ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn TOÁN - LẦN 2

SỞ GD&ĐT BẮC NINH

TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 2
ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Môn: TOÁN - LẦN 2

ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y =
x1
x3
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị (C) bằng 4.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình:
2(cos sin2 ) 1 4sin (1 cos2 )x x x x

b) Giải phương trình:.
1
5 1 5 1 2
xx
x

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
2
1
1 ln
e

xx
I dx
x

Câu 4 (1,0 điểm).
a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết:
2 3 2z z i

b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn
ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB)
vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích khối chóp
S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.
Câu 6 (1,0 điểm). Viết phương trình đường thẳng đi qua
3; 2; 4A
, song song với mặt phẳng
:3 2 3 7 0P x y z
và cắt đường thẳng
2 4 1
:
3 2 2
x y z
d
.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên
cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-
y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé
hơn 2.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

2 2 2 2
24
2 6 5 2 2 13 2( )
( 2 ) 2 4 . 8 . 2 2
x xy y x xy y x y
x y x y y y y x
.


Câu 9 (1,0 điểm). Cho
,,abc
là các số thực dương và
3abc
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3
2
3 1 1 1
abc
P
ab bc ca a b c


Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:…… …………………….; Số báo danh:…………………
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 2 KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015

Câu
Nội dung
Điểm
1a
Cho hàm số y =
x1
x3
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
1,00
Tập xác định: D=R\{3}
Sự biến thiên:
2
4
' 0, .
3
y x D
x

- Hàm số nghịch biến trên các khoảng
;3
và
3;
.
0,25
- Giới hạn và tiệm cận:
lim lim 1;
xx
yy

tiệm cận ngang:
1y
.

33
lim ; lim ;
xx
yy
tiệm cận đứng:
3x
.
0,25
-Bảng biến thiên:
x
3
y’
-
-
y
1


0,25
Đồ thị:

0,25
1b

Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ
thị (C) bằng 4.
1,00
Gọi
3
1
;
0
0
0
x
x
xM
, (x
0
≠3) là điểm cần tìm, ta có:
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: y =1 là
0
4
d
x3
.
0,5
0
0
00

x2
4
4 x 3 1
x 3 x 4

025
Với
0
2x
; ta có
M 2; 3
. Với
0
4x
; ta có
M 4;5

Vậy điểm M cần tìm là
M 2; 3
và
M 4;5
.
0,25
2a

a) Giải phương trình:
2(cos sin2 ) 1 4sin (1 cos2 )x x x x

0,5
Phương trình đã cho tương đương với:

2cos 2sin2 1 4sin2 .cosx x x x

(1 2cos )(2sin2 1) 0xx


0,25





1
5
-5
y
x
O
3
1
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
2
13
cos
2
1
12
sin 2
5
2
12

xk
x
xk
x
xk
(
kZ
)
Vậy pt có nghiệm là:
2
3
xk
;
12
xk
;
5
12
xk
(
kZ
)

0,25


2b
a) Giải phương trình:.
1
5 1 5 1 2

xx
x

0,5

5 1 5 1
2
22
xx
PT

Đặt
51
( 0)
2
x
tt
ta có phương trình:
1
21tt
t





0,25

Với t=1
51

10
2
x
x

Vậy phương trình có nghiệm x=0



0,25
3

Tính tích phân
2
1
1 ln
e
xx
I dx
x

1
2
1 1 1
1 ln 1
ln
e e e
xx
I dx dx x xdx
xx

1
1
ln 1
1
e
e
A dx x
x

2
1
1
ln
ln
2
e
du dx
ux
x
B x xdx Dat
dv xdx
x
v

2 2 2 2
1
1
.ln .ln
1 1 1

2 2 2 4 4 4
e
e e e
x x x x e
B x dx x

2
5
44
e
I

0,25


0,25






0,25


0,25
Câu
4a

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết:

2 3 2z z i

0,25
Gọi
, ()z a bi a b R z a bi

Ta có : 3a + bi = 3-2i

0,25
Suy ra : a=1 và b = -2
Vậy phần thực là 1 và phần ảo là -2
0,25
4b
Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà
hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có
nữ và có đủ ba bộ môn.
0,5

Ta có :
4
16
1820C

Gọi A: “2nam toán ,1 lý nữ, 1 hóa nữ”
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
B: “1 nam toán , 2 lý nữ , 1 hóa nữ”
C: “1 nam toán , 1 lý nữ , 2 hóa nữ “
Thì H=
A B C

: “Có nữ và đủ ba bộ môn”

2 1 1 1 2 1 1 1 2
8 5 3 8 5 3 8 5 3
3
()
7
C C C C C C C C C
PH


0,25
5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB)
vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a.
1,00

Gọi H là trung điểm AB. Do SAB cân tại S,suy ra SH AB, mặt khác (SAB)
(ABCD)
nên SH (ABCD) và
0
60SCH
.

Ta có
.1560tan.60tan.
0220

aBHCBCHSH

0,25
.
3
154
4.15
3
1

3
1
32
.
aaaSSHV
ABCDABCDS

0,25
Qua A vẽ đường thẳng song song với BD. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H
lên và K là hình chiếu của H lên SE, khi đó (SHE) HK suy ra HK (S,
).



Mặt khác, do BD//(S, ) nên ta có
, , ,
, , 2 ( ,( . )) 2
d BD SA d BD S d
d B S d H S HK

0,25
Ta có
0
45DBAEAH
nên tam giác
EAH vuông cân tại E, suy ra
22
aAH
HE


2 2 2
2
. 15
. 15
2
.
31
15
2
a
a
HE HS
HK a
HE HS
a
a

Vậy
.

31
15
2, aSABDd

0,25

6

Viết phương trình đường thẳng đi qua
3; 2; 4A
, song song với mặt phẳng
:3 2 3 7 0P x y z
và cắt đường thẳng
2 4 1
:
3 2 2
x y z
d
.
1,00
Ta có
3; 2; 3
P
n

. Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; 1 + 2t) là giao điểm của và
d
.
0,25
Khi đó

1 3 ; 2 2 ;5 2AB t t t

,
|| . 0 2
PP
AB P AB n ABn t
   
.
0,25
Vậy
(8; 8;5)B
và
5; 6;9AB

.
0,25
Vậy phương trình đường thẳng
3 2 4
:
5 6 9
x y z
.
0,25


E
k
A
H
B

D
C
S
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
7

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên
cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C
thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết
hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2.
1,00

Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM thì I là trung
điểm AM.
Dễ thấy



0
2 90MIN sdMN MBN

Điểm C d: 2x-y-7=0. C(c;2c-7)
Họi H là trung điểm của MN =>H(11/2; 9/2)
Phương trình đường thẳng trung trực của MN
đi qua H và vuông góc với MN là d: x-5y+17=0
Điểm I => I(5a - 17;a)



0,25

22
(1; 5) 26
(22 5 ;7 ) 22 5 7
MN MN
IM a a IM a a



Vì MIN vuông cân tại I và
22
2
26 13 22 5 7 13
5
26 234 520 0
4
MN IM a a
a
aa
a

Với a=5 =>I(8;5) => A(11;9) (loại)
Với a=4 =>I(3;4) => A(1;1) (t/m)

0,25
Gọi E là tâm hình vuông nên
1 11
( ; 3) ;5
22
cc
E c EN c


Vì AC BD 
.0AC EN
 

2
11
( 1). 2 8 . 5 0
2
7( / )
5 48 91 0
13
()
5
c
c c c
c t m
cc
c loai

Suy ra: C(7;7) => E(4;4)
0,25
Pt BD: x+y−8=0, pt BC:x−7=0 ⇒B(7,1)⇒D(1,7)
0,25
8
Giải hệ phương trình
2 2 2 2
24
2 6 5 2 2 13 2( ) (1)
( 2 ) 2 4 . 8 . 2 2 (2)
x xy y x xy y x y
x y x y y y y x

1,00

Điều kiện:
2
0
0
x
y
xy

Xét y = 0, hệ vô nghiệm nên y khác 0 . Chia cả 2 vế của (1) cho y ta được:
0,25
E
H
N
I
B

A
C
D
M
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
22
2 6 5 2 2 13 2( 1)
Dat t= ( 1)
x x x x x
y y y y y
x
t
y


22
4 3 2
22
: 2 6 5 2 2 13 2( 1)
t 2 3 4 4 0
1( i)
1 2 0
2( / )
PT t t t t t
t t t
t loa
tt
t t m

0,25

Với t = 2 => x=2y, thế vào (2) ta được:

24
42
3
3
4 2 2 4 . 8 . 2 2 2
4 2 2 2 2 2 8 . 4 .
2 2 2
4 2 2 8 4
2 2 2
2 2 2 2 2 2. 2 (3)
y y y y y y y
y y y y y y y
yy
y y y
yy
y y y


Xét hàm số f(u)=u
3
+2u với u>0; có f’(u) = 3u
2
+2>0, mọi u>0 => hàm số đồng biến
Từ (3)
3
22
2 2 2 2 4 2 2 0 1f f y y y y y
yy

0,25
Hệ có nghiệm
duy nhất
(2;1) 0,25
9
Cho
,,abc
là các số thực dương và
3abc
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3
2
3 1 1 1
abc
P
ab bc ca a b c

1,00

Áp dụng Bất đẳng thức:
2
( ) 3( )x y z xy yz zx
,
,,x y z
ta có:
2
( ) 3 ( ) 9 0ab bc ca abc a b c abc

3ab bc ca abc

Ta có:
3
3
(1 )(1 )(1 ) (1 ) , , , 0a b c abc a b c
. Thật vậy:
23
33
3
1 1 1 1 ( ) ( ) 1 3 3 ( ) (1 )
a b c a b c ab bc ca abc abc abc abc abc

0,25
Khi đó:
3
3
2
3(1 ) 1
abc
PQ
abc abc
(1).
Đặt
6
abc t
; vì a, b, c > 0 nên
3
01
3
abc

abc

0,25
Xét hàm số
2
32
2
, 0;1
3(1 ) 1
t
Qt
tt

5
22
32
2 1 1
( ) 0, 0;1
11
t t t
Q t t
tt
.

Do đó hàm số đồng biến trên
0;1
1
1
6
Q Q t Q

(2). Từ (1) và (2):
1
6
P
.
0,25
Vậy maxP =
1
6
, đạt được khi và và chi khi :
1abc
.
0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -