ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn TOÁN

TRNG THPT S 3 BO THNG THI THPT QUC GIA NM 2015
Ngy Thi : 19-03-2015 Mụn: TON
THI TH LN 1 Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt
Cõu 1 (2,0 im) Cho hm s
2 1
1
x
y
x
-
=
- +
cú th (C)
1. Kho sỏt v v th ca hm s (C)
2. Tỡm m ng thng
2y x m= - +
ct th (C) ti hai im phõn bit cú honh
1 2
,
x x
sao cho
1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x- + =

Cõu 2 (1,0 im) Gii phng trỡnh
2
x
sinx 2 3 os + 3

2
0
2sin 3
c
x
-
=
+

Cõu 3 (1,0 im) Tớnh tớch phõn
( )
2
1
ln
1 2ln
e
x
I dx
x x
=
+
ũ

Cõu 4(1,0 im)
1. Cho s phc z tha món iu kin
1 3
(1 2 ) 2
1
i
i z i

i
-
- + = -
+
. Tớnh mụ un ca z .
2. Tỡm h s khụng cha x trong khai trin
15
3
2
( )f x x
x
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ

Cõu 5 (1,0 im) Trong khụng gian vi h ta Oxyz , cho
( 1;2; 1)A - -
v mt phng
( )
: 2 2 1 0x y za + - - =
. Vit phng trỡnh mt phng
( )
b
song song vi mt phng
( )
a
sao cho
khong cỏch t im A ti mt phng
(

)
a
bng khong cỏch t im A ti mt phng
(
)
b

Cõu 6 (1,0 im)
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi cnh bng a . SAB l tam giỏc vuụng cõn ti
S
v n
m trong mt phng vuụng gúc vi ỏy
, gúc gi
a cng SC v
m
t phng (ABCD) bng
0
60
,cnh AC = a
.
Tớnh theo a th tớch khi chúp S.ABCD v khong cỏch t A n mt phng (SBC).

Cõu
7 (
1
,0 im)

Gi
i h ph
ng trỡnh:

3 3 2
2 1 3 1 2
3 2 2
x y y x x y
x x y y
ỡ
- - + + = + +
ù
ớ
- + = -
ù
ợ

Cõu
8
(
1,0 i
m)

Trong mt phng ta Oxy c
ho
hỡnh
vuụng ABCD
cú tõm
7 3
;
2 2
O
ổ ử
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
. i
m
( )
6;6M

thuc cnh AB v
( )
8; 2N -
thuc cnh BC . Tỡm ta cỏc nh ca hỡnh vuụng.
Cõu 9 (1,0 im)
Cho
x, y, z l cỏc s thc thuc
( )
0;1
tha món iu kin
( )
3 3
( ) (1 )(1 )x y x y xy x y+ + = - -
.Tỡm giỏ tr
ln nht ca biu thc :
2 2
2 2

1 1
3 ( )
1 1
P xy x y
x y
= + + - +
+ +

HT
GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 -
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu Ý Đáp án Điểm
I
1
1,0
−
TXĐ : D = R
− Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên

( )
2
1
' 0, 1
1
y x
x
= > " ¹
- +

Vậy: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-
¥
;1) và (1 ; +
¥
)
0,25
+ Cực trị :
Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn :

lim 2; lim 2 2
x x
y y y
®-¥ ®+¥
= - = - => = -
là đường tiệm cận ngang

1 1
lim ;lim 1
x x
y y x
- +
® ®
= +¥ = -¥ => =
là đường tiệm cận đứng
0.25

+ Bảng biến thiên :

0,25

· Đồ thị:
− Đồ thị :
Đồ thị hàm số giao với Ox: (
1
2
;0)
Đồ thị hàm số giao với Oy: (0;-1)














0,25
2
1,0
2
2 ( 4) 1 0 (1)
2 1

2
1
1
x m x m
x
x m
x
x
ì
- + + + =
-
= - + Û
í
- +
¹
î

Đường thằng 2
y x m
= - +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Û
phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt khác 1
0,25


( )
2
2

4 8( 1) 0
8 0,
1 0
m m
m m
ì
+ - + >
ï
Û Û + > "
í
- ¹
ï
î


0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
Vậy
m
"
đường thẳng
y x m
= +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ
1 2 1 2
, ,
x x x x
¹

Theo vi-et :
1 2 1 2
4 1
, .
2 2
m m
x x x x
+ +
+ = =
0.25
1 2 1 2
7 1 4 7 22
4( ) 4( )
2 2 2 2 3
m m
x x x x m
+ +
- + = Û - = Û = -
Vậy
22
3
m = - thì đường thẳng 2
y x m
= - +
cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
có hoành độ
1 2
,
x x
và

1 2 1 2
7
4( )
2
x x x x
- + =

0,25
2

1.0
ĐK :
3
sin
2
x ¹ ;
2
x
sinx 2 3 os + 3
2
0 sinx 3 osx=0
2sin 3
c
c
x
-
= Û -
+

0.25

1 3
sinx osx=0 os x + 0
2 2 6
c c
p
æ ö
Û - Û =
ç ÷
è ø

0.25
x = ,
3
k k Z
p
p
Û + Î

0.25


Kết hợp ĐK ta có
x k2 ,k Z
3
p
= + p Î
là nghiệm của phương trình
0.25
3

1.0
( )
(
)
( )
2
1 1 1
2ln 1
1 4ln 1 1 1 1
4 1 2ln 4 4 1 2ln
e e e
x dx
x dx
I dx
x x x x x
-
- +
= = +
+ +
ò ò ò

0.25
( ) ( )
(
)
( )
1 1
2ln 1
1 1
2ln 1 2ln 1

8 8 1 2ln
e e
d x
x d x
x
+
= - - +
+
ò ò

0.25
( ) ( )
2
1 1
1 1
2ln 1 ln 1 2ln
16 8
e e
x x
æ ö
= - + +
ç ÷
è ø

0.25


1
ln3
8

=
0.35
4

1.0

1 3 1 7
(1 2 ) 2
1 5 5
i
i z i z i
i
-
- + = - Û = +
+

0,25
2
z=> =
0,25
15
15 5
15 15
5
3
3 62
15 15
0 0
2
( ) . .2 .2 . ,(0 15, )

k kk
k k k k
k k
f x x C x x C x k k Z
x
-

= =
æ ö
= + = = £ £ Î
ç ÷
è ø
å å

0,25


Hệ số không chứa x ứng với k thỏa mãn :
5
5 0 6
6
k
k
- = Û = =>
hệ số : 320320
0,25
5


1,0

( )
4
( , )
3
d A
a =

0,25
Vì
(
)
b
//
(
)
a
nên phương trình
(
)
b
có dạng :
2 2 0, 1
x y z d d
+ - + = ¹ -

0,25
( ) ( )
5
4
( , ) ( , )

3 3
d
d A d A
+
a = b Û = Û

0,25


1
9
9
d
d
d
= -
é
Û = -
ê
-
ë
(d = -1 loại) =>
(
)
b
:
2 2 9 0
x y z
+ - - =

0,25
6

1,0

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -















Gi I l trung im ca on AB =>
,( ) ( ) ( )
SI AB SAB ABCD SI ABCD
^ ^ => ^

nờn
ã

( )
ã
0
, ( ) 60 ,
SCI SC ABCD= =
0
3 3
tan60
2 2
a a
CI SI CI= => = =

Gi M l trung im ca on BC , N l trung im ca on BM
3 3
2 4
a a
AM IN= => =

Ta cú
2 2 3
.
3 1 3 3 3
2 . .
2 3 2 2 4
ABCD ABC S ABCD
a a a a
S S V
D
= = => = =

0.5


ta cú

, ( )
BC IN BC SI BC SIN
^ ^ => ^

Trong mt phng (SIN) k ( ),
IK SN K SN
^ ẻ
. Ta cú
( ) ( ,( ))
IK SN
IK SBC d I SBC IK
IK BC
^
ỡ
=> ^ => =
ớ
^
ợ

Li cú :
2 2 2
1 1 1 3 13 3 13 3 13

( ,( )) ( ,( ))
26 26 13
IS
a a a
IK d I SBC d A SBC
IK IN
= + => = => = => =
0.5
7

1.0
K :
2 1 0
2 0
0
1
3
x y
x y
x
y
- -
ỡ
ù
+
ù
ù
>
ớ
ù

ù
-
ù
ợ


(1) 2 1 3 1 2 0
1 1
0
2 1 3 1 2
x y x y x y
x y x y
x y x y x y
- - - + + - + =
- - - -
- =
- - + + + +

( )
1 1
1
2 1 3 1 2
x y
x y x y x y
ổ ử
- - -
ỗ ữ
ỗ ữ
- - + + + +
ố ứ

1 (3)
2 1 3 1 2 (4)
y x
x y x y x y
= -
ộ

ờ
- - + = + + +
ờ
ở



0,25

1
(4) 2 1 3 1 2 3 1 (5)
3
x
x y x y x y x y y
-
- - + = + + + = + =




0,25
A
B

C
D
S
I
M
N
K
GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 -
T (3) v (2) ta cú :
( )
2 3 2 2
1
( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) ( 1) 5 0
5
x
x x x x x x
x
=
ộ
- + = - - - - - =
ờ
=
ở

1 0; 5 4
x y x y
= => = = => =


0,25

T (5) v (2) ta cú :
( )
2 3 2 2
2 1
( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) 25 59 0 1
27 9
x x x x x x x
- + = - - - - + = =
(do x > 0)

Vy h ó cho cú nghim :
( ; ) (1;0);( ; ) (5;4)
x y x y
= =

0,25
8
1
1,0

Gi G l im i xng ca M qua O (1; 3)
G CD
=> = - ẻ

Gi I l im i xng ca N qua O ( 1;5)
I AD
=> = - ẻ

0,25
Phng trỡnh cnh MO qua M v cú VTCP
MO
uuuur
l :
9 5 24 0
x y
- - =

=> Phng trỡnh cnh NE qua N v vuụng gúc MO l :
5 9 22 0
x y
+ - =

Gi E l hỡnh chiu ca N trờn MG =>
163 39
;
53 53
E NE MG E
ổ ử
= ầ => =
ỗ ữ

ố ứ

0,25
Li cú

( 0, ) ( 1;3)
NJ MG
NE MG k k R J
NE k NJ
=
ỡ
ù
^ => ạ ẻ => -
ớ
=
ù
ợ
uuur uuur
;(Vỡ
,
NE NJ
uuur uuur
cựng chiu )
Suy ra phng trỡnh cnh AD :
9
1 0
2
x OK
+ = => =
. Vỡ KA = KO = KD nờn

K,O,D thuc ng trũn tõm K ng kớnh OK
ng trũn tõm K bỏn kớnh OK cú phng trỡnh :
( )
2
2
3 81
1
2 4
x y
ổ ử
+ + - =
ỗ ữ
ố ứ

0,25


Vy ta im A v D l nghim ca h :
( )
2
2
1
3 81
6
1
2 4
1
1 0
3
x

y
x y
x
x
y
ộ = -
ỡ
ỡ
ớ
ờ
ổ ử
=
+ + - =
ù ợ
ờ
ỗ ữ

ớ
ố ứ
ờ
= -
ỡ
ù
ờ
+ =
ớ
ợ
= -
ờ
ợ

ở

Suy ra
( 1;6); ( 1; 3) (8; 3); (8;6)
A D C B
- - - => -
. Trng hp
( 1;6); ( 1; 3)
D A
- - -

loi do M thuc CD .


0,25
GV Nguyn Khc Hng - THPT Qu Vừ s 2 -
9


1,0
( )
2 2
3 3
( ) (1 )(1 ) ( ) (1 )(1 ) (1)
x y
x y x y xy x y x y x y
y x
æ ö
÷
ç

÷
+ + = - - Û + + = - -
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

Ta có :
2 2
( ) 4
x y
x y xy
y x
æ ö
÷
ç
÷
+ + ³
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
và
(1 )(1 ) 1 ( ) 1 2x y x y xy xy xy- - = - + + £ - +

1
1 2 4 0
9
xy xy xy xy=> - + ³ Û < £





0.25
Dễ chứng minh :
( )
2 2
1 1 1
; ; (0;1)
1
1 1
x y
xy
x y
+ £ Î
+
+ +

2 2
2 2
1 1 1 1 2 2
2 2
1

1 1
1
1 1
xy
x y
xy
x y
æ ö
æ ö
+ £ + £ =
ç ÷
ç ÷
+
+ +
+
è ø
+ +
è ø


0.
2
5
2 2 2
3 ( ) ( )
xy x y xy x y xy
- + = - - £

2 2 1
, ,0

9
1 1
P xy t t xy t
xy t
æ ö
=> £ + = + = < £
ç ÷
+ +
è ø


0.25




Xét hàm số
2 1 1 6 10 1 1
( ) , 0 max ( ) ( ) , 0;
9 9 10 9 9
1
f t t t f t f t
t
æ ö æ ù
= + < £ => => = = + Î
ç ÷ ç
ú
+
è ø è û

0.25




__________HẾT__________
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -