Đề thi học sinh giỏi lớp 11 THPT tỉnh Quảng Bình môn Toán (năm học 2010 - 2011)

SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 30 tháng 3 năm 2011)
SỐ BÁO DANH:…………… Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(3.0 điểm)
a) Giải phương trình:
sin3 cos3 2 2cos 1 0
4
x x x
π
 
+ − + + =
 ÷
 
b) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
1 1 16
2
3
1 1 100
2( )
( ) ( ) 9
x
x y x y
x y
x y x y

+ + =


+ −



+ + + =

+ −

Câu 2:(2.0 điểm) Cho dãy số (
n
x
) xác định như sau:

1
2 *
1
30
30 3 2011,
n n n
x
x x x n
+

=


= + + ∀ ∈



¥

Tìm
1
lim
n
n
x
x
+
.
Câu 3:(3.0 điểm)
Cho tứ diện đều ABCD cạnh
a
. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác
ABC và DBC. Mặt phẳng
( )
α
qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB lần lượt
tại các điểm M, N, P, Q với AM =
x
, AN =
y
(
0 ,x y a< <
).
a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ là hình thang
cân.
b) Chứng minh rằng:
( ) 3a x y xy+ =

. Suy ra:
≤ + <
4 3
3 2
a a
x y
.
c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo
a
và
s x y= +
.
Câu 4:(1.0 điểm) Cho phương trình:
( ) ( )
2
2 2 0ax b c x d e+ + + + =
có một
nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình
4 3 2
0ax bx cx dx e+ + + + =
có nghiệm.
Câu 5:(1.0 điểm) Cho
, , 0x y z >
. Chứng minh rằng:

2 2 3 5
( )( ) ( )( ) ( )( ) 3
xy yz zx
P
z x z y x y x z y z y x

= + + ≥
+ + + + + +

HẾT
Trang: 2 - Đáp án Toán 11