Tuyển chọn 15 đề thi vào lớp 10

1
ĐỀ SỐ 1
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, thành phố Đà Nẵng
Năm học: 2012 – 2013 Thời gian: 120 phút

Bài 1(2,0 điểm).
1) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2) = 0.
2) Giải hệ phương trình:
{
2x y 1
x 2y 7
+ = −
− =
.
Bài 2 (1,0 điểm).
Rút gọn biểu thức
( 10 2) 3 5
A = − +
.
Bài 3 (1,5 điểm).
Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên là một parabol y =
ax
2
.
1) Tìm hệ số a.
2) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng y = x + 4 với
parabol. Tìm tọa độ của các điểm M và N.
Bài 4 (2,0 điểm).
Cho phương trình x
2
– 2x – 3m

2
= 0, với m là tham số.
1) Giải phương trình khi m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
khác 0 và thỏa điều kiện
1 2
2 1
x x
8
x x 3
− =
.
Bài 5 (3,5 điểm).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈
(O), C∈(O’). Đường thẳng BO cắt (O) tại điểm thứ hai là D.
1) Chứng minh rằng tứ giác CO’OB là một hình thang vuông.
2) Chứng minh rằng ba điểm A, C, D thẳng hàng.
3) Từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn (O’) (E là tiếp điểm).
Chứng minh rằng DB = DE.


0

2

2

y=ax
2

y

x

2
ĐỀ SỐ 2
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Phú Thọ
Năm học: 2013 – 2014 Thời gian: 120 phút
Bài 1 (2,0 điểm). a) Tính:
2 16 49
A = −
.
b) Trong các hình sau đây: Hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thang cân,
hình nào có hai đường chéo bằng nhau ?
Bài 2 (2,0 điểm) .
a) Giải phương trình:
2
2x 7x 3 0
− + =
.
b) Giải hệ phương trình:
x 3y 4
x y 2
+ =


+ =


.
Bài 3 (2,0 điểm) .
a) Rút gọn biểu thức:
a+ a a a
B = 1+ 1
a +1 a 1
  
−
−
  
−
  
với
a 0; a 1
≥ ≠
.
b) Cho phương trình: x
2
+ 2(m + 1)x + m
2
= 0 .
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng –2.
Bài 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi I là trung điểm OA, qua I kẻ dây MN
vuông góc với OA. C thuộc cung nhỏ MB (C khác B, M), AC cắt MN tại D.
a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp.
b) Chứng minh AD.AC = R
2.

c) Khi C chạy trên cung nhỏ MB chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CMD luôn thuộc đường thẳng cố định.
Bài 5 (1,0 điểm).
Cho x, y là 2 số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x + y
P
x(2x + y)+ y(2y + x)
=
.

3
ĐỀ SỐ 3
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Thanh Hoá
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1 (2,0 điểm).
1) Giải các phương trình:
a) x – 2 = 0; b) x
2
– 6x + 5 = 0.
2) Giải hệ phương trình:
3x 2y = 4
x + 2y = 4
−



.
Bài 2 (2,0 điểm). Cho biểu thức:

2
x 1 1 1
A = :
x x
x x +1
−
 
−
 
−
 
với
x > 0; x 1
≠

1) Rút gọn A.
2) Tính giá trị của biểu thức A khi
x = 4 + 2 3
.
Bài 3 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d):
y = mx 3
−
tham số m
và Parabol (P):
2
y = x
.
1) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 0).
2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt
là x

1
, x
2
thỏa mãn
1 2
x x = 2.
−

Bài 4 (3,0 điểm).
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm
của OA; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt đường tròn đó tại hai điểm phân
biệt M và N. Trên cung nhỏ BM lấy điểm K ( K khác B và M), trên tia KN lấy điểm I sao
cho KI = KM. Gọi H là giao điểm của AK và MN. Chứng minh rằng:
1) Tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
2) AK.AH = R
2
.
3) NI = BK.
Bài 5 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1 1 1
Q = + +
x + y +1 y + z +1 z + x +1
.
4

ĐỀ SỐ 4
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Hải Dương
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút

Bài 1 (2,0 điểm).
a) Giải các phương trình:
(
)
x x + 2 3
=
.
b) Giải hệ phương trình:
y 2x 1
x 3y 11
= −


+ =

.
Bài 2 (2,0 điểm).
a) Rút gọn biểu thức:
y 3 xy
x 2 x
P
y x
x y x y
−
= − −
−
− +
, với
x 0;y 0
≥ ≥

và
x y
≠
.
b) Một sân trường hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 16 mét. Hai lần chiều dài
kém năm lần chiều rộng 28 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của sân trường.
Bài 3 (2,0 điểm).
a) Cho đường thẳng
1
y (2m 3)x
2
= − −
(d).
Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua điểm
1 2
A ;
2 3
 
−
 
 
.
b) Tìm m để phương trình
2
x 2x 2m + 1 0
− − =
có hai nghiệm phân biệt
1 2
x ; x
thỏa mãn

điều kiện:
2 2 2 2
2 1 1 2
x (x 1) + x (x 1) 8
− − =
.
Bài 4 (3,0 điểm).
Qua điểm C nằm ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D là tiếp
điểm). Đường thẳng CO cắt đường tròn tại hai điểm A và B (A nằm giữa C và B). Kẻ dây
DE vuông góc với AB tại điểm H.
a) Chứng minh tam giác CED là tam giác cân.
b) Chứng minh tứ giác OECD là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh hệ thức AC.BH = AH.BC.
Bài 5 (1,0 điểm).
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện

1 3 c + 1
+
a + 2 b + 4 c + 3
≤ .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Q (a + 1)(b + 1)(c + 1)
=
.
5

ĐỀ SỐ 5
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Tây Ninh
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1 (1điểm). Thực hiện các phép tính

a)
(
)
(
)
A 2 5 2 5
= − +
; b)
(
)
B = 2 50 3 2
−
.
Bài 2 (1 điểm). Giải phương trình:
2
2x x 15 0
+ − =
.
Bài 3 (1 điểm). Giải hệ phương trình:
2
y 3
x
1
2y 4
x

+ =





− =


.
Bài 4 (1 điểm). Tìm a và b để đường thẳng d:
(
)
y a 2 x b
= − +
có hệ số góc bằng 4 và đi
qua điểm
(
)
M 1;
− 3
.
Bài 5 (1 điểm). Vẽ đồ thị của hàm số
2
2x
y
= −
.
Bài 6 (1 điểm) Lớp 9A dự định trồng 420 cây xanh. Đến ngày thực hiện có 7 bạn không
tham gia do được triệu tập học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường nên
mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 3 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao
nhiêu học sinh ?
Bài 7 (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình
(
)

2
x 2 m +1 x m 4 0
− + − =
luôn có hai nghiệm phân biệt
1
x
,
2
x
và biểu thức
(
)
(
)
1 2 2 1
M x 1 x x 1 x
= − + −
không phụ thuộc vào m.
Bài 8 (1 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H thuộc BC), biết

0
ACB 60
=
, CH = a. Tính AB và AC theo a.
Bài 9 (1 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, CD là đường kính thay đổi của
đường tròn (O) (khác AB). Tiếp tuyến tại B của (O) cắt AC và AD lần lượt tại N và M.
Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp.
Bài 10 (1 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tếp đường tròn tâm O, bán kính bằng a. Biết AC
vuông góc với BD. Tính
2 2

AB CD
+
theo a.
6

ĐỀ SỐ 6
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Ninh Thuận
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình bậc hai: x
2
– 2x – 2 = 0.
b) Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
3x y 2
2(x y) 5x 2
+ =


− − =

.
Bài 2 (2,0 điểm). Cho hàm số: y = 2x – 5 có đồ thị là đường thẳng (d)
a) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của (d) với các trục tọa độ Ox, Oy. Tính tọa độ các điểm
A, B và vẽ đường thẳng (d) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
b) Tính diện tích của tam giác AOB.
Bài 3 (2,0 điểm).
Cho biểu thức: P =
3 3
2 2 2 2
x + y x + y

.
x xy + y x y
− −
, x
≠
y
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi: x =
7 4 3
−
và y =
4 2 3
−
.
Bài 4 (4,0 điểm).
Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = a nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R (0
< a < 2R).
a) Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD theo a và R.
b) Xác định giá trị của a theo R để hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất.
c) Một đường thẳng d đi qua O cắt các cạnh AB, CD lần lượt tại M, N và cắt các cạnh AD, BC
kéo dài lần lượt tại P, Q. Chứng minh rằng
∆APM = ∆CQN.

7
ĐỀ SỐ 7
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh ĐăcLăk
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1 (1,5 điểm).
1) Giải phương trình: x
2

– 3x + 2 = 0
2) Cho hệ phương trình:
2x ay = 5b 1
bx 4y 5
− −


− =

.
Tìm a, b biết hệ có nghiệm
x 1
y 2
=


=

.
Bài 2 (2 điểm)
Cho phương trình: x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 3m + 2 = 0 (1) (m là tham số).
1) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2

thỏa mãn:
2 2
1 2
x x
+
= 12.
Bài 3 ( 2 điểm).
1) Rút gọn biểu thức
2 3 2 3
7 4 3 7 4 3
A
+ −
= −
− +
.
2) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0;1) và song song với đường thẳng
d: x + y = 10.
Bài 4 ( 3,5 điểm). Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, lấy điểm M tùy ý thuộc đoạn
HC (M không trùng với H, C). Hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh AB, AC lần lượt
là P và Q.
1) Chứng minh rằng APMQ là tứ giác nội tiếp và xác định tâm O của
đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.
2) Chứng minh rằng: BP.BA = BH.BM.
3) Chứng minh rằng: OH
⊥
PQ.
4) Chứng minh rằng khi M thay đổi trên HC thì MP+MQ không đổi.
Bài 5 (1 điểm). Với x > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1 4 x 3
4x 2016

4x x 1
A
+
= + − +
+
.

8
ĐỀ SỐ 8
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Cà Mau
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1 (1,5 điểm).
a) Giải phương trình: 6x
2
– 5x – 6 = 0.
b) Tìm tham số m để phương trình:
x
2
+ 2(m +1)x + 2m
2
+2m + 1 = 0 vô nghiệm.
Bài 2 (1,5 điểm).
a) Tính giá trị của biểu thức A =
+
− +
1 1
6 2 6 2
.
b) Rút gọn biểu thức B =
1 2 2 1 2

x x x
− − − + + −
với
≤ <
2 x 3
.
Bài 3 (2,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
2
8x y 6
x y 6
− =


− = −

.
b) Vẽ đồ thị của 2 hàm số: y = x
2
và y = 5x – 6 trên cùng hệ trục tọa độ Oxy và tìm tọa độ
giao điểm của hai đồ thị trên.
Bài 4 (2,0 điểm).
Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng
cùng tăng thêm 5 cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153 cm
2
.
Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu.
Bài 5 (3,0 điểm).
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O). Các đường cao BF, CK của
tam giác ABC lần lượt cắt (O) tại D, E.

a) Chứng minh: Tứ giác BCFK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh: DE // FK.
c) Gọi P,Q lần lượt là điểm đối xứng với B,C qua O. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam
giác AFK có bán kính không đổi khi A thay đổi trên cung nhỏ

PQ
(không trùng với các
điểm P,Q).

9
ĐỀ SỐ 9
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình: x
2
+ 8x + 7 = 0.
b) Giải hệ phương trình:
3x + y = 5
2x + y = 4



.
c) Tính giá trị của biểu thức :
2
6
(2 3) 75
2 3
M = + − −

−
.
d) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thoả mãn 4x
2
= 3 + y
2
.
Bài 2 (2,0 điểm).
Cho parabol (P):
2
y = 2x
và đường thẳng (D): y = x – m + 1 (với m là tham số).
a) Vẽ Parabol (P).
b) Tìm tất cả các giá trị của m để (P) và (D) có đúng một điểm chung.
c) Tìm tọa độ các điểm thuộc (P) có hoành độ bằng hai lần tung độ.
Bài 3 (1 điểm).
Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trương Sa” một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng
ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự
định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mỗi tàu chở ít hơn dự định 2 tấn hàng.
Hỏi khi dự định, đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau?
Bài 4 (3,5 điểm).
Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến AB, AC với (O)
( B,C là các tiếp điểm). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC( M khác B và C).
Đường thẳng AM cắt (O) tại điểm thứ 2 là N. Gọi E là trung điểm của MN.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, E cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường
tròn đó.
b) Chứng minh:


2BNC + BAC 180

o
=

c) Chứng minh: AC
2


= AM.AN và MN
2
= 4(AE
2
– AC
2
).
d) Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC. Xác định vị trí của M sao cho
tích MI.MJ đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5 (0,5 điểm). Cho hai số dương x, y thỏa xy = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
3 9 26
x y 3x y
+ −
+
.

10

ĐỀ SỐ 10
Đề thi sinh vào lớp 10 THPT chuyên, ĐH Sư phạm Hà Nội
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
(Dành cho tất cả thí sinh)

Câu 1 (2 điểm). Cho các số thực dương a, b; a
≠
b.
Chứng minh rằng:
3
3
(a b)
b b + 2a a
3a + 3 ab
( a + b)
+ 0
b a
a a b b
−
−
=
−
−
.
Câu 2 (2 điểm). Quãng đường AB dài 120 km. Lúc 7h sáng một xe máy đi từ A đến B. Đi
được
4
3
xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc
đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy
trên
4
3
quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên
4

1
quãng đường sau cũng
không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ ?
Câu 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P):
y = x
2
và đường thẳng (d):
2 1
y (m 1)x
3 3
= − + +
(m là tham số )
1. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt .


2. Gọi
1 2
x ,x
là hoành độ giao điểm (P) và (d), đặt
3 2
f(x) x + (m + 1)x x
= −

Chứng minh rằng:
3
1 2 1 2
1
f(x ) f(x )= (x x )
2
− − −

.

Câu 4 (3 điểm). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) đường kính AC. Gọi AC cắt
BD tại E, gọi K, M là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống BD (biết K thuộc đoạn
BE,
K B; K E
≠ ≠
). Đường thẳng đi qua K song song với BC cắt AC tại P.

1) Chứng minh tứ giác AKPD nội tiếp.
2) Chứng minh KP
⊥
PM.
3) Biết

0
ABD 60
=
và AK = x. Tính BD theo R và x.
Câu 5 (1 điểm). Giải phương trình:
2
3
x(x 56) 21x 22
4
4 7x x 2
− +
− =
− +
.

11
ĐỀ SỐ 11
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Amsterdam và Chu Văn An
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1 (2,0 điểm).
1) Giải phương trình:
3
x(5x + 2) 2( 2x + 1 1) 0
− − =
.
2) Giải hệ phương trình
2
2 2 2
x (4y + 1) 2y = 3
.
x (x 12y) + 4y 9

− −


− =



Bài 2 (2,5 điểm).
1) Chứng minh nếu n là số nguyên dương thì:

n n n n n
25 + 7 4 (3 + 5 )
−

chia hết cho 65.
2) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn:

2 2
x y + xy 2x 3x 4 0
− − + =

3) Tìm các số tự nhiên (a
1
; a
2
; a
3
; …; a
2014
) thỏa mãn.
2
1 2 3 2014 2014
2 2 2 2 3
1 2 3 2014 2014
a + a + a + + a a
.
a + a + a + + a a 1

≥


≤ +



Bài 3 (1,5 điểm). Với ba số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1, tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức:
Q =
x y z
+
x + x + yz y + y + zx z + z + xy
+

Bài 4 (3,0 điểm).
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trung điểm của BC. M là điểm bất
kỳ thuộc đoạn thẳng BH (M khác B). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN =
BM. Gọi I là trung điểm của MN.
1) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi P là giao điểm của OI và AB. Chứng minh tam giác MNP
là tam giác đều.
3) Xác định vị trí của điểm M để tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
Bài 5 (1,0 điểm). Cho bảng ô vuông kích thước
3 n
×
(3 hàng, n cột, n là số tự nhiên lớn
hơn 1) được tạo bởi các ô vuông nhỏ có kích thước
1 1
×
. Mỗi ô vuông nhỏ được tô bởi
một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Tìm số n bé nhất để mọi cách tô màu như thế luôn tìm
được hình chữ nhật tạo bởi các ô vuông nhỏ sao cho 4 ô vuông nhỏ ở 4 góc của hình chữ
nhật đó cùng màu.

12

ĐỀ SỐ 12
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Chuyên ĐH Khoa học Tự nhiên
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Câu 1.
1) Giả sử x; y là những số thực dương phân biệt thỏa mãn:

2 4 8
2 2 4 4 8 8
y 2y 4y 8y
4
x y x y x y x y
+ + + =
+ + + −
.
Chứng minh rằng:
5y 4x
=
.
2) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2x 3y xy 12
6x x y 12 6y y x

− + =


+ = + +



.
Câu 2.
1) Cho x; y là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho:

2 2
4x y 7x + 7y
−
là số chính phương. Chứng minh rằng x = y.
2) Giả sử x; y là những số thực không âm thỏa mãn:

3 3 2 2
x y xy x y
+ + = +
.
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức:

1 x 2 x
P
2 y 1 y
+ +
= +
+ +
.
Câu 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm P nằm trong tam giác thỏa
mãn PB = PC. D là điểm thuộc cạnh BC ( D khác B và D khác C) sao cho P nằm trong
đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DAC. Đường
thẳng PB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB tại E khác B. Đường thẳng PC cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác DAC tại F khác C.
1) Chứng minh bốn điểm A, E, P, F cùng nằm trên một đường tròn 2) Giả sử đường thẳng

AD cắt đường tròn (O) tại Q khác A, đường thẳng AF cắt đường thẳng QC tại L. Chứng
minh tam giác ABE đồng dạng với tam giác CLF.
3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và đường thẳng QB chứng minh:




QKL PAB QLK PAC
+ = +
.
Câu 4. Cho tập hợp A gồm 31 phần tử và dãy gồm m tập con của A thỏa mãn đồng thời
các điều kiện:
1) Mỗi tập thuộc dãy có ít nhất 2 phần tử.
2) Nếu hai tập thuộc dãy có chung ít nhất 2 phần tử thì số phần tử của hai tập này khác
nhau. Chứng minh rằng m
900
≤
.

13
ĐỀ SỐ 13
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương
Tỉnh Phú Thọ
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 150 phút
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức:

x x 6 x 7 x 19 x 5 x
A ; x 0; x 9
x 9
x x 12 x 4 x

+ − − + −
= + − > ≠
−
+ − +
.
Câu 2 (2,0 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1; 3), parabol (P): y = x
2
và đường thẳng (d): y =
ax + 3 – a
a) Chứng minh rằng (P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt.
b) Giả sử B,C là giao điểm của (P) và (d). Tìm a biết AB = 2AC.
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho hệ phương trình
3 2 2 2 2
2 2014
x y 2x y x y + 2xy + 3x 3 = 0
y + x = y + 3m

− − −




.
a) Giải hệ với m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để hệ có hai nghiệm phân biệt
(
)
1 1

x ; y
và
(
)
2 2
x ; y
thỏa mãn điều
kiện
(
)
(
)
1 2 2 1
x + y x + y + 3 = 0
.
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho hai đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy điểm M (M
khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ 2 MC với đường tròn (O) ( C là tiếp điểm). Kẻ CH vuông
góc với AB (H thuộc AB), MB cắt (O) tại điểm thứ hai là E và cắt CH tại N. Gọi D là điểm
đối xứng của C qua tâm O, đường thẳng MD cắt AC tại I.
a) Chứng minh rằng


CAE = OMB
.
b) Chứng minh N là trung điểm của đoạn thẳng CH.
c) Giả sử OM = 2R, gọi
1
R
và

2
R
lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
MCI và ADI.
Chứng minh rằng
1 2
R 3R
=
.
Câu 5 (1 điểm). Cho a, b, c dương thỏa mãn 6a + 3b + 2c = abc.
Tìm giá trị lớn nhất của
2 2 2
1 2 3
B
a 1 b 4 c 9
= + +
+ + +
.


14
ĐỀ SỐ 14
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên THPT, tỉnh Bắc Ninh
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 120 phút
Bài 1 ( 1, 5 điểm).
Cho phương trình
2
x + 2mx 2m 6 0
− − =
(1), với ẩn x, tham số m.

1) Giải phương trình (1) khi m = 1
2) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
sao cho
2 2
1 2
x + x
nhỏ nhất.
Bài 2 ( 1,5 điểm). Trong cùng một hệ toạ độ, gọi (P ) là đồ thị của hàm số y = x
2
và (d) là
đồ thị của hàm số y = – x + 2.
1) Vẽ các đồ thị (P) và (d). Từ đó xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị.
2) Tìm a và b để đồ thị
∆
của hàm số y = ax + b song song với (d) và cắt (P) tại điểm có
hoành độ bằng –1.
Bài 3 (2,0 điểm).
1) Một người đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B, quãng đường AB dài 24 km. Khi đi từ B
trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời
gian đi 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B .
2 ) Giải phương trình:
(
)
x 1 x x 1 x 1
+ − + − =
.
Bài 4(3,0 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và ba đường cao AA’, BB’, CC’ cắt

nhau tại H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt
đường thẳng AH tại M.
1) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, D, M cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng BM = CD và


BAM = OAC
.
3) Gọi K là trung điểm của BC, đường thẳng AK cắt OH tại G. Chứng minh rằng G là
trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 5 ( 2, 0 điểm).
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a
2
+ ab + b
2
– 3a – 3b + 2014.
2) Có 6 thành phố trong đó cứ 3 thành phố bất kỳ thì có ít nhất 2 thành phố liên lạc được
với nhau. Chứng minh rằng trong 6 thành phố nói trên tồn tại 3 thành phố liên lạc được
với nhau.

15
ĐỀ SỐ 15
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên, tỉnh Tây Ninh
Năm học: 2014 – 2015 Thời gian: 150 phút
Bài 1 (1 điểm). Cho biểu thức A =
1 1 2 x
4 x
2 x 2 x
+ −
−

+ −
(x
≥
0; x
≠
4)
Rút gọn A và tìm x để A =
1
3
.
Bài 2 (1 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
4 2 3
−
–
2
x 2 3x 3
− +
= 0.
Bài 3 (1 điểm). Tìm nghiệm nguyên a để hệ phương trình:
2x 3y = 2 a
x + 2y = 3a + 1
− −




Có nghiệm (x; y) sao cho T =
y
x
là số nguyên.

Bài 4 (1 điểm). Định m để phương trình x
2
– 2(m + 1)x + m
2
+ 1 = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
sao
cho T = x
1
(x
1
– x
2
) + x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5 (1 điểm). Giải phương trình: 2
(
)
( )
2
1 x x 1 x x 1
+ + + = +
.

Bài 6 (1 điểm). Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x
2

+ 2y
2
– 2xy
+ 10x – 16y + 2048.
Bài 7 (1 điểm). Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn CD

= 10cm, đáy nhỏ AB bằng
đường cao AH (H thuộc CD), đường chéo vuông góc với cạnh bên. Tính độ dài
đường cao của hình thang đó.
Bài 8 (1 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính AB, một đường thẳng d vuông góc với
AB tại I (I nằm trong đoạn AB). Lấy M là một điểm thuộc đường tròn (O), AM, BM cắt d
lần lượt tại hai điểm C và D. Gọi E là điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh tứ giác
ACDE nội tiếp.
Bài 9 (1 điểm). Từ điểm C nằm ngoài đường tròn tâm ( O), vẽ hai tiếp tuyến CA, CB của
(O) trong đó A, B là các tiếp điểm. Đường tròn (I) tâm I đi qua C, tiếp xúc với AB tại B và
cắt (O) tại M khác B. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua trung điểm của BC.
Bài 10 (1 điểm). Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện:
xy yz zx 1
+ + =
. Chứng minh rằng
2 2 2
x y z 1
+ + .
x + y y + z z + x 2
≥