Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS tỉnh Phú Thọ năm 2012 - 2013 môn Toán

/storage1/vhost/convert.123doc.vn/data_temp/document/ocs143774633
5-1768428-14377463353422/ocs1437746335.doc
SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu1( 3,0 điểm)
1) Giải phương trình nghiệm nguyên

2
8 3x 5 25x y y− − =
2)Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho A=
.4 3 7
n n
n + M
Câu 2( 4,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: A=
2 10 30 2 2 6 2
:
2 10 2 2 3 1
+ − −
− −
2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn .
2 2 2
xx yz y z z xy
a b c
− − −
= =
Chứng minh rằng

2 2 2
a bc b ca c ab
x y z
− − −
= =
Câu 3( 4,0 điểm)
1) Cho phương trình:
2
6x 0x m− − =
(Với m là tham số). Tìm m để phương trình đã
cho có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn
2 2
1 2
12x x− =
2) Giải hệ phương trình:
3 3 3
2 2
8x 27 18
4x 6x
y y
y y

+ =


+ =



Câu 4( 7,0 điểm)
1) Cho đường tròn (O) đường kính BD=2R, dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi
nhưng luôn vuông góc và cắt BD tại H. Gọi P,Q,R,S lần lượt là chân các đường vuông
góc hạ từ H xuống AB,AD,CD,CB.
a) CMR:
2 2 2 2
DHA HB HC H+ + +
không đổi.
b) CMR :
RSPQ
là tứ giác nội tiếp.
2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh M,N,P,Q lần lượt thuộc các cạnh
AB,BC,CD,DA của hình vuông. CMR:
DABC
S
≤
4
MN NP PQ QM
AC
+ + +
Câu 5( 2,0 điểm)
Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:
3 2 3 2a 3 2 6
ab bc ca a b c
a b c b c c a b
+ +
+ + ≤
+ + + + + +

Hêt—
Hướng dẫn
Câu1.1)
2
8 3x 5 25x y y− − =
Z
x
xy
x
x
yxxy ∈
+
−−=⇔
+
−
=⇔−=+⇔
53
25
40249
53
258
258)53(
2
2
Khi 3x+5 là ước 25 từ đó tìm được
{ }
)5;0();7;2();31;10();( −−−−−∈yx
( cách khac nhân 2 vế với 9 đưavề tích)
1.2) Với n chẵn n=2k thì
( )

Nmmtn
t
kkkkA
kkkkk
∈+=−=⇒
−
=⇒+⇒−++=+= 614114
2
17
7127)916(4).12(34.2
222

Với n lẻ n=2k+1
( )
NmmntkkkkA
kkkkk
∈+=⇒=⇒⇒++=++=
+++++
1147727)34(4.234).12(
1212121212

Vậy
614
+=
mn
hoặc
114
+=
mn
( với mọi n

)N∈
thì A chia hết cho 7
Câu2.1)
2 10 30 2 2 6 2
:
2 10 2 2 3 1
+ − −
− −
=
2
1
2
13
.
2
13
2
13
.
4
324
2
13
.
2
32
2
13
.
)15(22

)15(6)15(22
=
−+
=
−+
=
−+
=
−
−
−+−
2.2)
2 2 2
xx yz y z z xy
a b c
− − −
= =
)3(
)3(2
:
)2(
)3(2
:
)1(
)3(2
333
2
233222224
2
333

2
233222224
2
333
2
233222224
2
222
xyzzyxz
abc
xyzzyzxyx
ab
yxxyzZ
c
Tuongtu
xyzzyxy
acb
zxyyzyxzx
ac
zxxzyy
b
Tuongtu
xyzzyxx
bca
yzxxzxyzy
bc
zyyzxx
a
xyz
c

xzy
b
yzx
a
−++
−
=
+−−
=
+−
−++
−
=
+−−
=
+−
−++
−
=
+−−
=
+−
⇔
−
=
−
=
−
⇔
Từ (1) (2) (3) ta co ĐPCM

Câu 3.1) Để phương trình có nghiệm
90
/
−≥⇔≥∆ m
(*)
Mặt khác ta phải có
8
2
.
4
2
.
6
12
.
6
2
21
1
21
21
21
2
2
2
1
21
21
−=⇔






=
−=
=
⇔





=−
−=
=+
⇔





=−
−=
=+
m
x
mxx
x
xx

mxx
xx
xx
mxx
xx
TM ĐK (*)
3.2)Giải hệ phương trình





=+
=+
22
333
64
18278
yxyx
yyx
HD y =0 không là nghiệm của hệ chia 2 vế PT(1) cho y
3
PT(2) cho y
2
Ta có hệ








=+
=+
164
18
27
8
2
2
3
3
y
x
y
x
y
x
Đặt





=
=
b
y
ax
3

2
ta có hệ



=
=+
⇔





=+
=+
1
3
3
18
22
33
ab
ba
abba
ba
Hệ có 2 nghiệm



















−
+








+
−
∈
53
6
;

4
53
;
53
6
;
4
53
),( yx
Câu 4.1)
O
H
R
S
P
Q
D
C
B
A
a) theo Pitago
;;;;
222222222222
ADHDHACDHDHCBCHBHCABHBHA =+=+=+=+
suy ra đpcm
b)Tứ giác HPBS nội tiếp
DBCHBSHPS ∠=∠=∠⇒
Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật
CBDCADHAQHPQ ∠=∠=∠=∠⇒
Do đó

CBCHPQHPSSPQ ∠=∠+∠=∠ 2
Tương tự
BDCSQR ∠=∠ 2
Do đó
00
180180 =∠+∠⇔=∠+∠ SRQSPQBDCDBC
nên tứ giác PQRS nội tiếp ( đ/lí
đảo)
4.2)
L
K
P
Q
I
C
N
D
M
A
B
Cách 1 Gọi T, K, L là trung điểm MQ, MP, NP theo t/c đường trung bình và trung tuyến tam
giác vuông ta có
ACAIIKCLKLQMPQNPMN 2)(2 ≥+++=+++
từ đó suy ra đpcm
Cách 2 Ta có theo Pitago
2
2
)(
2
222

BNBM
MN
BNBM
BMBNMN
+
≥⇔
+
≥+=
( áp dụng BĐT Bunhiacoopsky
Tương Tự
2
;
2
;
2
AMAQ
MQ
DQDP
PQ
NPCN
NP
+
≥
+
≥
+
≥
Nên

( )

dpcmaQMPQNPMN
a
a
aAMQADQPDCPNCNBBM
QMPQNPMN
⇔=+++
==
+++++++
≥+++
2
4
2
22
2
4
2
Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật
Câu 5
Cho a,b c>0 .Chứng minh rằng:
6233223
cba
cba
ca
cba
bc
cba
ab
++
≤
++

+
++
+
++
Dự đoán a=b=c tách mẫu để a+c=b+c=2b
Tacó áp dụng BĐT








++≤
++
⇔≥








++++
zyxzyxzyx
zyx
111
9

11
9
111
)(
1 1 1 1
(1)
3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
ab ab ab ab ab a
a b c a c b c b a c b c b a c b c
   
= ≤ + + = + +
 ÷  ÷
+ + + + + + + + + +
   
Tương tự
1 1 1 1
(2)
2 3 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
1 1 1 1
(2)
3 2 ( ) ( ) 2 9 2 9 2
bc bc bc bc bc b
a b c a b a c c a c b c b a b b c
ac ac ac ac ac c
a b c a b b c a a b b c a a b b c
   
= ≤ + + = + +
 ÷  ÷
+ + + + + + + + + +
   

   
= ≤ + + = + +
 ÷  ÷
+ + + + + + + + + +
   
Từ (1) (2) (3)
629
1 cbacba
ca
abbc
cb
acab
ba
bcac
P
++
=






++
+
+
+
+
+
+

+
+
+
≤
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
GV Nguyễn Minh Sang THCS Lâm Thao-Phú Thọ