Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp năm 2007

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
Môn thi : Toán.
Ngày thi : 14/10/2007.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể phát đề).
(Đề thi gồm có 01 trang).
Bài 1: (5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x
2
+(m
2
-m)x - m
3
+1= 0 có một
nghiệm nguyên .
b) Giải bất phương trình
Bài 2: (5 điểm).
a) Giải phương trình 4sin
2
5x-4sin
2
x+2(sin6x+sin4x)+1=0
b) Cho các số thực x
1
,x
2,
… ,x
n
thỏa mãn sin
2

x
1
+2sin
2
x
2
+…+nsin
2
x
n
= a ,với n là số nguyên
dương , a là số thực cho trước , .Xác đònh các giá trò của x
1
,x
2,
… ,x
n
sao cho tổng S= sin2x
1
+2sin2x
2
+…+nsin2x
n
đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a
và n.
Bài 3: (4 điểm).
a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc=1 .Chứng minh :
b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.

Bài 4: (2 điểm).
Cho tam giác ABC ,trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho AA’,BB’
và CC’ đồng qui tại điểm M.Gọi S
1
,S
2
và S
3
lần lượt là diện tích của các tam giác
MBC,MCA ,MAB và đặt .
Chứng minh rằng: (y+z-1) S
1
+(x+z-1)S
2
+(x+y-1)S
3
=0

Bài 5: (2 điểm).
Cho dãy {u
n
} , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : .
Tính u
n
và chứng minh rằng u
1
+u
2
+…+ u
n

.
Bài 6: (2 điểm).
Cho đa thức f(x)=x
3
+ax
2
+bx+b có ba nghiệm x
1
,x
2
,x
3
và đa thức g(x)=x
3
+bx
2
+bx+a .Tính tổng
S=g(x
1
)+g(x
2
)+g(x
3
) theo a,b. Hết.
1
Đề chính thức
2)12(log13)12(log
22
≤+−++−
xx

2
)1(
0
+
≤≤
nn
a
.cot)
2
(cot2
cot)
2
(cot2
)cot2(cotcot
gB
BA
g
gB
BA
g
gBgAgA
−
+
=
+
+
+
z
MC
MC

y
MB
MB
x
MA
MA
===
'
,
'
,
'







>
−+
=
=
+
0
11
1
2
1
1

n
n
n
n
u
u
u
u
u
])
2
1
(1[
4
1
1
−
−+≥
n
π
2
3
)(
1
)(
1
)(
1
226226226
≥

+
+
+
+
+ bacacbcba
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀBIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
Bài 1: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(3 điểm) + Biến đổi:
x(x+m
2
)-m(x+m
2
)=-1.
+ (x+m
2
)(x-m)=-1.
+ (a)
hoặc
(b)
+Giải (a) m=1 hoặc m=-2.
+Giải (b) vô nghiệm.
+Vậy m=1 hoặc m=-2.
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm) + Biến đổi:
(1)
+Vì
nên
+

+Vậy
0.5
0.5
0.5
0.5
2



−=−
=+
1
1
2
mx
mx



=−
−=+

1
1
2
mx
mx
21)12(log3)12(log
22
≤−+++−
xx
BABA
xx
+≥+=−+++−
,21)12(log3)12(log
22
⇔≥−++−
0)1)12()(log3)12((log
22
xx
⇔≥−+++−
0)1)12()(log3)12(log(
22
xx
3)12((log1
2
≤+≤
x
2log32log
1212
++
≤≤

x
Bài 2: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(2 điểm) + Biến đổi 4sin
2
5x+1-sin
2
x+4sin5xcosx=3sin
2
x
4sin
2
5x+4sin5xcosx+cos
2
x=3sin
2
x
(2sin5x+cosx)
2
=3sin
2
x
+

+
+Vậy nghiệm hoặc hoặc
Hoặc
0.5
0.5
0.5

0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(3 điểm) + Biến đổi

+Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có:

+
+
+Dấu = xãy ra khi
hay
hay

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
3





>
+++
===
02sin
sin...sin2sin
...
2

2
2
1
2
21
i
n
n
x
xnxx
tgxtgxtgx
.
3
4
=
x
)cos.sin...cos2.sin2cos(sin2
2211 nn
xnxnxxxxS
+++=
)cos...cos2)(cossin...sin2(sin2
2
2
2
1
22
2
2
1
2

nn
xnxxxnxxS
++++++≤
)sin...sin22sin1(2
2
2
2
1
2
n
xnnxxaS
−++−+−≤
)]sin...sin2(sin)...21[(2
2
2
2
1
2
n
xnxxnaS
+++−+++≤
]
2
)1(
[2 a
nn
aS
−
+
≤

n
n
xn
xn
x
x
x
x
cos
sin
...
cos2
sin2
cos
sin
2
2
1
1
===







≤≤
=
+

====
π
α
α
i
n
x
a
nn
xxx
20
sin
2
)1(
...
2
21
⇔
⇔
⇔
⇔±=+
xxx sin3cos5sin2
⇔−±=
xxx cos
2
1
sin
2
3
5sin

)
6
5
sin(5sin
)
6
sin(5sin
π
π
−=
−=
xx
xx
224
ππ
kx
+−=
336
7
ππ
kx
+=
224
5
ππ
kx
+−=
336
11
ππ

kx
+=

+ Vậy Max S=
khi
0.5
Bài 3: (4 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(2 điểm)
+
+
+
+ p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có
Suy ra đpcm
0.5
0.5
0.5
0.5
4









≤≤
+

=
====
2
0
)1(
2
sin
...
21
π
α
α
α
nn
a
xxx
n
]
2
)1(
[2 a
nn
a
−
+










≤≤
+
=
====
2
0
)1(
2
sin
...
21
π
α
α
α
nn
a
xxx
n
2
3
2
3
2
)()()(
)(

)
)(
1
)(
1
)(
1
(
)(
)(
)
111
(
).
1
.
1
.
1
(
))()()()(
)(
1
)(
1
)(
1
(
3
444222222

222222222
2222222
226226226
2222222
2
222
222222
2
222
222
223
22
223
22
223
222222222
226226226
=≥
++
=
=
+++++
++
≥
+
+
+
+
+
⇒++=

++
=
++=
=+
+
++
+
++
+
≥
≥+++++
+
+
+
+
+
cbabaaccb
bacacbcba
baaccb
bacacbcba
baaccb
cba
baaccb
cba
bac
bac
acb
acb
cba
cba

bacacbcba
bacacbcba
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm) +Biến đổi ,ta có
+Biến đổi vế trái
+
+ Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B
vậy tam giác ABC cân tại C.
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 4: (2 điểm).
Câu Đáp án Điểm
2 điểm + Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có
Ta có
+Suy ra
+Suy ra
+Tương tự
vậy (y+z-1) s
1
+(x+z-1)s
2
+(x+y-1)s
3
=0
0.5
0.5
0.5
0.5

5
)
2
(cot2cotcot)
2
(cot4)cot(cot
22
BA
ggBgA
BA
ggBgA
+
=+⇔
+
=+
)cos(1
)sin(2
)cos()cos(
)sin(2
sinsin
)sin(
cotcot
BA
BA
BABA
BA
BA
BA
gBgA
+−

+
≥
+−−
+
=
+
=+
2
)(
cot2
2
)(
sin2
2
)(
cos
2
)(
sin4
cotcot
2
BA
g
BA
BABA
gBgA
+
=
+
++

≥+
321
SSSS
++=
'
'
'
'
1
1
MA
AA
s
s
AA
MA
s
s
=⇒=
xMA
MA
MA
MAAA
s
ss 1
''
''
1
1
==

−
=
−
)(
321
32
1
1
1
ssxsx
ss
s
x
ss
s
+=⇒=
+
⇒=
−
)(),(
213132
sszsssys
+=+=
)()()(
211332321
sszssyssxsssS
+++++=++=