Đề thi bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 chọn lọc (8)

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Năm học : 2005 - 2006
Môn : TOÁN - Khối lớp: 7
Thời gian : 90 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và
c( b + d) = 2bd . Chứng minh (
db
ca
+
+
)
8
=
88
88
db
ca
+
+
Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết:
5.
x
3
2
4
3
−
- 3,25 = -2{(1,25)
2
– 2,5 . 0,25 + (-0,25)

2
}
b/ Tìm x , y biết:
y+3
+
yx +2
= 0
Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x
2
- 35x + 42
b/ Đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c có a, b, c là các số nguyên , và
a
≠
0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7.
Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7.
Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x
2
+ 2x - 8y
2
= 41
b/ Biết x
∈
Q và 0 < x < 1. Chứng minh x
n
< x với n
∈
N, n
>

2
Bài 5 (2điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC, ba đường cao BD, CE và
AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.
Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE.
a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau.
b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD.

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Bài 1 (2đ) Từ c( b+d ) = 2bd suy ra b + d =
c
bd2
(0,5đ)
Viết
db
ca
+
+
=
bd
bc
2
2
=
d
c
(0,5đ)
Suy ra
b
a
=

d
c
=
db
ca
+
+
(0,5đ)
Biến đổi để có điều phải chứng minh (0,5đ)
Bài 2 (2đ) a/ Tính được
x
3
2
4
3
−
=
4
1
(0,5đ)
Tìm được x =
4
3
, x =
2
3
(0,5đ)
b/ Nêu
y+3

>
0 và
yx +2

>
0 (0,25đ)
Để có
y+3
+
yx +2

>
0 (0,25đ)
Suy ra
y+3
= 0 và
yx +2
= 0 (0,25đ)
Tìm được x =
2
3
và y = -3 (0,25đ)
Bài 3 (2đ) a/ Viết được 7x
2
- 35x + 42 = 7(x-3)(x-2) (0,5đ)
Tìm được x = 3 , x = 2 và trả lời (0,5đ)
b/ Từ giả thiết suy ra f(0) = c chia hết cho 7 (0,25đ)
f(1) và f(-1) chia hết cho 7 , tức là a+b+c và a-b+c chia hết cho 7 (0,25đ)
Suy ra 2a + 2c chia hết cho 7 để có a chia hết cho 7. (0,25đ)
Suy ra b chia hết cho 7 (0,25đ)

Bài 4 (2đ) a/ Viết được (x+1)
2
= 42 + 8y
2
(0,25đ)
Suy ra (x+1)
2
là số chẵn, để có (x+1)
2
chia hết cho 4 (0,25đ)
Nêu 42 + 8y
2
không chia hết cho 4. (0,25đ)
Kết luận: không có số nguyên x, y nào thõa mãn đề bài (0,25đ)
b/ Xét x
n
– x = x ( x
n-1
- 1 ) (0,25đ)
+ 0 < x < 1 nên x
n-1
< 0 và x > 0 (0,25đ)
Suy ra: x
n
- x < 0 (0,25đ)
+ Suy ra điều phải chứng minh (0,25đ)
Bài 5 (2đ) a/ Nêu được AK
⊥
MC (0,5đ)
Suy ra hai góc KAH và MCB bằng nhau (0,5đ)

b/ Chứng minh CE = MN (0,25đ)
Viết được AB - AC > BD - CE. Suy ra: BM > BD – MN (0,25đ)
Hạ MI
⊥
BD và chứng minh BM > BI (0,25đ)
Kết luận AB + CE > AC + BD (0,25đ)