Đề và đáp án tự ôn toán Đại học-số 2

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 08 tháng 03 năm 2010
ĐỀ TỰ ÔN TẬP SỐ 2 Thời gian: 90 phút
ĐỀ BÀI
Câu 1.(3 điểm) : Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 mặt phẳng:

( ) :2 2 0 à ( ) : 4 2 3 0P x y z v Q x y z
− + − = + + + =
a) CMR:
( ) ( )P Q⊥
b) Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O và giao tuyến d của (P) và (Q).
c) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với d và đi qua diểm M (1;2;3).
Câu 2.( 3 điểm) : Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có
phương trình:
12 9 1
: ; ( ) :3 5 2 0
4 3 1
x y z
d P x y z
− − −
= = + − − =

a) CMR: d và (P) cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M(1;2;-1) và vuông góc với d
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).
Câu 3.( 3 điểm) : Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): y+2z=0; điểm A(1;2;3),
B( 1;1;1) và 2 đường thẳng:

1 2
1 2 '

: ; : 4 2 '
4 1
x t x t
d y t d y t
z t z
= − = −
 
 
= = +
 
 
= =
 
a) CMR: d
1
và d
2
chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) cắt cả d
1
và d
2
c) Tìm M trên (P) sao cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị bé nhất.
Câu 4.(1 điểm) : Viết phương trình đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng sau:

1 2
1 3 1 2
( ) : 2 à ( ) : 3
2 2
x t x s

d y t v d y s
z t z s
= + = −
 
 
= =
 
 
= − = +
 
………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh HàoQuang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 2
Câu 1.(3 điểm) :
a) Ta có:
( )
( ) ( )
( )
(2; 1;1)
. 0 ( ) ( )
(1;4;2)
P
P Q
Q
n

n n P Q
n

= −

⇒ = ⇒ ⊥

=


r
r r
r
b) Ta có:

( ) ( )
( )
0
0 0
5 8
à ( ; ;0)
9 9
5 8 24 15 21
( ; ;0) . ( ; ; ) (8;5;7)
9 9 9 9 9
( ) :8 5 7
. (
0
6; 3;9) (2;1; 3)
d P Q

R d
M d
OM OM
R x z
v
y
u n n
n u
− ∈
⇒ =
 
= − − −
 
 
=− ⇒
⇒ +
=
 
+ =
uuuuur
r r r
P
r ruuuuur
P
c) Vì :
'
1 2
(2;1; 3) ' 2 ( )
3 3
d d

x t
u u d y t t
z t
= +


= = − ⇒ = + ∈


−

⇒
=
r r
¡
Câu 2.( 3 điểm) :
a) Giả sử d và (P) cắt nhau tại A(x
0
;y
0
;z
0
) ta có:

0 0 0
0 0 0
3 5 2 0
(24;18;4)
12 9 1
4 3 1

x y z
A
x y z
+ − − =


⇒

− − −
= =


Vậy d cắt (P) và tọa độ giao điểm là A( 24;18;4)
b)

( )
(4;3;1) ( ) :4(ì 1) 3( 2) 1 0
( ) :4 9
( )
3 0
P d
V n u Q x y zQ d
Hay Q x y z
= = ⇒ − + − + + =
+
⊥
+ − =
⇒
r r
c) Gọi d’ là hình chiếu vuông góc cần tìm. Ta thấy d’ là giao tuyến của (P) và (R)

được xác định như sau:

( )
0
( )
( 8;7;11) (8; 7; 11) à (12;9;1)
( ):8( 12) 7( 9) 11( 1) 0 ( ):8 7 11 170 0
.
R d P
n u M d
R x y z Ha R y z
n v
y x
− − − ∈
 
= =
 
⇒ − − − − − = − − + =
r r
P
r
Vậy:
3 5 2 0
8 7 11 17 0
(
0
')
x y z
x z
d

y
+ − − =


− − + =

Câu 3.( 3 điểm) :
Page 2 of 4
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
a) Ta có:
1
1 2
2
1 1
1 2
2
1 2
2
à (1;0;0)
à
( 1;1;4)
(2
(1;4;1) . .
;4;1)
25 0
( 1;2;0)
d
d d

d
M d
M d
u v
M M M M u u
u v

= −

 
⇒ = ⇒ = ≠

 
= −
∈

∈

r
uuuuuur uuuuuur r r
r
Vậy : d
1
và d
2
chéo nhau.
b)
Gọi C là điểm của d
1
với (P) ta có:

2 0
1
(1;0;0)
4
y z
x t
C
y t
z t
+ =


= −

⇒

=


=


(4; 2;1)CD
= −
uuur
Gọi D là điểm của d
2
với (P) ta có:
2 0
2 '

(5; 2;1)
4 2 '
1
y z
x t
D
y t
z
+ =


= −

⇒ −

= +


=


1 4
: 2
x t
d CD y t
z t
= +


⇒ ≡ = −



=

c) Ta có:

( )
ons( )tMAB MA MB AB AB c MAB Min MA MB Min
C C
⇒∆ = + + = ∆ ⇔ +
Điều này xãy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B với (P) (Với A’ là điểm đối
xứng của A qua (P)).
Dựa vào yếu tố vuông góc và trung điểm ta tính được
6 17
'(1; ; )
5 5
A
− −

( )
1
11 22
' (0; ; ) (0;1;2) ' : 1
5 5
1 2
x
A B A B y t
z t
=



= − − ⇒ = +


= +

uuuur
P
Từ đây ta tìm được giao điểm:
2 1
' ( ) (1; ; )
5 5
M A B P
= ∩ = −
Câu 4.(1 điểm) : Dễ thấy
1 2
(1;0;2)A∆ ∩ ∆ =
Gọi vectơ đơn vị của
1 2
àv∆ ∆
lần lượt là
1 2
àe v e
r r
ta có:
Page 3 of 4
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010

1 1
1 1
1 1
;
u u
e e
u u
∆ ∆
∆ ∆
= =
r r
r r
r r

1 2
3 2 1 2 3 1
; ; ; ; ;
14 14 14 14 14 14
e e
− −
   
⇒ = =
 ÷  ÷
   
r r
Hai vectơ chỉ phương của 2 đường phân giác lần lượt là:

( )
( )
1

2
1 2
1 2
1 5
; ;0 1;5;0
14 14
5 1 2
; ; 5; 1; 2
14 14 14
d
d
u e e
u e e

 
= + =

 ÷
  

− −
 

= − = − −
 ÷

 

uur r r
P

uur r r
P
Vậy phương trình 2 đường phân giác cần tìm là:

1 2
1 1 5 '
: 5 : '
2 2 2 '
x t x t
d y t d y t
z z t
= + = +
 
 
= = −
 
 
= = −
 

………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 4 of 4