ĐỀ THI THỬ LẦN 2 KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MÔN TOÁN lớp 12

SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG
ĐỀ THI THỬ LẦN 2 KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề).
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
4 2
2( 1) 2 (1)y x m x m     , với
m
là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với
1m 
.
b) Gọi A là điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ 1
A
x  . Xác định các giá trị của
m
để tiếp tuyến
với đồ thị hàm số tại A vuông góc với đường thẳng
1
2015
4
y x 
.
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình
2
3cos 2cos 2sin 2 4sin 5 0x x x x    

b) Giải bất phương trình
1 2

16 3.2 2 0
x x x
  

Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân
1
4
5
0
.
1
x
x
I x e dx
x
 



 






 


Câu 4 (1,0 điểm).

a) Một tổ có 15 học sinh trong đó có 9 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ
thành 3 nhóm sao cho mỗi nhóm có đúng 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ.
b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

2 1z i z i   
.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho hai đường thẳng chéo nhau
1
2 1
: ,
1 2 3
x y z
d
 
 


2
1 1
:
2 2 1
x y z
d
 
 

.
Viết ph

ương tr
ình m
ặt phẳng chứa
1
d và song song v
ới
2
d . Tính kho
ảng cách giữa hai
đư
ờng thẳng
1
d ,
2
d .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình lăng trụ ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình
chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt
ph
ẳng
đáy một góc

với
2
tan
5
 
. Tính theo
a
th

ể tích khối chóp A’.ICD và kho
ảng cách từ
điểm
B đến mặt phẳng (A’AC).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác đều
ABC
có
(4; 1)A 
, điểm
4 3
(4 ; 3)
3
M 
thu
ộc cung BC không ch
ứa
đi
ểm A của đư
ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
, bi
ết
4 3
3
MC 
và tọa độ điểm B là các số nguyên. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
 
2 2

2 2
2 30 5( 5 ) 5 50
,
2 51
x xy x y xy y
x y R
x y


   




 



Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2
4 4
3 3
ab a a b bc b b c
P
b a c b
   
 
 

Hết
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -
SỞ GD & ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT HỒNG QUANG


ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ LẦN 2 KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN: TOÁN (Đáp án – thang điểm gồm 05 trang)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1. (1,0 điểm) Khi m = 1, khảo sát
4 2
4 3
y x x
  


* Tập xác định:


* Sự biến thiên:
3
0
' 4 8 ; ' 0
2
x
y x x y
x



   

 



0,25
   
' 0 ; 2 0; 2
y x      ;
   
' 0 2;0 2;y x
     


Hàm số nghịch biến trên các khoảng
 
; 2
  và
 
0; 2

Hàm số đồng biến trên khoảng
 
2;0
 và
 
2;


Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại
C §
x 2 , y 1   

Hàm số đạt cực đại tại
CT
x 0 , y 3 

Giới hạn:
   
4 2 4 2
lim lim 4 3 ; lim lim 4 3 .
x x x x
y x x y x x
   
         





0,25
Bảng biến thiên:
x


2


0

2



y'
-
0
+
0



0
+
y

3



-1 -1





0,25

* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0; 3) ; cắt trục hoành tại các
điểm
( 3;0), ( 3;0), ( 1;0), (1;0)
 
. Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.








0,25
2. (1,0 điểm) Tìm m để tiếp tuyến tại A

Đạo hàm của hàm số (1)
3
' 4 4( 1)y x m x  

0,25
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A là
'(1) 4y m

0,25
Tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng
1
2015

4
y x 
khi và chỉ khi
1
'(1). 1
4
y




0,25
Câu 1

(2,0đ)
4 4 1
m m
     

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

0,25

Giải phương trình
2
3cos 2cos 2sin 2 4sin 5 0
x x x x
    

GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -

2
3cos 2cos 5 4sin (cosx-1)=0x x x   

(cos 1)(3cos 5) 4sin (cos 1) 0x x x x     

( os 1)(3cos 4sin +5)=0c x x x  


0,25
*
cos 1 2x x k

  

* 3cos 4sin 5
3 4 3 4
os s in = 1.§Æt: os ; sin
5 5 5 5
Pt trë thµnh: cos( + )= 1 + = + 2 = + 2
x x
c x x c
x x k x k
 
      
  
    
   

Vậy phương trình có các nghiệm là:
2x k

,
= - + 2 ( )x k k
  





0,25
Giải bất phương trình
1 2
16 3.2 2 0
x x x
  

1 2
2
2 2
16 3.2 2 0
1 1
4 3.4 . 2. 0 8 3.8 2 0
2 2
x x x
x x
x x x x

  

   
 
 
       
 
 
 
 
   




0,25

Câu 2
(1,0đ)
0
8 1
1
8 2
3
x
x
x
x



 



 








. Vậy tập nghiệm của bpt là
1
( ; 0) ( ; )
3
  
.

0,25
Tính tích phân:
1
4
5
0
.
1
x
x
x e dx
x

 










 



1 1 1
4 4
5 5
0 0 0
. .
1 1
x x
x x
I x e dx x e dx dx
x x
 



   






 
 
  

Tính
1
0
.
x
M x e dx

Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 
 
 

 
 
 
 
 

0,25
Áp dụng công thức tích phân từng phần:
1
1 1
0 0
0
1
x x x
M xe e dx e e    



0,25
1
1 1
4 5
5
5 5
0
0 0
1 ( 1) 1 1
ln 1 ln 2
1 5 1 5 5
x d x
N dx x
x x
 





    





 
 
 
.

0,25
Câu 3
(1,0đ)
Vậy,
1
1 ln 2
5
I M N   


0,25
a) Coi việc chia tổ gồm 2 bước:
Bước 1: Chọn 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ vào nhóm thứ nhất, có
3 2
9 6

.C C
cách
chọn.
Bước 2: Chọn trong các học sinh còn lại 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ vào nhóm
thứ hai, có
3 2
6 4
.C C
cách chọn.
Nhóm thứ 3 là các học sinh còn lại sau 2 bước chọn.



0,25
Theo qui tắc nhân, có tất cả
3 2 3 2
9 6 6 4
. . . 151200C C C C 
(cách)
0,25
b)Giả sử
2
( , , 1)z x yi x y R i    , điểm M(x; y) biểu diễn z.
theo bài ra ta có:
( 2) ( 1) ( 1)x y i x y i     



0,25
2 2 2 2

( 2) ( 1) ( 1)x y x y      


Câu 4
(1,0đ)
4 4 2 2 2
1 0
y x y
x y
    
   
suy ra M thuộc đường thẳng có pt
1 0x y  

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có pt:
1 0x y  


0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz
Vectơ chỉ phương của d
1
, d
2
lần lượt là:
1 2
(1; 2;3), (2;2; 1)u u 
 

mặt phẳng (P) chứa d
1
và song song với d
2
nên vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
là
1 2
( 4; 7; 6)
P
n u u   
  
.


0,25
Điểm A(2; 0; -1) thuộc d
1
, pt mp (P):
4( 2) 7 6( 1) 0
4 7 6 14 0
x y z
x y z
     
     

Vậy (P)
4 7 6 14 0x y z    
là mặt phẳng cần tìm.

0,25
Lấy điểm B(1; -1; 0 )thuộc đường thẳng d
2
, vì d
2
// (P) nên
1 2
( , ) ( ,( ))d d d d B P
0,25
Câu 5
(1,0đ)
1 2
4 7 14
3
( , ) ( ,( ))
101 101
d d d d B P
  
   .

0,25
Tính thể tích

Theo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABCD). Suy
ra

( ' ,( )) ( ' , ) 'A C ABCD A C CI A CI   

0,25

Xét tam giác vuông A’IC:

5 2
' .tan ' .tan .
2
5
a
A I IC A CI IC a   
Thể tích khối chóp A’.ICD :
2 3
'.
1 1
' . .
3 3 2 6
A ICD ICD
a a
V A I S a  

(đvtt).


0,25
Ta có
( ' )BI A AC A 
và I là trung điểm AB nên
( ,( ' )) 2 ( ,( ' ))d B A AC d I A AC

Trong mp (ABCD) kẻ //IK BD IK AC  , mà
A'I AC (do A'I (ABCD)) 

nên
( ' )AC A IK
, kẻ
' ( ' )IH A K IH A AC   ( ,( ' ))d I A AC IH 


0,25
Câu6
(1,0đ)
Tính IH
xét tam giác vuông A’IK có A’I = a,
2
4 4
BD a
IK  

2 2 2 2 2 2
1 1 1 8 1 9
' 3
a
IH
IH IK IA a a a
      

Suy ra
2
( ,( ' ))
3
a
d B A AC 

.



0,25
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác đều ABC…
Câu 7
(1,0đ)
Chứng minh: MA = MB + MC
Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho MB = MI (1),
vì


0
60BCA BMA 
nên tam giác MBI đều
=> BM = BI
và






0
60ABI IBC MBC IBC ABI MBC     

lại có BA = BC suy ra
( . . )BIA BMC c g c 
.

=> MC=AI (2)
Từ (1) và (2) suy ra MB + MC = MI + AI =MA







0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -





Tính
8 3
2
3
MA MA MC MB MC MB MC
      
lại có AB = AC
=> MA là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên MA là một đường kính của
đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Hai cạnh AB và AC nằm trên các đường
thẳng qua A và tạo với AM một góc 30
0
.
Pt AB, AC có dạng


: a(x – 4) +b(y + 1) = 0.
2 2
( 0)
a b
 


4 3 3
; 4 1;
3 3
AM
AM n
   

 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
   
 
là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng AM.
gọi

là góc tạo bởi AB, AC với AM ta có

0
30 
,

2 2
3
.1 .
3
3
cos
2
1
. 1
3
a b
a b


 
 
2
0, 1
3
3, 1
b a
b ab
b a

 


  

 


=>
: 4 0
x
 
hoặc
' : 3 4 3 0
x y
   










0,25
Vì AM là một đường kính nên góc


0
90
MBA MCA 

, pt các đường thẳng MB, MC
qua M và vuông góc với

và
'
lần lượt là y – 3 = 0 và
3 7 4 3 0
x y
   
.

0,25


Tọa độ B, C là nghiệm của các hệ phương trình
4 0 4
y - 3 = 0 3
x x
y
 
  
 
 

 
 

 
 
;

3 4 3 0
4 2 3
1
3 7 4 3 0
x y
x
y
x y




   
 



 
 

   
 



Vì tọa độ B là các số nguyên nên B(4; 3) và
(4 2 3; 1)
C

.

0,25
Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 30 5( 5 ) 5 50
2 51
x xy x y xy y
x y


   



 


(
,
x y R
)

Điều kiện:
0
xy


2 2

2 2
2 2
2 2
2 30 50 5( 5 ) 5 (1)
2 51 (2)
2( 10 25 ) 10 5( 5 ) 5
2 51
x xy y x y xy
x y
x xy y xy x y xy
x y


   



 




    




 



0,25
Câu8
(1,0đ)















0
xy

không thỏa mãn, từ pt (1) suy ra
5 0
x y
 
lại có xy > 0 nên x > 0, y > 0

Hpt
2 2
5
5 5
(1)
5 2
5
2 51 (2)
xy
x y
x y
xy
x y




 








 



0,25
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -

Đặt
5
2
5
x y
t
xy

 
, (vì theo BĐT Côsi
5 2 5x y xy 
)
Pt (1) trở thành
1 5
2 5 2 5
2
t t x y xy
t
      
suy ra
5x y


0,25

Thế x = 5y vào (2) được x = 5 ; y = 1.
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (x ; y) = (5 ; 1)
0,25
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2
4 4
3 3
ab a a b bc b b c
P
b a c b
   
 
 


Đặt
4 2 2 4 2 2
2 2 2 2
4 4
;
3 3
ab a a b bc b b c
A B
b a c b
   
 

 

Xét biểu thức
2
4 2 2
2
2 2
1 4
4
3
3 1
b b
a a
ab a a b
A
b a
b
a
 


 




 
 
 


 







 





0,25
Đặt
0
b
t
a
 
=>
2
2
1 4
3 1
t t
A
t
 



=
2
2 2 2
3 1 1
(3 1)( 1 4 ) 1 4
t
t t t t t


    
,
xét hàm số:
2
( ) 1 4 ( 0)f t t t t   


0,25
2
4 1
'( ) 1, '( ) 0
2 3
1 4
t
f t f t t
t
    

.

Bảng biến thiên:







0,25
Câu 9
(1,0đ)
T
ừ bảng biến thiên suy ra
(0; )
3
min ( )
2
f t


đạt tại
1
2 3
t



2
max
3

A
 
đ
ạt
được khi
2 3a b

.
Tương tự:
2
max
3
B  đạt được khi
2 3b c

Suy ra
4
max
3
P 
khi
1
2 3 , 2 3
2 3, 1,
2 3
1
a b b c
a b c
abc



 

   











0,25
HẾT
GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 -