Đề thi học sinh giỏi cấp cơ sở tỉnh Điện Biên năm 2010 môn Toán lớp 12 - Có đáp án

SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN
Đề thi chính thức
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ - NĂM HỌC 2009 -2010
Môn:Toán
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 07/01/2010
(Đề thi có 01 trang)
ĐỀ BÀI
Câu 1: (6 điểm)
1. Cho phương trình:
(1) (m là tham số).
a) Giải phương trình (1) với m = 0.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
2. Giải hệ phương trình:
Câu 2: (5 điểm)
1. Tìm GTLN của hàm số:
trên đoạn .
2. Cho hàm số có đồ thị là (C).
Tính diện tích tam giác có các đỉnh
là các điểm cực trị của đồ thị (C).
Câu 3: (6 điểm)
1. Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy. Chứng minh
rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương trình: (t là tham số) luôn tiếp xúc
với một đường tròn cố định.
2. Cho lăng trụ đứng
ABC.A
1
B
1

C
1
có AB = a, AC = 2a,
AA
1
= và . Gọi M là trung điểm của CC
1
. Chứng minh MB MA
1
và tính khoảng cách
từ A đến mặt phẳng (A
1
BM).
Câu 4: (1.5 điểm)
Cho đa thức có
các hệ số không âm và
có n nghiệm thực. Chứng minh .
Câu 5: (1.5 điểm)
Cho hàm số: có đồ thị là (C). là
điểm trên (C) có hoành độ . Tiếp
tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác ,
tiếp tuyến của (C) tại điểm cắt (C) tại điểm khác (n = 4; 5;…), gọi là tọa độ điểm .
Tìm n để :
Hết
1 2sin 1 sin
2 3.2 4
x x
m
+ +
− = −

6 6
5 5
1
1
x y
x y

+ =


+ =


3 2
3 72 90y x x x= − + + −
[ ]
7;7−
4 2
1
2 3
4
y x x= − +
cos sin sin 2cos 3 0x t y t t t+ + − − =
2 5a
·
120BAC =
o
⊥
( )
1 2

1 2 1
1
n n n
n n
f x x a x a x a x
− −
− −
= + + + + +L
( )
2 3
n
f ≥
3
2009y x x= −
1
M
1
1x =
1
M
2
M
1
M
2
M
3
M
2
M

1n
M
−
n
M
1n
M
−
( )
;
n n
x y
n
M
2013
2009 2 0
n n
x y+ + =
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 12
NĂM HỌC 2009-2010
Câu 1 NỘI DUNG 6điểm
1
(4điểm)
Đặt ta có phương trình:
(2)
0.5
a.Với m = 0 suy ra: 0.5
1
b.ycbt(2) có nghiệm 0.5
(2) có nghiệm khi đường

thẳng y = m cắt trên

0.5
……
0.5
Suy ra thì (1) có nghiệm
0.5
2
(2điểm)
Lập luận từ (1) và (2) suy ra
và x, y không cùng dấu
0.75
Vai trò của x, y bình đẳng , không làm mất tính tổng quát giả sử
. Lập luận đưa ra hệ vô
nghiệm
0.75
Nhận thấy là các nghiệm của
hệ
0.5
Câu 2 trên đoạn 4 điểm
1
(2điểm)
Xét hàm trên 0.5
1.0
0.5
1 2sin 1 sinx
2 3.2 4
x
m
+ +

− = −
sinx
1
2 ;2
2
t t
 
= ⇒ ∈
 
 
2
2 6 4t t m− = −
2
2 6 4 0 1 2t t t t− + = ⇔ = ∨ =
sinx
1 2 1 sinx 0t x k
π
= ⇒ = ⇔ = ⇔ =
sinx
2 2 2 sinx 1 2
2
t x k
π
π
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = +
⇔
1
;2
2
t

 
∈
 
 
( )
2
2 2 6 4t t m⇔ − + =
( )
2
: 2 6 4P y t t= − +
1
;2
2
 
 
 
( )
1 3 3 1
; ; 2 0
2 2 2 2
y y y
   
= = − =
 ÷  ÷
   
1 3
2 2
m− ≤ ≤
6 6
5 5

1 (1)
1 (2)
x y
x y

+ =


+ =


[ ]
, 1;1x y∈ −
1 0 1x y− < < < <
( ) ( )
0;1 ; 1;0
3 2
3 72 90y x x x= − + + −
[ ]
7;7−
( )
3 2
3 72 90f x x x x= − + + −
[ ]
7;7−
2
' 3 6 72 0 4 6y x x x x= − + + = ⇔ = − ∨ =
( ) ( ) ( ) ( )
4 266; 6 234; 7 218; 7 104y y y y− = − = = − = −
[ ]

( )
7;7
max 4 266y y
−
= − =
2
(2điểm) Các điểm cực trị:
1.0
NX: các điểm cực trị
tạo thành tam giác
cân tại C. Suy ra diện
tích được tính:
1.0
Câu 3 6 điểm
1
(2điểm)
(*)
0.5
tìm các điểm mà đường
thẳng không đi qua với
mọi t hay (*) vô nghiệm xét đt (C )
0.5
C/M đường tròn ( C ) tiếp xúc (d) với mọi t 0.5
Vậy đường thẳng đã cho
luôn tiếp xúc với đường
tròn cố định có phương trình :
0.5
2
(4điểm)
a. Chứng minh .

0.75
0.75
Suy ra 0.5
4 2
1
2 3
4
y x x= − +
( ) ( ) ( )
2; 1 ; 0;3 ; 2; 1A B C− − −
( )
1 1
. 4.4 8
2 2
S BH AC dvdt= = =
( ) ( )
cos sin sin 2cos 3 0 1 sin 2 cos 3x t y t t t y t x t+ + − − = ⇔ + + − =
⇒
( ) ( )
2 2
2
1 2 3y x⇔ + + − <
( ) ( )
2 2
2
1 2 3y x+ + − =
( ) ( )
2 2
2
1 2 3y x+ + − =

'MB MA⊥
uuur uuuur
( ) ( )
1
AA'
2
BM BA AM AB AC CM AB AC
 
= + = − + + = − + +
 ÷
 
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur
( )
1
' ' ' ' AA'
2
A M A C C M AC
 
= + = −
 ÷
 
uuuuur uuuur uuuuur uuur uuuur
1 1
. ' AA' AA'
2 2
BM A M AB AC AC
  
= − + + −
 ÷ ÷
  

uuuur uuuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur
( )
2 2
2
2 2
1 1 1 1
. .AA' .AA' AA'. AA'
2 2 2 4
1
4 2 5 0
4
AB AC AB AC AC AC
a a a
 
= − + + − + −
 ÷
 
= + − =
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur
'MB MA⊥
uuur uuuur
b.Tính khoảnh cách từ A đến mp(A’BM)
0.5
0.5
0.5
0.5
Câu 5
2 điểm
Gọi suy ra tiếp tuyến
tại

0.5
Tọa độ
điểm
được xác
định:
0.5
Ta có : 0.5

0.5
Câu 4
2 điểm
có các hệ số
không âm và n
nghiệm thực . Suy n nghiệm đó âm giả sử là các nghiệm:
0.5
Theo cách phân tích đa thức
ta được
0.5
Đặt với 0.5
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
. ' ' AA'
'
2 2 2 2 2 0 2 2

2 2 2 2
2
'
2 0
AA'
1 1
, ' . , AA' .
3 3
1
. '
2
1
2. . .cos120 AA' 12
4
' ' ' ' 9
1
3 . 12 3 3
2
1 3
2 .2 5 2 5; , AA' .sin60
2 2
, '
A A BM A BM M
A BM
A BM
M
V d A A BM S d B M S
S MB MA
MB BC CM AB AC AC AB a
MA A C C M a

S a a a
a
S a a a d B M BH AB
d A A BM
= =

=



= + = + − + =



= + =


⇒ = =
= = = = =
⇒
( )
( )
2 2
3 5
.3 3 2 5. , '
2 3
a
a a d A A BM a= ⇒ =
3
2009y x x= −

( )
;
k k k
M x y
( ) ( )
: '
k k k k
M y y y x x x− = −
( )
( )
2 3
3 2009 2009
k k k k
y x x x x x⇔ = − − + −
1k
M
+
( )
( )
( )
( )
3 2 3
2 2
1
2009 3 2009 2009
. 2 0 2
2
k k k k
k k k k k
k k

x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x
+
− = − − + −
⇔ − + − = ⇔ = ∨ = −
⇒ = −
( )
1
1 2 3
1; 2; 4; ; 2
n
n
x x x x
−
= = − = = −
( ) ( )
2010 3 2010
3 3 2013
2013
2009 2 0 2009 2009 2 0
2 2 2 3 3 2013 672
n n n n n
n
x y x x x
n n
−
+ + = ⇔ + − + =
⇔ − = − = − ⇔ − = ⇔ =
( )

1 2
1 2 1
1
n n n
n n
f x x a x a x a x
− −
− −
= + + + + +L
, 1,2, ,
i
x i n=
( )
( )
1
n
i
i
f x x x
=
= Π −
( )
( )
1
0
n
i i i i
i
x f x x
α α α

=
− = ⇒ > ⇒ = Π +
1
1
n
i
i
α
=
Π =
Ta có .Suy
ra đpcm
0.5
( )
( ) ( )
3
1 1 1
2 2 1 1 3 3
n n n
n n
i i i
i i i
f
α α α
= = =
= Π + = Π + + ≥ Π =