Đề thi lên lớp 10 môn toán (1)

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI
NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút
NGÀY THỨ NHẤT
Câu 1. (3 điểm)
Giải hệ phương trình và phương trình sau
a)
4 x
2
- 1
+
x
=
2 x
2
- x
+
2 x
+
1
.
ì
xy( x
+y)
=
2
b)
í
.
î
x

3
+
y
3

+
x
+
y
=
4
Câu 2. (3 điểm)
a) Giả sử x
1
, x
2
là 2 nghiệm dương của phương trình x
2
– 4x + 1 = 0. Chứng minh rằng
5 5
x
1
+
x
2
là một số nguyên.
b) Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn a + 1 và b + 2007 đều chia hết cho 6.
Chứng minh rằng 4
a
+ a + b chia hết cho 6.

Câu 3. (3 điểm)
Cho M là trung điểm của cung nhỏ AB của đường tròn tâm O (AB không phải là đường
kính). C và D là 2 điểm phân biệt, thay đổi nằm giữa A và B. Các đường thẳng MC, MD cắt (O)
tương ứng tại E, F khác M.
a) Chứng minh các điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn.
b) Gọi O
1
và O
2
lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ACE và BDF.
Chứng minh rằng khi C và D thay đổi trên đoạn AB thì giao điểm của hai đường
thẳng AO
1
và BO
2
là một điểm cố định.
Câu 4. (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mản abc = 1. Chứng minh rằng:
1
£
a
+
b
+
c
.
a
+
b
+

c
(

ab
+
a
+
1
)
2
(

bc
+
b
+
1
)
2
(

ca
+
c
+
1
)

2
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2007 – 2008

MÔN TOÁN AB ( Chung cho các lớp Toán , Tin , Lý , Hoá , Sinh )
Thời gian làm bài : 150 phút.
Câu 1. Cho phương trình :
x
2
- 2 x m
+
2 m
(
m
+
1) -
3
=
0
(1)
x - 1
a) Tìm m để x = -1 là một nghiệm của phương trình (1)
b)
Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm
Câu 2. a) Giải bất phương trình :
( x
+
3)( x - 1) - 2 x - 1
<x
2
- 7
ì
ï
b) Giải hệ phương trình :

í
ï
î
x y
+
2
y x
=
3
x y x
+
2
x y
=
3
y
2x - 1
2
y - 1
Câu 3. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện :
a
2
- 3ab
+b
2
+
a - b
=a
2
- 2ab

+b
2
- 5a
+7b
=
0
Chứng tỏ rằng :
ab - 12a
+
15b
=
0
b) Cho : A
=
(
x
2
+
4 - 2)( x
+
x
+
1)
(
x
2
+
4
+
2)

x - 2 x
+
1
x( x x - 1)
Hãy tìm tất cả các giá trị của x để
A
³ 0
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm và góc BAC bằng 60
o
. Gọi M , N ,
P lần lượt là chân đường cao kẻ từ A , B , C của tam giác ABC là I là trung điểm của
BC .
a) Chứng minh rằng tam giác INP đều
b) Gọi E và K lần lượt là trung điểm của PB và NC . Chứng minh các điểm I , M , E
và K
cùng thuộc một đường tròn
c) Giả sử IA là phân giác của góc NIP . Hãy tính số đo của góc BCP
Câu 5. Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản
phẩm và bắt đầu thực hiện công việc cùng một lúc . Nếu sau 6 ngày , tổ A được hỗ
trợ thêm 10 công nhân may thì họ hoàn thành công việc cùng lúc với tổ B . Nếu tổ A
được hỗ trợ thêm 10 công nhân may ngay từ đầu thì họ sẽ hoàn thành công việc sớm
hơn tổ B 1 ngày. Hãy xác định số công nhân ban đầu của mỗi tổ . Biết rằng , mỗi
công nhân may mỗi ngày được 20 sản phẩm .