Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Ninh Thuận năm 2012 - 2013 môn Toán

Họ tên TS: SốBD: Chữ ký GT1:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NINH THUẬN
(Đề thi chính thức)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
Khóa ngày: 18 / 11 / 2012
Môn thi: TOÁN - Cấp THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ:
(Đề thi có 01 trang)
Bài 1 (4,0 điểm).
Giải phương trình:
2 2
3
13 4  x x
= 3
Bài 2 (3,0 điểm).
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = 3sinxcosx - sin
3
x - cos
3
x
Bài 3 (3,0 điểm).
Tìm tất cả các số tự nhiên A có 3 chữ số sao cho
A
2
là một số chính
phương và

A
3
là lập phương của một số tự nhiên.
Bài 4 (5,0 điểm).
Trên đường tròn tâm O, bán kính R cho hai điểm B, C cố định (BC không
phải là đường kính) và điểm A di động. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC,
trên cung không ch ứa điểm A lấy điểm M bất kỳ. Gọi D và E lần lượt là
các điểm đối xứng của M qua AB và AC.
a) Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng.
b) Khi M đối xứng với A qua O, hãy xác định vị trí của điểm A sao cho
tam giác MDE có diện tích lớn nhất.
Bài 5 (3,0 điểm).
Cho a
1
, a
2
,…, a
n
là n số thực thoả mãn điều kiện
2 2 2
1 2
1
n
a a a   
. Hãy
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a
1
a
2
+ a

2
a
3
+ … + a
n-1
a
n
Bài 6 (2,0 điểm).
Cho 4 xã có trung tâm của mỗi xã nằm ở vị trí là đỉnh của một hình vuông
có cạnh bằng a. Hãy xây dựng một mạng lưới giao thông có độ dài ngắn nhất
nối 4 trung tâm của các xã đó.
HẾT
BC