Bài toán cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (LV00994)

LỜI CẢM ƠN
Qua đây tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến người
thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ tác giả từ những ngày
đầu làm quen với Phương trình đạo hàm riêng, đến quá trình viết và
bảo vệ luận văn này.
Tác giả xin chân thành cảm ơ n các thầy cô trong khoa To án, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong Bộ môn Giải
tích đã tạo điều kiện cho tác giả được học tập và nghiên cứu trong một
môi trường khoa học. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã
động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên
cứu.
Hà Nội, mùa hè năm 2013.
Tác giả
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu khoa học của
riêng tôi dướ i sự hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, mùa hè năm 2013.
Tác giả
ii
Bảng ký hiệu
C(Ω) tập các hàm liên tục trên miền Ω
C
m
(Ω) t ập các hàm khả vi cấp m trên miền Ω
C
m
(

Ω) tập các hàm liên tục đều khả vi cấp m trên miền đóng Ω
C
∞
(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn trên Ω
C
∞
0
(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn và có giá compact trên Ω
D = (D
1
, D
2
, , D
n
)
D
µ
= D
µ
1
1
D
µ
2
2
D
µ
n
n
D

k
= −i
∂
∂x
k
, i là đơn vị ảo
L
2
(Ω) không gian các hàm bình phương khả tích trong Ω
S(Ω) tập các hàm khả vi vô hạn trên
Ω sao cho
(1 + |x|)
k
|D
α
u(x)| bị chặn với mọi k và α
P (D) =

|µ|≤m
a
µ
D
µ
, a
µ
∈ C toán tử vi phân cấp m
P (D) =

|µ|≤m
a

µ
D
µ
, a
µ
∈ C toán tử liên hợp với P(D)
P (ξ) =

|µ|≤m
a
µ
ξ
µ
, đa thức đặc trưng của toán tử P (D)
P
(k)
(ξ) =
∂P (ξ)
∂ξ
k
, đạo hàm riêng của P (ξ) theo ξ
k
P
(µ)
(ξ) =
∂
|µ|
P (ξ)
∂ξ
µ

1
1
∂ξ
µ
2
2
∂ξ
µ
n
n
đạo hàm cấp |µ| của P (ξ)
R
n
không gian tọa độ thực n chiều
R
n+1
+
= {(x, t) ∈ R
n
× R, t > 0}
iii
Ω = Ω
0
∩ R
n+1
+
Ω
0
là một mi ền trong R
n+1

chứa gốc tọa độ
∂
0
Ω = ∂Ω
0
= {(x, t) ∈ R
n
× R, t = 0}
µ = (µ
1
, µ
2
, , µ
n
), µ
k
∈ N, k =
1, n (kí hiệu đa chỉ số)
|µ| = µ
1
+ µ
2
+ + µ
n
µ! = µ
1
!µ
2
! µ
n

!
ξ = (ξ
1
, ξ
2
ξ
n
)
ξ
µ
= ξ
µ
1
1
ξ
µ
2
2
ξ
µ
n
n
iv
Mục lục
Mở đ ầu vi
1 Khái niệm bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm
riêng 1
1.1 Đặt bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Nghiệm yếu của bài t oán Cauchy . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Điều kiện cần và đủ để tồn tại nghiệm yếu . . . . . . . 9

2 Bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 15
2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất . . . . . . . . . . . 15
2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường . . 25
2.3 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình hyperbolic 31
Kết luận 42
Tài liệu tham khảo 43
v
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán Cauchy là một vấn đề quan trọng trong lý thuyết Phương
trình đạo hàm riêng. N hiều vấn đề trong thực tiễn và công nghệ đưa tới
việc giải bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm riêng tuyến tính.
Các kết quả cổ điển trước đây đối với bài toán Ca uchy được phát biểu
trong Định lý Kovalevskaya nổi tiếng và chỉ được giới hạn trong l ớp
hàm giải tích. Song nhiều bài toán đòi hỏi phải xét l ớp nghiệm yếu, tức
là các ng hiệm không có tính khả vi thông thường. Nhưng việc mở rộng
lớp nghiệm lại phải kéo theo việc hạn chế lớp phương trình được xét,
đó là lớp phương trình hyperbolic. Vì vậy chúng tôi mạ nh dạn chọn đề
tài cho luận văn t hạc sĩ của mình l à:
“Bài toán Cauchy cho phương trình
đạo hàm riêng tuyến tính”
2. Mục đích nghiên cứu
Mô tả lý thuyết nghiệm yếu đối với bài to án Cauchy cho lớp phương
trình hyperbolic tuyến tính.
vi
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Khái niệm nghiệm yếu của bài toán Cauchy
• Điều ki ện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy
• Lớp phương trình hyper bolic
• Sự tồn tại và duy nhất của nghi ệm yếu bài toán Cauchy

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nội dung chính của luận văn chủ yếu được trình bày dựa trên chương
4 của tài l iệu [5] trong mục tài liệu tham khảo.
• Chương 1. Phát biểu bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm
riêng tuyến tính với hệ số hằng. Trình bày khái niệm nghiệm yếu
của bài toán Cauchy. Phát biểu và chứng minh định l ý về điều k iện
cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy.
• Chương 2 . Trình bày một lớp con bao gồm các phương trình hyper-
bolic theo biến t mà bài toán Cauchy tương ứng trong nửa khô ng
gian t > 0 luôn có nghiệm yếu duy nhất.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp
để được một nghiên cứu tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu đối với
bài toán Cauchy cho phương trình đạo hàm ri êng tuyến tính.
vii
6. Giả thuyết khoa học
Tổng quan về sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán Cauchy cho phương
trình hyperbolic tuyến tính.
viii
Chương 1
Khái niệm bài toán Cauchy
cho phương trình đạo hàm
riêng
Trong chương này luận văn trình bày hai khá i niệm cơ bản, đó là
bài toán Cauchy và nghiệm yếu của bài toán Cauchy. Các khái niệm
này được trình bày trong mục 1.1 và 1.2. Riêng trong mục cuối cùng
sẽ trình bày về điều kiện cần và đủ để bài t oán Cauchy có nghiệm yếu.
1.1 Đặt bài toán Cauchy
Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính với hệ số hằng
P (D

x
, D
t
)u = f(x, t) (1.1)
trong đó
x = (x
1
, , x
n
) ∈ R
n
, t ∈ R
1
và
P (D
x
, D
t
) =

|µ|+k≤m
a
µ,k
D
µ
x
D
k
t
(1.2)

trong đó
D
x
= (D
1
, , D
n
), D
j
= −i
∂
∂x
j
, j =
1, n, D
t
= −i
∂
∂t
µ = (µ
1
, µ
2
, , µ
n
), µ
k
∈ N, k = 1, n, |µ| = µ
1
+ µ

2
+ + µ
n
và
D
µ
x
= D
µ
1
1
D
µ
2
2
D
µ
n
n
.
Giả sử Ω
0
là một miền trong R
n+1
chứa gốc tọa độ và Ω là giao của Ω
0
với nửa không gian t > 0.
Bài toán Cauchy đối với phương trình (1.1) trong Ω là tìm một hàm
u(x, t) ∈ C
m

(
Ω), sao cho
P (D
x
, D
t
)u = f(x, t) trong Ω (1.3)
và
D
k
t
u(x, 0) = g
k
(x), 0 ≤ k < m, (x, 0) ∈ ∂
0
Ω (1.4)
trong đó ∂
0
Ω = ∂Ω
0
= {(x, t) ∈ R
n
× R, t = 0} với f là một hàm cho
trước trên Ω còn g
k
là các hàm cho trước trên ∂
0
Ω.
Ta sẽ nói rằng bài toán Cauchy (1.3) và (1.4) là đặt chỉnh nếu nó có
nghiệm duy nhất với mỗi cách chọn f, g

0
, g
1
, , g
n−1
đủ trơn và nghiệm
này phụ thuộc liên tục và o các hàm nói tr ên.
Ta cần có một nhận xét trước khi nghiên cứu bài toán này. Để các
phương trình (1.3) và (1.4) không mâu thuẫn nhau thì điều quan trọng
là hệ số của D
m
t
trong ( 1.2) không triệt tiêu. Còn nếu hệ số này triệt
tiêu thì khi đó từ các phương t rình (1.3),(1.4) ta suy ra
m−1

k=0

|µ|≤m−k
a
µ,k
D
µ
x
g
k
(x) = f(x, 0). (1.5)
2
Do đó chúng ta phải thu hẹp lớp các hàm số g
k

. Vì ta muốn có nghi ệm
cho mọi sự lựa chọn của g
k
(thỏa mãn điều kiện khả vi) nên cần tránh
được tình huống này. Do đó ta giả sử rằng
a
(0, ,0),m
= 0. (1.6)
Chúng ta mô tả điều này bằng cách nói rằng siêu phẳng t = 0 không
là mặt đặc trưng của toán tử (1.2).
1.2 Nghiệm yếu củ a b ài toán Cauchy
Trước hết chúng ta có khái niệm nghiệm yếu được xuất phát từ
công thức tí ch phân từng phần
Định nghĩa 1.1. Một hàm u ∈ L
2
(Ω) được gọi là một n ghiệm yếu
của ph ương trình 1.1 nếu nó thỏa mãn
(u,
P(D)ϕ) = (f, ϕ) (1.7)
với ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω).
Để nghiên cứu về nghiệm yếu của bài toán Cauchy, ta hãy bắt đầu
với một trường hợp đơ n giản. Trước hết, giả sử rằng cho các g
k
trong
(1.4) triệt tiêu và g iả sử rằng f ∈ C
∞
0

(Ω). Do đó, bài toán của chúng
ta bây giờ có dạng như sau
P (D
x
, D
t
)u = f (1.8)
trong Ω và
D
k
t
u(x, 0) = 0, 0 ≤ k < m (1.9)
trên ∂
0
Ω.
Ta có một nhận xét đơn g iản. Vì f ∈ C
∞
0
(Ω) nên ta có t hể mở rộng
3
là f t riệt tiêu trong Ω
0
\Ω (phần của Ω
0
nằm trong nửa không gian
t ≤ 0.). Hàm mở rộng f
1
này rõ ràng thuộc C
∞
0

(Ω
0
). Bây giờ giả sử
u ∈ C
∞
(
Ω) là một nghiệm của bài toán Cauchy (1.8) và (1.9). Để ý
rằng nếu ta mở rộ ng hàm u t riệt tiêu trên Ω
0
\Ω khi đó hàm mở rộng
u
1
thuộc C
m
(
Ω
0
). Ta khẳng định như vậy vì mọi đạo hàm D
k
t
u với
0 ≤ k < m liên tục trên ∂
0
Ω. Hơn nữa, vì
P (D) = P (D
x
, D
t
) =


|µ|+k≤m
a
µ,k
D
µ
x
D
k
t
(1.10 )
P (D) =

|µ|+k≤m
a
µ,k
D
µ
x
D
k
t
, a
µ,k
∈ C
và
a
(0, ,0),m
= 0 (1.11 )
ta thấy rằng D
m

t
u(x, 0) = 0 trên ∂
0
Ω (nhắc lại rằng f cũng triệt tiêu
ở đây). Vì cả f
1
và u
1
đều triệt tiêu trong Ω
0
\Ω, ta suy ra rằng u
1
là
nghiệm của
P (D)u
1
= f
1
(1.12 )
trong Ω
0
.
Đặc biệt, nó là m ột nghiệm yếu, và do đó

Ω
0
u
1
P (D)ϕdxdt =


Ω
0
f
1
ϕdxdt, ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
). (1.13 )
Vì cả u
1
và f
1
đều triệt tiêu tr ên Ω
0
\Ω nên
(u, P (D)ϕ) = (f, ϕ), ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
) (1.14 )
trong đó
(v, w) =

Ω
v
wdxdt. (1.15 )
4

Tóm lại, chúng ta thấy rằng, mọi nghiệm của bài toán (1.8) và (1.9)
thỏa mãn phương trình (1.14) . B ây gi ờ ta chứng minh điều ngược lại.
Nếu u ∈ C
m
(
Ω) t hỏa mãn phương trình (1.14) thì nó là một nghiệm
của các bài toán Cauchy (1.8) và (1.9). Để làm được điều đó chúng ta
cần nhắc lại công thức tính tích phân từng phần, vì hàm ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
)
không nhất thiết t riệt tiêu trên ∂
0
Ω.
Với kí hiệu đang sử dụng t hì công thức tích phân từng phần của
chúng ta có dạng

Ω
D
k
hdxdt = −i

∂Ω
hγ
k
dσ 1 ≤ k ≤ n + 1 (1.16 )
trong đó γ
k

là cosin của góc giữa trục x
k
với hướng ngoài chuẩn của
∂Ω. Kí hiệu ∂
1
Ω là phần của ∂Ω không nằm trong siêu phẳng t = 0.
Nếu h triệt tiêu gần ∂
1
Ω thì phương t rình (1.16) trở thành

Ω
D
k
hdxdt = 0 1 ≤ k ≤ n (1.17 )
và

Ω
D
t
hdxdt = −i

∂
0
Ω
hdx (1.18 )
Đặc biệt, nếu w ∈ C
1
(
Ω) và ϕ ∈ C
∞

0
(Ω
0
), thì
(D
k
w, ϕ) = (w, D
k
ϕ) 1 ≤ k ≤ n (1.19 )
và
(D
t
w, ϕ) = (w, D
t
ϕ) − i

∂
0
Ω
w
ϕdx (1.20 )
Một lần nữa ứng dụng phương trình (1.20) ta được
(D
k
t
w, ϕ) = (w, D
k
t
ϕ) − i
k


j=1

∂
0
Ω
D
k−j
t
w
D
j−1
t
ϕdx (1.21 )
5
với w ∈ C
k
(Ω) và ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
). Bây giờ chúng ta áp dụng các công
thức này vào biểu thức (P (D)u, ϕ) với u ∈ C
m
(
Ω) và ϕ ∈ C
∞
0
(Ω

0
). Ta
được
(P (D) u, ϕ)=

|µ|+k≤m
a
µ,k
(D
µ
x
D
k
t
u, ϕ)
=

|µ|+k≤m
a
µ,k

(u, D
k
t
D
µ
x
ϕ) − i
k


j=1

∂
0
Ω
D
k−j
t
u
D
j−1
t
D
µ
x
ϕdx

= (u,
P (D)ϕ) − i
m

j=1

∂
0
Ω
N
j
u
D

j−1
t
ϕdx (1. 22)
trong đó
N
j
u =
m

k=j

|µ|≤m−k
a
µ,k
D
µ
x
D
k−j
t
u 1 ≤ j ≤ m (1.23 )
Bây giờ giả sử u ∈ C
m
(
Ω) thỏa mãn phương trình (1.14) với mọi
ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0

). Đặc biệt, điều này đúng với mọi ϕ ∈ C
∞
0
(Ω) và do đó, u
là một nghi ệm của phương trình (1.8). Vì thế, phương trình ( 1.22) cho
ta
m

j=1

∂
0
Ω
N
j
u
D
j−1
t
ϕdx = 0 ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
) (1.24 )
Ta khẳng định rằng phương trình (1.24) suy ra rằng
N
j
u = 0 1 ≤ j ≤ m (1.25 )
trên ∂

0
Ω. Chúng ta để lại chứng minh của khẳng định này đến cuối mục
này. Bây giờ chúng ta chú ý rằ ng phương trình (1. 25) suy ra phương
trình (1. 9). Thực tế, theo phương trình (1.23)
N
m
u = au
6
N
m−1
u = aD
t
u +

|µ|≤1
a
µ,m−1
D
µ
x
u
và, một cách tổng quát , N
m−k
u = aD
k
t
u+ một biểu thức tuyến tính
chỉ chứa u, D
t
u, , D

k−1
t
u và các đạo hàm của chúng theo x
1
, , x
n
. Vì
a = 0 (t heo (1.11)), N
m
u = 0 trên ∂
0
Ω suy ra u = 0 trên ∂
0
Ω và ngược
lại, N
m−1
u = 0 suy ra D
t
u = 0, Do đó, ta đã chứng minh được định
lí sau đây
Định lý 1.1. Một hàm u ∈ C
m
(
Ω) là một nghiệm của các bà i toán
Cauchy (1.8) và ( 1.9) nếu và chỉ n ếu nó thỏa mãn phương trình (1.14).
Ta có thể thấy rằng Định lí 1.1 đúng với mọi f ∈ C(
Ω). Thật vậy, nếu
u là một nghiệm của phương trình (1.8) thì theo phương trình (1.22)
(u,
P (D)ϕ) − (f, ϕ) = i

m

j=1

∂
0
Ω
N
j
u
D
j−1
t
ϕdx (1.26 )
Mà trong phương trình ( 1.23) ta thấy rằng D
m
t
u không xuất hiện trong
các N
j
u. Do đó, nếu u thỏa mã n phương trình (1.9) thì N
j
u = 0 trên
∂
0
Ω với mỗi j, chứng tỏ rằng phương t rình (1.14) đúng. Ngược lạ i, nếu
phương trình (1. 14) đúng thì phương trình (1.24) cũng đúng và do đó
phương trình (1.9) đúng.
Ta có định nghĩa nghiệm yếu
Định nghĩa 1.2. Giả sử f(x) ∈ L

2
(Ω). Ta gọi hàm số u(x) ∈ L
2
(Ω)
là một ngh iệm yếu của bài toán Cauchy (1.8) v à (1.9) nếu đẳng thức
(1.14) được thỏa mãn với mọi ϕ(x) ∈ C
∞
0
(Ω
0
).
Trong mục tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu về cá c nghiệm yếu của
các bài to án Cauchy (1.8) và (1.9).
Phần còn lại của mục này, như đã nói ở trên, chúng ta sẽ chứng
minh (1.25) là hệ quả của phương trình (1.24). Chứng minh này trở
nên đơn giản khi chúng ta có bổ đề sau
7
Bổ đề 1.1. Nếu w
1
(x), , w
m
(x) là các hàm l i ên tục trên ∂
0
Ω và
m

j=1

∂
0

Ω
w
j
D
j−1
t
ϕdx = 0 ∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
) (1.27)
thì w
j
đồng nhất 0.
Chứng minh. Gi ả sử với j nào đó và với x
0
∈ ∂
0
Ω nào đó w
j
(x
0
) = 0.
Ta có thể giả sử rằng Re w
j
(x
0
) > 0. Do tính liên tục nên tồn tại lân
cận N của x

0
sao cho Re w
j
(x) > 0 với x ∈ N. Khi đó, tồn tại các hằ ng
số dương r, b sao cho khối trụ
|x − x
0
| < 2r |t| < 2b
chứa trong Ω
0
và |x − x
0
| < 2r chứa trong N. Giả sử ψ(x) là một hàm
thuộc C
∞
0
(∂
0
Ω) sao cho
ψ( x) = 1 |x − x
0
| ≤ r
ψ( x) = 0 |x − x
0
| ≥ 2r
0 ≤ ψ(x) ≤ 1 x ∈ ∂
0
Ω
và lấy ρ(t) là một hàm trong C
∞

0
(R
1
) thỏa mãn
ρ(t) = 1 |t| ≤ b
ρ(t) = 0 |t| ≥ 2b
Đặt
ϕ(x, t) = (it)
j−1
ψ( x)ρ(t).
Rõ ràng ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
). Hơn nữa, D
k
t
ϕ(x, 0) = 0 với k = j − 1 và
D
j−1
t
ϕ(x, 0) = (j − 1)!ψ(x)
8
chứng tỏ rằng hàm này là dương trong |x − x
0
| < r, k hông âm trong
N và triệt tiêu bên ngoài N. Do đó, ta phải có
Re


∂
0
Ω
w
j
(x)D
j−1
t
ϕ(x, 0)dx > 0 (1.28 )
Nhưng điều này là không thể v ì vế trái của (1. 28) bằng phần thực của
vế trái của (1.27) với cách chọn ϕ như vậy. Bổ để được chứng minh.
1.3 Điều kiện cần và đủ đ ể tồn tại nghiệm
yếu
Trong mục này chúng ta sẽ làm sáng tỏ hơn về các nghiệm yếu của
các bài toán Cauchy (1. 8) và (1.9). Cụ thể, chúng ta sẽ nói về điều kiện
cần và đủ để bài toá n Cauchy có nghiệm yếu. Và chính vì điều kiện
này nên lớp phương trình mà chúng ta đang xét bị thu hẹp, chỉ bao
gồm các phươ ng trình hyp erboli c.
Trước hết, chúng ta có cá c định lí
Định lý 1.2. Với mỗi hàm f ∈ L
2
(Ω), đi ều kiện cần và đủ để các bài
toán Cauchy (1.8) và (1.9) có nghiệm yếu là tồn tại C > 0 sao cho
|(f, ϕ)| ≤ C


P (D)ϕ


∀ϕ ∈ C

∞
0
(Ω
0
) (1.29 )
Thêm nữa, ta có
Định lý 1.3. Điều kiện cần và đủ để các bài toán Cauchy (1.8) và
(1.9) có nghiệm yếu v ới mọi f ∈ L
2
(Ω) là t ồn tại C > 0 sao cho
ϕ ≤ C


P (D)ϕ


∀ϕ ∈ C
∞
0
(Ω
0
) (1.30)
9
Chứng minh. Điều kiện đủ là rõ ràng, vì từ (1.30), với mỗi f ∈ L
2
(Ω),
|(f, ϕ)| ≤ f  ϕ ≤ f C


P (D)ϕ



theo bất đẳng thức Schwarz. Để chứng m inh điều kiện đủ, giả sử bất
đẳng thức (1.29) đúng với mỗi f ∈ L
2
(Ω). Nếu (1.30) không đúng, khi
đó sẽ tồ n tại một dãy hàm {ϕ
k
} trong C
∞
0
(Ω
0
) sao cho
ϕ
k
 → ∞


P (D)ϕ
k


= 1 k → ∞ (1.31 )
Đặt
F
k
(f) = (f, ϕ
k
) f ∈ L

2
(Ω) k = 1, 2,
Khi đó, với mỗi k, F
k
là một hàm tuyến tính bị chặn trên L
2
(Ω) và với
mỗi f ∈ L
2
(Ω), theo (1.29) ta có
|F
k
(f)| ≤ |(f, ϕ
k
)| ≤ C


P (D)ϕ
k


= C
vậy nên
sup
k
|F
k
(f)| < ∞
Theo định lí Banach-Steinhaus, sẽ tồn tại một hằng số C sao cho
|F

k
(f)| ≤ C f f ∈ L
2
(Ω) k = 1, 2,
Do đó,
|(f, ϕ
k
)| ≤ C f f ∈ L
2
(Ω) k = 1, 2,
Lấy f = ϕ
k
ta nhận được
ϕ
k
 ≤ C
điều này m âu thuẫn với (1.31). Do đó, (1. 30) đúng và ta có điều cần
chứng minh.
10
Đặc biệt, ta biết rằng với mỗi miền Ω
0
⊂ R
n+1
các bài toán Cauchy
(1.8) và (1.9) có một nghiệm yếu với mỗi f ∈ L
2
(Ω) nếu và chỉ nếu bất
đẳng thức (1.30) đúng. Một câu hỏi tự nhiên là phải có điều kiện gì để
toán tử P (D) thỏa mãn (1.30)? Định lí sau đây sẽ cho chúng ta câu
trả lời

Định lý 1.4. Nếu Ω chứa một dải có dạng 0 < t < 2b, b > 0 và P (D)
thỏa mãn (1.30), thì tồn tại một hằng số K, sao cho
| Im τ| ≤ K (1.32)
với ξ thực, suy ra
P (ξ, τ) = 0.
Chứng minh. Lấy (ξ, τ) sao cho ξ thực và P (ξ, τ) = 0. Giả sử ψ(x) = 0
là một hàm thuộc C
∞
0
(R
n
) và ρ(t) l à một hàm thuộc C
∞
0
(R
1
) thỏa mãn
ρ(t) = 1 |t| ≤ b
ρ(t) = 0 |t| ≥ 2b
và
0 ≤ ρ(t) ≤ 1 |t| ≤ 2b
Đặt
ϕ
ε
(x, t) = ψ(εx)ρ(t)e
i(x,ξ)+itτ
(1.33 )
Ta có thể lấy Ω
0
chứa dải |t| ≤ 2b. Trong trườ ng hợp này ϕ

ε
∈ C
∞
0
(Ω
0
)
và do đó bấ t đẳng thức (1. 30) được giả thiết là đúng với nó. Như vậy,
ϕ
ε
(x, t)
2
=

|ψ(εx)|
2
dx
2b

0
e
2t Im τ
|ρ(t)|
2
dt ≥ ε
−n
ψ(x)
2
b


0
e
2t Im τ
dt
Mặt khác,
11
P (D)ϕ
ε
=

µ+k>0
1
µ!k!
P
(µ,k)
e
i(x,ξ)+itx
D
µ
x
ψ( εx)D
k
t
ρ(t)
= e
i(x,ξ)+it
τ

|µ|+k>0
1

µ!k!
P
(µ,k)
(ξ, τ)D
µ
x
ψ( εx)D
k
t
ρ(t),
trong đó,
P
(µ,k)
(ξ, τ) =
∂
|µ|−k
P (ξ, τ)
∂ξ
µ
∂τ
k
Do đó,
|P (D)ϕ
ε
| ≤ e
t Im τ

|µ|+k>0
1
µ!k!




P
(µ,k)
(ξ, τ)





D
µ
x
ψ( εx)D
k
t
ρ(t)


và ngược lại


P (D)ϕ
ε


2
≤ C


µ+k>0
1
µ!k!
|P
(µ,k)
(ξ, τ)|
2
D
µ
x
ψ( εx)
2
2b

0
e
2t Im τ
|D
k
t
ρ(t)|
2
dt
≤ ε
−n
C
1

k>0
|P

(0,k)
(ξ, τ)|
2
ψ(x)
2
2b

b
e
2t Im τ
dt
+ε
−n
C
2

|µ|>0

k≥0
|P
(µ,k)
(ξ, τ)|
2|µ|
D
µ
x
ψ( x)
2
2b


0
e
2t Im τ
dt.
Thay vào (1.30) ta có
b

0
e
2t Im τ
dt ≤ C
3

k>0
|P
(0,k)
(ξ, τ)|
2
2b

0
e
2t Im τ
dt
+ C
4

|µ|>0
ε
2|µ|


k≥0
|P
(µ,k)(ξ,τ )
|
2
2b

b
e
2t Im τ
dt. (1.34 )
Giả sử ε → 0. Nếu Im τ ≤ 0 thì
1 − e
2b Im τ
≤ C
5
(1 + |ξ| + |τ|)
2m
(e
2b Im τ
− e
4b Im τ
)
chứng tỏ
1 ≤ C
6
(1 + |ξ| + |τ|)
2m
e

2b Im τ
12
Do đó,
| Im τ| ≤
1
2b
[ln C
6
+ 2m ln(1 + |ξ| + |τ|)] (1.35 )
Vì τ phụ thuộc đại số vào ξ nên Im τ phụ thuộc đại số vào ξ và Re τ.
Do đó, nếu Im τ không bị chặn khi |ξ|
2
+(Re τ)
2
→ ∞, nó sẽ dần tới vô
cùng như một lũy thừa của |ξ|
2
+ (Re τ)
2
. Khả nă ng này bị loại trừ nhờ
(1.35 ). Do đó, (1.32) được chứng minh với Im τ ≤ 0. Để chứng minh
nó với Im τ > 0 ta phải viết P (ξ, τ ) dưới dạng
P (ξ, τ) = aτ
m
+ a
1
(ξ)τ
m−1
+ + a
m

(ξ) (1.36)
trong đó a
j
(ξ) là đa thức biến ξ và có bậc không lớn hơn j. Khi đó,
theo định lí cơ bản của đại số, với mỗi ξ có m nghiệm τ
1
, , τ
m
của
P (ξ, τ) = 0. Hơn nữa,
m

1
τ
j
=
−a
1
(ξ)
a
(1.37 )
vì vậy
m

1
Im τ
j
= − Im
a
1

(ξ)
a
Ta thấy vế phải của đẳng thức này là một đa thức theo ξ có bậc không
lớn hơn 1. H ơn nữa, ta có thể thấy ngay rằng
m

1
Im τ
j
≥ −C
7
(1.38 )
Điều này chứng tỏ
Im
a
1
(ξ)
a
≤ C
7
Chúng ta biết rằng, một đa thức bậc không lớn hơn 1 mà bị chặn trên
bởi một hằng số thì bản thân nó chính là một hằng số. Do đó,
Im
a
1
(ξ)
a
= C
8
13

Vì vậy, với mỗi k
Im τ
k
= C
8
−

j=k
Im τ
j
≤ C
8
+ (m − 1 )K.
Chúng ta hoàn thành chứng minh.
Chúng ta kết thúc mục này với khái niệm toán tử hyperbolic
Định nghĩa 1.3. Toán tử P (D) thỏa mãn điều kiện (1.32) được gọi là
toán tử hyperbolic theo trục t.
14
Chương 2
Bài toán Cauchy cho phương
trình hyperbolic
2.1 Toán tử hyperbolic và các tính chất
Xuất phát từ Định nghĩ a 1.3 ta thấy ngay bổ đề sau
Bổ đề 2.1. Toán tử P ( D) là hyperbolic khi và chỉ khi
P (D) là hyper-
bolic.
Từ đó ta có hệ quả
Định lý 2.1. Giả sử
P (D) = P (D
x

, D
t
) =

|µ|+k≤m
a
µ,k
D
µ
x
D
k
t
và
p(D) =

|µ|+k=m
a
µ,k
D
µ
x
D
k
t
(2.1)
kí hiệu cho phần chính của P (D) . Nếu P (D) là hyperbolic thì với mọi
ξ thực, p(ξ, τ) chỉ có các ngh i ệ m thự c τ. Do đó, p(D) là hyperbolic.
15
Chứng minh. Phát biểu cuối cùng suy ra từ định nghĩa to án t ử hyper -

bolic. Để chứng minh p(ξ, τ ) chỉ có nghiệm thực ta giả sử ξ thực và
p(ξ, τ ) = 0 với Im τ = c > 0. Khi đó
P (λξ, λz)
λ
m
= p(ξ, z) +
Q(λξ, λz)
λ
m
(2.2)
trong đó Q là một đa thức bậc nhỏ hơn m. Giả sử Γ là một đường tròn
trong nửa mặt phẳng trên có t âm τ và bán kính không lớn hơn c/2 sao
cho p(ξ, z) không có nghiệm t rên Γ. Do đó,
|p(ξ, z)| ≥ δ > 0 (2.3)
với z nằ m trên Γ. Hơn nữa, t ồn tại hằng số M sao cho
|Q(λξ, λz)| ≤ Mλ
m−1
(2.4)
với z nằ m trên Γ. Do đó, với λ đủ lớn
|Q(λξ, λz)|
λ
m
< |p(ξ, z) |
với z nằm trên Γ. Theo định lí Rouché’s và phương trình (2.2) chúng
ta thấy rằng P (λξ, λz)/λ
m
có ít nhất một nghi ệm bên trong Γ. Gọi
nghiệm này là σ. Theo định nghĩa của tính hyperbol ic, ta có
|Im λσ| ≤ K
hay

|Im σ| ≤
K
λ
Mặt khác, vì σ nằm trong đường tròn nên
Im σ ≥
c
2
(2.5)
Suy ra
c ≤
2K
λ
.
16
Cho λ → ∞ ta nhận được mâu thuẫn, chứng tỏ rằng không thể có
Im τ > 0. Lập luận tương tự với trường hợp Im τ < 0 ta cũng dẫn đến
mâu thuẫn. Định lí ho àn toàn được chứng minh.
Từ định lí này ta suy ra một cách t rực tiếp hệ quả sau
Hệ quả 2.1. Một đa thức thuần nhất P(D) là hy perbolic theo t nếu và
chỉ nếu điều kiện ( 1.11) đ ược thỏa mãn và p hương trình P (ξ, τ) = 0
chỉ có các nghiệm thực theo τ khi ξ thực.
Tiếp theo, chúng ta có một tiêu chuẩn hữu ích cho bởi định lí
Định lý 2.2. Nếu phần c hính p(D) của P(D) là hyperbolic và P ( D) −
p(D) là yếu hơn p(D) thì P (D) là hy perbolic.
Trước khi chứng minh Định lí 2.2 chúng ta trình bày một ứng dụng
quan trọng. Chúng ta bắt đầu với các khái niệm sau
Định nghĩa 2.1. Một đa thức Q(ξ) đư ợc gọi là yếu hơn một đ a thức
P (ξ) nếu tồn tại một hằng số C sao cho
|Q(ξ)| ≤ C


µ



P
(µ)
(ξ)



Định nghĩa 2.2. Một toán tử thuần nhất p(D) bậc m được gọi là
hyperbolic tổng thể nếu p(ξ, τ ) có m nghiệm th ực riêng biệt τ với mỗi
ξ = 0 thực.
Sự quan trọng của khá i niệm xuất phát từ định lí
Định lý 2.3. Nếu p(D) là hyperbo l i c tổng thể bậc m và Q(D) là một
toán tử nào đó có bậc nhỏ hơn m, thì P(D) = p(D) + Q(D) là một
toán tử hyperbolic .
17