Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2012 sở GDĐT tỉnh phú yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ YÊN
KỲ THI
TUY
ỂN SINH LỚP 10

TH
PT

NĂM HỌC
2012
-
2013

Môn thi : TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
ĐỀ

THI

CHÍNH THỨC



Câu 1.(1,5 điểm) Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị các biểu thức:

( )( )
60 72 2
; : ; 3 2 2 3 .
15 15

15
A B C= = = + -

Câu 2.(1,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)
1
2 3
2
3
2 -
2
x y
x y
ì
ï
ï
+ = -
ï
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
; b)

2
2 5 -3=0
x x+ .

Câu 3.(1,5 điểm) Cho hai hàm số
2
2
y x
= và
1
y x
= +
.
a) Vẽ đồ thị của các hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ hai giao điểm A, B của các đồ thị hàm số trên bằng phép tính.

Câu 4. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Trong một ngày, một quầy tạp hóa bán được 100 quả trứng. Số trứng bán được
vào buổi sáng và số trứng bán được vào buổi chiều không bằng nhau nhưng số tiền thu
được bằng nhau. Nếu số trứng bán ra buổi chiều được bán với giá bán buổi sáng thì số
tiền thu được là 180 ngàn đồng. Ngược lại, số trứng bán ra buổi sáng nếu được bán với
giá bán buổi chiều thì chỉ thu được 80 ngàn đồng.
Hỏi mỗi buổi quầy tạp hóa đã bán được bao nhiêu quả trứng?

Câu 5.(3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) có hai bán kính OA, OB cố định, vuông góc
nhau. Gọi C là điểm di động trên cung nhỏ
»
AB
(C khác A,B). Gọi H là hình chiếu vuông
góc của điểm A lên đường thẳng BC.

a) Chứng minh rằng OAHB là tứ giác nội tiếp. Tính diện tích hình tròn đường
kính AB theo R.
b) Gọi K là giao điểm của HA và BO. Chứng minh rằng KH.KA = KB.KO.
c) Chứng minh rằng tam giác CHA cân.
d) Tìm tập hợp các điểm H khi điểm C di chuyển trên cung nhỏ
»
AB
.

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…………………………

Số báo danh:………………………………

Chữ kí của giám thị 1:…………………….

Chữ kí của giám thị 2:…………………….

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
H
ướng dẫn chấm thi môn Toán (chuyên) Tr 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH PHÚ YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP
10

THPT NĂM HỌC
2012
-
2013

Môn thi : TOÁN (chuyên)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC


HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Gồm có 04 trang)
I- Hướng dẫn chung:

1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ
điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo
đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng
chấm thi.
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số.
II- Đáp án và thang điểm:

Câu Đáp án Điểm

1
Cho biểu thức
1 3 2
5 6 2 3
x x
P

x x x x
- -
= - +
- + - -


5,00 đ
a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P
P xác định
0
5 6 0
2 0
3 0
x
x x
x
x
ì
³
ï
ï
ï
ï
- + ¹
ï
ï
Û
í
ï
- ¹

ï
ï
ï
ï
- ¹
ï
î


0
2 0
3 0
x
x
x
ì
³
ï
ï
ï
ï
Û - ¹
í
ï
ï
ï
- ¹
ï
î
0, 4, 9

x x x
Û ³ ¹ ¹

Vậy với
0, 4, 9
x x x
³ ¹ ¹
(*) thì biểu thức P xác định.

1,50 đ



0,50 đ




0,50 đ

0,50 đ
b) Rút gọn P
( )( )
1 3 2
2 3
2 3
x x
P
x x
x x

- -
= - +
- -
- -


( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
2 2
1 3 2 1 6 9 4 4
2 3 2 3
x x x x x x
x x x x
- - + - - - + + - +
= =
- - - -


(
)
( )( )
2 2
2
3
2 3
x
x
x x

-
= =
-
- -
.


1,50 đ

0,50 đ



0,50 đ



0,50 đ


Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
H
ng dn chm thi mụn Toỏn (chuyờn) Tr 2

c) Tỡm cỏc s nguyờn x P nguyờn:
Theo b)
2
3
P
x

=
-
. Do ú, nu
2
3
x

nguyờn thỡ P nguyờn.

2
3
x

nguyờn


3 2 3 1; 2
x x

.
Vi
3 1 16;
x x
Vi
3 1 4
x x

;
Vi
3 2 25;

x x
Vi
3 2 1.
x x



Kt hp vi iu kin (*) suy ra


1;16;25
x

.

2,00




0,50



0,50


0,50

0,50

2

3,00

a) Cho
0
x y z
+ + =
. Chng minh rng:
3 3 3
3
x y z xyz
+ + = .
Vỡ
0
x y z
+ + =
suy ra
x y z
+ = -
. Do ú:
3 3 3 3 3
( ) 3xy(x+y)+z
x y z x y+ + = + -

3 3
( ) 3xy(-z)+z
z= - - = 3xyz (pcm).

1,00

0,50


0,50
b) Gii phng trỡnh:
( ) ( ) ( )
3 3 3
1005 1007 2 -2012 0
x x x
- + - + =

t
1005 ; 1007 ; 2 -2012
X x Y x Z x= - = - =
Ta cú: X + Y + Z = 0
p dng cõu a) suy ra:
3 3 3
3
X Y Z XYZ
+ + =
Phng trỡnh ó cho tr thnh:
1005
3(1005 )(1007 )(2 -2012)=0 1006
1007
x
x x x x
x
ộ

=
ờ
ờ
- - =
ờ
ờ
=
ở
.
Vy phng trỡnh ó cho cú 3 nghim x = 1005, x = 1006, x = 1007.

2,00

0,50


0,50



0,50

0,50


3
Cho h phng trỡnh:
2 2 2
2 1
2 1

x y m
x y y x m m
ỡ
+ = +
ù
ù
ớ
ù
+ = - -
ù
ợ
, vi m l tham s

5,00

a) Gii h phng trỡnh vi m =2
Vi m = 2, h phng trỡnh l:
2 2
5
5 5
( ) 5 1
5
x y
x y x y
xy x y xy
x y y x
ỡ
ỡ ỡ
+ =
+ = + =

ù
ù ù
ù ù ù

ớ ớ ớ
ù ù ù
+ = =
+ =
ù ù
ợ ợ
ù
ợ
.
Do ú, x, y l nghim ca phng trỡnh X
2
-5X +1= 0
Gii ra ra c
1 2
5 21 5 21
,
2 2
X X
+ -
= = .
Vy hpt cú hai nghim:
5 21 5 21 5 21 5 21
; , ;
2 2 2 2
ổ ử ổ ử
+ - - +

ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.

2,50


1,00

0,50

0,50

0,50

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
H
ướng dẫn chấm thi môn Toán (chuyên) Tr 3


b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m
Hệ đã cho viết lại là:

2 1
( ) (2 1)( 1)
x y m
xy x y m m
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
+ = + -
ï
î

(1) Nếu
1
2
m
= -
thì hệ trở thành:
0
0
( ) 0
x y x R
x y
xy x y y x
ì ì
+ = Î
ï ï
ï ï

Û + = Û
í í
ï ï
+ = = -
ï ï
î î
.
Hệ có vô số nghiệm.
(2) Nếu
1
2
m
¹ -
thì hệ trở thành:
2 1
1
x y m
xy m
ì
+ = +
ï
ï
í
ï
= -
ï
î

Nên x,y là nghiệm phương trình:
2

(2 1) 1 0
X m X m
- + + - =
(*).
P/t (*) có
2 2
=(2m+1) 4( 1) 4 5 0,
m m m
D - - = + > "
nên luôn có nghiệm.

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

2,50 đ

0,50 đ




0,50 đ



0,50 đ

0,50 đ


0,50 đ

4

4,00 đ
a) Chứng minh AF.BE = AD.DB.
Ta có:
·
·
µ
·
·
0
0
180
120 (1)
AFD FDA A
AFD FDA
+ + =
Û + =

·
·
·
·
·
0
0
180
120 (2)
EDB FDA EDF

EDB FDA
+ + =
Û + =

Từ (1) và (2) suy ra:
·
·
AFD EDB
=
.
Hơn nữa
µ µ
0
60
A B= =

Suy ra

AFD BDE
D @D

AF AD
BD BE
Þ =
. .
AF BE AD BD
Û =
(đpcm).
2,00 đ

0,50 đ




0,50 đ

0,50 đ

0,50 đ

b) Chứng minh
2
.
4
a
AF BE 
Đặt
1 2 1 2
; ( , 0)
x AD x DB x x
  
và
1 2
. ( 0)
x x AD DB b b
  
.

Ta có:
1 2
x x AB a
  
(không đổi).
Nên
1 2
x ,
x
là nghiệm của phương trình bậc hai:
2
0
x ax b
  
(*).
Do
1 2
x ,
x
luôn tồn tại nên phương trình (*) luôn có nghiệm
Hay:
2
2
4 0
4
a
a b b     
Vậy
2
. .

4
a
AF BE AD BD  .
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2
x
2
a
x
 
, tức D là trung điểm AB.

2,00 đ



0,50 đ



0,50 đ

0,50 đ

0,50 đ
A
B
C
D
F

E

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
H
ướng dẫn chấm thi môn Toán (chuyên) Tr 4


5


3,00 đ

a)Tính tỷ số
HC
CD
:
Ta có:
, / /
  
CK AD BD AD CK BD

Áp dụng Talet:
3
4
CH CK AC
HD BD AB
  

Suy ra:
3 3

3 4 7
CH CH
CD CH HD
  
 
.
Vậy tỷ số
3
7
HC
CD

.

1,50 đ

0,50 đ


0,50 đ




0,50 đ

b) Điểm H chạy trên đường nào khi d quay quanh A?
Qua H kẻ đường thẳng song song với OD cắt OC tại I . Khi đó:
3 3 3
7 7 7
IH CH
IH OD R
OD CD
     (không đổi).
Từ đó ta cũng có:
3 3 3 2
7 7 2 14 7
R
IC OC R OI R
     .
Do OC cố định nên I cố định. Vì thế, khi d quay quanh A thì H chạy
trên đường tròn tâm I (I nằm trên đoạn OC, cách O một khoảng
2
7
OI R
 ), bán kính
3
.
7
R


1,50 đ


0,50 đ

0,50 đ



0,50 đ


O
D
A
B
CO'
K
H
I

Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -