Đề thi học sinh giỏi toán lớp 7 các năm

PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5đ)
a/ Rút gọn:
2 9 5 3 3
2 8 8 3
5 .6 .10 6 .2 .15
5 .6 .10 2.6 .10
+
−
b/ Biết 1
4
+ 2
4
+ 3
4
+ + 9
4
+ 10
4
= 25333
Tính tổng S = 2
4
+ 4
4
+ 6
4
+ + 18
4
+ 20

4
Bài 2: (2,0đ)
Cho tỉ lệ thức
2 2
22 14
x y x y
+ −
=
a/ Tính tỉ số
x
y
b/ Tìm x, y biết x
2
+ y
2
= 82
Bài 3: (3,0đ)
a/ Cho M =
2 2
2
3
1
x y
x
x
−
+
+
N = (x + 1)
2

+ (y -
2
)
2
+ 2008
Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất
b/ Cho A = 2x
4
y
2
– 7x
3
y
5
; B =
1
2
−
x
4
y
2
+ 2x
3
y
5
; C = 5x
3
y
5

Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với
mọi x, y.
c/ Tìm x ∈ N biết 2
x+1
+ 2
x+4
+ 2
x+5
= 2
6
.5
2
Bài 4: (2,5đ)
Cho ∆ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với AC tại M
cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP.
a/ Chứng minh rằng:
+/
·
·
APC BAC=
+/ PC = QC
b/ ∆ABC cần thêm điều kiện gì để CQ ⊥ CP
Bài 5: (1,0đ)
Cho ∆ABC có
µ
A
= 30
0
. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD.
Chứng minh: AD

2
= AB
2
+ AC
2
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,5đ)
Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:
a/
5 5 9
11 4 12
4 .9 6 .30
6 8 .3
+
−
b/
3 3 3
0,375 0,3 1,5 1
11 12 4
5 5 5 5
0,625 0,5 2,5
11 12 3 4
− + + + −
+
− + − − + −
Bài 2: (3,0đ)
a/ Cho hai đa thức P(x) = x

2
+ 2mx + m
2
và Q(x) = x
2
– (2m + 1)x + m
2
.
Tìm m biết P(3) = Q(-2)
b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 -
7x −
- (2m + 4)
2008
c/ Tìm x biết
2 4 5x x− + − =
Bài 3: (2,5đ)
a/ Cho a + b + c = 2009 và
1 1 1 1
7a b b c c a
+ + =
+ + +
Tính S =
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai là
2
3
,

giữa số thứ nhất với số thứ ba là
4
9
. Tìm 3 số đó.
Bài 4: (2,0đ)
Cho ∆ABC có
µ
A
< 90
0
. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC
và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông
góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB.
a/ Chứng minh DC = BE và DC ⊥ BE.
b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng
minh AB = ME và ∆ABC = ∆EMA
Bài 5: (1,0đ)
Cho ∆ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng
minh rằng CD
2
– CB
2
= ED
2
– EB
2
.
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1/

1,0đ

12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
(2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
− − − −
− = −
+ + + +

12 4 10 3 12 4 10 3
12 5 9 3 3 12 5 9 3
2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7
2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 2 ) 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2
− − − −
= − = − = − =
+ +
0,25đ
0,75đ
2a/
(x – 1)
3
= -8 ⇒ x – 1 = -2
0,25đ
0,5đ
⇒ x = -1. Vậy x = -1
0,25đ
2b/
0,5đ
9 7 5 3x x− = −

. ĐK
3
5
x ≥
⇒
9 7 5 3
9 7 3 5
x x
x x
− = −


− = −

12 12 1
2 6 3
x x
x x
 = =

⇒ ⇒


= =


(TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3
0,25đ
0,25đ
2c/

0,5đ
x - 3
x
= 0. ĐK x ≥ 0 ⇒
0
( 3) 0
9
x
x x
x
=

− = ⇒

=

(TMĐK)
0,5đ
2d/
0,5đ
12x = 15y = 20z ⇒
48
4 20; 16; 12
5 4 3 12 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = = ⇒ = = =
0,5đ
3a/

0,75đ
Vì a ∈ Z
+
⇒ 4
a
≡ 1 (mod 3) ⇒ 4
a
+ 2

≡ 0 (mod 3)
Mà 4
a
+ 2 ≡ 0 (mod 2) ⇒ 4
a
+ 2
M
6
Khi đó ta có 4
a
+ a + b = 4
a
+ 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010
M
6
Vậy với a, b ∈ Z
+
sao cho a + 1 và b + 2007
M
6 thì 4
a

+ a + b
M
6
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3b/
0,75đ
Từ 6x
2
+ 5y
2
= 74 ⇒ 6x
2
≤ 74 ⇒ x
2
≤ 74/6 mà x ∈ Z ⇒ x∈{0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x
2
+ 1 = 75 – 5x
2
– 5y
2

M
5 ⇒ x
2
= 4 hoặc x
2
= 9

Nếu x
2
= 4 ⇒ y
2
= 10 (loại vì y ∈ Z)
Nếu x
2
= 9 ⇒ y
2
= 4 ⇒ (x, y) ∈ {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4a/
1,0đ

a c a c c a
b d b d d b
+ −
= = =
+ −
⇒
. .
a c a c a c
b d b d b d
+ −
=
+ −
⇒
2 2

2 2
( ). ( ).
( ). ( ).
a c a c a c a ac c ac
b d b d b d b bd d bd
+ − + −
= ⇒ =
+ − + −
⇒ đpcm
0,5đ
0,5đ
4b/
1,0đ
Ta có
;
x x x y y y
x y z t x y z x y x y z t x y t x y
< < < <
+ + + + + + + + + + + +

;
z z z t t t
x y z t y z t z t x y z t x z t z t
< < < <
+ + + + + + + + + + + +
⇒
x y z t x y z t
M
x y z t x y x y z t z t
 

+ + +
 
< < + + +
 ÷
 ÷
+ + + + + + +
 
 
Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4c/
1,0đ
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
⇒ AB + BM = AC – BM ⇒ 2BM = AC – AB ⇒ BM = (b – c):2
AM = AB + BM ⇒ AM = (b + c):2
0,5đ
0,5đ
5/
1,0đ
Qua M kẻ HK // BC (H ∈ AB; K ∈ CD)
MA
2
= MH
2
+ HA
2
MC

2
= MK
2
+ KC
2
⇒ MA
2
+ MC
2
= MH
2
+ HA
2
+ MK
2
+ KC
2
MB
2
= MH
2
+ HB
2
MD
2
= MK
2
+ DK
2
⇒ MB

2
+ MD
2
= MH
2
+ HB
2
+ MK
2
+ DK
2

Ta có AH = DK; HB = KC
⇒ MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD
2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau:

K
H
M
D
C
B
A
( )
( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3
9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
− −
−
+
+
Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết.
a/ (x – 1)
3
= -8 b/
9 7 5 3x x
− = −
c/ x - 3
x
= 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 3: (1,5đ)

a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4
a
+ a + b chia hết cho 6.
b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x
2
+ 5y
2
= 74
Bài 4: (2,0đ)
a/ Cho
a c
b d
=
. Chứng minh rằng:
2 2
2 2
a ac b bd
c ac d bd
+ +
=
− −
b/ Cho x, y, z, t ∈ N. Chứng minh rằng:
M =
x y z t
x y z x y t y z t z t x
+ + +
+ + + + + + + +
có giá trị không phải là số tự nhiên.
Bài 5: (3,0đ) Cho ∆ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ∆ABC vẽ ∆BAD vuông cân tại A, ∆CAE

vuông cân tại A. Chứng minh:
a/ DC = BE; DC ⊥ BE
b/ BD
2
+ CE
2
= BC
2
+ DE
2
c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC.
Bài 6: (0,5đ) Cho ∆ABC nhọn với
·
BAC
= 60
0
. Chứng minh rằng:
BC
2
= AB
2
+ AC
2
– AB.AC
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1/
1,0đ

12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4

2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7
(2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7
− − − −
− = −
+ + + +

12 4 10 3 12 4 10 3
12 5 9 3 3 12 5 9 3
2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7
2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 2 ) 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2
− − − −
= − = − = − =
+ +
0,25đ
0,75đ
2a/
0,5đ
(x – 1)
3
= -8 ⇒ x – 1 = -2
⇒ x = -1. Vậy x = -1
0,25đ
0,25đ
2b/
0,5đ
9 7 5 3x x− = −
. ĐK
3
5

x ≥
⇒
9 7 5 3
9 7 3 5
x x
x x
− = −


− = −

12 12 1
2 6 3
x x
x x
 = =

⇒ ⇒


= =


(TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3
0,25đ
0,25đ
2c/
0,5đ
x - 3
x

= 0. ĐK x ≥ 0 ⇒
0
( 3) 0
9
x
x x
x
=

− = ⇒

=

(TMĐK)
0,5đ
2d/
0,5đ
12x = 15y = 20z ⇒
48
4 20; 16; 12
5 4 3 12 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = = ⇒ = = =
0,5đ
3a/
0,75đ
Vì a ∈ Z
+

⇒ 4
a
≡ 1 (mod 3) ⇒ 4
a
+ 2

≡ 0 (mod 3)
Mà 4
a
+ 2 ≡ 0 (mod 2) ⇒ 4
a
+ 2
M
6
Khi đó ta có 4
a
+ a + b = 4
a
+ 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010
M
6
Vậy với a, b ∈ Z
+
sao cho a + 1 và b + 2007
M
6 thì 4
a
+ a + b
M
6

0,25đ
0,25đ
0,25đ
3b/
0,75đ
Từ 6x
2
+ 5y
2
= 74 ⇒ 6x
2
≤ 74 ⇒ x
2
≤ 74/6 mà x ∈ Z ⇒ x∈{0; 1; 4; 9}
Mặt khác ta có x
2
+ 1 = 75 – 5x
2
– 5y
2

M
5 ⇒ x
2
= 4 hoặc x
2
= 9
Nếu x
2
= 4 ⇒ y

2
= 10 (loại vì y ∈ Z)
Nếu x
2
= 9 ⇒ y
2
= 4 ⇒ (x, y) ∈ {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}
0,25đ
0,25đ
0,25đ
4a/
1,0đ

a c a c c a
b d b d d b
+ −
= = =
+ −
⇒
. .
a c a c a c
b d b d b d
+ −
=
+ −
⇒
2 2
2 2
( ). ( ).
( ). ( ).

a c a c a c a ac c ac
b d b d b d b bd d bd
+ − + −
= ⇒ =
+ − + −
⇒ đpcm
0,5đ
0,5đ
4b/
1,0đ
Ta có
;
x x x y y y
x y z t x y z x y x y z t x y t x y
< < < <
+ + + + + + + + + + + +

;
z z z t t t
x y z t y z t z t x y z t x z t z t
< < < <
+ + + + + + + + + + + +
⇒
x y z t x y z t
M
x y z t x y x y z t z t
 
+ + +
 
< < + + +

 ÷
 ÷
+ + + + + + +
 
 
Hay 1 < M < 2. Vậy M có giá trị không phải là số tự nhiên
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5a/
1,0đ
CM được ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) ⇒ DC = BE
CM được DC ⊥ BE
0,5đ
0,5đ
5b/
1,0đ
Viết được CE
2
= ME
2
+ MC
2
; DB
2
= MD
2
+ MB
2

; DE
2
= MD
2
+ ME
2
;
BC
2
= MB
2
+ MC
2
⇒ BD
2
+ CE
2
= MD
2
+ MB
2
+ ME
2
+ MC
2
;
BC
2
+ DE
2

= MD
2
+ MB
2
+ ME
2
+ MC
2
⇒ BD
2
+ CE
2
= BC
2
+ DE
2
0,5đ
0,25đ
0,25đ
5c/
1,0đ
Trên tia AK lấy điểm P sao cho AP = DE
CM được ∆ADE = ∆CPA ⇒ CP = AD ⇒ CP = AB
CM được
µ
·
P BAK<
;
·
·

ABK PCK=
⇒ ∆CPK = ∆BAK (g.c.g) ⇒ BK = KC ⇒ đpcm
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5/ Hình vẽ:
6/ Hình vẽ
M
P
K
E
D
C
B
A
A
60
0
C
H
B
6/
0,5đ
Kẻ BH ⊥ AC
Vì
·
0
60BAC =
⇒

·
0
30
2
AB
ABH AH= ⇒ =
(1)
Áp dụng định lý Pitago ta có:
AB
2
=AH
2
+BH
2
và BC
2
= BH
2
+ HC
2
⇒ BC
2
= AB
2
– AH
2
+ HC
2
⇒ BC
2

= AB
2
– AH
2
+ (AC – AH)
2
⇒ BC
2
= AB
2
– AH
2
+ AC
2
– 2AC.AH + AH
2
⇒ BC
2
= AB
2
+ AC
2
– 2AC.AH (2)
Từ (1) & (2) ⇒ đpcm
0,25đ
0,25đ
PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:

1/ A =
1 1 1 3 3 3 3
5
3 7 13 4 16 64 256
.
2 2 2 1 1 1
8
1
3 7 13 4 16 64
− − − − −
+
− − − − −
2/ B =
22 21 15 14
10 16 15
2.5 9.5 5.(3.7 19.7 )
:
25 7 3.7
− −
+
Câu 2: (3đ)
a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16
b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)
2010
+
1
5
y −
- 10 đạt giá trị nhỏ nhất.
c/ Cho đa thức f(x) = ax

2
+ bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba
đơn vị
Câu 3: (1,5đ)
Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng thời
1 1 1 1
2c b d
 
= +
 ÷
 
. Chứng minh
a c
b d
=
Câu 4: (2,5đ)
Cho ∆ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường
phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng
Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E.
a/ Chứng minh ∆AMN và ∆BME là những tam giác cân.
b/ Chứng minh BM = CN
c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c.
Câu 5: (1,0đ)
Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh:
MA
2
+ MC
2
= MB
2

+ MD
2
*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*
ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM
1a/
1,5đ
A =
3 1 1 1
1 1 1
1
5
4 4 16 64
3 7 13
.
1 1 1
1 1 1
8
1
2
4 16 64
3 7 13
 
− − −
− −
 ÷
 
+
 
− − −
− −

 ÷
 

1 3 5
. 1
2 4 8
= + =
0,5đ
0,5đ
1b/
1,5đ
B =
( )
( )
( )
( )
21 14
10
15
2
5 2.5 9 5.7 3.7 19
:
7 7 3
5
− −
+
=
1
5: 35
7

=
0,5đ
0,5đ
2a/
1,0đ
M = (2x – 1)(2y – 1) = 4xy – 2x – 2y + 1
= 4xy – 2(x + y) + 1
M = 45
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2b/
1,0đ
Lí luận (x + 2)
2010
≥ 0;
1
0
5
y − ≥
⇒ N ≥ -10. GTNN của N là -10
Tìm được x = -2; y = 1/5
0,25đ
0,25đ
0,5đ
2c/
1,0đ
Ta có f(-2) = 0 ⇒ 4a – 2b + c = 0
f(2) = 0 ⇒ 4a + 2b + c = 0 và a – c = 3
4b = 0 ⇒ b = 0

Từ 8a + 2c = 0 và a – c = 3 ⇒ a = 3/5 ; c = -12/5
0,25đ
0,25đ
0,5đ
3/
1,5đ
Vì b là trung bình cộng của a và c ⇒ b = (a + c)/2 ⇒ 2b = a + c
Từ
1 1 1 1 1 1
. 2 ( )
2 2
b d
bd c b d
c b d c bd
+
 
= + ⇒ = ⇒ = +
 ÷
 
Thay 2b = a + c, ta có (a + c)d = c(b + d)
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
⇒ ad = bc ⇒
a c
b d
=

4/

2,5đ
∆AMN cân (đ/c vừa là p/g)
BE // AC ⇒
·
·
BEM ANM=
·
·
BME ANM=
(∆AMN cân tại A)
⇒
·
·
BEM BME=
⇒ ∆BME cân tại B
0,25đ
0,5đ
4b/
0,75đ
∆BED = ∆CND (g.c.g) ⇒ BE = NC
⇒ BM = NC (= BE)
0,5đ
0,25đ
4c/
1,0đ
Ta có AB + BM = AM = AN = AC – NC
⇒ AB + BM = AC – BM ⇒ 2BM = AC – AB ⇒ BM = (b – c):2
AM = AB + BM ⇒ AM = (b + c):2
0,5đ
0,5đ

5/
1,0đ
Qua M kẻ HK // BC (H ∈ AB; K ∈ CD)
MA
2
= MH
2
+ HA
2
MC
2
= MK
2
+ KC
2
⇒ MA
2
+ MC
2
= MH
2
+ HA
2
+ MK
2
+ KC
2
MB
2
= MH

2
+ HB
2
MD
2
= MK
2
+ DK
2
⇒ MB
2
+ MD
2
= MH
2
+ HB
2
+ MK
2
+ DK
2

Ta có AH = DK; HB = KC
⇒ MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD

2

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
N
M
D
E
C
B
A
K
H
M
D
C
B
A