ĐỀ THI CASIO TOÁN TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2009-2010

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
ðỒNG THÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
ðỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2009- 2010
Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ñề)
Ngày thi: 24/1/2010
Chú ý: - ðề thi gồm 3 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản ñề thi này

ðiểm của toàn bài thi
Bằng số Bằng chữ
Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội ñồng chấm thi ghi)
Giám khảo 1:



Giám khảo 2:




Qui ñịnh: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống
liền kề bài toán. Các kết quả tính gần ñúng, nếu không có chỉ ñịnh cụ thể, ñược ngầm ñịnh chính
xác tới 9 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy.
Bài 1.(5 ñiểm) Cho các hàm số
63
2
)(

2
2
+−
−+
=
xx
xx
xf
và )(log)(
2
2
xxg = .
1.1 Hãy tính giá trị gần ñúng của
(
)
)(xfg tại
2
1
=x
.
Cách giải Kết quả

1.2 Tìm các nghiệm gần ñúng của phương trình 2)()(
+
=
xgxf trên khoảng
(
)
2;2−
Cách giải Kết quả

Bài 2.
(5 ñiểm) Tìm gần ñúng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
23)( xxxxf −++= .
Cách giải Kết quả












Bài 3. (5 ñiểm) Tìm nghiệm gần ñúng (ñộ, phút, giây) của phương trình 02tan3tan
=
+
−
xx

Cách giải Kết quả

Bài 4. (5 ñiểm) Cho
n432
n
4
n

4
4
4
3
4
2
4
1
S +++++=
. Tính giá trị gần ñúng của S
15
.

Cách giải Kết quả

Bài 5. (5 ñiểm) Tìm hàm số bậc ba dcxbxxy +++=
23
. Biết ñồ thị hàm số ñi qua ñiểm A(1 ; 6) và
tiếp tuyến tại ñiểm B






8
41
;
2
1
thuộc ñồ thị hàm số có hệ số góc bằng
4
15
.

Cách giải Kết quả

Bài 6.
(5 ñiểm) Cho tam giác ABC có ñường cao AH. Biết ñỉnh C(2 ; 5), phương trình cạnh AB :
072
=
−
+
yx và phương trình ñường cao AH :
063
=
−
+
yx . Tính diện tích tam giác ABC.

Cách giải Kết quả

B
A
I
Bài 7. (5 ñiểm) Giải hệ phương trình:






=+−
=−
+
)(log12log8log2
02.24
3
2
2
2
3
2
2
1
yxx
y
x

Cách giải Kết quả









Bài 8. (5 ñiểm) Cho hình nón có bán kính ñáy bằng 2 , biết thiết diện qua trục của hình nón có
góc ở ñỉnh bằng 72
0
. Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình nón.

Cách giải Kết quả










Bài 9.
(5 ñiểm) Cho ñường tròn tâm I có phương trình 5)1()2(
22
=−+− yx và ñường thẳng

0103
=
−
+
yx .Biết ñường thẳng cắt ñường tròn tại 2 ñiểm A, B. Tính gần ñúng diện tích hình quạt
IAB. 9(Phần gạch chéo trên hình vẽ)

Cách giải Kết quả








Bài 10. (5 ñiểm) Tìm hai chữ số tận cùng của số 123
2010
.

Cách giải Kết quả

HẾT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
ðỒNG THÁP GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO
ðỀ THI CHÍNH THỨC NĂM HỌC 2009- 2010
Lớp 12 THPT
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ñề)
Ngày thi: 24/1/2010


SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ðỀ CHÍNH THỨC


Bài Cách giải Kết quả ðiểm
1.1 Gán
2
1
cho biến x ,Tính
63
2
2
2
+−
−+
=
xx
xx
y

STO Y. Tính )(log))(()(
2

2
yxfgyg ==


37891615,0
−
=
y

1
g f 2,800098922
2
 
 
≈ −
 
 
 
 


1,5

1,5
1
1.2 Dùng chức năng SOLVE lấy các giá trị ñầu lần
lượt là -2; ; 2 ta ñược các nghiệm

037515079
−

≈
x


399584459,0
≈
x

1,0
1,0
2
Tập xác ñịnh hàm số
31
≤
≤
−
x

Tính ñạo hàm
2
/
23
1
1)(
xx
x
xf
−+
−
+=

Giải phương trình
0)(
/
=xf
21+=⇔
x
Tính
)3(,)21(,)1( fff +− , so sánh





GTLN
828427125,3)(
≈
xf
GTNN
1)(
−
=
xf


1,0

1,0
1,5
1,5

3
02tan3tan
=
+
−
xx 02tan
tan
3
1
tantan3
2
3
=+−
−
−
⇔ x
x
xx

Giải phương trình bậc ba
01tantan3tan
23
=++− xxx
Suy ra






=
−≈
≈
1tan
414213562,0tan
414213562,2tan
x
x
x
suy ra x
• Có thể dùng SOLVE ñể giải


0/0
180.3067 kx +≈


0/0
180.3022 kx +−≈


00
180.45 kx +=

2

2

1
4

Gán A = 0 , C = 0 , D = 0
Nhập A = A+1: B =
A
A
4
: C = C+B : D = C
Bấm = liên tiếp ñến A= 15 cho ra KQ D =
15
S




15
S 0,66666663
≈


5,0
5
Lập và giải hệ phương trình







=
∈

∈
4
15
)(
)(
)(
/
B
xf
CB
CA









=++
=+++
=+++
⇔
4
15
4
3
8
41

2
1
4
1
8
1
61
cb
dcb
dcb

Giải hệ phương trình 3 ẩn : b = - 6 , c = 9 , d = 2







296
23
++−= xxxy




5,0
Bài Cách giải Kết quả ðiểm
6
Tìm tọa ñộ ñiểm

AH
AB
A
∩
=
)3;1(A
⇒

Tìm phương trình cạnh BC:
0)5(3)2(1
=
−
−
−
yx
Tìm tọa ñộ ñiểm
BCABB
∩
=
)4;1(
−
⇒
B
Tính diện tích tam giác ABC theo công thức (tùy
chọn)




5,2

2
5
==
ABC
S



5,0


7
Từ phương trình (1)
xy 2
=
⇒
thay vào phương
trình (2) :
)8(log12log8log2
3
2
2
2
3
2
xxx =+−

09log3log8log2
2
2

2
3
2
=+−−⇔ xxx

Giải phương trình bậc ba





=
−≈
≈
1log
098076211,1log
098076211,4log
2
2
2
x
x
x


x 17,12552382
y 34,2510474
≈



≈




x 0,467138995
y 0,934277991
≈


≈







=
=
4
2
y
x


2,0


2,0

1,0

8
Gọi chiều cao hình nón là h, bán kính hình cầu là
x
Chiều cao hình nón
0
36cot.2=h

Ta có
0
0
36cot.2
36sin
=+ x
x
0
0
36sin1
36cos2
+
=⇒
x

Thể tích hình cầu nội tiếp
3
0
0

3
36sin1
36cos2
3
4
3
4








+
==
ππ
RV






567224619,1
≈
V

5,0

9
Giải hệ phươngtrình



=−+
=−+−
0103
5)1()2(
22
yx
yx

)2;4(,)3;1(
BA
⇒

Tính góc
0
90=
∧
AIB
với tâm
)1;2(I

Suy ra diện tích hình quạt IAB

4
1
=
diện tích hình
tròn





926990817,3
4
5
≈=
π
IAB
S



5,0

10
)100(mod41123
4
≡

)100(mod29123
2
≡

Do ñó:
(
)
)100(mod0141123123
5
5
420
≡≡=

)100(mod0101123
1002000
≡≡

≡≡=⇒ 01.41.41.29123.123.123.123123
20004422010
49

(mod100)
Vậy hai chữ số tận cùng của số 123
2010
là 49

49

5,0