Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên tỉnh Phú Yên năm học 2012 - 2013 môn Toán - Có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1.(5,0 điểm) Cho
biểu thức.
a) Tìm điều kiện
xác định của biểu thức P.
b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P .
c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị nguyên.
Câu 2.(3,0 điểm)
a) Cho x, y, z là 3 số thực
thỏa:. Chứng minh rằng .
b) Giải phương
trình:
Câu 3.(5,0 điểm) Cho hệ
phương trình: , với m là tham
số.
a) Giải hệ phương trình với m =2.
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m.
Câu 4.(4,0 điểm) Cho tam giác đều
ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC,
CA lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho D không trùng với A, B và .
a) Chứng minh rằng AF.BE = AD.DB.
b) Chứng minh . Điểm D ở vị
trí nào thì dấu đẳng thức xảy ra?
Câu 5.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của
OB, O’ là tâm đường tròn đường kính AC. Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại D
() và cắt đường tròn (O’) tại K (). BK cắt CD tại H.
a) Tính tỷ số .
b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào?
Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:………………………… Số báo danh:………………………………
Chữ kí của giám thị 1:……………………. Chữ kí của giám thị 2:…………………….
1 3 2
5 6 2 3
x x
P
x x x x
- -
= - +
- + - -
0x y z+ + =
3 3 3
3x y z xyz+ + =
( ) ( ) ( )
3 3 3
1005 1007 2 - 2012 0x x x- + - + =
2 2 2
2 1
2 1
x y m
x y y x m m
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
+ = - -
ï

î
·
0
60EDF =
2
.
4
a
AF BE ≤
D A≠K A≠
HC
CD
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Gồm có 04 trang)
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
II- Đáp án và thang điểm:
Câu Đáp án Điểm
Cho biểu thức
5,00 đ
a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P
P xác định

Vậy với (*) thì biểu thức
P xác định.
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
b) Rút gọn P

.
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
1
c) Tìm các số nguyên x để P nguyên:
Theo b) . Do đó, nếu nguyên
thì P nguyên.
nguyên.
Với
Với ;
2,00 đ
0,50 đ
1 3 2
5 6 2 3
x x
P
x x x x
- -
= - +
- + - -

0
5 6 0
2 0
3 0
x
x x
x
x
ì
³
ï
ï
ï
ï
- + ¹
ï
ï
Û
í
ï
- ¹
ï
ï
ï
ï
- ¹
ï
î
0
2 0

3 0
x
x
x
ì
³
ï
ï
ï
ï
-Û ¹
í
ï
ï
ï
- ¹
ï
î
0, 4, 9x x xÛ ³ ¹ ¹
0, 4, 9x x x³ ¹ ¹
( ) ( )
1 3 2
2 3
2 3
x x
P
x x
x x
- -
= - +

- -
- -
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 3 2 1 6 9 4 4
2 3 2 3
x x x x x x
x x x x
- - + - - - + + - +
= =
- - - -
( )
( ) ( )
2 2
2
3
2 3
x
x
x x
-
= =
-
- -
2
3
P

x
=
-
2
3x −
2
3x −
( )
3 2 3 1; 2x x⇔ − ⇔ − = ± ±
3 1 16;x x− = ⇔ =
3 1 4x x− = − ⇔ =
Với
Với
Kết hợp với điều kiện (*) suy
ra .
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
2 3,00 đ
a) Cho. Chứng minh rằng: .
Vì suy ra . Do đó:
= 3xyz
(đpcm).
1,00 đ
0,50 đ
0,50 đ
b) Giải phương
trình:
Đặt
Ta có: X + Y + Z

= 0
Áp dụng câu a) suy ra:
Phương trình đã cho trở
thành:
.
Vậy phương
trình đã cho
có 3 nghiệm
x = 1005, x =
1006, x = 1007.
2,00 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
3
Cho hệ phương trình: ,
với m là tham số
5,00 đ
a) Giải hệ phương trình với m =2
Với m = 2, hệ phương trình là:
.
Do đó, x, y là
nghiệm của
phương trình X
2
-5X +1= 0
Giải ra ra được .
Vậy hpt có hai
nghiệm:.

2,50 đ
1,00 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m
Hệ đã cho viết lại là:
(1) Nếu thì hệ trở
thành:
.
Hệ có vô số
nghiệm.
2,50 đ
0,50 đ
{ }
1;16;25x ∈
3 2 1.x x− = − ⇔ =
3 2 25;x x− = ⇔ =
0x y z+ + =
3 3 3
3x y z xyz+ + =
0x y z+ + =
x y z+ =-
3 3 3 3 3
( ) 3xy(x+y)+zx y z x y+ + = + -
3 3
( ) 3xy(-z)+zz= - -
( ) ( ) ( )
3 3 3
1005 1007 2 - 2012 0x x x- + - + =

1005 ; 1007 ; 2 - 2012X x Y x Z x= - = - =
3 3 3
3X Y Z XYZ+ + =
1005
3(1005 )(1007 )(2 - 2012)=0 1006
1007
x
x x x x
x
é
=
ê
ê
- - =Û
ê
ê
=
ë
2 2 2
2 1
2 1
x y m
x y y x m m
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
+ = - -

ï
î
2 2
5
5 5
( ) 5 1
5
x y
x y x y
xy x y xy
x y y x
ì
ì ì
+ =
+ = + =
ï
ï ï
ï ï ï
Û Û
í í í
ï ï ï
+ = =
+ =
ï ï
î î
ï
î
1 2
5 21 5 21
,

2 2
X X
+ -
= =
5 21 5 21 5 21 5 21
; , ;
2 2 2 2
æ öæ ö
+ - - +
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è øè ø
2 1
( ) (2 1)( 1)
x y m
xy x y m m
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
+ = + -

ï
î
1
2
m =-
0
0
( ) 0
x y x R
x y
xy x y y x
ì ì
+ = Î
ï ï
ï ï
+ =Û Û
í í
ï ï
+ = =-
ï ï
î î
(2) Nếu thì hệ trở thành:
Nên x,y là nghiệm
phương trình: (*).
P/t (*) có nên
luôn có nghiệm.
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ

0,50 đ
4 4,00 đ
a) Chứng minh AF.BE = AD.DB.
Ta có:
Từ (1) và (2) suy
ra:.
Hơn nữa
Suy ra
(đpcm).
2,00 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
b) Chứng minh
Đặt và .
Ta có: (không đổi).
Nên là nghiệm của phương
trình bậc hai: (*).
Do luôn tồn tại nên phương trình (*) luôn có nghiệm
Hay:
Vậy .
Dấu “=” xảy ra khi và
chỉ khi , tức D là trung
điểm AB.
2,00 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ

5
3,00 đ
2 2
=(2m+1) 4( 1) 4 5 0,m m m- - = + > "D
2
(2 1) 1 0X m X m- + + - =
2 1
1
x y m
xy m
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
= -
ï
î
1
2
m -¹
·
·
µ
·
·
0
0
180

120 (1)
AFD FDA A
AFD FDA
+ + =
+ =Û
·
·
·
·
·
0
0
180
120 (2)
EDB FDA EDF
EDB FDA
+ + =
+ =Û
·
·
AFD EDB=
µ µ
0
60A B= =
AFD BDED @D
AF AD
BD BE
=Þ
. .AF BE AD BD=Û
2

.
4
a
AF BE ≤
1 2 1 2
; ( , 0)x AD x DB x x= = >
1 2
. ( 0)x x AD DB b b= = >
1 2
x x AB a+ = =
1 2
x , x
2
0x ax b− + =
1 2
x , x
2
2
4 0
4
a
a b b∆ = − ≥ ⇔ ≤
2
. .
4
a
AF BE AD BD= ≤
1 2
x
2

a
x= =
A
B
C
D
F
E
a)Tính tỷ số:
Ta có:
Áp dụng Talet:
Suy ra: .
Vậy tỷ số .
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
b) Điểm H chạy trên đường nào khi d quay quanh A?
Qua H kẻ đường thẳng song song với OD cắt OC tại I . Khi đó:
(không đổi).
Từ đó ta cũng có: .
Do OC cố định
nên I cố định. Vì
thế, khi d quay quanh A thì H
chạy trên đường tròn tâm I (I nằm trên đoạn OC, cách O một khoảng ), bán
kính
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ

HC
CD
, / /⊥ ⊥ ⇒CK AD BD AD CK BD
3
4
CH CK AC
HD BD AB
= = =
3 3
3 4 7
CH CH
CD CH HD
= = =
+ +
3
7
HC
CD
=
3 3 3
7 7 7
IH CH
IH OD R
OD CD
= = ⇔ = =
3 3 3 2
7 7 2 14 7
R
IC OC R OI R= = = ⇒ =
2

7
OI R=
3
.
7
R
O
D
A
B
CO'
K
H
I