Tải bản đầy đủ (.doc) (6 trang)

Đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp năm 2007

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (101.96 KB, 6 trang )

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
Môn thi : Toán.
Ngày thi : 14/10/2007.
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể phát đề).
(Đề thi gồm có 01 trang).
Bài 1: (5 điểm).
a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho phương trình x
2
+(m
2
-m)x - m
3
+1= 0 có một
nghiệm nguyên .
b) Giải bất phương trình
Bài 2: (5 điểm).
a) Giải phương trình 4sin
2
5x-4sin
2
x+2(sin6x+sin4x)+1=0
b) Cho các số thực x
1
,x
2,
… ,x
n
thỏa mãn sin
2


x
1
+2sin
2
x
2
+…+nsin
2
x
n
= a ,với n là số nguyên
dương , a là số thực cho trước , .Xác đònh các giá trò của x
1
,x
2,
… ,x
n
sao cho tổng S= sin2x
1
+2sin2x
2
+…+nsin2x
n
đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a
và n.
Bài 3: (4 điểm).
a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc=1 .Chứng minh :
b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện

Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.

Bài 4: (2 điểm).
Cho tam giác ABC ,trên các cạnh BC,CA,AB lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho AA’,BB’
và CC’ đồng qui tại điểm M.Gọi S
1
,S
2
và S
3
lần lượt là diện tích của các tam giác
MBC,MCA ,MAB và đặt .
Chứng minh rằng: (y+z-1) S
1
+(x+z-1)S
2
+(x+y-1)S
3
=0

Bài 5: (2 điểm).
Cho dãy {u
n
} , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : .
Tính u
n
và chứng minh rằng u
1
+u
2
+…+ u
n

.
Bài 6: (2 điểm).
Cho đa thức f(x)=x
3
+ax
2
+bx+b có ba nghiệm x
1
,x
2
,x
3
và đa thức g(x)=x
3
+bx
2
+bx+a .Tính tổng
S=g(x
1
)+g(x
2
)+g(x
3
) theo a,b. Hết.
1
Đề chính thức
2)12(log13)12(log
22
≤+−++−
xx

2
)1(
0
+
≤≤
nn
a
.cot)
2
(cot2
cot)
2
(cot2
)cot2(cotcot
gB
BA
g
gB
BA
g
gBgAgA

+
=
+
+
+
z
MC
MC

y
MB
MB
x
MA
MA
===
'
,
'
,
'







>
−+
=
=
+
0
11
1
2
1
1

n
n
n
n
u
u
u
u
u
])
2
1
(1[
4
1
1

−+≥
n
π
2
3
)(
1
)(
1
)(
1
226226226


+
+
+
+
+ bacacbcba
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2007-2008.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀBIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN
Bài 1: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(3 điểm) + Biến đổi:
x(x+m
2
)-m(x+m
2
)=-1.
+ (x+m
2
)(x-m)=-1.
+ (a)
hoặc
(b)
+Giải (a) m=1 hoặc m=-2.
+Giải (b) vô nghiệm.
+Vậy m=1 hoặc m=-2.
0.5
0.5
0.5
0.5

0.5
0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm) + Biến đổi:
(1)
+Vì
nên
+

+Vậy
0.5
0.5
0.5
0.5
2



−=−
=+
1
1
2
mx
mx



=−
−=+

1
1
2
mx
mx
21)12(log3)12(log
22
≤−+++−
xx
BABA
xx
+≥+=−+++−
,21)12(log3)12(log
22
⇔≥−++−
0)1)12()(log3)12((log
22
xx
⇔≥−+++−
0)1)12()(log3)12(log(
22
xx
3)12((log1
2
≤+≤
x
2log32log
1212
++
≤≤

x
Bài 2: (5 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(2 điểm) + Biến đổi 4sin
2
5x+1-sin
2
x+4sin5xcosx=3sin
2
x
4sin
2
5x+4sin5xcosx+cos
2
x=3sin
2
x
(2sin5x+cosx)
2
=3sin
2
x
+

+
+Vậy nghiệm hoặc hoặc
Hoặc
0.5
0.5
0.5

0.5
Câu Đáp án Điểm
b)(3 điểm) + Biến đổi

+Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có:

+
+
+Dấu = xãy ra khi
hay
hay

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
3





>
+++
===
02sin
sin...sin2sin
...
2

2
2
1
2
21
i
n
n
x
xnxx
tgxtgxtgx
.
3
4
=
x
)cos.sin...cos2.sin2cos(sin2
2211 nn
xnxnxxxxS
+++=
)cos...cos2)(cossin...sin2(sin2
2
2
2
1
22
2
2
1
2

nn
xnxxxnxxS
++++++≤
)sin...sin22sin1(2
2
2
2
1
2
n
xnnxxaS
−++−+−≤
)]sin...sin2(sin)...21[(2
2
2
2
1
2
n
xnxxnaS
+++−+++≤
]
2
)1(
[2 a
nn
aS

+


n
n
xn
xn
x
x
x
x
cos
sin
...
cos2
sin2
cos
sin
2
2
1
1
===







≤≤
=
+

====
π
α
α
i
n
x
a
nn
xxx
20
sin
2
)1(
...
2
21



⇔±=+
xxx sin3cos5sin2
⇔−±=
xxx cos
2
1
sin
2
3
5sin

)
6
5
sin(5sin
)
6
sin(5sin
π
π
−=
−=
xx
xx
224
ππ
kx
+−=
336
7
ππ
kx
+=
224
5
ππ
kx
+−=
336
11
ππ

kx
+=

+ Vậy Max S=
khi
0.5
Bài 3: (4 điểm).
Câu Đáp án Điểm
a)(2 điểm)
+
+
+
+ p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có
Suy ra đpcm
0.5
0.5
0.5
0.5
4









≤≤
+

=
====
2
0
)1(
2
sin
...
21
π
α
α
α
nn
a
xxx
n
]
2
)1(
[2 a
nn
a

+










≤≤
+
=
====
2
0
)1(
2
sin
...
21
π
α
α
α
nn
a
xxx
n
2
3
2
3
2
)()()(
)(

)
)(
1
)(
1
)(
1
(
)(
)(
)
111
(
).
1
.
1
.
1
(
))()()()(
)(
1
)(
1
)(
1
(
3
444222222

222222222
2222222
226226226
2222222
2
222
222222
2
222
222
223
22
223
22
223
222222222
226226226
=≥
++
=
=
+++++
++

+
+
+
+
+
⇒++=

++
=
++=
=+
+
++
+
++
+

≥+++++
+
+
+
+
+
cbabaaccb
bacacbcba
baaccb
bacacbcba
baaccb
cba
baaccb
cba
bac
bac
acb
acb
cba
cba

bacacbcba
bacacbcba
Câu Đáp án Điểm
b)(2 điểm) +Biến đổi ,ta có
+Biến đổi vế trái
+
+ Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B
vậy tam giác ABC cân tại C.
0.5
0.5
0.5
0.5
Bài 4: (2 điểm).
Câu Đáp án Điểm
2 điểm + Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có
Ta có
+Suy ra
+Suy ra
+Tương tự
vậy (y+z-1) s
1
+(x+z-1)s
2
+(x+y-1)s
3
=0
0.5
0.5
0.5
0.5

5
)
2
(cot2cotcot)
2
(cot4)cot(cot
22
BA
ggBgA
BA
ggBgA
+
=+⇔
+
=+
)cos(1
)sin(2
)cos()cos(
)sin(2
sinsin
)sin(
cotcot
BA
BA
BABA
BA
BA
BA
gBgA
+−

+

+−−
+
=
+
=+
2
)(
cot2
2
)(
sin2
2
)(
cos
2
)(
sin4
cotcot
2
BA
g
BA
BABA
gBgA
+
=
+
++

≥+
321
SSSS
++=
'
'
'
'
1
1
MA
AA
s
s
AA
MA
s
s
=⇒=
xMA
MA
MA
MAAA
s
ss 1
''
''
1
1
==


=

)(
321
32
1
1
1
ssxsx
ss
s
x
ss
s
+=⇒=
+
⇒=

)(),(
213132
sszsssys
+=+=
)()()(
211332321
sszssyssxsssS
+++++=++=

×