Đề thi học sinh giỏi lớp 12 THPT tỉnh Bạc Liêu môn Toán bảng A (Năm học 2011 - 2012) - Ngày thi thứ nhất

Họ và tên thí sinh:…………………… ………… Chữ ký giám thị 1:
Số báo danh:…………………………… ……… …………….………………
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)


* Ngày thi: 05/11/2011
* Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ

Bài 1: (5 điểm)
Cho các số dương
,,abc thỏa mãn
222
3abc
+
+=. Chứng minh rằng:

22 22 22
a b c ab bc ca++= + + .

Bài 2: (5 điểm)
Cho dãy số
()
n
v
thỏa

1
2
3
v
=
−
,
2
4
5
v
=
−
,
v
n+1
.v
n
+ 2v
n+2
.v
n+1
− 3v
n+2
.v
n
= v
n+2
−
3v

n+ 1
+ 2v
n
, 1
n
v
≠
− ; (1)n ≥
Tìm v
n
.

Bài 3: (5 điểm)

Cho tập hợp
{
}
1;2;3; ;2011M = . Hỏi trong tập hợp M có bao nhiêu phần tử
chia hết cho ít nhất một trong ba số 2, 5 và 11?


Bài 4: (5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm xác định bởi:
,,.
A
IABAFACAKAD
αβγ
== =
JJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
Chứng minh điều kiện cần và đủ để I, F, K thẳng

hàng là:
111
β
αγ
=+ (biết rằng 0, 0, 0
α
βγ
≠
≠≠).

HẾT
(Gồm 01 trang)
CHÍNH THỨC
1 Bảng A-Ngày 1
SỞ GDĐT BẠC LIÊU KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 VÒNG TỈNH
NĂM HỌC 2011 - 2012

* Môn thi: TOÁN (BẢNG A)


* Ngày thi: 05/11/2011

* Thời gian: 180 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài 1: (5 điểm)
Ta có a + b + c
≥
a

2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2


⇔ a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2(a + b + c) ≥ a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2(a
2
b
2
+ b

2
c
2
+ c
2
a
2
) (1,0đ)

⇔ a
4
+ 2a + b
4
+ 2b + c
4
+ 2 c ≥ (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2


⇔
a
4
+ 2a + b
4

+ 2b + c
4
+ 2 c
≥
9 (1,0đ)
Do đó ta chỉ cần chứng minh a
4
+ 2a + b
4
+ 2b + c
4
+ 2 c ≥ 9
Mà a
4
+ 2a = a
4
+ a + a
≥

34
3 aaa
= 3a
2
(0,5đ)
Tương tự b
4
+ 2b ≥ 3b
2
; c
4

+ 2c ≥ 3c
2
(1,0đ)
Vậy a
4
+ 2a + b
4
+ 2b + c
4
+ 2 c ≥ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) = 9 (0,5đ)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1. (1,0đ)
Bài 2: (5 điểm)


v
n+1
.v
n +
2v
n+2
.v
n+1
-3v
n+2

.v
n
= v
n+2
-3v
n+ 1
+ 2v
n
1122
.13.333
nn n n n n n n
vv v v vv v v
++++
⇔+++= +++
21 2 1
2( . 1)
nn n n
vv v v
++ + +
−+++

1221
( 1)( 1) 3( 1)( 1) 2( 1)( 1)
nn nn nn
vv vv vv
++++
⇔++= ++− + +

21
132

111
nnn
vvv
++
⇔=−
+++
(do 1,
n
vn
≠
−∀)





(1,0đ)


(1,0đ)

Đặt
1
1
n
n
u
v
=

+
ta được
21
32
nnn
uuu
++
=−
(1,0đ)
Xét phương trình đặc trưng
1
2
2
1
320
2
x
xx
x
=
⎡
−+=⇔
⎢
=
⎣


.2
n
n

uab=+ với
12
3 , u 5u == ta được :

23 1

45 1
ab a
ab b
+= =
⎧⎧
⇔
⎨⎨
+= =
⎩⎩





(1,0đ)


(Gồm 02 trang)
CHÍNH THỨC
2 Bảng A-Ngày 1

12
n
n

u =+


1
1
12
n
n
v⇒= −
+



(1,0đ)

Bài 3: (5 điểm)
Gọi A là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 2.
Gọi B là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 5. (1,0đ)
Gọi C là tập hợp các phần tử trong M chia hết cho 11.
Ta cần tính
CBA ∪∪

Áp dụng công thức:
CBACACBBACBACBA ∩∩+∩−∩−∩−++=∪∪ (1,0đ)
Theo giả thiết ta có:
1005
2
2011
=
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=A
, 402
5
2011
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=B
, 182
11
2011
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=C
, 201
10

2011
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∩ BA
,
36
55
2011
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∩CB
, 91
22
2011
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
=∩CA
, 18
110
2011
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∩∩ CBA
, (2,0đ)
Trong đó
[]
x
là phần nguyên của số thực x.
Do đó:
12791891362011824021005 =+−−−++=∪∪ CBA
(1,0đ)
Vậy số các số cần tìm là 1279

Bài 4: (5 điểm)
* Ta có:

()
à:
KI AI AK
AB AD

KF AF AK
AC AD
MACABAD
K
FAB AD
αγ
βγ
ββγ
=−
=−
=−
=−
=+
⇒= +−
JJG JJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJGJJJG

* Điều kiện cần và đủ để K, I, F thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho:

()
()( )
0
KF kKI
A
BADkABkAD
kAB kAD

ββγ αγ
βα βγγ
=
⇔+− = −
⇔− +−+ =
JJJG JJG
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG G

* Vì
,
A
BAD
JJJGJJJG
không cùng phương nên:

(
)
(
)
()
0
0
0
0, 0, 0
111
kAB kAD
k
k
do

−+−+=
−=
⎧
⇔
⎨
−+ =
⎩
−
⇔= ≠ ≠ ≠
⇔+=
JJJGJJJGG
βα βγγ
βα
βγ γ
βγβ
αβγ
αγ
αγ β

Hết
(1,0đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(1,0đ)
(0,5đ)
(1,0đ)
(0,5đ)