Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bạc Liêu môn Toán bảng B (Năm học 2011 - 2012) - Ngày thi thứ nhất

Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh:…………………………… ……… …………….………………
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG B)


* Ngày thi: 05/11/2011
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ

Bài 1: (5 điểm)
Cho các số dương
,,abc thỏa mãn
222
3abc
+
+=. Chứng minh rằng:

22 22 22
a b c ab bc ca++= + + .


Bài 2: (5 điểm)
Cho dãy số
()
n
u thỏa

1
3u
=
,
2
5u
=
,
21
32
nnn
uuu
++
=
− (n ≥ 1).
Chứng minh rằng:
(
)
2011
3 mod 2011u ≡ .

Bài 3: (5 điểm)
Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán đề thi gồm có ba câu. Biết rằng mỗi thí
sinh làm được ít nhất một câu, có 25 thí sinh làm được câu thứ nhất, có 20 thí sinh làm
được câu thứ hai, có 14 thí sinh làm được câu ba, có 12 thí sinh làm được câu thứ nhất
và thứ hai, có 10 thí sinh làm được câu thứ hai và thứ ba, có 7 thí sinh làm được câu
thứ nhất và thứ ba, và có 1 thí sinh đạt điểm tối đa vì giải được cả ba bài. Hỏi có bao
nhiêu thí sinh dự thi?

Bài 4: (5 điểm)

Cho hình bình hành ABCD. G
ọi I, F, K là các điểm xác định bởi:
,,.
A
IABAFACAKAD
αβγ
== =
JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng
hàng là:
111
β
αγ
=+
(biết rằng
0, 0, 0
α
βγ
≠
≠≠
).

HẾT
(Gồm 01 trang)
CHÍNH THỨC
1 Bảng B-Ngày 1
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG B)

* Ngày thi: 05/11/2011
* Thời gian: 180 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: (5 điểm)
Ta có a + b + c
≥
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2

⇔ a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2(a + b + c) ≥ a

4
+ b
4
+ c
4
+ 2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
) (1,0đ)
⇔ a
4
+ 2a + b
4
+ 2b + c
4
+ 2 c ≥ (a
2
+ b
2
+ c
2

)
2


⇔
a
4
+ 2a + b
4
+ 2b + c
4
+ 2 c
≥
9 (1,0đ)
Do đó ta chỉ cần chứng minh a
4
+ 2a + b
4
+ 2b + c
4
+ 2 c ≥ 9
Mà a
4
+ 2a = a
4
+ a + a
≥

34
3 aaa

= 3a
2
(0,5đ)
Tương tự b
4
+ 2b ≥ 3b
2
; c
4
+ 2c ≥ 3c
2
(1,0đ)
Vậy a
4
+ 2a + b
4
+ 2b + c
4
+ 2 c ≥ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = 9 (0,5đ)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. (1,0đ)
Bài 2: (5 điểm)
Xét phương trình đặc trưng
2
1

320
2
x
xx
x
=
⎡
−+=⇔
⎢
=
⎣


.2
n
n
uab=+
với
12
3 , u 5u ==
ta được : (2,0đ)

23 1

45 1
ab a
ab b
+= =
⎧⎧
⇔

⎨⎨
+= =
⎩⎩


12
n
n
u =+ (1,0đ)

2011
2011
12u =+ ≡ 3(mod2011) (theo định lý Fecrmat) (2,0đ)

Bài 3: (5 điểm)
Gọi A là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ nhất. (0,5đ)
Gọi B là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ hai. (0,5đ)
Gọi C là tập hợp các thí sinh làm được câu thứ ba. (0,5đ)
Ta cần tính
CBA ∪∪
Áp dụng công thức:
CBACACBBACBACBA ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ (1,0đ)
Theo giả thiết ta có:
25=A , 20=B , 14=C , 12=∩ BA , 10=∩CB , 7=∩CA ,
1=∩∩ CBA . (1,5đ)
Do đó
31171012142025 =+−−−++=∪∪ CBA (1,0đ)
Vậy số thí sinh dự thi là 31.

(Gồm 02 trang)
CHÍNH THỨC
2 Bảng B-Ngày 1
Bài 4: (5 điểm)
* Ta có:

()
à:
KI AI AK
AB AD
KF AF AK
AC AD
MACABAD
K
FAB AD
αγ
βγ
ββγ
=−
=−
=−
=−
=+
⇒= +−
JJG JJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJGJJJG

* Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho:

()
()( )
0
KF kKI
A
BADkABkAD
kAB kAD
ββγ αγ
βα βγγ
=
⇔+− = −
⇔− +−+ =
JJJG JJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG G

* Vì
,
A
BAD
JJJGJJJG
không cùng phương nên:

(
)
(
)

()
0
0
0
0, 0, 0
111
kAB kAD
k
k
do
−+−+=
−=
⎧
⇔
⎨
−+ =
⎩
−
⇔= ≠ ≠ ≠
⇔+=
JJJGJJJGG
βα βγγ
βα
βγ γ
βγβ
αβγ
αγ
αγ β

Hết

(1,0đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(1,0đ
)
(0,5đ)
(1,0đ)
(0,5đ)