đề thi và đáp án thi chuyên toán 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi 21/7/2015
Đề có: 01 trang gồm 05 câu
Câu 1 (2 điểm):
1. Giải phương trình ay
2
+ y – 2 = 0
a) Khi a = 0
b) Khi a = 1
2. Giải hệ phương trình:
5
3
x y
x y
+ =


− =


Câu 2 (2 điểm): Cho biểu thức P =
4 3 6 2
1
1 1
a
a

a a
+
+ −
−
− +
(với a
≥
0 và a
≠
1)
1. Rút gọn P
2. Tính giá trị của biểu thức P khi a = 6 + 2
5
Câu 3 (2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = x + m – 1 và
parabol (P) : y = x
2
1. Tìm m để (d) đi qua điểm A(0;1)
2. Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần
lượt là x
1
, x
2
thỏa mãn: 4
1 2
1 2
1 1
3 0x x
x x
 
+ − + =

 ÷
 
Câu 4 (3 điểm): Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng (d) không đi qua O,
cắt đường tròn (O) tại 2 điểm A, B. Lấy điểm M bất kì trên tia đối BA, qua M kẻ hai tiếp
tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm).
1. Chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn.
2. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB. Chứng minh HM là phân giác của
·
CHD
.
3. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC, MD theo thứ tự tại P,
Q. Tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất.
Câu 5 (1 điểm): Cho a, b, c là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện:
5a
2
+ 2abc + 4b
2
+ 3c
2
= 60
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a + b + c.
Hết
1
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ A
ĐÁP ÁN KÌ THI VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Câu 1:
1. a. Khi a = 0 ta có y - 2 = 0 => y = 2

b. Khi a = 1 ta được phương trình: y
2
+ y – 2 = 0 => y
1
= 1; y
2
= -2
2. Giải hệ phương trình:
5
3
x y
x y
+ =


− =

⇔
4
1
x
y
=


=

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất (x;y) = (4;1)
Cấu 2:
1. Rút gọn P

4 3 6 2
1
1 1
a
P
a
a a
+
= + −
−
− +
=
( )
3 1
4( 1) 6 2
1 1 ( 1)( 1)
a
a a
P
a a a a
−
+ +
= + −
− + − +
4 4 3 3 6 2
( 1)( 1)
1
( 1)( 1)
1
1

a a a
a a
a
a a
a
+ + − − −
=
− +
−
=
− +
=
+
2. Thay a = 6 + 2
2
5 ( 5 1)
= +
(Thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức P đã rút
gọn ta được:
2
1 1
5 2
5 2
( 5 1) 1
= = −
+
+ +
Vậy a = 6 + 2
5
thì P =

5
- 2
Câu 3:
1. Thay x = 0; y = 1 vào phương trình đường thẳng (d) ta được: m = 2
2. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x
2
– x – (m – 1) = 0 (*)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân
biệt x
1
; x
2
3
4 3 0
4
m m
⇔ ∆ = − > ⇔ >
.
Khi đó theo định lý Vi ét ta có:
1 2
1 2
1
( 1)
x x
x x m
+ =


= − −


Theo đề bài:
1 2
1 2
1 1
4 3 0x x
x x
 
+ − + =
 ÷
 
1 2
1 2
1 2
4 3 0
x x
x x
x x
 
+
⇔ − + =
 ÷
 
2
2
1 2
4
2 0
1
6 0( : 1)
2( ); 3( )

m
m
m m DK n
m TM m Loai
⇒ + + =
− +
⇔ + − = ≠
⇒ = = −
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Câu 4:
1. Xét tứ giác MCOD có:
MC vuông góc với OD => góc OCM = 90
0
MD vuông góc với OD => góc ODM = 90
0
Suy ra tứ giác MCOD nội tiếp được trong một đường tròn (dấu hiệu nhận biết tứ
giác nội tiếp)
2. Ta có H là trung điểm của AB => OH
⊥
AB =>
·
0
90MHO =
=> H thuộc đường tròn
đường kính MO => 5 điểm D; M; C; H; O cùng thuộc đường tròn đường kính MO
=>
· ·
DHM DOM=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD)

· ·
CHM COM=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MC)
Lại có
·
·
DOM COM=
(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
=>
·
·
DHM CHM=
=> HM là phân giác của góc CHD
3. Ta có: S
MPQ
= 2S
MOP
= OC.MP = R. (MC+CP)
≥
2R.
.CM CP
Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMP ta có: CM.CP = OC
2
= R
2

không đổi
=> S
MPQ

2
2R≥
Dấu = xảy ra
⇔
CM = CP = R
2
. Khi đó M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O
bán kính R
2
.
Vậy M là giao điểm của (d) với đường tròn tâm O bán kính R
2
thì diện tích tam
giác MRT nhỏ nhất.
3
Câu 5:
Ta có: 5a
2
+ 2abc + 4b
2
+ 3c
2
= 60
⇔
5a
2
+ 2abc + 4b
2
+ 3c
2

– 60 = 0
a
∆
= (bc)
2
– 5(4b
2
+ 3c
2
– 60) = (15-b
2
)(20-c
2
)
Vì 5a
2
+ 2abc + 4b
2
+ 3c
2
= 60 => 4b
2
≤
60 và 3c
2
≤
60 => b
2
≤
15 và c

2
≤
20 => (15-b
2
)
≥
0
và (20-c
2
)
≥
0
=>
a
∆

≥
0
=> a=
2 2
(15 )(20 )
5
bc b c− + − −
≤
2 2
1
(15 20 )
2
5
bc b c− + − + −

(Bất đẳng thức cauchy)
=> a
≤
2 2 2
2 35 35 ( )
10 10
bc b c b c− + − − − +
=
=> a+b+c
≤
2 2
35 ( ) 10( ) 60 ( 5)
10 10
b c b c b c− + + + − + −
=
≤
6
Dấu = xảy ra khi
2 2
5 0
1
15 20 2
6 3
b c
a
b c b
a b c c
+ − =

=




− = − ⇔ =
 
 
+ + = =


Vậy Giá trị lớn nhất của A là 6 đạt tại a = 1; b = 2; c = 3.
Hết
4