KIỂM TRA đầu vào TOÁN CHUYÊN lớp 9 năm 2015

Lớp 9 Chuyên Toán 1 Nguyễn Tăng Vũ
ĐỀ KIỂM TRA ĐẦU NĂM
Thời gian 150 phút
Bài 1 (1,5 điểm)
a) Cho các số a, b, c khác 0 thỏa
a + b − c
ab
−
b + c − a
bc
−
a + c − b
ac
= 0. Chứng minh rằng tồn tại một số
bằng tổng hai số còn lại.
b) Cho
a
a
2
+ a + 1
= x. Tính
a
2
a
4
+ a
2
+ 1
theo x.
Bài 2 (1,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a)


x
2
− 16

(x − 1) (x − 9) = 84
b)
12x
x
2
+ 3x + 2
+
7x
x
2
+ 4x + 2
= 3
c) |x − 1|
2015
+ |x − 2|
2016
= 1
Bài 3 (1,5 điểm) Cho n là số tự nhiên. Đặt A = n
2
+ 7n + 1.
a) Chứng minh rằng A luôn là một số lẻ.
b) Tìm n để A chia hết cho 5. Khi đó A có chia hết cho 25 không? Tại sao?
Bài 4(1 điểm) Cho các số dương x, y thỏa x
3
+ y

4
≤ x
2
+ y
3
. Chứng minh rằng:
a) x
3
+ y
3
≤ x
2
+ y
2
.
b) x
2
+ y
3
≤ x + y
2
.
Bài 5 (3 điểm) Cho hình thang ABCD có ∠A = ∠B = 90
o
, AD.BC =
1
4
AB
2
. Gọi O là trung điểm của AB.

Vẽ OE⊥CD.
a) Chứng minh ∠COD = 90
o
và CD = AD + BC.
b) Vẽ EF ⊥AB. Chứng minh
AF
BF
=
ED
EC
và FE là phân giác góc ∠CF D.
c) Đường thẳng qua A song song CF và đường thẳng qua B song song DF cắt nhau tại K. Chứng minh
C, K, D thẳng hàng.
Bài 6 (1,5 điểm) Trong một giải thi đấu cờ vua có 2 bạn lớp 8 tham gia cùng với n bạn lớp 9. Hai người thi
đấu với nhau một trận, thắng được 1 điểm, hòa 0,5 điểm và thua 0 điểm. Kết thúc giải đấu người ta thấy
rằng tổng số điểm của hai bạn lớp 8 là 6,5 điểm và các bạn lớp 9 có số điểm bằng nhau.
a) Tính theo n tổng số trận đấu diễn ra.
b) Tìm n.
Hết
www.toan111.com 1 163/24/77 Tô Hiến Thành. DĐ: 0983130298