Đề kiểm tra Học kỳ II lớp 11 năm 2012 - 2013, THPT Lê Thánh Tông tỉnh Gia Lai Môn Toán

TRƯỜNG THPT LÊ THÁNH TÔNG ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II (2012-2013)
MÔN: TOÁN 11
Thời gian: 90 phút
I. PHẦN CHUNG: 7điểm (Cho tất cả các thí sinh)
Câu 1. (2đ) Tìm các giới hạn sau:
a)
2
2
n 3
lim
2n n 1
+
− +
b)
2
x 2
3x 7x 2
lim
x 2
→
− +
−
Câu 2. (2đ)
a) Xét tính liên tục của hàm số sau tại
0
x 1=

2
3x 1 2
neáu x 1
f(x)

x 1
4x 3 neáu x 1

+ −

≠
=

−

+ =

b) Cho hàm số
2
2x 3
f(x)
x 1
−
=
−
. Tính
f (2)
′
.
Câu 3. (3đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a,
SA (ABCD)⊥
,
SA a 6=
.
a) Chứng minh:

BD (SAC)⊥
và
(SCD) (SAD)⊥
.
b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
c) Trong mặt phẳng (SAC), dựng đường thẳng qua A vuông góc với SO tại H và
cắt SC tại K. Chứng minh H là trực tâm của
SBD∆
. Tính tỉ số
SK
KC
.
II. PHẦN RIÊNG: 3điểm (Học sinh học chương trình nào làm theo chương trình đó)
A. Chương trình chuẩn:
Câu 4a. (2đ)
1. Chứng minh rằng phương trình
3 2
x 5x 7x 1 0+ − − =
có ít nhất 2 nghiệm.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
y x 5x 15= − +
tại điểm có
hoành độ
0
x 2=
.
Câu 5a. (1đ)
Cho hàm số
2

3
f(x) x sin x sin2x
2
= − +
. Giải phương trình
f (x) 0
′
=
.
B. Chương trình nâng cao
Câu 4b. (2đ)
1. Chứng minh rằng phương trình
4 2
3x 2x 5x 1 0− − − =
có ít nhất 2 nghiệm.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
y 2x 3x 1= − +
, biết tiếp tuyến
đó vuông góc với đường thẳng (d):
x 12y 3 0+ − =
.
Câu 5b. (1đ)
Cho hàm số
f(x) 2x sin2x 4sinx= + −
. Chứng minh rằng với mọi x, ta có
f (x) 1
′
≥ −
. Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
MA TRẬN ĐỀ THI HỌC KÌ 2, LỚP 11(2012 – 2013)
Nội dung-Tên chủ đề
Mức độ nhận thức – Hình thức câu hỏi
Tổng
Nhận
biết
( TL)
Thông
hiểu
(TL)
Vận dụng
cấp độ thấp
(TL)
Vận dụng
cấp độ cao
(TL)
Giới hạn dãy số 1
1đ
1
1
Giới hạn hàm số 1
1đ
1
1
Hàm số liên tục 1
1đ
1
1đ

2
2
Đạo hàm của hàm số 1
1 đ
1
1đ
1
1đ
3
3
Véc tơ trong không gian
và quan hệ vuông góc
1
1đ
1
1đ
1
1đ
3
3
Tổng cộng 2
2
4
4
3
3
1
1
10
10đ

ĐÁP ÁN TOÁN 11( HKII_2012 – 2013)
Câu Dáp án Điểm
1
a)
2
2
2
2
3
1
n 3 1
n
lim lim
1 1
2
2n n 1
2
n
n
+
+
= =
− +
− +
1đ
b)
2
x 2 x 2
1
3(x 2) x

3x 7x 2
3
lim lim
x 2 x 2
→ →
 
− −
 ÷
− +
 
=
− −


x 2
lim(3x 1) 5
→
= − =

0.5đ
0.5đ
2
a)
f(1) 7=

x 1 x 1
( 3x 1 2)( 3x 1 2)
limf(x) lim
(x 1)( 3x 1 2)
→ →

+ − + +
=
− + +


x 1
3 3
lim
4
3x 1 2
→
= =
+ +

Vì
x 1
limf(x) f(1)
→
≠
nên hàm số không liên tục tại
x 1=
.
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b)
2
2
4x(x 1) (2x 3)

f (x)
(x 1)
− − −
′
=
−


2
2
2x 4x 3
(x 1)
− +
=
−


f (2) 3
′
=

0.5đ
0.25đ
0.25đ
j
E
F
H
O
C

A
B
D
S
K
3 Hình vẽ:

a) Ta có:
BD AC
BD SA vì SA (ABCD)

+ ⊥

⊥ ⊥



BD (SAC)⇒ ⊥

CD AD
CD (SAD)
CD SA vì SA (ABCD)

+ ⊥
⇒ ⊥

⊥ ⊥


do

CD (SCD)⊂
nên
(SCD) (SAD)⊥

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
b)
SA (ABCD)⊥ ⇒
AC là hình chiếu của SC lên (ABCD)
⇒
( )
·
SC,(ABCD) (SC,AC) SCA= = = ϕ

SAC∆
vuông tại A có
0
SA a 6
tan 3 60
AC
a 2
ϕ = = = ⇒ ϕ =

Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng
0
60

0.25đ
0.25đ
0.25đ
c) Ta có:
BD (SAC)
BD SO (1)
SO (SAC)

+ ⊥
⇒ ⊥

⊂


AH SO
AH (SBD)
AH BD

+ ⊥
⇒ ⊥

⊥

, mà
SB (SBD) AH SB⊂ ⇒ ⊥
Mặt khác,
AD (SAB)⊥
, mà
SB (SBD) AD SB⊂ ⇒ ⊥
Suy ra

SB (DAF)⊥
, mà
DF (DAF) SB DF⊂ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của
SBD∆
.
+ Gọi E là trung điểm KC
OE
⇒
//AK
Ta có:
2
2 2 2
26a a 26
SO SA AO SO
4 2
= + = ⇒ =

2
6a 26
SA SH.SO SH
13
= ⇒ =
;
a 26
HO SO SH
26
= − =

SK SH SK SK
12 6
KE HO KC 2KE
= = ⇒ = =

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
4a
1. Xét
3 2
f(x) x 5x 7x 1= + − −
liên tục trên
¡

f( 1) 10; f(0) 1; f(2) 13− = = − =

+
f( 1).f(0) 10 0 f(x) 0− = − < ⇒ =
có ít nhất 1nghiệm
1
x ( 1;0)∈ −

+
f(0).f(2) 13 0 f(x) 0= − < ⇒ =
có ít nhất 1nghiệm
2
x ( 1;0)∈ −

Vậy phương trình
3 2
x 5x 7x 1 0+ − − =
có ít nhất 2 nghiệm
2. Với
0 0
x 2 y 3= ⇒ =


2
y 3x 10x y (2) 8
′ ′
= − ⇒ = −

PTTT cần tìm:
y 8(x 2) 3 y 8x 19= − − + ⇔ = − +

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
.
0.25đ
0.5đ
0.25đ
5a
f (x) 1 2cosxsinx 3 cos2x
′
= − +

f (x) 0 sin2x 3cos2x 1
′
= ⇔ − =


x k
1
4
sin 2x (k )
3 2
7
x k
12

π
= + π

 
π
⇔ − = ⇔ ∈

 ÷
π

 
= + π


¢

0.25đ
0.25đ
0.5đ
4b
1. Xét
4 2
f(x) 3x 2x 5x 1= − − −
liên tục trên
¡

f( 1) 5; f(0) 1; f(2) 29− = = − =

+
f( 1).f(0) 5 0 f(x) 0− = − < ⇒ =
có ít nhất 1nghiệm
1
x ( 1;0)∈ −

+
f(0).f(2) 29 0 f(x) 0= − < ⇒ =
có ít nhất 1nghiệm
2
x ( 1;0)∈ −

Vậy phương trình
3 2
x 5x 7x 1 0+ − − =
có ít nhất 2 nghiệm.
2. Gọi

0 o
M(x ;y )
là tiếp điểm
Ta có
2 2
0 0 0
y 6x 6x f (x ) 6x 6x
′ ′
= − ⇒ = −

Tiếp tuyến vuông góc với (d):
1 1
y x
12 4
= − +


0 0
1
f (x ) 1 f (x ) 12
12
′ ′
⇒ − = − ⇔ =


2
0 0
0 0
0 0
x 1 y 4

x x 2 0
x 2 y 5

= − ⇒ = −
⇔ − − = ⇔

= ⇒ =


PTTT cần tìm là:

y 12x 8= +
và
y 12x 19= −

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
5b
Ta có:
f (x) 2 2cos2x 4cosx
′
= + −

2
4cos x 4cosx= −


2
1
4 cosx 1 1, x
2
 
= − − ≥ − ∀ ∈
 ÷
 
¡

Đẳng thức xảy ra khi
1
cosx x k2 (k )
2 3
π
= ⇔ = ± + π ∈¢

0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Hết