Bộ đề thi Olympic Toán tuổi thơ năm 2014 - Cấp THCS

olympic toán tuổi thơ toN quốC 2014 - thcs
đề thi cá nhân
Thời gian lm bi : 30 phút
Đề thi gồm 2 trang. Học sinh không đợc sử dụng máy tính.
Từ câu 1 đến câu 15 chỉ viết đáp số.
Câu 16 viết lời giải đầy đủ ở mặt sau Tờ trả lời.

Câu 1.
Tìm số tự nhiên n có hai chữ số sao cho 2n
+
1 và 3n
+
1 đều là các số chính phơng.

Câu 2. Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn 6xy + 4x 9y 7 = 0.
Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
3
+ y
3
+ xy, trong đó x, y là các số dơng thỏa
mãn điều kiện x
+
y
=
1.

Câu 4. Tìm hai số tận cùng bên phải của số 1007
2014
.
Câu 5.
Hình bên biểu diễn một bàn tròn với 8 ghế đánh số

thứ tự từ 1 đến 8. Có 2 sinh viên đợc xếp ngồi đối diện
nhau và để trống các ghế còn lại. Hỏi tất cả có bao nhiêu
cách xếp?

8
7
6
5
4
3
2
1

Câu 6. Giả sử x
1
, x
2
, x
3
là ba nghiệm của phơng trình x
3


x

1
=
0. Tính giá trị của biểu thức
3
12

123
1x
1x 1x
T
1x 1x 1x
+
+
+
=+ +

.

Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Gọi K, L, M, N là các điểm
trên cạnh BC sao cho BK = KL = LM = MN = NC.
Trên cạnh AD lấy điểm E sao cho AE
=
BK. Tính tổng các
góc
n
n
n
n
n
A
KE ALE AME ANE ACE++ + +
.

N
M
L

K
E
DC
B
A

Câu 8.
Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn
2
2
2
1y
2x 4
4
x
+
+= sao cho tích xy đạt giá trị lớn nhất.
Câu 9.
Cho tam giác ABC có

l
=
o
BC20
. Tia phân giác
trong của góc A cắt cạnh BC ở D. Tìm số đo góc
n
A
DC
.

D
C
B
A

Câu 10.
Cho tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện
l

l
l
A
BCD
6543
=
==. Tính số đo góc
l
B.

Câu 11. Cho hình vuông ABCD và E là điểm trên cạnh AD
sao cho S
ABCD
= 144 cm
2
và
A
BE ABCD
1
SS
3

= . Tìm độ dài
đoạn AE.

E
D
C
B
A


Câu 12.
Trong hình vẽ bên, mỗi cạnh của hình vuông đều
đợc chia thành 3 đoạn bằng nhau. Tính tỉ số giữa diện
tích phần đợc tô đậm với diện tích hình vuông lớn.



Câu 13. Hình vẽ bên đợc tạo bởi một lục giác đều A, một
hình vuông B và một tam giác đều C. Tìm số đo góc x.

C
B
A
x


Câu 14.
Trong sơ đồ bên, các số đợc xếp theo một quy
luật. Tìm số x

phù hợp với quy luật đó.


x
-
-

7
2
-
81
4
6
17
98

Câu 15.
Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ trung tuyến CM
và đờng phân giác trong AD. Tính số đo góc

B biết rằng
AD = 2CM.
M
D
C
B
A

Câu 16 (Tự luận).
Một bảng hình chữ nhật ABCD có AB

=

2013 cm, AD = 2014 cm. Một con kiến xuất phát từ điểm
A, đi theo đờng chéo của mỗi ô vuông (hình bên). Hỏi
rằng sau khi đi qua tất cả các ô vuông mà mỗi ô vuông chỉ
đi qua một đờng chéo thì con kiến có thể đến điểm nào
trong ba điểm B, C, D.

1 cm
D
C
BA

Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

olympic toán tuổi thơ toN quốC 2014 - thcs
đáp án đề thi cá nhân
Từ câu 1 đến câu 15 mỗi câu 5 điểm (thiếu đơn vị vẫn cho điểm tối đa)

Câu 1. n = 40.
Câu 2. x
=
1; y
=


1.
Câu 3.
1
minA

2
= khi
1
xy
2
== .
Câu 4.
49.
Câu 5. 8.
Câu 6. T = 7.
Câu 7.
o
45 .

Câu 8. (x, y) = {(1; 2); (1; 2)}.
Câu 9.
n
o
A
DC 100 .=
Câu 10.


o
B100.=

Câu 11.
x
=
8 cm.

Câu 12.

1
.
9

Câu 13.

o
45 .

Câu 14.
x
=
2.
Câu 15.

o
B36.=

Câu 16.
Lập hệ trục tọa độ với trục hoành AB, trục tung là AD. Khi đó A(0;0), B(2013;0),
C(2013;2014), D(0;2014). Con kiến đứng ở đỉnh A, khi di chuyển theo đờng chéo của một ô
vuông thì hoành độ tăng (hoặc giảm) đi một đơn vị và tung độ tăng (hoặc giảm) đi một đơn vị.
Do đó tọa độ của con kiến luôn có dạng (lẻ; lẻ) hoặc (chẵn; chẵn). Vậy cuối cùng con kiến sẽ
đến đỉnh D.
-
ý tởng về tọa độ: 5 điểm.
- Gán tọa độ cho các đỉnh A, B, C, D: 5 điểm.
- Tăng giảm tọa độ: 5 điểm.

- Phát hiện tính chẵn lẻ: 5 điểm.
- Kết luận đợc đỉnh D: 5 điểm.
Chú ý: Làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Tổng điểm là 100. Không cho điểm phân số.

olympic toán tuổi thơ ton quốc 2014 - thcs
đề thi tiếp sức đồng đội
Tổng thời gian làm cả 6 bài (mỗi bài 2 câu) là 30 phút.
bài 1
Họ và tên :

Số báo danh :
Đề bài: Biết rằng T = 1,9565656 (viết liên tục hai chữ số 56).
a) Tính 1000T

10T.
b) Từ đó biểu diễn T dới dạng một phân số
a
(a,b )
b
] .
Đáp số: a)
b)

olympic toán tuổi thơ ton quốc 2014 - thcs

đề thi tiếp sức đồng đội
Tổng thời gian làm cả 6 bài (mỗi bài 2 câu) là 30 phút.
bài 2

Họ và tên :

Số báo danh :


Đáp số: a)
b)

Giám khảo

(Kí và ghi rõ họ tên)


Điểm số: a)
b)


Đề bài: Cho ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Biết
EFC là tam giác đều và chiều dài cạnh AE là a.
a) Tính diện tích tam giác EBC theo a.
b) Tìm giá trị của biểu thức
2
a1
a

.

F
E
D
C
BA

Giám khảo

(Kí và ghi rõ họ tên)

Điểm số: a)
b)


olympic toán tuổi thơ ton quốc 2014 - thcs
đề thi tiếp sức đồng đội
Tổng thời gian làm cả 6 bài (mỗi bài 2 câu) là 30 phút.
bài 3

Họ và tên :
Số báo danh :


Đề bài:
a) Rút gọn (m 2)
2
m(m 4).
b)
áp dụng kết quả câu a) để tính 2012
2


2014.2010.

Đáp số: a)

b)



olympic toán tuổi thơ ton quốc 2014 - thcs
đề thi tiếp sức đồng đội
Tổng thời gian làm cả 6 bài (mỗi bài 2 câu) là 30 phút.
bài 4
Họ và tên :
Số báo danh :



Đề bài:
a) Biết rằng 2014a
=
8,06
ì
2005,94
+
8,06
2
. Tìm giá trị của a.
b) Biết rằng 81x
2


108xy
+
36y

2

=
0. Tìm giá trị của
x
6y
.
Đáp số: a)
b)


Giám khảo

(Kí và ghi rõ họ tên)


Điểm số: a)
b)


Giám khảo
(Kí và ghi rõ họ tên)

Điểm số: a)
b)


olympic toán tuổi thơ ton quốc 2014 - thcs
đề thi tiếp sức đồng đội
Tổng thời gian làm cả 6 bài (mỗi bài 2 câu) là 30 phút.

bài 5

Họ và tên :


Số báo danh :


Đề bài: Ba dòng đầu của một dãy đợc cho nh sau
1
2


0
2

=
1
+
0
=
1
2
2
1
2
= 2 + 1 = 3
3
2

2
2

=
3
+
2
=
5
a) Hãy viết dòng thứ m.
b) Một dòng đợc viết ra là p
2


q
2

=
p
+
q
=
r. Tìm p nếu r
=
191.

Đáp số: a)
b)

olympic toán tuổi thơ ton quốc 2014 - thcs
đề thi tiếp sức đồng đội
Tổng thời gian làm cả 6 bài (mỗi bài 2 câu) là 30 phút.
bài 6

Họ và tên :
Số báo danh :



Giám khảo
(Kí và ghi rõ họ tên)


Điểm số: a)
b)


Đề bài: Trong hình bên cho DE // CA, FE // GA và M
là trung điểm của DE. Cho BE
=
12 cm, BG
=
6 cm,
DE = 10 cm và CA = 15 cm.
a) Tìm chiều dài EA.
b) Tìm chiều dài GD.
Đáp số: a)
b)

M
G
F
E
D
C
B
A

Giám khảo

(Kí và ghi rõ họ tên)

Điểm số: a)
b)


olympic toán tuổi thơ ton quốc 2014 - thcs
đáp án đề thi tiếp sức đồng đội

Mỗi câu đúng đợc 1 điểm. Mỗi bài đúng đợc 2 điểm

Bài 1.
a) 1937.
b)
1937
T
990
=
.

Bài 2. a)
1a
2

.
b)
1
2

.
Bài 3.
a) 4.
b) 4.
Bài 4.
a) 8,06.
b)
1
9
.
Bài 5.
a) m
2


(m

1)
2

=

m
+
(m

1)
=
2m

1.
b) 96.
Bài 6. a) 6 cm.
b) 2 cm.