Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm (LV00950)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2







TRẦN QUỐC VIỆT






GIẢI XẤP XỈ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ
VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG MỘT SỐ
KHÔNG GIAN HÀM


Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH








Hà Nội, 2013






LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin được bày tỏ long biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất
Văn Ninh, người thầy đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tác giả
hoàn thành luận văn này. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, chính nhờ
tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo tận tình của thầy
Khuất Văn Ninh đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao
để hoàn thành luận văn của minh.
Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và long biết ơn các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu,
Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến
thức, đóng góp ý kiến giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên

cứu và hoàn thành luận văn.

Hà nội, tháng 7 năm 2013
Học viên

Trần Quốc Việt









LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của riên tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Một số kết quả đã đạt được trong luận văn này là mới và chưa từng
được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.

Hà nội, tháng 7 năm 2013
Học viên

Trần Quốc Việt

Mục lục
Mở đầu 01
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 03
1.1 . Không gian metric 03
1.2 . Nguyên lý ánh xạ co 07
1.3 . Không gian Banach 09
1.4 . Không gian Hilbert 12
1.5 . Toán tử đơn điệu 13
Chương 2 : Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu 20
2.1. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert 20
2.2. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach 24
2.3. Áp dụng giải phương trình toán tử trong không gian
2
l
32
2.4. Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến 40
Chương 3: Ứng dụng phần mềm toán học vào giải số phương trình
toán tử với toán tử đơn điệu trong không gian
2
l
46
Kết luận 54

Tài liệu tham khảo .55

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán giải phương trình toán tử có phạm vi ứng dụng lớn và ý nghĩa
thực tiễn cao. Đặc biệt là phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn điệu
x Ax f
. Vì trong thực tiễn, có nhiều yếu tố làm cho bài toán chỉ có tính
chất gần đúng do đó nghiên cứu giải xấp xỉ phương trình toán tử luôn là vấn
đề mà nhiều nhà toán học nghiên cứu và đề cập đến.
Việc giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu luôn phụ
thuộc vào không gian hàm chứa miền xác định của toán tử, hơn nữa việc xây
dựng một dãy nghiệm xấp xỉ và đánh giá tốc độ hội tụ là việc rất cần thiết
trong giải xấp xỉ phương trình toán tử. Bởi vậy tôi chọn đề tài là “Giải xấp xỉ
phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong một số không gian hàm” để
thực hiện luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn trình bày những nghiên cứu về lý thuyết giải xấp xỉ phương
trình toán tử trong các không gian hàm và một số ứng dụng của nó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đề ra nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu trong không
gian hàm cụ thể.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu việc giải phương trình toán tử loại hai với toán tử đơn diệu
trong không gian Banach và Hilbert.
5. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu dã có, từ đó hệ thống lại các
vấn đề liên quan đến đề tài.

2


6. Đóng góp mới của luận văn
Giải xấp xỉ phương trình toán tử theo phương pháp thác triển theo tham
số trên máy tính.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian metric
1.1.1. Định nghĩa không gian metric
Cho X là một tập khác rỗng.
Hàm
: d X X
được gọi là một khoảng cách (hay một metric) trên X nếu
thỏa mãn các tiên đề sau:
) ( , ) 0, , ; ( , ) 0 .     i d x y x y X d x y x y


) ( , ) ( , ) , .  ii d x y d y x x y X


) ( , ) ( , ) ( , ) , , .   iii d x z d x y d y z x y z X

Cặp
( , )Xd
trong đó
d
là một khoảng cách trên
X
được gọi là một không gian

metric.
Sau này ta viết
X
thay cho
( , )Xd
.
1.1.2. Hình cầu, lân cận trong không gian metric
Cho không gian metric
X
.
Tập hợp
   
 
, : ,  B a r x X d x a r
,
được gọi là hình cầu mở tâm
a
bán kính
r

Tập hợp
   
 
, : ,  B a r x X d x a r
,
được gọi là hình cầu đóng tâm
a
bán kính
r

Tập con
VX
được gọi là một lân cận của điểm
0
xX
nếu tồn tại số
0r
sao cho:
 
0
, B x r V

Từ định nghĩa về lân cận ta suy ra hình cầu
 
0
,B x r
cũng là lân cận của
0
x
.
4


1.1.3. Sự hội tụ trong không gian metric
Giả sử
 
n
x
là một dãy điểm trong không gian metric
X

. Điểm
x
được gọi là
giới hạn của dãy
 
n
x
nếu:
 
lim , 0


n
n
d x x

Lúc đó ta nói dãy
 
n
x
hội tụ đến
x
và ký hiệu
lim


n
n
xx
.

1.1.4. Không gian metric đầy
Cho không gian metric
X
. Dãy
 

n
xX
được gọi là dãy Cauchy (hay dãy
cơ bản) nếu:
 
0, : , , , .     
nm
n d x x n m

  

Nếu mọi dãy Cauchy trong không gian metric
X
đều hội tụ thì
X
được gọi là
không gian metric đầy.
1.1.5. Ví dụ
Ví dụ 1.1.1.
Ký hiệu
 
,ab
C
là không gian các hàm số liên tục trên đoạn

 
,ab
.
Xét hàm
   
,,
: 
a b a b
d C C
cho bởi:
 
 
   
 
,
,
, sup , , .

   
ab
t a b
d x y x t y t x y C

Ta có không gian
 
,ab
C
là không gian metric đầy.
Thật vậy:
 

,
,
ab
x y C
ta có
   
 
0, , .  x t y t t a b

 
   
,
sup 0.

  
t a b
x t y t

Vậy
 
,
( , ) 0, , ; ( , ) 0 .     
ab
d x y x y C d x y x y

 
,
,
ab
x y C

ta có
 
   
 
       
,,
sup sup , , .

    
t a b t a b
x t y t y t x t d x y d y x

 
,t a b
thì
           
.    x t z t x t y t y t z t

5


Từ đó ta có
 
   
 
   
 
   
, , ,
sup sup sup .

  
    
t a b t a b t a b
x t z t x t y t y t z t

Tức là
     
 
,
, , , , , , .   
ab
d x z d x y d y z x y z C

Lại có, giả sử
 
 
,

n
ab
xC
là dãy Cauchy tùy ý, nghĩa là
0,  n


sao cho:

   
 
, n n , , , .


      
n p n
x t x t p t a b


(1.1)
Với mỗi
 
,t a b
ta có dãy số tương ứng
 
 
n
xt
là dãy Cauchy trong .
Đặt
   
lim .


n
n
x t x t

Trong (1.1) cho
p
ta có:

   

 
, , , .     
n
x t x t n n t a b


(1.2)
Chứng tỏ hàm liên tục
 
n
x
hội tụ đều đến hàm
x
, do đó
 
,

ab
xC
.
Từ (1.2) suy ra
 
, , .  
n
d x x n n



lim .



n
n
xx

Vậy
 
,ab
C
là không gian metric đầy.
Ví dụ 1.1.2.
Ký hiệu
 
 
2
2*
12
1
, , , , | , , .


      

i i i
i
l x x x x x i x

Xét hàm
22
: d l l

cho bởi:
 
1
2
2
2
1
, , , .



   



ii
i
d x y x y x y l

Ta có không gian
2
l
là không gian metric đầy.
Thật vậy
Nhận xét rằng:
       
2
, 0; , 0 ; , , , , .      d x y d x y x y d x y d y x x y l

Mặt khác

2
,,x y z l
thì áp dụng bất đẳng thức Minkovski dạng tổng ta có:
6


 
11
22
22
11
11
22
22
11
,

i i i i i i
ii
i i i i
ii
d x y x y x z z y
x z z y




   
     
   

   
   
   
   
   



     
, , , .  d x y d x z d z y

Lại có, giả sử
 
n
x
là một dãy Cauchy trong không gian
2
l
với
 
,1 ,2
, , 
n n n
x x x
.
Lúc đó ta có:
**
00
0, , , , :       n m n n k


2
2
,,
1
.




m k n k
k
xx

(1.3)
Suy ra
**
00
0, , , , :       n m n n k


,,
.
m k n k
xx


Vậy với mỗi
*

k
bất kỳ thì dãy
 
,nk
x
là một dãy Cauchy trong nên nó
hội tụ.
Đặt
,
lim , 1,2,


k n k
n
x x k
và
 

k
xx
lúc đó ta có:
Từ (1.3) cho
m
ta được:
2
2
,0
1
, .



   

k n k
k
x x n n


lim .


n
n
xx

Ta cần chứng minh
2
xl
. Theo bất đẳng thức Minkovski ta có:
 
00
11
22
22
11


   
  
   

   

k k n k n k
kk
x x x x


 
00
11
2
22
2
11


   
  
   
   

k n k n k
kk
x x x


00
11
22
2

11


   
    
   
   

k n k n k
kk
x x x

7


Từ đó ta có
 
2
.
k
x x l

Vậy
2
l
là không gian metric đầy.
Ví dụ 1.1.3.
Giả sử
X
là tập hợp các hàm số

 
xt
xác định trên đoạn
 
0,1
thỏa mãn
 
1
2
0
 

x t dt
.
Hai phần tử
   
, x t y t X
được gọi là trùng nhau nếu chúng chỉ khác nhau
trên một tập hợp có độ đo
0
.
Với mọi
, x y X
ta đặt
     
1
1
2
2
0

,





d x y x t y t dt
.
Khi đó ta thấy
+
   
, 0; , 0   d x y d x y x y
.
+
( , ) ( , )d x y d y x
.
+ Với mọi
,,x y z X
, áp dụng bất đẳng thức Minkovski dạng tích phân ta có

             
11
11
22
22
00
,
   
     
   

   

d x y x t y t dt x t z t z t y t dt


       
11
11
22
22
00
   
   
   
   

x t z t dt z t y t dt


   
,,d x z d z y
.
Vậy
d
là một hàm khoảng cách trên
X
. Lúc đó ta có
X
cùng với
d

tạo
thành một không gian metric, kí hiệu là
 
2
0,1
L
.
8


1.2. Nguyên lý ánh xạ co
1.2.1. Định nghĩa ánh xạ co
Cho không gian metric
X
. Ta có ánh xạ
: f X X
được gọi là ánh xạ co nếu
tồn tại
01

sao cho:

   
( ), ( ) , , ,  d f x f y d x y x y X

. (1.4)
Điểm
*
xX
gọi là điểm bất động của ánh xạ

f
nếu
 
**
f x x
.
1.2.2. Nguyên lý ánh xạ co
Mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy
X
vào chính nó có duy nhất một
điểm bất động.
Chứng minh.
Cho
 
,Xd
là không gian metric đầy và
: f X X
là ánh xạ thỏa mãn (1.4).
Lấy
0
xX
và xác định dãy
 
n
x
bằng quy nạp như sau:
   
1
0,1,2, .



nn
x f x n

Lúc đó ta có:
     
 
 
     
 
 
1 2 0 1 0 1
2
2 3 1 2 0 1
, , , ,
, , , .


d x x d f x f x d x x
d x x d f x f x d x x



tiếp tục như trên bằng quy nạp ta được
   
1 0 1
, , .


n

nn
d x x d x x


Từ đó suy ra
 
   
 
1 1 2 1
, , , ,
      
   
n n p n n n n n p n p
d x x d x x d x x d x x


 
 
   
11
01
01
,
, 0 .
1
  
   
  

n n n p

n
d x x
d x x n
  



Vậy
 
n
x
là dãy Cauchy trong không gian metric đầy
X
. Do đó
 
n
x
hội tụ.
9


Đặt
*
lim .


n
n
xx

Vì ánh xạ co là ánh xạ liên tục nên ta có:
 
 
 
**
1
lim lim lim .

  
   
n n n
n n n
x x f x f x f x

Vậy
*
x
là điểm bất động của ánh xạ
f
.
Ta cần chứng minh
*
x
là duy nhất. Thật vậy giả sử
*
y
cũng là điểm bất động
của
f
. Ta có bất đẳng thức sau:

     
 
 
* * * * * *
, , , , 0 1.   d x y d f x f y d x y


Suy ra
 
**
,0d x y
hay
**
.xy

Vậy mọi ánh xạ co từ không gian metric đầy
X
vào chính nó có duy nhất một
điểm bất động. 
1.3. Không gian Banach
1.3.1. Không gian định chuẩn
Giả sử
X
là không gian vectơ trên trường vô hướng
K
thực (hay phức). Hàm
thực
p
trên
X

gọi là một chuẩn trên
X
nếu:

   
) 0 ; 0 0.     i p x x X p x x


   
) .    ii p x p x K x X
  


     
) , .    iii p x y p x p y x y X

Không gian vectơ
X
cùng với một chuẩn
p
trên nó được gọi là không gian
định chuẩn.
Sau này ta luôn dùng ký hiệu
.
để chỉ một chuẩn trên không gian định
chuẩn
X
.
*/ Nhận xét:
Không gian định chuẩn

X
là không gian metric với metric sinh bởi chuẩn:
 
, d x y x y
.
10


1.3.2. Không gian Banach
Không gian định chuẩn
X
là không gian metric đầy với metric sinh bởi chuẩn
được gọi là không gian Banach.
1.3.3. Ví dụ
Ví dụ 1.3.1.
Cho không gian
 
,ab
C
. Với
   
 
,
,,
ab
x t y t C k
, ta định nghĩa:
      
 
) , , .    i x y t x t y t t a b

    
 
) . , , .  ii kx t k x t t a b

Như vậy với hai phép toán trên, không gian
 
,ab
C
là một không gian vectơ
trên .
Với
 
 
,

ab
x t C
, đặt
 
 
,
max


t a b
x x t
lúc đó ta có
.
là một chuẩn trên

 
,ab
C
,
hơn nữa
 
,ab
C
cùng với
.
trên là một không gian Banach.
Ví dụ 1.3.2.
Xét không gian
 
 
2
2*
12
1
, , , , | , , .


      

i i i
i
l x x x x x i x

Với
   

2
, , ,    
ii
x x y y l k
ta định nghĩa:
 
*
) , .    
ii
i
i x y x y i

 
*
) . , .  
i
i
ii kx k x i

Khi đó
2
l
là một không gian vectơ trên trường số .
Với
2
xl
đặt
1
2
2

1
,







i
i
xx
lúc đó ta có
.
là một chuẩn trên
2
l
, và
2
l
cùng
với chuẩn đó là một không gian Banach.
* Chú ý:
Mở rộng ví dụ 1.3.2 xét không gian
 
 
*
12
1
, , , , | , , ; 1 .



         

p
p
i i i
i
l x x x x x i x p

11


Ta có
p
l
là không gian Banach với chuẩn
1
1







p
p
i
i

xx
.
Khi đó ta có bất đẳng thức Holder như sau.
Nếu
,pq
là cặp số mũ liên hợp, tức là
1,  pq
sao cho
11
1
pq
, ta có
với mọi
   
1 2 1 2
, , , , , , , , ,    
pq
nn
x x x x l y y y y l
thì
1
xy l
và

11
1 1 1

  
  
   


   
   
  
pq
pq
i i i i
pq
i i i
x y x y x y
. (1.5)
Ví dụ 1.3.3.
Xét không gian
 
2
0,1
L
, với
   
 
2
0,1
, L , ,    x x t y y t k
ta định nghĩa:
      
 
) ; 0,1i x y t x t y t t    
.
    
 

) ; 0,1ii kx t kx t t  
.
Khi đó
 
2
0,1
L
là một không gian vectơ trên trường số .
Với
 
2
0,1
Lx
đặt
 
1
1
2
2
0





x x t dt
, lúc đó ta có
.
là một chuẩn trên
 

2
0,1
L

hơn nữa
 
2
0,1
L
cùng với chuẩn đó là một không gian Banach.
Ví dụ 1.3.4.
Xét không gian hữu hạn chiều

n
X
và ánh xạ tuyến tính
: 
nn
A
. Giả
sử với một cơ sở cố định cho trước ánh xạ
A
cho bởi ma trận
 
,1
n
ij
ij
a
.

Khi đó ta có ba chuẩn thường dùng trong
n
là:
+
1
1


n
i
i
xx
.
+
1
2
2
2
1





n
i
i
xx
.
12

+
1
max



i
in
xx
.
Ba chuẩn tương ứng của ma trận
A
là:
+
1
1
1
max




n
ij
jn
i
Aa
.

+
 
 
1
2
2
1
max


T
i
in
A A A

.
Trong đó
 
T
i
AA

là các giá trị riêng của ma trận đối xứng
T
AA
.
+
1
1
max






n
ij
in
j
Aa
.
1.4. Không gian Hilbert
1.4.1. Tích vô hướng
Giả sử
X
là không gian vectơ. Ánh xạ
: XX

thỏa mãn:

     
1 2 1 2 1 2
) , , , , , .    i x x y x y x y x x y X
  


   
) , , ; , .    ii x y x y x y X
   

   
) , , , .  iii x y y x x y X



   
) , 0 ; , 0 0.     iiii x x x X x x x


Ánh xạ

như trên được gọi là tích vô hướng trên
X
.
1.4.2. Không gian tiền Hilbert
Không gian vectơ
X
cùng với một tích vô hướng trên nó được gọi là không
gian tiền Hilbert.
Sau này với tích vô hướng

thì thay cho việc viết
 
,xy

ta viết
 
,xy
và

gọi là tích vô hướng của
x
và
y
.
* Nhận xét: Xét tương ứng
 
, ,   x x x x x X
. Ta thấy tương ứng trên
xác định một chuẩn trên
X
, như vậy không gian tiền Hilbert là không gian định
chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng. Do đó một không gian tiền Hilbert ta có
thể xét tới tính đầy hay không đầy như một không gian định chuẩn.
13


1.4.3. Không gian Hilbert
Một không gian tiền Hilbert đầy được gọi là không gian Hilbert.
1.4.4. Ví dụ
Ví dụ 1.4.1. Xét không gian
 
 
2
2*
12
1
, , , , | , , ,



      

i i i
i
l x x x x x i x

với chuẩn
1
2
2
1
.







i
i
xx
Ánh xạ
22
: ll

xác định như sau:
 
2
1

, , , .


  

ii
i
x y x y x y l


Xác định tích vô hướng trên
2
l
và sinh ra chuẩn của nó, tức là:
 
2
2
, , .  x x x x l


Vậy
2
l
là không gian Hilbert.
Ví dụ 1.4.2. Xét không gian
 
2
0,1
L
với chuẩn

 
1
1
2
2
0





x x t dt
.
Ánh xạ
   
22
0,1 0,1
:L L

xác định như sau:
     
 
1
2
0,1
0
, , , L .  

x y x t y t dt x y


Xác định tích vô hướng trên
 
2
0,1
L
và sinh ra chuẩn của nó, tức là:
 
 
2
2
0,1
, , L .  x x x x


Vậy
 
2
0,1
L
là không gian Hilbert.
1.5. Toán tử đơn điệu
1.5.1. Khái niệm toán tử đơn điệu
Giả sử
X
là không gian định chuẩn thực,
*
X
là không gian liên hợp của
X

.
Toán tử
:A
 
*
D A X X
được gọi là toán tử đơn điệu trên
 
DA
nếu:

     
, 0, , .    A x A y x y x y D A
(1.6)
14


Trong đó
 
, A x A x
(Giá trị của phiếm hàm
A
tại
x
).
Nếu
 
,x y D X
ta có
   

,0  A x A y x y
thì toán tử
A
được gọi là
đơn điệu thật sự (nghiêm ngặt).
Ví dụ 1.5.1. Cho không gian Hilbert
H
. Khi đó ta có
*
HH
, xét toán tử
:.A H H

Ta có
       
 
, , .    A x A y x y A x A y x y

Lúc đó
A
là toán tử đơn điệu trong không gian
H
khi và chỉ khi
   
 
, 0, , .    A x A y x y x y H

1.5.2. Một số khái niệm đơn điệu
Toán tử d-đơn điệu
Cho không gian định chuẩn

X
, toán tử
*
: A X X
gọi là d-đơn điệu nếu:

   
 
 
,.    Au Av u v u v u v

(1.7)
Với

là hàm số tăng thật sự trên


0,
.
Toán tử đơn điệu đều
Cho không gian định chuẩn
X
, toán tử
*
: A X X
gọi là đơn điệu đều nếu:

 
,.   Au Av u v u v


(1.8)
Toán tử đơn điệu mạnh
Cho không gian định chuẩn
X
, toán tử
*
: A X X
gọi là đơn điệu mạnh nếu
tồn tại hằng số
0m
sao cho:

2
, , , .     Au Av u v m u v u v X
(1.9)
* Nhận xét:
+ Nếu toán tử
A
đơn điệu mạnh thì
A
là toán tử đơn điệu đều với
 
2
s ms

.
15


+ Nếu toán tử

A
đơn điệu mạnh thì
A
là toán tử d_đơn điệu đều với
 
s ms

.
+ Nếu toán tử
A
đơn điệu đều thì toán tử
A
đơn điệu nghiêm ngặt.
+ Nếu toán tử
A
là d-đơn điệu và
X
là không gian lồi ngặt thì
A
là toán tử
đơn điệu nghiêm ngặt.
1.5.3. Một số khái niệm liên tục
Toán tử đêmi liên tục
Giả sử
,XY
là hai không gian định chuẩn và ánh xạ
:.A X Y
Ánh xạ
A

được gọi là đêmi liên tục tại
 
0
x D A X
nếu với mọi dãy
 

n
xD
mà
0
0
n
xx
khi
n
thì
 
n
Ax
hội tụ yếu về
 
0
Gx
.
Toán tử hêmi liên tục
Giả sử
,XY
là hai không gian định chuẩn và ánh xạ
:.A X Y

Ánh xạ
A

được gọi là Hêmi liên tục tại
 
0
x D A X
nếu
   
00
A x tx A x
khi
0.t

Toán tử rađian liên tục
Cho không gian định chuẩn
X
, ta có toán tử
*
: A X X
gọi là rađian liên
tục nếu
,u v X
thì hàm số
   
,s A u sv v

liên tục trên
 
0,1

.
Toán tử liên tục Lipschitz
Giả sử
X
là không gian định chuẩn,
*
X
là không gian liên hợp của
X
. Toán
tử
*
: A X X
được gọi là liên tục Lipschitz nếu
const 0  L
sao cho

, , .    Ax Ay L x y x y X
(1.10)
Toán tử liên tục Lipschitz bị chặn
Giả sử
X
là không gian định chuẩn,
*
X
là không gian liên hợp của
X
. Toán
tử
*

: A X X
được gọi là liên tục Lipschitz bị chặn nếu tồn tại hàm số


đơn điệu tăng trên


0,
sao cho
,:u v X


 
 
, max , .  Au Av R R u v

(1.11)
16


1.5.4. Toán tử coercive
Toán tử
*
: A X X
(
X
là không gian định chuẩn) gọi là toán tử coercive
(toán tử bức) nếu tồn tại
 
s


xác định trên


0;
sao cho:

 
lim

 
s
s

và
 
,.Au u u u

(1.12)
* Nhận xét:
Theo định nghĩa ta có :
 
,
lim lim .
 
  
uu
Au u
u
u



Như vậy nếu
A
là toán tử coercive thì:
,
lim .

 
u
Au u
u

1.5.4. Phương trình toán tử
Cho
X
là không gian Banach và toán tử
: A X X
. Xét phương trình:

, ,  x Ax f f X
(1.13)
phương trình (1.13) được gọi là phương trình toán tử loại 2.
Phương trình có dạng

,Ax f
(1.14)
Phương trình (1.14) được gọi là phương trình toán tử loại 1.
Ví dụ 1.5.2. Cho không gian Banach
 

,

ab
XC
, hàm số
 
,K t s
liên tục theo
hai biến
,ts
trên
   
,,a b a b
. Xét phương trình toán tử tích phân
         
 
,
, , .  

b
ab
a
x t K t s x s ds f t f t C


Phương trình trên gọi là phương trình tích phân Fredholm loại 2.
Định lý 1.5.1. Giả sử
*
: A X X
(

X
là không gian Banach) là toán tử đơn
điệu khi đó
A
bị chặn địa phương.
17


Chứng minh.
Giả sử
A
là toán tử đơn điệu nhưng không bị chặn địa phương, khi đó tồn tại
dãy
 
,
nn
u X u u
trong
X
và
*

n
Au
với
1,2 n

Đặt
*
1.  

nn
Au u u


Do
A
đơn điệu nên
vX
ta có
 
 
11
, , ,     
n n n n
nn
Au v Au u u A u v v u u



 
 
1
*
1
1.     
n
n
A u v v u u M


Trong đó
1
M
phụ thuộc vào
,uv
không phụ thuộc vào
n
.
Bất đẳng thức trên đúng với
 
v
do đó
1
lim , ,

   
n
n
n
Au v v X

.
Từ đó theo định lý Banach-Steinhaus ta có
*
1

n
n
Au M const


.
Nghĩa là
 
**
1   
n n n
Au M Au u u

. Chọn
*
0
n
sao cho
0
nn

thì ta có
1
2

n
M u u
. Điều này thực hiện được vì

n
uu
nên tồn tại
*
0
n

sao cho với
0
nn
thì
1
2

n
uu
M
. Khi đó ta có
0
nn
thì
*
2
n
Au M
. Điều này mâu thuẫn với giả thiết
A
không bị chặn địa phương.
Vậy nếu
A
là toán tử đơn điệu thì bị chặn địa phương. 
Định lý 1.5.2. ( Định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của phương trình
Ax f
)
18

Cho toán tử đơn điệu
*
: A X X
. Khi đó các mệnh đề sau tương đương với
nhau:
a) Toán tử
A
là rađian liên tục.
b) Từ điều kiện
, 0,     f Ay x y y X
suy ra
Ax f
.
c) Từ các điều kiện
n
x
hội tụ yếu đến
x
trong
X
,
n
Ax
hội tụ yếu đến
f

trong
*
X
và

lim , ,
nn
Ax x f x
suy ra
Ax f
.
d) Toán tử
A
là đêmi liên tục.
e) Nếu
K
là tập tù mật trong
X
thì từ điều kiện
, 0,    f Ay x y y K

suy ra
Ax f
.
Chứng minh.
(a) (b)
. Lấy
y
tùy ý thuộc vào
X
, đặt
, 0  
t
y x ty t
ta có

0,
t
t f Ay y


0,  
t
f Ay y
.
Cho
0t
ta được
,0f Ax y
. (vì
A
là toán tử rađian liên tục)
Do
y
tùy ý thuộc vào
X
suy ra
Ax f
.
(b) (c)
. Giả sử
n
x
hội tụ yếu đến
x
trong

X
,
n
Ax
hội tụ yếu đến
f
trong
*
X
và
lim , ,
nn
Ax x f x
.
Khi đó
y
tùy ý thuộc vào
X
ta có
, , , ,     f Ay x y f x f y Ax x y


 
lim , , ,

   
nn
n
Ax x f y Ay x y

 
lim , , ,

   
n n n n
n
Ax x Ax y Ay x y


 
lim , 0

   
nn
n
Ax Ay x y
.
19


Suy ra
, 0,     f Ay x y y X
nên theo
(b)
suy ra
Ax f
.
(c) (d)
. Giả sử


n
xx
trong
X
, theo định lý (1.5.1) vì
A
là toán tử đơn
điệu suy ra
A
bị chặn địa phương do đó dãy
 
*
n
Ax
bị chặn.
Mặt khác, giả sử
 
 
0

nn
xx
sao cho
n
Ax
hội tụ yếu đến
f
trong
*

X
.
Khi đó
lim , ,


nn
n
Ax x f x
. Theo
(c)
thì
Ax f
và
n
Ax
hội tụ yếu đến
f

trong
*
X
từ đó suy ra
 
n
Ax
hội tụ yếu đến
Ax
, điều này chứng tỏ
A

là toán
tử đêmi liên tục.
(d) (e)
. Vì
A
là toán tử đêmi liên tục suy ra
A
là toán tử rađian liên tục.
Lại có, do
K
là tập tù mật trong
X
nên
yX
thì
 
:  
nn
y K y y
trong
X
. Từ tính chất đêmi liên tục suy ra
, lim , 0

     
nn
n
f Ay x y f Ay x y
.
, 0,      f Ay x y y X

.
Kết hợp với tính chất
A
là toán tử rađian liên tục suy ra
Ax f
.
(e) (a)
. Trong trường hợp đặc biệt khi
KX
thì ta có
(e) (b)
. Nhưng từ
(b)
theo chứng minh trên ta suy ra
A
là toán tử đêmi liên tục, từ đó suy ra
A

là toán tử rađian liên tục.






20


Chương 2
Giải xấp xỉ phương trình toán tử với toán tử đơn điệu

2.1. Phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
2.1.1. Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
Giả sử
X
là không gian Hilbert trên trường số thực với tích vô hướng
 
,
và
chuẩn sinh bởi tích vô hướng
.
. Toán tử
: A X X
có miền xác định
 
D A X
.
Xét phương trình có dạng

.x Ax f
(2.1)
Định nghĩa 2.1.1. (Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert) Toán tử
A
tác
dụng từ
 
D A X
vào
X
được gọi là đơn điệu nếu đối với mọi
,xy

tùy ý
thuộc vào
 
DA
ta có bất đẳng thức

 
,0  Ax Ay x y
(2.2)
là đúng.
Toán tử đơn điệu
A
được gọi là đơn điệu ngặt nếu đẳng thức trong (2.2) đạt
được khi
xy
.
Ví dụ 2.1.1. Cho không gian Hilbert
X
với
X
cùng tích vô hướng thông
thường và toán tử
A
là hàm số thực
f
. Khi đó ta có bất đẳng thức (2.2)
tương đương với
   
 
 

. 0; ,    f x f y x y x y
.
Hay hàm số
f
là hàm số đơn điệu tăng trên .
Định lý 2.1.1. Giả sử phương trình toán tử (2.1) thỏa mã các điều kiện:
i) Phương trình có nghiệm
 
*
;x D A

ii)
*
x
là điểm trong của miền
 
;DA

21


iii)
A
là toán tử đơn điệu từ
 
DA
vào
.X

Khi đó tồn tại hình cầu

 
*
,S x r
với tâm
*
x
, bán kính
r
và số dương
K
sao
cho đối với số
C
tùy ý lớn hơn
K
và đối với xấp xỉ ban đầu tùy ý
 
*
1
,x S x r
dãy
 
n
x
được xây dựng theo công thức

   
1
1
, 1,2, ,



     
n n n n
x x n C x Ax f n
(2.3)
chứa trong hình cầu
 
*
,S x r
và hội tụ đến
*
x
với ước lượng

1
*
2
.





n
x x O n
(2.4)
Chứng minh.
Nhận xét rằng nghiệm
*

x
của phương trình (2.1) là duy nhất. Thật vậy, giả sử
nếu phương trình (2.1) còn tồn tại nghiệm
**
yx
lúc đó ta có các đẳng thức:
**
x Ax f
và
**
.y Ay f

Lại có
A
là toán tử đơn điệu nên:
     
* * * * * * * * * * * *
0 , , , 0.            Ax Ay x y f x f y x y x y x y

Từ đó ta có nghiệm
*
x
là duy nhất.
Mặt khác, cũng vì
A
là toán tử đơn điệu nên theo định lý (1.5.1) tại mỗi điểm
trong của
 
DA
thì

A
bị chặn địa phương, vì vậy tại điểm trong
*
x
tồn tại
hình cầu
 
*
,S x r
với tâm tại
*
x
và bán kính
r
,
 
 
*
,.S x r S D A

Ký hiệu
 
2
diam /


K A S r
. Khi đó
0K
và với số

CK
thì
 
1
2
diam .A S rC

Đặt
   
1
1
2
, 1


    
nn
t n C d n C
. Lấy
1
xS
tùy ý và xây dựng dãy
 
n
x

theo công thức (2.3). Ta có
 
 
*

,
n
x S x r
và hội tụ đến
*
x
với ước lượng