +x
Câu 5 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ị x dx .
e
0

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAC bằng 600.
Hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm H thuộc đoạn BD sao cho HD =
2HB. Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng ( ABCD ) góc 600 với O là giao điểm của AC và BD.

hu

Tính thể tích khối chóp S . ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) theo a .
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn
đường kính AC. Biết M ( 3; -1) là trung điểm của cạnh BD , điểm C ( 4; -2 ) . Điểm N ( -1; -3) nằm
trên đường thẳng đi qua B và vng góc với AD. Đường thẳng AD đi qua điểm P (1;3) . Tìm tọa
độ các đỉnh A, B, D.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M ( 2;3;5 ) và đường thẳng
x +1 y + 2 z - 2
=

=
. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua M và vng góc với đường thẳng
1
3
2

.N

d:

d . Tìm tọa độ điểm N thuộc d sao cho N cách M một khoảng bằng 5.

22

của biểu thức P =

5 - 4x - 1 + x
.
5 - 4x + 2 1 + x + 6

et

2ư
ỉ
Câu 9 (0,5 điểm). Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thc Niuưtn ca ỗ x 2 - ữ .
xứ
ố
5
Cõu 10 (1,0 điểm). Cho x là số thực thuộc đoạn é -1; ù . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
ê

ú
4û
ë
8

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­HẾT­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LÀO CAI

HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI THỬ LẦN 2 ­ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015

MƠN THI: TỐN

( Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang, 10 câu)

T
De

I. Hướng dẫn chấm:
1. Cho điểm lẻ tới 0,25;
2. Điểm toàn bài là tổng điểm thành phần, khơng làm trịn;
3. Chỉ cho điểm tối đa khi bài làm của thí sinh chính xác về mặt kiến thức;

4. Thí sinh giải đúng bằng cách khác cho điểm tương ứng ở các phần.
5. Với bài hình học khơng gian (câu 6) nếu thí sinh khơng vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì khơng
cho điểm tương ứng với phần đó.
II. ĐÁP ÁN:

Câu
1

(2,0 điểm)

Nội dung

Điểm

1. (1,0 điểm)
* Tập xác định: D = R
* Sự biến thiên:
· Giới hạn: lim y = -Ơ lim y = +Ơ .
x đ-Ơ

0.25

x ®+¥

3
2

é x = -1
ëx = 2

3
2

hiT

· Đạo hàm: y ' = x 2 - x - 3; y ' = 0 Û ê
· Bảng biến thiên
x

y'

­¥

+

0

+¥

2

­1

­

0.25

+

0

hu

+¥

9
4

y

­

2

.N

­¥

9

· Kết luận:
­ Hàm sơ nghịch biến trên khoảng (-1;2) ;

et

­

Hàm sô đồng biến trên các khoảng (–¥;­1) và (2;+¥) ;

­

Hàm số đạt cực đại tại điểm xCD = -1 ; y CD

­

Hàm số đạt cực tiểu tại x CT = 2 ; y CT = -

0.25

9
= ;
4

9
2

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


4

y

* Đồ thị:

0.25 

9 
4 

2

­

5 
1 

2 

O 

2 

2 

­1

7 
­

9 
8 

5

x

2 

I

­2

­4

T
De

­

9 
2 

2.(1,0 điểm)

Gọi D là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M ( x0 ; y0  ) và vng góc với đường 

2
(1,0điểm)

hiT

8
27
thẳng  y = x + 1 . Khi đó D có hệ số góc bằng ­ 
27
8
27
Û y ' ( x0 ) = 8
3 2  3

3
1
9
Û x0 - x0 + = 0 Û x0  = . Ta có  y0  = 2
2
8
2
8
27
9
27
9
1
Phương trình của D là  y = - ỉ x - ư - Û y = - x +
ỗ
ữ
8 ố
8
16
2ứ 8

0,25
0,25
0,25
0,25

1.(0,5im)
cos 2x + cos 2 x - sin x = 0 Û -3sin 2 x - sin x + 4 = 0 Û sin x = 1
p

2

+ k2p .( k ẻ Â )

2.(0,5im)

hu

sin x = 1 x =

0,25
0,25 

2 x + 1 + (1 - 2 y ) i = ( -2 + x ) i 2  + (3 y - 2)i Û 2 x + 1 + (1 - 2 y ) i = ( 2 - x ) + (3 y - 2)i

(0,5 điểm)

4
(1,0 điểm)

log2 x - log9 (9x 2 ) - 1 = 0 (1) 
3

Điều kiện: x > 0. Với điều kiện trên ta có

et

3

0,25

.N

ì 2 x + 1 = 2 - x 
Ûí
ỵ1 - 2 y = 3 y - 2
1 
ì
ï x = 3 
ï
Ûí
ï y = 3 
ï
5
ỵ

é log x  = -1 
(1  Û log2  x - log3  x  - 2 = 0  Û êê 3 
)
3
êë log3  x = 2
é
ì 1  ü
êx  = 1 
ï
ï
ý
Ûê
3  . Kết hợp điều kiện phương trình (1) có tập nghiệm là  S = ớ 9
ù3 ù

ờ
ợ
ù
ỵ
ù
x =9
ờở
ỡ2 x 2 + 5 = 2 2 y + x 2  (1)
ï
í
ï x + 3 xy + x - y 2  - y = 5 y + 4
ỵ

. Điều kiện:  xy + x - y 2  - y ³ 0 và  y ³ 0
(2)

0,25 

0,25

0,25 


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
­ Với điều kiện trên:
( 2 ) Û ( x - 2 y - 1) + 3

0,25

(

)

xy + x - y 2 - y - y - 1 = 0

3 ( y + 1)
é
ù
Û ( x - 2 y - 1) ê1 +
ú=0
2
xy + x - y - y + y + 1 ú
ê
ë
û
Û x - 2 y - 1 = 0 ( Vì với x,y thỏa mãn xy + x - y 2 - y ³ 0 và y ³ 0 thì

0,25

3 ( y + 1)

1+

xy + x - y 2 - y + y + 1

> 0)

T
De

Thế 2 y = x - 1 vào (1) ta có
2 x2 + 5 = 2 x - 1 + x2 Û 2

é 2( x + 2)
+
Û ( x - 2) ê- 2
x +5 +3
ë
Ta thấy : "x ³ 1 ,

0,25
x2 - 4

x-2
+ ( x - 2)( x + 2)
x -1 + 1
x2 + 5 + 3
2
ù
+ ( x + 2 ) ú = 0 (3)
x -1 + 1
ỷ
=2

ổ
ử
2
2
+ ( x + 2 ) ỗ1 - 2
ữ > 0,

2
x -1 +1
x +5+3
x +5 +3ø
è
nên (3) có nghiệm duy nhất x = 2. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
( x; y ) = ỉ 2 ử .
ỗ
ữ
ố 2ứ
-

(1,0 im)

2
+ ( x + 2) =
x -1 +1

+

hiT

5

2( x + 2)

1

1

1

ex + x
I = ò x dx = ò 1.dx + ò x.e - x .dx
e
0
0
0

0,25

hu

1

I1 = ị 1.dx = x 1 = 1
0
0
1

0,25

ìu = x
ì du = dx
I 2 = ò x.e - x .dx . t ớ
ịớ
-x
-x
0

ợ dv = e dx ợv = -e
1
1

1

0

S

6

A
D

H
B

2
2
. Vậy I = I1 + I 2 = 2 e
e

et

(1,0 điểm)

0,25

.N

I 2 = ( - xe ) 0 + ò e - x .dx = ( - xe - x - e - x ) 0 = 1 -x

0,25

O

C

0,25


* Tính thể tích khối chóp S.ABCD : 
SH ^ (ABCD)  =>HO  là  hình 
· · ·
( SO, ( ABCD )) = ( HO, AC ) = SOH = 60

chiếu 

của 

SO 

trên 

(ABCD) 

nên 

0,25

0

a 2 3 a 2  3
=
4
2
1 a 3 
a 
Trong tam giác SHO có SAH = HO.tan 600  =
3  =
3 2
2

Diện tích ABCD là  S ABCD = 2S DABC = 2. 

1
3

Thể tích S.ABCD là  VS . ABCD = SH .S ABCD  =

0,25

T
De

3 
a  3 
12

*Tính khoảng cách từ B đến (SCD) :
d ( B, ( SCD ) ) =

VB. SCD = VS . BCD

3  B . SCD 
V
(1)
S 
SCD 

0,25

3 
1
a  3 
= VS . ABCD  =
(2)
2
24

SD = SH 2 + HD 2 =

a 57
a  21 
; SC = SH 2 + HC 2  =
6
6

hiT

Trong tam giác SCD có
SD =

a 57
a 21
SC + SD + CD
; SC =
; CD = a; p =
;
6
6
2

S SCD  =

a 2  21
p ( p - SC )( p - SC )( p - CD ) =
(3)
12

3a  7 
d ( B, ( SCD ) ) =
14

(1,0 điểm)

0,25 

Giả sử D ( a; b ) . Vì M là trung điểm BD nên B ( 6 - a; -2 - b ) .

Ta có  · = 900  Þ AD ^ DC Þ BN / /CD
ADC
uuu
r
NB = ( 7 - a;1 - b )

.N

7

hu

Từ (1), (2), (3) ta có

é a = 5 
ëa = 4

Thế (1) vào (2) ta có  2a 2  - 18a + 40 = 0 Û ê

uuu uuu
r r
NB, CD

cùng

et

uuu
r
CD = ( a - 4; b + 2 ) . Ta  có 

( 7 - a )( b + 2 ) = ( a - 4 )(1 - b ) Û b = a - 6  (1)
uuu
r
Ta có PD = ( a - 1; b - 3) ;
uuu uuu
r
r
PD ^ CD Û ( a - 1)( a - 4 ) + ( b + 2 )( b - 3 ) = 0  (2)

và

phương

Với a = 4 ta có b = ­2. Khi đó D(4;­2) trùng C (loại).
Với a = 5 ta có b = ­1. Vậy D(5;­1) và B(1;­1).
Vì AD đi qua P(1;3) và D(5;­1) nên phương trình đường thẳng AD: x + y – 4 = 0.
Vì AB vng góc với BC nên phương trình đường thẳng AB: 3x ­ y – 4 = 0.
ì3 x - y - 4 = 0
ì x = 2 
.
Ûí
ỵx + y - 4 = 0
ỵy = 2

Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình  í
Vậy A ( 2; 2 ) , D(5;­1) và B(1;­1).

0,25

0,25

0,25

0,25


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
8
(1,0 điểm)

* Viết phương trình mặt phẳng (P) :
r
d có véctơ chỉ phương là : u = (1;3; 2) , vì (P) vng góc với d nên (P) có véctơ pháp
r
tuyến u = (1;3; 2)
Phương trình mp(P) : 1( x - 2 ) + 3( y - 3) + 2( z - 5) = 0 Û x + 3 y + 2 z - 21 = 0
* Tìm N:
Vì N thuộc d nên N(t ­ 1; 3t ­ 2; 2t + 2). Ta có
MN = 5 Û (t - 3) 2 + (3t - 5) 2 + (2t - 3) 2 = 5
ét = 3
æ 4 5 20 ö
Û 14t - 48t + 18 = 0 Û ê 3 . Vậy: N(2; 7; 8) hoặc N ỗ - - ữ
ờt =
ố 7 7 7 ứ
ở 7

0,25
0,25
0,25

0,25

2

T
De
9

22

2ử
ổ
S hng tng quỏt trong khai trin ỗ x 2 - ÷ là
xø
è

(0, 5 điểm)

0,25

k

k
C22 ( x 2 )

22 - k

ỉ 2 ư = C k ( ) k x 44 -3 k
ỗ- ữ
22 -2
ố xứ

hiT

ỡ0 Ê k Ê 22
ù
Ta cú ớk ẻ Ơ
k = 12 , Vậy, hệ số của x 8 trong khai triển nhị thc Niuưtn
ù44 - 3k = 8
ợ

0,25

22

2ử
ổ
12
ca ỗ x 2 - ÷ là C22 ( -2 )12 .
xø
è

(1,0 điểm)

ë

2û

hu

10

Đặt a = 5 - 4 x ; b = 1 + x thì a 2 + 4b 2 = 9; a, b ³ 0
é pù
Do đó đặt a Ỵ ê0; ú : a = 3sin a ; 2b = 3cos a . Khi đó:
3
3sin a - cos a
a-b
2sin a- cos a
2
P=
=
=
a + 2b + 6 3sin a + 3cos a + 6 2sin a + 2cos a + 4

.N

é pù
2 sin - cos a
a
, với a Ỵ ê0; ú .
2sin a + 2 cos a + 4
ë 2û
é pù
6 + 4sin + 8 cos a
a
> 0 với mọi a Ỵ ê0; ú .
Ta có f '( x) =
2
(2 sin a + 2 cos a + 4)
ë 2û

é pù
Suy ra hàm f(x) đồng biến trên đoạn a Ỵ ê0; ú .
ë 2û

Xét hàm số f ( x) =

et

1
ỉp ư 1
Do đó: min f (a ) = f (0) = - ; m ax f (a ) = f ỗ ữ = .
pự
ộ pự
6 é0; ú
xỴê0; ú
è2ø 3
ê 2û
ë 2û
ë
1
6

Vậy min P = - , khi x =

5
1
; Vậy max P = , khi a = -1 .
4
3

0,25

0,25

0,25

0,25

Tham gia ngay!! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
TRƯỜNG THPT MẠC ĐỈNH CHI
ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015

T
De

Mơn TỐN
Thời gian làm bài 180 phút
­­­­­­­­­­­­***­­­­­­­­­­­­
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số: y = x 4 - 2( m 2 + 1) x 2 + 1 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị thỏa mãn giá
trị cực tiểu đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình : sin 2 x - cos x + sin x = 1 (x Ỵ R )
b) Giải bất phương trình : log 1 élog 2 (2 - x 2 ) ù > 0 ( x Ỵ R) .
ë
û

2

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I = ị

2

1

dx
x x3 + 1

.

z - 11
z - 4i
.
= z - 1. Hãy tính
z-2
z + 2i
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' , DABC đều có cạnh bằng a , AA ' = a
và đỉnh A ' cách đều A, B, C . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và A ' B .
Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' và khoảng cách từ C đến mặt phẳng
( AMN ) .
Câu 6 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có phương
trình x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa truc Oy
Câu 4 (0,5 điểm). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

hiT

2 . Tính diện tích tam giác ABC .

.N

hu

và cắt mặt cầu ( S ) theo một đường trịn có bán kính r = 2 3 .
Câu 7 (0,5 điểm). Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9
đội nước ngồi và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia
thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba
bảng khác nhau.
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường
cao AH có phương trình 3 x + 4 y + 10 = 0 và đường phân giác trong BE có phương trình
x - y + 1 = 0 . Điểm M (0;2) thuộc đường thẳng AB và cách đỉnh C một khoảng bằng

(

Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình: x 2 + 5 x < 4 1 + x ( x 2 + 2 x - 4)

)

(xỴ R).

Câu10 (1,0 điểm). Cho các số thực x; y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

et

P = x2 + y 2 + 2 x + 1 + x 2 + y 2 - 2 x + 1 + y - 2 .
­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

trang 1


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

ĐÁP ÁN
Câu 1. a) (Tự khảo sát)
(2 đ) b) y’ = 4x3 – 4(m2+1)x
éx = 0

y’ = 0 Û ê

2
êx = ± m +1
ë

Þ hàm số (1) ln có 3 điểm cực trị với mọi m

xCT = ± m2 + 1 Þ giá trị cực tiểu yCT = -(m 2 + 1)2 + 1
Vì ( m 2 + 1) 2 ³ 1 Þ yCT £ 0 max( yCT ) = 0 Û m 2 + 1 = 1 Û m = 0

T
De

Câu 2. a) sin 2 x - cos x + sin x = 1 (1)
(1 đ) (1) Û (sin x - cos x)(1 + sin x - cos x) = 0
p
é
êx = 4 + kp

ésin x - cos x = 0
Ûê
Ûê
(k Ỵ Z )
ë1 + sin x - cos x = 0
ê x = 2k p Ú x = 3p + 2k p
ê
ë
2

b) og 1 é log 2 (2 - x 2 ) ù > 0 ( x Ỵ R ) (2).
ë
û
2

Điều kiện: log 2 (2 - x 2 ) > 0 Û 2 - x 2 > 1 Û -1 < x < 1

Câu 3.
(1 đ)

I =ị

2

1

hiT

ì -1 < x < 1
ì -1 < x < 1 ì -1 < x < 1

Khi đó (2) Û log 2 (2 - x 2 ) < 1 ớ
ớ 2
ớ
2
ợ xạ0
ợ2 - x < 2
ợx > 0
Vậy tập nghiệm bpt là S = ( -1;0) È (0;1)
dx
3

x x +1

=ị

x 2 dx

2

1

x

3

3

.

x +1

.N

1ỉ 1
2 -1 ư 1 3 + 2 2
= ỗ ln - ln
ữ = ln
3è 2
2
2 +1ø 3
2
é z = 2 + 3i
z - 11
= z - 1 Û z 2 - 4 z + 13 = 0 , D ' = -9 = 9i 2 Þ ê
z-2
ë z = 2 - 3i

1 x -1
I = ln
3 x +1
Câu 4.
(0,5 đ)

3

hu

2
Đặt t = x 3 + 1 Þ x 3 = t 2 - 1 Þ x 2 dx = t.dt .
3

x =1Þ t = 2 ; x = 2 Þ t = 3
3 2
t.dt
1 3 ổ 1
1 ử
I =ũ
= ũ ỗ
ữ dt
2
2 3 (t - 1)t
3 2 è t -1 t +1 ø

z - 4i 2 - i
=
=1
z + 2i 2 - i
53
z - 4i 2 - 7i
l z = 2 - 3i Þ
=
=
z + 2i 2 + 5i
29
Câu 5. l Gọi O là tâm tam giác đều ABC Þ A’O ^ (ABC)
(1 đ) Ta có AM = a 3 , AO = 2 AM = a 3
2
3
3
l z = 2 + 3i Þ

et

A ' O = AA '2 - AO 2 = a 2 -

a2 a 6
a2 3
=
; SDABC =
3
3
4

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
trang 2


Thể

tích

khối
lăng
2
a 3 a 6 a 2
V = S DABC . A ' O =
.
=
4
3
4

trụ

ABC. A ' B ' C ' :

2

A'

C'

B'

T
De

N
E

A

C
O
M
B

hiT

1
3V

l Ta có VNAMC = S DAMC .d [ N ,( ABC ) ] Þ d [C ,( AMN ) ] = NAMC
3
S DAMC
1
a2 3
1
a 6
S ABC =
; d [ N ,( ABC )] = A ' O =
2
8
2
6
2
2
1a 3 a 6 a 2
Suy ra: VNAMC =
.
=
3 8
6
48
a 3
lại có : AM = AN =
, nên DAMN cân tại A
2
A 'C a
Gọi E là trung điểm AM suy ra AE ^ MN , MN =
=
2

2
S AMC =

hu

3a 2 a 2 a 11
1
a 2 11
=
; S AMN = MN . AE =
4 16
4
2
16
2
3a 2 a 11 a 22
Þ d [C ,( AMN ) ] =
:
=
(đvđd)
48
16
11
Câu 6. ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0 Û ( x - 2) 2 + ( y + 3) 2 + ( z - 1) 2 = 16
r
(1 đ) Þ ( S ) có tâm I (2; -3;1) bán kính R = 4 ; trục Oy có VTCP j = (0;1;0)
r
Gọi n = (a; b; c) là VTPT mp(P) ,
r r
r

( P ) chứa Oy Þ n ^ j Þ b = 0 Þ n = ( a;0; c) (a 2 + c 2 ¹ 0)
Phương trình mp(P): ax + cz = 0
(P) cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có bán kinh r = 2 3
Þ AE = AN 2 - NE 2 =

2a + c
2

a +c

2

et

.N

d [ I ,( P) ] = R 2 - r 2 = 2

Þ

Û

= 2 Û 4a 2 + 4ac + c 2 = 4a 2 + 4c 2

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
trang 3


éc = 0
Û 3c 2 - 4ac = 0 Û ê

ë3c = 4a
Vậy phương trình mp(P) : x = 0 hoặc 3 x + 4 z = 0 .
4
4
Câu 7. Số phần tử không gian mẫu là n(W) = C12 .C84 .C 4 = 34.650
(0,5 đ)

T
De

Gọi A là biến cố “3 đội bong của Việt nam ở ba bảng khác nhau”
3
3
3
Số các kết quả thuận lợi của A là n( A) = 3C9 .2C6 .1.C3 = 1080
n( A) 1080
54
Xác xuất của biến cố A là P( A) =
=
=
; 0,31
n (W 34650 173
Câu 8. Gọi N là điểm đối xứng của M qua phân giác BE thì N thuộc BC
Tính được N(1; 1). Đường thẳng BC qua N và vng góc với AH nên có
(1 đ)
phương trình 4x − 3y – 1 = 0
B là giao điểm của BC và BE. Suy ra tọa độ B là nghiệm của hệ pt:
ì4 x - 3 y - 1 = 0
Û B(4;5)
í

ỵ x - y +1 = 0
A

hiT

E

M(0;2)
I

B

N

C
H

hu

et

.N

Đường thẳng AB qua B và M nên có phương trình : 3x – 4y + 8 = 0
A là giao điểm của AB và AH, suy ra tọa độ A là nghiệm hệ pt:
ì3 x - 4 y - 8 = 0
1
Û A(-3; - )
í
4

ỵ 3x + 4 y + 10 = 0
Điểm C thuộc BC va MC = 2 suy ra tọa độ C là nghiệm hệ pt:
éC (1;1)
é x = 1; y = 1
ì4 x - 3 y - 1 = 0
ï
ê
Ûê
í
31
33 Þ ê ỉ 31 33 ư
2
2
êx = ; y =
C
;
ï x + ( y - 2) = 2
ợ
ờ ỗ 25 25 ÷
25
25
ë
ø
ë è
Thế tọa độ A và C(1; 1) vào phương trình BE thì hai giá trị trái dấu, suy ra
A, C khác phía đối với BE, do đó BE là phân giác trong tam giác ABC.
ỉ 31 33 ư
Tương tự A v C ỗ ữ thỡ A, C cựng phía với BE nên BE là phân giác
è 25 25 ø
ngoài của tam giác ABC.

49
49
BC = 5, AH = d ( A, BC ) =
. Do đó S ABC =
(đvdt).
20
8
Câu 9.
(1 đ)

(

)

x 2 + 5 x < 4 1 + x ( x 2 + 2 x - 4) (*)

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
trang 4


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
é -1 - 5 £ x £ 0
ĐK: x(x2 + 2x − 4) ≥ 0 Û ê
ê x ³ -1 + 5
ë
Khi đó (*) Û 4 x( x 2 + 2 x - 4) > x 2 + 5 x - 4
Û 4 x( x 2 + 2 x - 4) > ( x 2 + 2 x - 4) + 3 x (**)
TH 1: x ³ -1 + 5 , chia hai vế cho x > 0, ta có:

x2 + 2 x - 4 x2 + 2 x - 4

>
+3
x
x

T
De

(**) Þ 4

x2 + 2 x - 4
, t ³ 0 , ta có bpt: t 2 - 4t + 3 < 0 Û 1 < t < 3
x
2
ì 2
-1 + 17
7 + 65
x + 2x - 4
ïx - 7x - 4 < 0
Û
1<
<3Û í 2
x
2
2
ïx + x - 4 > 0
ỵ
TH 2: -1 - 5 £ x £ 0 , x 2 + 5 x - 4 < 0 , (**) ln thỏa
ỉ -1 + 17 7 + 65 ö

Vậy tập nghiệm bpt (*) l S = ộ -1 - 50ự ẩ ỗ

ữ
ở
ỷ
2
2 ứ
ố
t t =

(1 đ)

hiT

Câu10.

P = x2 + y 2 + 2 x + 1 + x 2 + y 2 - 2 x + 1 + y - 2
Xét các điểm M(x−1; −y) , N(x+1; y). Ta có OM + ON ≥ MN
Û ( x - 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 ³ 4 + 4 y 2
Þ P ³ 2 1 + y 2 + y - 2 = f ( y)

TH1: y ≤ 2: f ( y ) = 2 1 + y 2 + 2 - y Þ f '( y ) =

hu

ìy ³ 0
f '( y) = 0 Û 2 y = 1 + y 2 Û í 2
Û y=
3y = 1
ợ

ổ
Lp bng bin thiờn f(y) ị min f ( y ) = f ỗ
xẻ( -Ơ.2]
ố

2y
1 + y2

-1

3
3

3ử
ữ = 2+ 3
3 ø

.N

TH2: y ≥ 2: f ( y ) = 2 1 + y 2 + y - 2 ≥ 2 5 > 2 + 3
Vậy P ³ 2 + 3 "x; y .
Do đó MinP = 2 + 3 khi x = 0 ; y =

3
3

et

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­­

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

trang 5


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!
TRƯỜNG THPT NGUYỄN CÔNG TRỨ
ĐỀ THI MINH HỌA ­ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MƠN TỐN – TG: 180 phút
Câu 1. (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x 4 - 2mx 2 + m 2 + m (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = – 2

T
De

b) Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại 4 điểm có hồnh độ lập thành một
cấp số cộng.

Câu 2. (1,0 điểm) Giải phương trình sin 2x - cos x + 2sin x = cos 2x + 3sin 2 x
Câu 3. (1,0 điểm)
a) Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ các chữ số
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp X. Tính xác suất để số được chọn chỉ
chứa ba chữ số lẻ.
b) Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z biết rằng số phức
w = 2(i + z ) - iz - z

2

là số thuần ảo.

hiT

Câu 4. (1,0 điểm) Giải phương trình -2 x 3 + 10 x 2 - 17 x + 8 = 2 x 2 3 5 x - x 3
e

Câu 5. (1,0 điểm) Tính tích phân I = ị
1

(x

3

+ 1) ln x + 2 x 2 + 1
dx
2 + x ln x

.N

hu

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc ABD bằng 1200,
SA vng góc (ABC), góc giữa cạnh SC và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM với M là trung điểm cạnh SD.
Câu 7. (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có B, C thuộc trục tung, phương
trình đường chéo AC: 3x + 4y – 16 = 0. Xác định tọa độ đỉnh A, B, C, D biết rằng bán kính đường trịn
nội tiếp tam giác ABC bằng 1.
Câu 8. (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(0;1;0); B(2;2;2); C(-2;3;4) và đường thẳng
x -1 y + 2 z + 3
d có phương trình
=

=
. Tìm M thuộc d sao cho thể tích khối tứ diện MABC bằng 3.
2
-1
2
Câu 9. (1,0 điểm) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện a3 +b3 = c3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
a2 + b2 - c2
( c - a )( c - b )

et

biểu thức P =

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TỐN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
CÂU

ĐIỂM

a) 1,0 điểm

T
De

Câu 1
(2,0

điểm)

ĐÁP ÁN

m = – 2 => y = – x4 + 4x2 + 2
TXĐ: D = R

0,25

lim y = lim y = -Ơ

x đ+Ơ

x đ-Ơ

y = = 4x3 + 8x

éx = 0
y' = 0 Û ê
ëx = ± 2

x

- 2

-¥

+

y

0

6

0

+

0

–
0,25

6

2

Hàm số tăng trên (-¥, - 2) và (0, 2)
Hàm số giảm trên (- 2, 0) và ( 2, +¥ )

Điểm cực đại (± 2, 6) , điểm cực tiểu (0 , 2)

-¥

et

.N

-¥

–

+¥

2

0

hu

y’

hiT

BBT

0,25

0,25

Tham gia ngay!! Group Ơn Thi ĐH TOÁN - ANH : www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan


DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày!

T
De

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

b) 1,0 điểm

Phương trình hồnh độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và Ox là:
4

2

0,25

2

- x - 2mx + m + m = 0 (2)
0,25

YCBT ó pt (2) có 4 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

0,25

hiT

Đặt t = x2 ( t ³ 0 ), (2) thành: t 2 + 2mt - m 2 - m = 0 (3)

ó pt (3) có 2 nghiệm phân biệt dương t1, t2 thỏa 9t1 = t2 (0 < t1 < t2)

1
ì
ì D = 2m 2 + m > 0
-1 < m < ï
2
ï

2
ï P = -m - m > 0
ï t t = -m 2 - m
Ûí
Ûí 1 2
ïS = -2m > 0
ï t + t = -2m
ï9t = t
ï1 2
ỵ 1 2
ï9t1 = t 2
ỵ

hu

0,25

Câu 2
(1,0
điểm)

sin 2x - cos x + 2sin x = cos 2x + 3sin 2 x

et

.N

1
ì
ï -1 < m < - 2

ï
1
ì
m
-1 < m < -25
ï t1 = ï
2
Ûí
5
Ûí 2
Ûm=
34
ï
ï 9m = - m 2 - m
9m
t2 = ï
ï 25
ỵ
5
ï
ï t 1t 2 = - m 2 - m
ỵ

Û 2sin x cos x + 2sin x = 2cos 2 x - 1 + 3(1 - cos 2 x) + cos x
Û 2sin x(cos x + 1) = - cos 2 x + cos x + 2

0,25