Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 chọn lọc (4)

ONTHIONLINE.NET
Trường thcs 2 thị trấn thanh ba
Đề thi khảo sát đội tuyển học sinh năng khiếu lớp 7
Năm học 2012-2013
Môn thi: toán
Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề )
( Đề thi gồm 01 trang )
Câu 1 ( 1,5 điểm )
Cho x, y, z là các số khác 0 và x
2
= yz , y
2
= xz , z
2
= xy.
Chứng minh rằng: x = y = z
Câu 2( 2 điểm )
a) Tỡm x biết: 5
x
+ 5
x+2
= 650
b) Tỡm số hữu tỷ x,y biết: (3x – 33 )
2008
+
7y −
2009
≤
0
Câu 3 ( 2 điểm )
Cho hàm số : f(x) = a.x

2
+ b.x + c với a, b, c, d ∈Z
Biết
(1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f −M M M
. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3
Câu 4( 3,5 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N: sao cho BM
= MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh AM = AN và AH ⊥ BC
b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm

c) Chứng minh MAN > BAM = CAN
Câu 5 ( 1 điểm )
a) Cho
1 1 1 1 1 1
1
2 3 4 2011 2012 2013
S = − + − + + − +
và
1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + +
.
Tính
( )
2013
S P−
.
b) Cho A=

3
1
−
+
x
x
Tìm x
∈
Z để A có giá trị là một số nguyên
Hết
Hướng dẫn chấm toán 7
Câu Nội dung Điểm
1
Vì x, y, z là các số khác 0 và x
2
= yz , y
2
= xz , z
2
= xy ⇒
; ;
x z y x z y x y z
y x z y x z y z x
= = = ⇒ = =
.áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ⇒
1
x y z x y z
x y z
y z x y z x
+ +

= = = = ⇒ = =
+ +

1
0,5
2
a) 5
x
+ 5
x+2
= 650

⇔
5
x
( 1+5
2
) = 650

⇔
5
x
.26 = 650

⇔
5
x
= 25

⇔

5
x
= 5
2
=> x = 2
b) Ta có (3x -33 )
2008

≥
0

7y −
2009

≥
0
Suy ra (3x -33 )
2008
+
7y −
2009

≥
0
Mà (3x -33 )
2008
+
7y −
2009

≤
0 (Theo đề bài )
Nên (3x -33 )
2008
+
7y −
2009
= 0
⇔
(3x -33 )
2008
=0 và
7y −
2009
= 0
⇔
x =11 và y =7
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
0,25
0,25
3
Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c

( )
( )

) (0) 3 3
) (1) 3 3 3 1
) ( 1) 3 3 3 2
f c
f a b c a b
f a b c a b
+ ⇒
+ ⇒ + + ⇒ +
+ − ⇒ − + ⇒ −
M M
M M M
M M M
Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b)
3 2 3 3a a⇒ ⇒M M M
vì ( 2; 3) = 1
3b⇒ M
Vậy a , b , c đều chia hết cho 3
0,5
0,5
0,5
0,5
4
0,25
a
Chứng minh ∆ABM = ∆ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN
Chứng minh ∆ABH = ∆ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 90
0
⇒ AH ⊥ BC
0,5
0,75

b
Tính AH: AH
2
= AB
2
- BH
2
= 5
2
- 3
2
= 16 ⇒ AH = 4cm
Tính AM : AM
2
= AH
2
+ MH
2
= 4
2
+ 1
2
= 17 ⇒ AM =
17
cm
0,5
0,75
c
Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra ∆AMN= ∆KMB ( c- g- c) ⇒
∠MAN = ∠BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM ⇒ BA > BK ⇒ ∠BKA >

∠BAK ⇒∠ MAN >∠BAM=∠CAN
0,25
0,25
0,25
Ta có:
1 1 1 1

1007 1008 2012 2013
P = + + + +
1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
 
= + + + + + + + + +
 ÷
 
1 1 1
1
2 3 1006
 
− + + + +
 ÷
 
1 1 1 1 1 1 1
1
2 3 1006 1007 1008 2012 2013
 
= + + + + + + + + +
 ÷
 

1 1 1 1
2
2 4 6 2012
 
− + + + +
 ÷
 
0,25
A
B C
M H N

K
1 1 1 1 1
1
2 3 4 2012 2013
= − + − + − +
= S.
Do đó
( )
2013
S P−
=0
0,25

Tìm x
∈
z để A
∈
Z

A=
3
4
1
3
1
−
+=
−
+
xx
x
( đk x≥0 , x≠9 )
A nguyên khi
3
4
−
x
nguyên
⇒
3−x
là Ư (4)
Ư(4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4}
Các giá trị của x là : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 .
0,25
0,25