Đề thi thử và đáp án THPT Quốc gia 2015 môn Toán chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định.PDF

1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KSCL KHỐI 12, THÁNG 01, NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Môn: TOÁN.
Ngày khảo sát:24/01/2015
ời gian làm bài:180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số .
4 2
2 1y x x   
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2
2
x 
b) Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ . Tìm tọa độ
các giao điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C).
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải bất phương trình
2 3 2
lo
log 3
2 1
g log (2 1)
2
x
x

  
.
b) Một ban văn nghệ đã chuẩn bị được 3 tiết mục múa, 5 tiết mục đơn ca và 4 tiết mục hợp
ca. Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức chỉ cho phép biểu diễn 2
tiết mục múa, 2 tiết mục đơn ca và 3 tiết mục hợp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các tiết mục

tham gia biểu diễn?
1 tan
cot 2
1 tan
x
x
x



Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình
.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
5
1
1
3 1
I
dx
x

x 

.
(2;1; 1), (1;0;3)A AB 

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
.
Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng hàng. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
OA sao cho tam giác MAB vuông tại M.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông
góc của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và BD.
Biết
5
2, 2 ,
2
SA a AC a SM a  
, với M là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có
phương trình đường thẳng
: 2 3AB x y 0  
và đường thẳng . Gọi I là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD, biết
: 2AC y   0
2IB IA
,
hoành độ điểm I: và nằm trên
đường thẳng BD.
3
I
x 
 
1; 3M 
2 3
3
2 3
(1 )( 3 3) ( 1) .
( , )
2 4 2( 2)

y x y x y x
xy
x y x y

     




    

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
.
Câu 9 (1,0 điểm).
Hết
Cho x, y là hai s thực dương thỏa mãn
2 3x y 7 
. Tìm giá trị nhỏ nh t củ
biểu thức
2 2 2 2
3
24 8(x y 2 5( ) ) ( 3)P xy y x y x y      
.
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KSCL KHỐI 12, THÁNG 01, NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÁP ÁN TOÁN. Ngày thi:24/01/2015
Câu Nội dung
Điểm

Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
4 2
2 1y x x

   .
1,00
TXĐ:


Giới hạn:

lim , lim
x x
y y
 
   
0,25
/
0 1
0
1 2
x y
y
x y

 

  



  

/ 3
4 4 ,y x x x    Sự biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( 1;0)

và
(1; )


,
hàm số đồng biến trên
mỗi khoảng và
(0

( ; 1  ) ;1)
0,25
Bảng biến thiên
x -1
0
1




y’ + 0 - 0 + 0 -

y 2 2

1







0,25
1.a
Đồ thị có điểm cực đại A(-1;2), B(1;2) và điểm cực tiểu N(0;1). Vẽ đồ thị (C). 0,25
Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ
2
2
x 
.
Tìm tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến d với đồ thị (C).
1,00
Ta có
2 7
; (
2 4
)
M
C
 

 
 
. Và

/
2
( ) 2
2
y 

0,25
Pttt (d) có dạng
/
2 2 7
4

2 2
y y x
  
 
  
  

3
2
4
y x

 

0,25
Pt hđ giao điểm của d và (C):
4 2 4 2
3

2 1 2 4 8 4 2 1
4
x x x x x x 0

        

0,25
1.b
2
 
2
2
4 4 2 2 0
2
x x x
 
    
 
 
2 2 2 2
, ,
2 2 2
x x x
2

  
   
.

DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!

Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
3
Vậy có 3 điểm:
/ //
2 7 2 2 1 2 2 1
; , , 2 , , 2M
2 4 2 4 2 4
M M
    
   


 
    
    


0,25
Giải bất phương trình
2 3
2 1
log log (2 1) log 3
2
x
x
2

  
.
0,50

ĐKXĐ
1
2 1 0
2
x x    
(*)
Với đk (*), pt
2 3
log (2 1) log (2 1) 1 log 3x x     
2
2 3 3 2
log 3.log (2 1) log (2 1) 1 log 3x x     


0,25
2.a
 
2 3
log 3 1 log (2 1) 1 log 3x    
2
3
log (2 1) 1x

 
2 1 3 1
x
x

   

Đối chiếu (*), tập nghiệm:
1
;1
2
S
 
 


 

0,25
Một ban văn nghệ đã chuẩn bị được 3 tiết mục múa, 5 tiết mục đơn ca và 4 tiết
mục hợp ca. Nhưng thời gian buổi biểu diễn văn nghệ có giới hạn, ban tổ chức
chỉ cho phép biểu diễn 2 tiết mục múa, 2 tiết mục đơn ca và 3 tiết mục hợp ca.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn?
0,50
Mỗi cách chọn 2 tiết mục múa trong 3 tiết mục múa là một tổ hợp chập 2 của
3, suy ra số cách chọn 2 tiết mục múa:
2
C
3
3.


Mỗi cách chọn 2 tiết mục đơn ca trong 5 tiết mục đơn ca là một tổ hợp chập 2
của 5, suy ra số cách chọn 2 tiết mục đơn ca:

2
C

5
10.
Mỗi cách chọn 3 tiết mục hợp ca trong 4 tiết mục hợp ca là một tổ hợp chập 3
của 4, suy ra số cách chọn 3 tiết mục hợp ca:
3
C
4
4.

0,25
2.b
Theo quy tắc nhân, số cách chọn các tiết mục tham gia biểu diễn: 3.10.4 = 120 0,25
Giải phương trình
1 tan
cot 2
1 tan
x
x
x



.
1,00
ĐK:
sin 2 0
2
cos 0
tan 1
4

x
x k
x
x
k
x









 
 
 
 






0,25
Với ĐK pt
tan 2 tan
2 4
x

x
 
  
   
  
  




0,25
2
2 4
x
x k



    

0,25
3
Kết hợp ĐK, ta có nghiệm:
,
4
x k k



 

0,25
Tính tích phân
5
1
1
3 1
I
dx
x x 

.
1,00
4
Đặt
2
1
3 1, 0
3
t
t x t x

    

2
3
 dx tdt
Đổi cận:
1 2; 5x t x t      4.
0,25

DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
4
4
2
2
1
I
2
1
dt
t



4
2
1 1
( )
1 1
I
dt
t t
  
 


0,25
 
4

2
ln 1 ln 1I t t   
0,25
2ln3 ln5I  

0,25
Cho điểm . Chứng minh ba điểm A, B, O không thẳng
hàng. Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng OA sao cho tam giác MAB
vuông tại M.
(2;1; 1), (1;0;3)A AB 

1,00
Ta có
(3;1;2) (3;1;2)OB OA AB B

   
  
0.25
* không cùng phương: O, A, B không thẳng hàng.
(2;1; 1), (1;0;3)OA AB

  
 
0.25
Ta có

và
(2 ; ; ) (2 ; ; )OM t OA t t t M t t t    
2; 1; 1), (2 3; 1; 2
t t t BM t t t


     

 
(2 )AM

Tam giác MAB vuông tại M thì
. 0 (2 2)(2 3) ( 1)( 1) ( 1))( 2) 0AM BM t t t t t t          
 
2
5
6 11 5 0 1,
6
 t t t t     
.
0.25
5

A
(loại) và
1 (2;1; 1)t M   
5 5 5 5
; )
6 6
( ;
6 3
t M 
thỏa bài toán.
0,25


Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc
của đỉnh S lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của hai đường chéo AC và
BD. Biết
5
2, 2 ,
2
SA a AC a SM a  
, với M là trung điểm cạnh AB. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và
AC.
N
M
O
A
B
C
D
S
H
K
1,00
Từ giả thiết ,
( ) ,SO ABCD SO AC OA a   
2 2
SO SA OA a

 
0,25
6
2 2

1
:
2
OSM O OM SM SO a   
Ta có
2 2
: 2 , 3
A
 BC B BC MO a AB AC BC a     


DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
5
3
.
1 3
. .
3 3
S ABCD
V AB BC SO  a

0,25
Gọi N trung điểm BC
// ( , ) ( ,( )) ( ,( ))
M
 N AC d SM AC d AC SMN d O SMN  

OMN O
:
: , (OMN O OH MN SO MN MN SOH     )

,( ): ( ) (SOH O OK SH OK SMN OK d O SMN     

0,25
OMN O
:
3 3
, ,
2 2
a
ON a OM OH MN OH a    
4

2 2
. 5
: ( , )
19
OS OH
SOH O d SM AC OK a
OS OH
    

7

0,25
Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có phương trình đường thẳng
và đường thẳng
: 2 3AB x y   0 0: 2AC y



. Gọi I là giao điểm của hai
đường chéo AC và BD. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang cân ABCD, biết
2IB IA
, hoành độ điểm I: và
3
I
x 


1;3M  nằm trên đường thẳng BD.
E
I
A
D
B
C
F
M
1,00
Ta có A là giao điểm của AB và AC nên


1;2A .
0,25
Lấy điểm . Gọi
 
0;2E  AC


2 3;F a a AB  sao cho EF // BD.

Khi đó
EF
2 2
EF AE BI
EF AE
B
I AI AE AI
     
   
2 2
1
2 3 2 2
11
.
5
a
a a
a



     




0,25
Với thì là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của
BD là
1a 


EF

1; 1

  



1; 1
BD x
n 

. Pt
: 4y 0

 



2;2 BD AC I  

 
5; 1BD AB  B
Ta có
3 3
2 2;
2 2
IB IB
IB ID ID ID D

ID IA
 
        
 
 
   
2
.


1
3 2 2;2
2
IA IA
IA IC IC IC C 
IC IB
      
   
.
0,25
7
Với
11
5
a 
thì
7 1
;
5 5
EF





 




là vtcp của đường thẳng BD. Nên chọn vtpt của
BD là . Do đó,

1; 7n  

: 7 22BD x y 0

 



8;2I  (loại).
0,25
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
6
Giải hệ phương trình.
2 3
3
2 3
(1 )( 3 3) ( 1) . (1)
( , )

2 4 2( 2) (2)
y x y x y x
xy
x y x y

     




    

(I)
1,00
ĐKXĐ:
2 2
0
0, 1 1, 1
x y x y
x
y x
 
  
 

 
   
 
 
y

Nhận xét
1, 1
x
y 
không là nghiệm của hệ. Xét thì pt (1) của hệ (I)
1y 
2 2
( 1) 3( 1) ( 1) ( 1)x x y y y x y        0
2
3 0
1 1 1
x x x
y y y
 
   
 
  
 


0,25
,
1
x
t t
y


0

.
. Khi đó, pt (1) trở thành
 
 
4 2 3 2
3 0 1 2 3 0 1t t t t t t t t           

0,25
Với t = 1, thì 1
1
x
y x
y
   

1
, thế vào pt(2), ta được
   
 
   
 
   
3 3
2 3 2 3
2
2
2
2
3
3 3

3
2
2
2
2
3
3 3
3
1 2 4 2 1 1 2 4 1 0
1
1 6 0
4 1 4 1
6 1
1 1 0
4 1 4 1
x x x x x x x x
x x
x x
x x x x
x x
x x
x x x x
 
             
 
 
 
 
    
 

      
 
 
 
 
 
    
 
 
      
 


0,25
8
 
2
1 5
1 0 1
2
x x x x

      
.
1 5 3 5
.
2 2
x y
 
  

Với
Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm
 
1 5 3 5
; ;
2 2
xy
 
 

 
 
.
0,25
Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn
2 3x y 7


. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
2 2 2 2
3
24 8(x y 2 5( ) ) ( 3)P xy y x y x y      
.
1,00
Ta có
2
2 2 3 3
6( 1)( 1) (2 2)(3 3) 36 5
2

x y
x y x y x y xy
  
 
          
 
 
.
0,25
9
Ta có
 
2
2 2 2 2
5( ) 2 5( ) 2
x
 y x y x y x      y
0
và


2 2 2
2 2
( 3) 9 2 6 6
2( 3) 8( ) ( 3)
x y x y xy x y
x y xy x y x y
        
        

0,25
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
7
Suy ra
3
2( ) 24 2( 3)P xy x y x y xy      

Đặt


, 0;t x y xy t    5 ,
3
() 2 24 2 6P f t t t   

Ta có


2
3
/
2 2
3 3
(2 6) 8
24.2
() 2 2 0, 0;5
3 (2 6) (2 6)
t
f t t
t t

 
     
 

Vậy hàm số f(t) nghịch biến trên nữa khoảng


0;5 .
Suy ra
3
min ( ) (5) 10 48 2f t f  
.
0,25
Vậy
3
2
min 10 48 2,
1
x
P khi
y


 




0,25
Chú ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa.

Hết
DeThiThu.Net - Đ󰗂 Thi Th󰗮 Đ󰖢i H󰗎c - THPT Qu󰗒c Gia - Tài Li󰗈u Ôn Thi.C󰖮p nh󰖮t h󰖲ng ngày!
Tham gia ngay! Group Ôn Thi ĐH TOÁN - ANH www.facebook.com/groups/onthidhtoananhvan
đ󰗄 cùng trao đ󰗖i h󰗎c t󰖮p,h󰗘 tr󰗤 l󰖬n nhau!